Polynomdivision – Übungen

Rechnung:

Beschreibung:

• Betrachte die führenden Terme: $x^2 : x = x$. Schreibe $x$ als ersten Term des Ergebnisses.
• Multipliziere $x$ mit dem gesamten Divisor $(x + 2)$:
  $x \cdot (x + 2) = x^2 + 2x$
• Subtrahiere diesen Ausdruck vom ursprünglichen Polynom:
  $(x^2 + 5x) - (x^2 + 2x) = 3x$
• Ziehe den nächsten Summanden $+6$ herunter.
  $\rightarrow~$ neuer Ausdruck: $3x + 6$
• Dividiere erneut: $3x : x = 3$.
  Schreibe $+3$ zum Ergebnis.
• Multipliziere $3$ mit $(x + 2)$:
  $3 \cdot (x + 2) = 3x + 6$
• Subtrahiere:
  $(3x + 6) - (3x + 6) = 0$
• Kein Rest mehr, die Division ist abgeschlossen.

Lösung:
Das Ergebnis der Polynomdivision ist:
$$(x^2 + 5x + 6) : (x + 2) = x + 3$$

Rechnung:

Beschreibung:

• Betrachte die führenden Terme: $2x^2 : x = 2x$. Schreibe $2x$ als ersten Term des Ergebnisses.
• Multipliziere $2x$ mit dem gesamten Divisor $(x - 2)$:
  $2x \cdot (x - 2) = 2x^2 - 4x$
• Subtrahiere diesen Ausdruck vom ursprünglichen Polynom:
  $(2x^2 - 3x) - (2x^2 - 4x) = x$
• Ziehe den nächsten Summanden $-2$ herunter.
  $\rightarrow~$ neuer Ausdruck: $x - 2$
• Dividiere erneut: $x : x = 1$.
  Schreibe $+1$ zum Ergebnis.
• Multipliziere $1$ mit $(x - 2)$:
  $1 \cdot (x - 2) = x - 2$
• Subtrahiere:
  $(x - 2) - (x - 2) = 0$
• Kein Rest mehr, die Division ist abgeschlossen.

Lösung:
Das Ergebnis der Polynomdivision ist:
$$(2x^2 - 3x - 2) : (x - 2) = 2x + 1$$

Rechnung:

Beschreibung:

• Betrachte die führenden Terme: $3x^2 : x = 3x$. Schreibe $3x$ als ersten Term des Ergebnisses.
• Multipliziere $3x$ mit dem gesamten Divisor $(x + 2)$:
  $3x \cdot (x + 2) = 3x^2 + 6x$
• Subtrahiere diesen Ausdruck vom ursprünglichen Polynom:
  $(3x^2 + 7x) - (3x^2 + 6x) = x$
• Ziehe den nächsten Summanden $+2$ herunter.
  $\rightarrow~$ neuer Ausdruck: $x + 2$
• Dividiere erneut: $x : x = 1$. Schreibe $+1$ zum Ergebnis.
• Multipliziere $1$ mit $(x + 2)$:
  $1 \cdot (x + 2) = x + 2$
• Subtrahiere:
  $(x + 2) - (x + 2) = 0$
• Kein Rest mehr, die Division ist abgeschlossen.

Lösung:
Das Ergebnis der Polynomdivision ist:
$$(3x^2 + 7x + 2) : (x + 2) = 3x + 1$$

Rechnung:

Beschreibung:

• Betrachte die führenden Terme: $x^3 : x = x^2$. Schreibe $x^2$ als ersten Term des Ergebnisses.
• Multipliziere $x^2$ mit $(x - 1)$:
  $x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2$
• Subtrahiere den Ausdruck vom ursprünglichen Polynom:
  $(x^3 - 2x^2) - (x^3 - x^2) = -x^2$
• Ziehe den nächsten Term $-x$ herunter.
  $\rightarrow~$ neuer Ausdruck: $-x^2 - x$
• Dividiere: $-x^2 : x = -x$. Schreibe $-x$ zum Ergebnis.
• Multipliziere $-x$ mit $(x - 1)$:
  $-x \cdot (x - 1) = -x^2 + x$
• Subtrahiere:
  $(-x^2 - x) - (-x^2 + x) = -2x$
• Ziehe den letzten Summanden $+2$ herunter.
  $\rightarrow~$ neuer Ausdruck: $-2x + 2$
• Dividiere: $-2x : x = -2$. Schreibe $-2$ zum Ergebnis.
• Multipliziere $-2$ mit $(x - 1)$:
  $-2 \cdot (x - 1) = -2x + 2$
• Subtrahiere:
  $(-2x + 2) - (-2x + 2) = 0$
• Kein Rest, die Division ist vollständig beendet.

