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Satz von Vieta – Anwendung und Beweis

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Team Digital
Satz von Vieta – Anwendung und Beweis
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Grundlagen zum Thema Satz von Vieta – Anwendung und Beweis

Inhalt

Was ist der Satz von Vieta?

Der Satz von Vieta ist ein Satz, mit dem man eine sehr wichtige Frage in der Mathematik beantworten kann: Bilden zwei gegebene Zahlen die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung?

Du fragst dich, wie der Satz von Vieta funktioniert? Dann bist du hier genau richtig für eine einfache Erklärung des Satzes von Vieta.

Der Satz von Vieta einfach erklärt

Bevor wir mit dem Satz von Vieta beginnen, rufen wir uns die Normalform einer quadratischen Gleichung in Erinnerung:

$x^{2} + px + q = 0$

Eine solche Gleichung können wir zum Beispiel mit der pq-Formel lösen. Nehmen wir an, wir haben zwei Zahlen als Lösung erhalten, also:

$\mathbb L = \{ x_1, x_2 \} $

Um zu überprüfen, ob diese Zahlen auch wirklich die Lösungsmenge bilden, könnten wir sie jeweils in die quadratische Gleichung einsetzen. Wir können aber auch den Satz von Vieta anwenden. Schauen wir uns an, was dieser Satz besagt.

Satz von Vieta – Definition

Sei $x^{2} + px + q = 0$ eine quadratische Gleichung in Normalform mit den Koeffizienten $p$ und $q$ und $x_1$ und $x_2$ die Lösungen der quadratischen Gleichung, dann gilt:

$-(x_1 + x_2) = p$

$x_1 \cdot x_2 = q $

Wenn wir zwei Lösungen gegeben haben, müssen wir also die negative Summe und das Produkt dieser Lösungen berechnen und mit $p$ und $q$ vergleichen. Sind die obigen Gleichungen erfüllt, wissen wir, dass die Lösung korrekt ist. Das schauen wir uns anhand von Beispielen genauer an.

Der Satz von Vieta – Beispiele

Beispiel 1

Wir haben die folgende quadratische Gleichung und Lösungsmenge gegeben:

$x^{2} -6x + 8 = 0 ~ ~ ~ \mathbb L ={4,2}$

Um zu überprüfen, ob die angegebenen Werte $4$ und $2$ tatsächlich die Lösungsmenge bilden, wenden wir den Satz von Vieta an. Zunächst identifizieren wir $p$ und $q$.

$p = -6$

$q = 8$

Wir bilden die negative Summe der beiden Lösungen und vergleichen mit $p$:

$-(4+2) = -6 = p$

Sie stimmt mit $p$ überein. Nun bilden wir das Produkt der beiden Lösungen und vergleichen mit $q$:

$4 \cdot 2 = 8 = q$

Die Lösungen erfüllen also beide Gleichungen des Satzes von Vieta und sind die Lösungsmenge der gegebenen quadratischen Gleichung. Damit haben wir erfolgreich überprüft, ob die Lösungen tatsächlich die Lösungsmenge bilden.

Beispiel 2

Als Nächstes schauen wir uns eine Gleichung an, zu der es nur eine Lösung gibt:

$x^{2} + 2x +1 = 0 ~ ~ ~ \mathbb L = \{ -1 \}$

Auch hier können wir den Satz von Vieta anwenden. Bei der Lösung handelt es sich um eine Doppellösung, das heißt, es gilt $x_1 = x_2 = -1$. Wir setzen also sowohl für $x_1$ als auch für $x_2$ eine $-1$ ein und vergleichen wie oben mit $p$ und $q$:

$-(-1-1) = 2 = p$

$(-1) \cdot (-1) = 1 = q$

Damit bildet $-1$ tatsächlich die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung.

Wenn wir eine quadratische Gleichung vorliegen haben, deren Lösungsmenge die leere Menge ist, können wir den Satz von Vieta nicht anwenden.

