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Quadratische Gleichungen lösen

Quadratische Gleichungen haben die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a ≠ 0$.
Wie du siehst bestehen sie aus drei Gliedern: dem quadratischen Glied $ax^2$, dem linearen Glied $bx$ und dem absoluten Glied$c$. Auf jeden Fall muss $a ≠ 0$ sein, sonst enthielte die Gleichung ja kein quadratisches Glied.

Hier drei Beispiele für quadratische Gleichungen:

$x^2 = 7$

$4x^2– 9 = –1$

$x^2 – 6x + 3 = 0$

Der allgemeine Fall einer quadratischen Gleichung ist die gemischt quadratische Gleichung. Bei ihr ist der Koeffizient $b ≠ 0$. Sie enthält also auch ein lineares Glied.

Für quadratische Gleichungen bieten sich verschiedene Lösungsverfahren an. Vielleicht weißt du schon, wie man quadratische Gleichungen graphisch löst. In dieser Erklärung geht es jedoch um eins der rechnerischen Lösungsverfahren – den Satz von Vieta.

Satz von Vieta

Der Satz von Vieta drückt einen wichtigen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten $p$ und $q$ der Normalform und den Lösungen einer quadratischen Gleichung aus:

$x_1+x_2=-p \text{ und }x_1 \cdot x_2=q$

Dass diese Zusammenhänge gelten, kannst du direkt mithilfe der pq-Formel überprüfen.

Dieser Satz von Vieta kann dazu benutzt werden, bei geeigneten quadratischen Gleichungen die Lösung durch Faktorisieren des quadratischen Terms $x^2 + px + q$ zu finden. Es lohnt sich deshalb immer, bei einer quadratischen Gleichung zunächst „scharf“ hinzusehen.

Satz von Vieta Rechenbeispiel 1

Gegeben ist die Gleichung $x^2 – 6x + 5 = 0$. Das absolute Glied $q = 5$ könnte das Produkt sein von:

$x_1=1 \text{ und }x_2=5 \text{ oder }x_1=-1 \text{ und } x_2=-5$

Ausprobieren zeigt: $(x – 1) \cdot (x – 5) = x^2 – 6x + 5$. Also hat die Gleichung $x^2 – 6x + 5 = 0$ die Lösungen:

$x_1=1 \text{~und~} x_2=5$

Satz von Vieta Rechenbeispiel 2

Gegeben ist die Gleichung $x^2 + 2x – 8 = 0$. Das absolute Glied $q = –8$ könnte hier das Produkt sein von:

$\begin{array}{lrcr} &x_1=2&\text{ und }&x_2=-4\\ \text{oder }&x_1=-2&\text{ und }&x_2=4 \\ \text{oder }&x_1=1&\text{ und }&x_2=-8 \\ \text{oder }&x_1=-1&\text{ und }&x_2=8 \end{array}$

Ausprobieren zeigt: $(x + 4) \cdot (x – 2) = x^2 + 2x – 8$. Also hat die Gleichung $x^2 + 2x – 8 = 0$ die Lösungen

$x_1=-4\text{ und }x_2=2$

Für diese beiden Gleichungen kannst du also die Lösungen bestimmen, ohne die pq-Formel anwenden zu müssen.