Lösung:
Das Ergebnis der Polynomdivision ist:
$$(x^3 - 2x^2 - x + 2) : (x - 1) = x^2 - x - 2$$

Rechnung:

Beschreibung:

• Betrachte die führenden Terme: $x^2 : x = x$. Schreibe $x$ als ersten Term des Ergebnisses.
• Multipliziere $x$ mit $(x - 1)$:
  $x \cdot (x - 1) = x^2 - x$
• Subtrahiere:
  $(x^2 + 2x) - (x^2 - x) = 3x$
• Ziehe den nächsten Term $+1$ herunter.
  $\rightarrow~$ neuer Ausdruck: $3x + 1$
• Dividiere: $3x : x = 3$.
  Schreibe $+3$ zum Ergebnis.
• Multipliziere $3$ mit $(x - 1)$:
  $3 \cdot (x - 1) = 3x - 3$
• Subtrahiere:
  $(3x + 1) - (3x - 3) = 4$
• Es bleibt ein Rest von $4$, die Division geht nicht ohne Rest auf.

Lösung:
Das Ergebnis der Polynomdivision ist:
$$(x^2 + 2x + 1) : (x - 1) = x + 3 + \dfrac{4}{x - 1}$$

Rechnung:

Beschreibung:

• Betrachte die führenden Terme: $2x^2 : x = 2x$. Schreibe $2x$ als ersten Term des Ergebnisses.
• Multipliziere $2x$ mit $(x + 2)$:
  $2x \cdot (x + 2) = 2x^2 + 4x$
• Subtrahiere:
  $(2x^2 - x) - (2x^2 + 4x) = -5x$
• Ziehe den nächsten Term $+3$ herunter.
  $\rightarrow~$ neuer Ausdruck: $-5x + 3$
• Dividiere: $-5x : x = -5$.
  Schreibe $-5$ zum Ergebnis.
• Multipliziere $-5$ mit $(x + 2)$:
  $-5 \cdot (x + 2) = -5x - 10$
• Subtrahiere:
  $(-5x + 3) - (-5x - 10) = 13$
• Es bleibt ein Rest von $13$, die Division geht nicht ohne Rest auf.

Lösung:
Das Ergebnis der Polynomdivision ist:
$$(2x^2 - x + 3) : (x + 2) = 2x - 5 + \dfrac{13}{x + 2}$$

Rechnung:

Beschreibung:

• Betrachte die führenden Terme: $3x^2 : x = 3x$. Schreibe $3x$ als ersten Term des Ergebnisses.
• Multipliziere $3x$ mit $(x - 1)$:
  $3x \cdot (x - 1) = 3x^2 - 3x$
• Subtrahiere:
  $(3x^2 + x) - (3x^2 - 3x) = 4x$
• Ziehe den nächsten Term $-2$ herunter.
  $\rightarrow~$ neuer Ausdruck: $4x - 2$
• Dividiere: $4x : x = 4$.
  Schreibe $+4$ zum Ergebnis.
• Multipliziere $4$ mit $(x - 1)$:
  $4 \cdot (x - 1) = 4x - 4$
• Subtrahiere:
  $(4x - 2) - (4x - 4) = 2$
• Es bleibt ein Rest von $2$, die Division geht nicht ohne Rest auf.

Lösung:
Das Ergebnis der Polynomdivision ist:
$$(3x^2 + x - 2) : (x - 1) = 3x + 4 + \dfrac{2}{x - 1}$$

Rechnung:

Beschreibung:

• Betrachte die führenden Terme: $x^2 : x = x$. Schreibe $x$ als ersten Term des Ergebnisses.
• Multipliziere $x$ mit $(x - 3)$:
  $x \cdot (x - 3) = x^2 - 3x$
• Subtrahiere:
  $(x^2 - 4x) - (x^2 - 3x) = -x$
• Ziehe den nächsten Term $+5$ herunter.
  $\rightarrow~$ neuer Ausdruck: $-x + 5$
• Dividiere: $-x : x = -1$.
  Schreibe $-1$ zum Ergebnis.
• Multipliziere $-1$ mit $(x - 3)$:
  $-1 \cdot (x - 3) = -x + 3$
• Subtrahiere:
  $(-x + 5) - (-x + 3) = 2$
• Es bleibt ein Rest von $2$, die Division geht nicht ohne Rest auf.

