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Linearfaktorzerlegung (2)

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Die Autor/-innen
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Mandy F.
Linearfaktorzerlegung (2)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Linearfaktorzerlegung (2)

Du hast im ersten Teil der Linearfaktorzerlegung schon gelernt, was Linearfaktoren sind, was die Linearfaktorzerlegung ist und wozu man die Linearfaktorzerlegung braucht. In Teil 2 erfährst du nun, wie die Linearfaktorzerlegung funktioniert und ob man die Linearfaktorzerlegung immer anwenden kann. Dazu werden wir verschiedene Formeln vorgestellt, die du für die Linearfaktorzerlegung benutzen kannst. Dazu gehören die Potenzgesetze, das Distributivgesetz und die Binomischen Formeln. Bei komplexeren Polynomen ist es hilfreich zu wissen, wie die Polynomdivision funktioniert. Am Ende gibt es wieder ein Zusammenfassung mit den wichtigsten Informationen.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. @Mehmet Fazilson: Hallo,
    Nullstellen kannst du durch erraten finden, meist sind die Aufgaben so gemacht, dass man sie bei -2, -1, 0, 1, 2 finden kann oder es ist schon eine Nullstelle gegeben. Du kannst die p-q-Formel erst verwenden, wenn du die Gleichung in die Normalform gebracht hast.
    Wenn du keine Nullstelle finden kannst, kannst du nicht weiter rechnen.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht sofatutor!

    Von Julia S., vor mehr als 3 Jahren
  2. in min 8:26 wird geagt dass man nach einer nullstelle sucht und mit 1 glück hätte
    was wird da benötigt sollte man die p q formel anwenden wenn man kein glück hat oder wie?
    das hab ich nich ganz verstanden hoffe dass mir jemand helfen kann...

    Von Mehmet Fazilson, vor mehr als 3 Jahren
  3. sehr gut erklärt und auch übersichtlich! Gutes Tempo:)

    Von Rafael Kolonko, vor mehr als 4 Jahren
  4. @Juliastandke95: Schaue dir den Videoabschnitt 8:55-10:12 nochmals genau an und vergleiche mit deiner eigenen Rechnung. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als 4 Jahren
  5. Hallo,
    Bei der Polynomdivision habe ich statt (wie du x^2+4x+4)
    x^2+4X-4 rausbekommen.
    Wie kommst du auf +4?

    Von Juliastandke95, vor mehr als 4 Jahren
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Linearfaktorzerlegung (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Linearfaktorzerlegung (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Formeln oder Gesetze, welche du anwenden kannst, um eine Linearfaktorzerlegung durchzuführen.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für das Ausklammern: $x^2+3x$.

    Da der Faktor $x$ in beiden Summanden vorkommt, kannst du diesen Faktor ausklammern zu $x^2+3x=x\cdot (x+3)$.

    Die zweite binomische Formel lautet $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Der Satz des Pythagoras besagt: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

    Oft wird dies, nicht ganz korrekt, abgekürzt zu $a^2+b^2=c^2$.

    Lösung

    Um Polynome zu faktorisieren, kannst du verschiedene Rechenregeln verwenden.

    Distributivgesetz

    Du kannst ausklammern. Das bedeutet, du verwendest das Distributivgesetz $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Potenzgesetz

    Potenzen $x^n$ kannst du so als Produkt von Linearfaktoren schreiben: $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot ...\cdot x}_{n\text{-mal}}$.

    Binomische Formeln

    Oft helfen dir auch die binomischen Formeln weiter.

    Erste binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ Zweite binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ Dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

    Polynomdivision

    Was tust du, wenn alle zuvor genannten Möglichkeiten nicht funktionieren? Du schaust, ob du ein $x_0$ findest, für welches das Polynom den Wert $0$ annimmt. Dann führst du eine Polynomdivision mit dem Polynom $:(x-x_0)$ durch. Dadurch erhältst du ein Polynom von einem um $1$ verringerten Grad. Vielleicht kannst du nun eine der oben genannten Möglichkeiten nutzen.

  • Beschreibe, wie du das Polynom $x^3+2x^2$ in Linearfaktoren zerlegen kannst.

    Tipps

    Hier siehst du das Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

    Dies kannst du auch von rechts nach links anwenden. Dies entspricht dem Ausklammern.