Aber weshalb funktioniert die Anwendung des Satzes von Vieta überhaupt? Das können wir am besten verstehen, wenn wir uns einen Beweis zum Satz von Vieta anschauen.

Satz von Vieta – Beweis

Für die Herleitung des Satzes von Vieta gehen wir von einer quadratischen Gleichung in Normalform mit Lösungsmenge $\mathbb L$ aus:

$x^{2} +px + q = 0 ~ ~ ~ \mathbb L ={x_1,x_2}$

Wir überlegen uns, wie wir eine weitere Gleichung in Normalform konstruieren können, deren Lösungsmenge $\mathbb L ={x_1,x_2}$ ist. Wir schreiben eine Gleichung als Produkt aus zwei Klammern, die jeweils für eine der Lösungen null werden:

$(x-x_1) \cdot (x-x_2)=0$

Für $x=x_1$ wird die erste Klammer und damit auch das Produkt der beiden Klammern null. Für $x=x_2$ wird die zweite Klammer und damit das Produkt null. Die Lösungen $x_1$ und $x_2$ bilden also die Lösungsmenge dieser Gleichung:

$x^{2} +px + q = 0 ~ ~ ~ \mathbb L ={x_1,x_2}$

$(x-x_1) \cdot (x-x_2)=0 ~ ~ ~ \mathbb L ={x_1,x_2}$

Da beide Gleichungen dieselbe Lösungsmenge besitzen, sind sie äquivalent. Das bedeutet, dass wir die Gleichung $(x-x_1) \cdot (x-x_2)=0$ durch Äquivalenzumformungen in die Form $x^{2} +px + q = 0$ überführen können. Wir beginnen damit, die Klammern auszumultiplizieren:

$(x-x_1) \cdot (x-x_2)= x^{2} - x_2x - x_1x + x_1x_2 =0$

Die mittleren beiden Terme können wir vereinfachen, indem wir $-x$ ausklammern:

$x^{2} - x_2x - x_1x + x_1x_2 = x^{2} -( x_1+x_2)x + x_1x_2 =0$

Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform. Indem wir sie mit der quadratischen Gleichung in Normalform vergleichen, von der wir ausgegangen sind, können wir $p$ und $q$ identifizieren:

$x^{2} \underbrace{-( x_1+x_2)}_{p} x + \underbrace{x_1x_2}_{q} =0$

Wir erhalten also:

$p = -(x_1+x_2)$

$q = x_1 \cdot x_2$

Und das sind gerade die Formeln, die wir als Satz von Vieta kennengelernt haben.

Satz von Vieta – Zusammenfassung

Fassen wir das Wichtigste noch einmal zusammen:

  • Der Satz von Vieta ist ein Satz, mit dessen Hilfe wir die Lösungen $x_1,x_2$ einer quadratischen Gleichung überprüfen können.
  • Ist die quadratische Gleichung in Normalform gegeben, müssen die folgenden Gleichungen von den Lösungen erfüllt werden:
  • $p = -(x_1+x_2)$
  • $q = x_1 \cdot x_2$
  • Sind die Gleichungen erfüllt, dann bilden $x_1$ und $x_2$ die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung.

In diesem Video wird dir der Satz von Vieta einfach erklärt. Video und Text werden durch interaktive Übungen und Aufgaben ergänzt, mit denen du dein Wissen noch vertiefen kannst.