Lösung:
Das Ergebnis der Polynomdivision ist:
$$(x^2 - 4x + 5) : (x - 3) = x - 1 + \dfrac{2}{x - 3}$$

Lösung:

1. Nullstelle raten
Um die Nullstellen der kubischen Funktionen zu finden, muss hier die Polynomdivision angewandt werden. Dazu wird zunächst eine Nullstelle mit nahelegenden $x$-Werten ausprobiert und erraten. Durch Probieren von $x=1$ erhalten wir:
$$ 1^3 - 4\cdot1^2 -1 +4 =0 $$
Damit wissen wir, dass $x_1=1$ eine Nullstelle von $f(x)$ ist.

2. Linearfaktor
Die Nullstelle $x=1$ lässt sich als Linearfaktor $(x-1)$ schreiben.

3. Polynomdivision
Der Linearfaktor wird nun vom Funktionsterm mit der Polynomdivision abgespalten.

Aufgrund der Polynomdivision können wir folgende Gleichung aufstellen:
$$ f(x) = x^3 - 4x^2 - x +4 = (x-1) \cdot (x^2 - 3x - 4) $$

Unsere Funktion $f(x)$ wird also nur dann Null, wenn der Linearfaktor $(x-1)$ Null wird, oder der quadratische Term $(x^2 - 3x - 4)$ Null wird.

Das bedeutet, dass am Ende aufgrund der Polynomdivision ein vereinfachter, quadratischer Term übrig bleibt, der die restlichen Nullstellen der Funktion bestimmt.

4. Restlichen Nullstellen
Die verbleibenden Nullstellen kannst du z. B. mit der Mittenachtsformel oder der pq-Formel berechnen.
Wir nutzen den Satz von Vieta um den quadratischen Term zu faktorisieren.

$$ x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) = 0 $$
Das bedeutet, dass $x_2= 4$ oder $x_3 = -1$ sein muss.

Lösung:
Die Nullstellen der Funktion $f(x)$ sind $x_1 = 1$, $x_2 = 4$ und $x_3 = -1$.

Lösung:

1. Nullstelle raten
Um die Nullstellen der kubischen Funktion zu finden, wird zuerst versucht, durch Einsetzen von nahe liegenden $x$-Werten eine Nullstelle zu erraten.
Durch Probieren von $x=2$ erhalten wir:
$$ 2\cdot2^3 + 3\cdot2^2 - 8\cdot2 -12 = 16 + 12 - 16 - 12 = 0 $$
Damit wissen wir, dass $x_1=2$ eine Nullstelle von $g(x)$ ist.

2. Linearfaktor
Die Nullstelle $x=2$ lässt sich als Linearfaktor $(x - 2)$ schreiben.

3. Polynomdivision
Der Linearfaktor $(x - 2)$ wird nun mit Hilfe der Polynomdivision vom Funktionsterm abgespalten.

Unsere Funktion $g(x)$ wird also nur dann Null, wenn der Linearfaktor $(x-2)$ Null wird, oder der quadratische Term $(2x^2 + 7x + 6)$ Null wird.

Das bedeutet, dass am Ende aufgrund der Polynomdivision ein vereinfachter, quadratischer Term übrig bleibt, der die restlichen Nullstellen der Funktion bestimmt.

4. Restlichen Nullstellen

Der Term aus der Polynomdivision ist:
$$ 2x^2 + 7x + 6 = 0 $$
Nun lösen wir die quadratische Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel:
$$ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4\cdot2\cdot6}}{2\cdot2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{4} $$
Daraus ergeben sich die Nullstellen: $$ x_2 = \frac{-7 + 1}{4} = -1{,}5 \quad \text{und} \quad x_3 = \frac{-7 -1}{4} = -2 $$

Lösung:
Die Nullstellen der Funktion $g(x)$ sind $x_1 = 2$, $x_2 = -1{,}5$ und $x_3 = -2$.

Der Fehler bei dieser Aufgabe ist ein Vorzeichenfehler, wie er sehr häufig bei Polynomdivisionen vorkommt:
Anstelle von $4x - x = 3x$ wurde beim Subtrahieren im ersten Schritt $4x + x = 5x$ gerechnet.

Achte darauf, Klammern vor den Termen zu setzen, die subtrahiert werden und das Vorzeichen der Terme innerhalb der Klammer umzudrehen.

Auch hier liegt ein Vorzeichenfehler vor. Diesmal wurde im letzen Schritt falsch zusammengerechnet:
Anstelle von $-4x - 8x = -12x$ gilt hier $-4x - (-8x) = -4x + 8x = 4x$.

Achte darauf, Klammern vor den Termen zu setzen, die subtrahiert werden und das Vorzeichen der Terme innerhalb der Klammer umzudrehen.