    Du kannst jede Potenz in $x$, also $x^n$, als Produkt von linearen Faktoren schreiben: $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot ...\cdot x}_{n\text{-mal}}$.

    Beachte, dass bei einer Linearfaktorzerlegung jeder Faktor linear sein muss.

    Lösung

    Wir schauen uns das Polynom $x^3+2x^2$ oder, alternativ, die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3+2x^2$ an. Du erkennst, dass der Funktionsterm gerade das obige Polynom ist.

    Da der Faktor $x^2$ in beiden Summanden vorkommt, kannst du diesen ausklammern. Du verwendest also das Distributivgesetz: $f(x)=x^2(x+2)$.

    Der Faktor $x+2$ ist bereits ein Linearfaktor. Der andere Faktor $x^2$ ist sicher kein Linearfaktor. Warum ist das so? Die Variable $x$ wird hier quadriert.

    Du kannst nun das Potenzgesetz $x^2=x\cdot x$ nutzen, um die Funktion weiter umzuformen zu $f(x)=x\cdot x\cdot (x+2)$. Nun ist jeder der Faktoren ein Linearfaktor.

    Du hast also die Linearfaktorzerlegung von $f(x)=x^3+2x$ gefunden. Diese ist gegeben durch $f(x)=x\cdot x\cdot(x+2)$.

  • Ermittle eine Linearfaktorzerlegung zu $f(x)=x^3-6x^2+9x$

    Tipps

    Hier siehst du die binomischen Formeln.

    Erste binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ Zweite binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ Dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

    Beachte: Es darf kein Term mehr quadratisch oder kubisch oder mit noch höherer Potenz vorliegen.

    Das Potenzgesetz lautet: $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot ...\cdot x}_{n\text{-mal}}$.

    Dies gilt so auch, wenn du $x$ durch zum Beispiel $x-3$ ersetzt.

    Achte auf die Klammern.

    Lösung

    Hier siehst du Schritt für Schritt die Verwendung des Distributivgesetzes, einer binomischen Formel sowie des Potenzgesetzes. Du sollst den Funktionsterm der Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-6x^2+9x$ in Linearfaktoren zerlegen.

    Das Erste, was du dir immer überlegen kannst, ist, ob du ausklammern kannst. In diesem Beispiel kannst du $x$ ausklammern. Dies führt zu $f(x)=x\cdot (x^2-6x+9)$.

    Erkennst du die zweite binomische Formel in dem Term $x^2-6x+9$? Erinnere dich, es gilt $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Hier ist $a=x$ und $b=3$. Damit ist $f(x)=x\cdot (x-3)^2$.

    Das ist allerdings noch keine Linearfaktorzerlegung. Du musst den Faktor $(x-3)^2$ noch mit Hilfe des Potenzgesetzes schreiben als $(x-3)\cdot (x-3)$. Nun bist du fertig.

    $f(x)=x\cdot (x-3)\cdot(x-3)$ ist die gesuchte Linearfaktorzerlegung.

  • Untersuche, bei welchem der Polynome eine Linearfaktorzerlegung möglich ist.

    Tipps

    Prüfe jeweils, ob du die Gleichung lösen kannst, welche du erhältst, wenn du das Polynom gleich $0$ setzt.

    Bei drei Polynomen kannst du ausklammern.

    Verwende das Potenzgesetz $x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot ...\cdot x}_{n\text{-mal}}$.

    Lösung

    Die angegebenen Polynome sehen zum Teil recht ähnlich aus wie $x^2+1$. Trotzdem ist bei $4$ der $6$ Polynomen eine Linearfaktorzerlegung möglich.

    Nicht möglich ist diese bei den folgenden beiden:

    • $-x^2-1=-(x^2+1)$: Von dem Term in der Klammer weißt du bereits, dass eine Linearfaktorzerlegung nicht möglich ist.
    • $x^3+x=x(x^2+1)$: Auch hier ist eine Linearfaktorzerlegung des Terms in der Klammer nicht möglich.
    Schau dir nun die übrigen Beispiele an.