Transkript Satz von Vieta – Anwendung und Beweis

Im Laufe des Lebens werden wir mit großen Fragen konfrontiert: Was ist der Sinn des Lebens? Wer ist deine große Liebe? Oder wie kannst du überprüfen, ob zwei Zahlen die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung bilden? In diesem Video werden wir all diese Fragen beantworten. Und das tun wir mit dem Satz von Vieta. Beginnen wir mit ein paar Begriffen: Eine QUADRATISCHE Gleichung ist eine Gleichung, in der die Variable in ZWEITER Potenz vorkommt, aber keine HÖHERE Potenz als 2. DIESES Glied heißt QUADRATISCHES Glied. DIESES LINEARES Glied und DIESES ABSOLUTGLIED. Ist der VORFAKTOR des quadratischen Gliedes gleich 1 nennt man die entstandene Form die NORMALFORM der quadratischen Gleichung. Der VORFAKTOR des LINEAREN Gliedes wird dann meist mit dem Buchstaben p bezeichnet und das Absolutglied mit q. Quadratische Gleichungen können MAXIMAL zwei Lösungen besitzen. Du kannst sie bspw. mit der pq-Formel berechnen. Darum soll es aber in diesem Video NICHT gehen. Hier wollen wir folgendes betrachten: Wie überprüft man, ob zwei GEGEBENE Zahlen die Lösungsmenge einer gegebenen quadratischen Gleichung bilden? Vielleicht hast du ja selbst die Lösungen ausgerechnet und möchtest die Probe durchführen. Dazu kann man die Lösungen einfach EINSETZEN:

Die 4 stimmt schon mal. Die 2 auch. Einfacher geht es aber mit dem Satz von Vieta: Der besagt, dass der lineare Vorfaktor p genau der NEGATIVEN Summe der beiden Lösungen entspricht. Und das Absolutglied q genau dem PRODUKT der beiden Lösungen. Das ist viel leichter zu rechnen: Die SUMME der Lösungen ist 6, das NEGATIVE davon 'minus 6'. Das ist genau der Vorfaktor des linearen Gliedes. Das Produkt aus 4 und 2 ist 8. Das ist das Absolutglied. Damit wissen wir, DAS sind tatsächlich die Lösungen DIESER Gleichung. Aber warum gelten diese beiden Formeln? Für den Beweis benötigen wir eine Vorüberlegung: Mit den beiden bekannten Nullstellen konstruieren wir eine NEUE Gleichung. Das geht ganz leicht: Wir schreiben die Lösungen auf und ziehen sie von der Variablen ab. Die beiden entstanden Differenzen multiplizieren wir miteinander und setzen das Ganze Null. Auch von DIESER Gleichung sind DAS die Lösungen. Sie ENTHÄLT also ihre eigenen Lösungen direkt. Auch das können wir durch EINSETZEN überprüfen. Für 4 geht die Gleichung auf und für 2 auch.

Wenn zwei Gleichungen aber dieselbe Lösungsmenge haben, dann sind sie äquivalent. Und sie lassen sich durch Äquivalenzumformungen ineinander überführen. Hier durch ausmultiplizieren.

Die entstandene Gleichung ist DIESELBE wie unsere Ausgangsgleichung. Dieses Prinzip funktioniert bei JEDER quadratischen Gleichung in Normalform, von der du die Lösungen x1 und x2 kennst: Lösungen aufschreiben, von der Variablen subtrahieren, die entstandenen Differenzen multiplizieren und das ganze Null setzen. So erzeugst du eine ZWEITE Gleichung, die DIESELBE Lösungsmenge hat, wie deine ursprüngliche. Nur sind in DIESER Gleichung die Lösungen auch direkt enthalten. Indem wir sie ausmultiplizieren überführen wir sie in DIESELBE Form wie die ursprüngliche Gleichung. Und wir lesen einfach ab: Das p von oben entspricht 'minus in Klammern x1 plus x2' hier unten. Das q von oben entspricht 'x1 mal x2' hier unten.

Genau das ist der Satz von Vieta. Er stellt also eine Verbindung zwischen den LÖSUNGEN einer quadratischen Gleichung und dem Vorfaktor des linearen Gliedes der Normalform... bzw. deren Absolutglied her.

