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Linearfaktorzerlegung und Satz von Vieta

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Lösungen quadratischer Gleichungen

Die Linearfaktorzerlegung und der Satz von Vieta sind nützliche Hilfsmittel, um die Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen zu bestimmen.

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet $ax^{2} + bx + c = 0$. Wie du siehst, besteht die linke Seite der Gleichung aus drei Summanden. Der erste Summand ist $ax^{2}$ und wird quadratisches Glied genannt. Der zweite Summand ist $bx$ und wird lineares Glied genannt. Der dritte Summand $c$ wird als absolutes Glied bezeichnet.

Dabei können die Variablen $b$ und $c$ jeden Wert annehmen. Wichtig ist, dass $a$ nicht $0$ ist, da sonst das quadratische Glied „wegfallen“ würde und die Gleichung nicht mehr quadratisch wäre.

Im Folgenden schaust du dir diese Gleichung etwas genauer an:

$x^{2} + 2x - 3 = 0$

Linearfaktorzerlegung

Linearfaktorzerlegung

Natürlich könntest du die Lösungsmenge mit Hilfe der pq-Formel berechnen. Eine andere Möglichkeit ist die Zerlegung in Linearfaktoren. Ein Linearfaktor ist dabei ein Term, der die Form $x-\square$ hat, wobei du für $\square$ eine beliebige Zahl einsetzen kannst. Schauen wir uns das etwas genauer an.

Da die Gleichung $x^{2} + 2x - 3 = 0$ quadratisch ist, lässt sich die linke Seite in zwei Linearfaktoren zerlegen. Bisher weißt du also, dass $x^{2} + 2x - 3 = (x-\square)(x-\square)$ gilt. Es fehlen also noch die jeweiligen Werte hinter dem Minus. Um diese zu ermitteln, kannst du die Klammern ausmultiplizieren:

$(x-\square)(x-\square) = x^{2} - \square x - \square x + \square\cdot \square = x^{2} +2x -3$

Also müssen folgende Gleichungen gelten:

  • $-\square x - \square x = 2x$
  • $\square \cdot \square = -3$

Durch geschicktes Probieren erhältst du für das eine Kästchen den Wert $1$ und für das andere den Wert $-3$. Es gilt:

$(x-1)(x+3) = x^{2} - 1x + 3x -3 = x^{2} + 2x - 3$

Die beiden gefundenen Linearfaktoren helfen dir nun, die Lösungen der Gleichung zu finden. Da eine Multiplikation immer dann $0$ ergibt, wenn einer der Faktoren $0$ ergibt, sind die Lösungen der Gleichung $1$ und $-3$.

Da du die Gleichung bei diesem Lösungsweg so umgeformt hast, dass sie aus zwei Faktoren besteht, spricht man auch vom Lösen durch Faktorisieren bzw. vom Lösen mit binomischen Formeln.

Allgemeine Form

Wenn die Lösungen für eine quadratische Gleichung der Form $x^{2} + px + q = 0$ die Werte $x_1$ und $x_2$ sind, dann gilt:

$x^{2} + px + q = (x-x_1) ( x-x_2)$

Satz von Vieta

Der Satz von Vieta stellt einen Zusammenhang zwischen den Lösungen einer quadratischen Gleichung und den beiden Variablen $p$ und $q$ her. Betrachte dazu wieder die Gleichung $x^{2} + 2x - 3 = 0$ mit den Lösungen $x_1 = 1$ und $x_2 = -3$. Auf der linken Seite der Gleichung gilt $p = 2$ und $q = -3$. Der Satz von Vieta sagt aus, dass die Zusammenhänge $p = - (x_1 + x_2)$ und $q = x_1 \cdot x_2$ gelten.

Du siehst nun, wie du den Satz von Vieta beispielsweise für eine Kontrolle einer berechneten Lösungsmenge nutzen kannst. Du hast die Gleichung $x^{2} + 5x + 6 = 0$ gegeben und sollst prüfen, ob die Lösungen $x_1 = 2$ und $x_2 = -3$ sind. Da der Satz von Vieta gelten muss, schaust du dir diese beiden Gleichungen an:

  • $p = -(2-3) = 1$
  • $q = 2\cdot -3 = -6$

Beide Werte stimmen nicht mit der Gleichung überein, da dort $p = 5$ und $q = 6$ gilt. Mit etwas geschicktem Raten findet man die richtigen Lösungen $x_1 = -2$ und $x_2 = -3$.