    • $x^2-1=(x+1)\cdot (x-1)$: Dies ist die dritte binomische Formel.
    • $(x+1)^2=(x+1)\cdot (x+1)$: Dies ist das Potenzgesetz.
    • $x^2+x=x\cdot (x+1)$: Dies ist das Distributivgesetz (Ausklammern).
    • $x^3-x=x\cdot (x^2-1)=x\cdot (x+1)\cdot(x-1)$: Dies ist eine Kombination von Distributivgesetz und dritter binomischer Formel.
  • Gib an, warum es keine Linearfaktorzerlegung für $x^2+1$ gibt.

    Tipps

    Beachte, dass du in diesem Beispiel weder das Distributivgesetz noch das Potenzgesetz noch eine der binomischen Formeln anwenden kannst.

    Du müsstest also eine Polynomdivision durchführen. Hierfür teilst du das Polynom, also hier $x^2+1$, durch $x-x_0$. Dabei ist $x_0$ eine Nullstelle der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2+1$.

    Um eine Nullstelle einer Funktion zu finden, musst du die Gleichung $f(x)=0$ lösen.

    Beachte:

    • Wenn du eine beliebige Zahl quadrierst, erhältst du eine Zahl, welche größer oder gleich $0$ ist.
    • Addierst du nun $1$, erhältst du eine Zahl, welche größer oder gleich $1$ ist.
    Lösung

    Du kannst bei dem Term $x^2+1$

    • nicht ausklammern,
    • kein Potenzgesetz zum Faktorisieren und
    • auch keine binomische Formel anwenden.
    Es bleibt also nur noch die Polynomdivision. Hierfür suchst du zunächst eine Nullstelle von $f$ mit $f(x)=x^2+1$. Du musst also die Gleichung $x^2+1=0$ lösen.

    • Subtrahiere $1$. Dies führt zu $x^2=-1$.
    • Ziehe nun die Wurzel ... aber halt, die Wurzel aus einer negativen Zahl ist gar nicht definiert.
    Das bedeutet, dass die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2+1$ keine Nullstelle besitzt. Insbesondere ist eine Polynomdivision nicht möglich. Damit ist auch eine Linearfaktorzerlegung nicht möglich.

    Du siehst, es gibt nicht immer eine Linearfaktorzerlegung.

  • Bestimme die Linearfaktoren der Funktion $f(x)=x^4-5x^2+4$.

    Tipps

    Die einzutragenden Zahlen stimmen paarweise überein.

    Durch die Substitution erhältst du eine quadratische Gleichung, welche du mit Hilfe der p-q-Formel lösen kannst.

    Die Lösungen der quadratischen Gleichung (in $z$) sind $z_1=1$ sowie $z_2=4$.

    Die Linearfaktoren „enthalten“ die Nullstellen.

    Hast du die Nullstellen schon berechnet? Denn jeder einzelne Linearfaktor ergibt sich so: $x-x_N$, wobei $x_N$ eine Nullstelle ist.

    Lösung

    Du kannst bei der Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-5x^2+4$ eine, genauer zwei, Polynomdivision durchführen. Dies ist zum einen recht aufwändig und zum anderen hier nicht nötig.

    Du siehst, dass der Funtionsterm $x^4-5x^2+4$ biquadratisch ist. Anstatt die Gleichung $x^4-5x^2+4=0$ zu lösen, kannst du auch $z=x^2$ ersetzen. So erhältst du die quadratische Gleichung (in $z$) $z^2-5z+4=0$. Diese kannst du mit der p-q-Formel lösen.

    $\begin{array}{rcl} z_{1,2}&=&-\frac{-5}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2-4}\\ &=&2,5\pm\sqrt{2,25}\\ z_1&=&2,5+1,5=4\\ z_2&=&2,5-1,5=1 \end{array}$

    Nun kannst du resubstituieren: $x=\pm\sqrt{z}$. Dies führt zu den folgenden Nullstellen:

    • $x_1=\sqrt 4=2$,
    • $x_2=-\sqrt 4=-2$,
    • $x_3=\sqrt 1=1$ und
    • $x_4=-\sqrt 1=-1$.
    Nun kannst du mit Hilfe dieser Nullstellen die Linearfaktorzerlegung aufschreiben. Jeder einzelne Linearfaktor ergibt sich so durch $x-x_N$, wobei $x_N$ eine Nullstelle ist.

    So erhältst du $f(x)=(x-2)\cdot (x-({-2}))\cdot (x-1)\cdot (x-({-1}))=(x-2)\cdot (x+2)\cdot(x-1)\cdot (x+1)$.

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