Wenden wir ihn noch einmal an einem Beispiel an: Indem wir die vermuteten Lösungen in die Formeln von Vieta einsetzen, und ausrechnen, erhalten wir den Vorfaktor des linearen Gliedes und das Absolutglied. Damit wissen wir, dass DIESE Lösungsmenge zu DIESER Gleichung gehört. Was ist aber, wenn eine quadratische Gleichung nur EINE Lösung besitzt? Dann können wir den Satz von Vieta trotzdem anwenden: Wir betrachten dann aber die NEGATIVE Summe der Lösung mit sich selbst und das PRODUKT der Lösung mit sich selbst. Der Vergleich mit dem Vorfaktor des linearen Gliedes und dem Absolutglied zeigt dann, ob die Lösung stimmt. Bleibt noch ein letzter Fall: Was ist, wenn eine quadratische Gleichung GAR KEINE reelle Lösung besitzt? Nun, dann kann der Satz von Vieta NICHT angewendet werden, weil du dann keine Lösungen einsetzen kannst. Fassen wir das noch einmal zusammen: Ist eine quadratische Gleichung in NORMALFORM gegeben, dann entspricht das Absolutglied q dem LösungsPRODUKT und der Vorfaktor des LINEAREN Gliedes p der NEGATIVEN LösungsSUMME. Das ist der Satz von Vieta. Hast du eine KONKRETE quadratische Gleichung gegeben... und die potenzielle Lösungsmenge vorliegen, dann kannst du mit dem Satz von Vieta überprüfen, ob die Lösung oder die LösungEN stimmen. Okay, damit haben wir jetzt EINE dieser großen Fragen beantwortet. Und was ist mit den anderen? Was ist der Sinn des Lebens? Wer ist deine große Liebe? Glaubst du nicht?

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. dritter

    Von Hubert, vor 4 Monaten
  2. Das Video war super! Dankeschön!

    Von Amin, vor 6 Monaten

Satz von Vieta – Anwendung und Beweis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz von Vieta – Anwendung und Beweis kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse den Satz von Vieta zusammen.

    Tipps

    $q=x_1 \cdot x_2$

    $p=-(x_1+x_2)$

    Lösung

    Ist eine quadratische Gleichung in Normalform gegeben, so entspricht das Absolutglied $q$ dem Lösungsprodukt, und der Vorfaktor des linearen Gliedes $p$ der negativen Lösungssumme.

  • Belege mit Hilfe des Satzes von Vieta, dass $x_1=4$ und $x_2=2$ Lösungen der Gleichung sind.

    Tipps

    Berechne die negative Summe der beiden Zahlen und das Produkt der beiden Zahlen.

    Lösung

    Die negative Summe der Lösungen $4$ und $2$ entspricht genau dem Vorfaktor $p$:
    $-(4+2) = -6 $
    Das Produkt der Lösungen entspricht genau dem Absolutglied $q$:
    $4 \cdot 2 = 8$
    Der Satz des Vieta ist also erfüllt, daher sind $4$ und $2$ Lösungen der Gleichung.

  • Bestimme jeweils, ob die beiden Werte $x_1$ und $x_2$ Lösung der Gleichung sind.

    Tipps

    Wenn nur eine der beiden Bedingungen erfüllt ist, sind die beiden Zahlen nicht die Lösung der quadratischen Gleichung.

    Die negative Summe der beiden Lösungen muss $p$ entsprechen.

    Überprüfe, ob das Produkt der beiden Lösungen gleich dem Absolutglied $q$ ist.

    Lösung

    $x^2+2x-8=0;~\mathbb{L}=\{-4; 2\}$
    $-(x_1+x_2) = -((-4)+2) = 2 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot 2 = -8 = q$
    Der Satz von Vieta ist erfüllt, also sind die beiden Zahlen Lösung der Gleichung.

    $x^2+5x+1=0;~\mathbb{L}=\{2; 3\}$
    $-(x_1+x_2) = -(2+3) = -5 \neq p$
    $x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 3 = 6 \neq q$
    Der Satz von Vieta ist nicht erfüllt, also sind die beiden Zahlen keine Lösung der Gleichung.

    $x^2+2x-3=0;~\mathbb{L}=\{-3; 1\}$
    $-(x_1+x_2) = -((-3)+1) = 2 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot 1 = -3 = q$
    Der Satz von Vieta ist erfüllt, also sind die beiden Zahlen Lösung der Gleichung.

    $x^2+7x+10=0;~\mathbb{L}=\{-5; -2\}$
    $-(x_1+x_2) = -((-5)+(-2)) = 7 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-5) \cdot (-2) = 10 = q$
    Der Satz von Vieta ist erfüllt, also sind die beiden Zahlen Lösung der Gleichung.

    $x^2+2x-3=0;~\mathbb{L}=\{-1; 3\}$
    $-(x_1+x_2) = -((-1)+3) = -2 \neq p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot 3 = -3 = q$
    Der Satz von Vieta ist nicht erfüllt, also sind die beiden Zahlen keine Lösung der Gleichung.

  • Bestimme die zweite Lösung der Gleichung mit Hilfe des Satzes von Vieta.

    Tipps

    Beachte:
    $x_1 \cdot x_2 =q$
    $-(x_1+x_2)=p$

    Lösung

    Was wir wissen:

    • Aus der Gleichung $x^2-x-12=0$ ergibt sich, dass $p=-1$ und $q=-12$ ist.
    • Mit Hilfe des Satzes von Vieta wissen wir, dass $x_1 \cdot x_2 = q$ gelten muss, also das Produkt der beiden Lösungen $-12$ ergeben muss.
    • Eine Lösung kennen wir, nämlich $x_1=4$.

    Wir rechnen also rückwärts:

    $x_1 \cdot x_2 = q$
    $4 \cdot x_2 = -12$
    $x_2= -12:4=-3$

    Mit $x_2= -3$ ist auch die zweite Bedingung des Satzes von Vieta erfüllt:
    $-(x_1+x_2)=-(4+(-3))=-1=p$

  • Benenne in den quadratischen Gleichungen das quadratische Glied, das Absolutglied und das lineare Glied.

    Tipps

    Das quadratische Glied enthält die Variable in der zweiten Potenz und den zugehörigen Vorfaktor.

    Das lineare Glied enthält die Variable in linearer Form und den zugehörigen Vorfaktor.

    Das Absolutglied enthält nicht die Variable.

    Lösung

    $ax^2+bx+c=0$
    Hierbei ist $ax^2$ das quadratische Glied, $bx$ das lineare Glied und $c$ das Absolutglied.
    $x^2+px+q=0$
    Hierbei ist $x^2$ das quadratische Glied, $px$ das lineare Glied und $q$ das Absolutglied.

    Denke daran: Der Vorfaktor gehört immer mit zum Glied!

  • Überprüfe, welche Lösungsmenge zu welcher Gleichung gehört.

    Tipps

    Wenn nur eine Lösung gegeben ist, setze sowohl für $x_1$ als auch für $x_2$ diesen Wert ein.

    Setze jeweils ein:
    $-(x_1+x_2)$
    $x_1 \cdot x_2$

    Vergleiche mit den Werten der gegebenen Gleichungen:
    $-(x_1+x_2)=p$
    $x_1 \cdot x_2=q$

    Lösung

    Von $x^2-2x+1=0$ ist die Lösung $x=1$, denn:
    $-(x_1+x_2) = -(1+1) = -2 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 1 = 1 = q$

    Von $x^2+x-2=0$ ist die Lösung $x_1=-2$ und $x_2=1$, denn:
    $-(x_1+x_2) = -((-2)+1) = 1 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot 1 = -2 = q$

    Von $x^2-2x-3=0$ ist die Lösung $x_1=-1$ und $x_2=3$, denn:
    $-(x_1+x_2) = -((-1)+3) = -2 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot 1 = -3 = q$

    Von $x^2-4=0$ ist die Lösung $x_1=-2$ und $x_2=2$, denn:
    $-(x_1+x_2) = -((-2)+2) = 0 = p$
    $x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot 2 = -4 = q$

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