Faktorisieren quadratischer Terme (a=1)

Faktorisieren quadratischer Terme (a=1) Übung

• Ergänze die Schritte der Faktorisierung von quadratischen Termen.

  Tipps

  Manchmal steht vor einer Variable wie $x$ oder $x^2$ keine Zahl. Das bedeutet, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:

  $x^2~=~1x^2$.

  Unser Term sieht eigentlich so aus:
  $\begin{align} &x^2&+&6x&-27 \\ =~&1x^2&+&6x&-27 \end{align}$

  Zum Vereinfachen können wir einen gemeinsamen Faktor ausklammern. Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $(2x+2y)=(x+y)\cdot2$.

  Lösung

  Zuerst einmal betrachten wir die Formel der Schatztruhe und erstellen damit die allgemeine Form von quadratischen Termen:
  $x^2+6x-27$
  $=ax^2+bx+c$.
  $a$, $b$ und $c$ stehen hier für Zahlenwerte.

  Jetzt brauchen wir die allgemeine Form von Binomen und wir formen sie so um:
  $(x+m)\cdot(x+n)\quad\vert \text{Multiplizieren}$
  $=x^2+nx+mx+mn$
  $=x^2+(n+m)\cdot x+mn$.

  Wir vergleichen die umgeformte Formel für Binome mit der allgemeinen Form von quadratischen Gleichungen:

  $\begin{array}{llcclll} =&x^2 &+ &(n+m)~&x &+ &mn \\ =&x^2 &+ &b &x &+ &c \end{array}$

  Wir erkennen:
  $b=(n+m)$,
  $c=mn$.

• Ergänze die Faktorisierung des Terms.

  Tipps

  Erinnere dich, die allgemeine Form von quadratischen Termen sieht so aus:

  $ax^2+bx+c$.

  Steht vor einer Variable keine Zahl, bedeutet dies, dass dort unsichtbar eine $1$ steht.

  $y=1y$

  Lösung

  Bestimme $a$, $b$ und $c$ bei
  $1x^2+6x-27$.

  $a=1$
  $b=6$
  $c=-27$

  Setze die Werte von $b$ und $c$ in die allgemeine Form von Binomen ein:

  $b=n+m$
  $\rightarrow$ $6=n+m$

  $c=m\cdot n$
  $\rightarrow$ $-27~=m\cdot n$

  Durch Ausprobieren wissen wir, dass folgende Zahlen für $m$ und $n$ passen:

  $\begin{array}{llcl} c&=&m &\cdot &n \\ -27&=&m &\cdot &n \\ -27&=&-9 &\cdot &3 \\ -27&=&9 &\cdot &(-3) \end{array}$

  Dies sind mögliche Code-Kombinationen von $m$ und $n$:
  $m=-9$ mit $n=3$ und
  $m=9$ mit $n=-3$.

  Diese Werte für $m$ und $n$ setzen wir nun hier ein:
  $\begin{array}{llcl} (n+m)&=&b \\ (n+m)&=&6 \end{array}$

  Wir überprüfen, welche der beiden Wertekombinationen $6$ ergibt:
  $-9+3=-6$
  $9+(-3)=6$.

  Diese Werte für $m$ und $n$ knacken also den Code:

  $m=9$,
  $n=-3$.

  Und so lautet der fertige Code:

  $(x-3)\cdot(x+9)$.

  Geschafft!

• Bestimme die Werte der quadratischen Terme.

  Tipps

  Vergleiche mit diesem Beispiel:

  $5x^2-x+8$.

  $\begin{align} \Rightarrow &a=5 \\ &b=-1 \\ &c=8 \end{align}$

  Erinnere dich, die allgemeine Form lautet:

  $ax^2+bx+c$.

  Lösung

  Die allgemeine Form von quadratischen Termen lautet $ax^2+bx+c$.

  • Der Wert, der vor $x^2$ steht, ist $a$.
  • Der Wert, der vor $x$ steht, ist $b$.
  • Der Wert, der kein $x$ oder $x^2$ hat, ist $c$.

  • $1x^2+9x+43$

  $\begin{align} \Rightarrow~ &a=1 \\ &b=9 \\ &c=43 \end{align}$

  • $9x^2+43x+1$

  $\begin{align} \Rightarrow~ &a=9 \\ &b=43 \\ &c=1 \end{align}$

  • $43x^2+1x+9$

  $\begin{align} \Rightarrow~ &a=43 \\ &b=1 \\ &c=9 \end{align}$

• Berechne die Binome des quadratischen Terms.

  Tipps

  Beachte: Gibt es ein negatives Vorzeichen, so musst du dieses auch in die Lücke schreiben, z.B. $-18$.

  Erinnere dich: Steht vor einer Variable wie $x$ oder $x^2$ keine Zahl, bedeutet das, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:

  $x=1x$.

  Denk daran, dass du bei Produkten und Summen das Kommutativgesetz anwenden kannst:

  $\begin{array}{ll} &m+n &=n+m \\ &m\cdot n &=n\cdot m \end{array}$

  Lösung

  Bestimme $a$, $b$ und $c$ bei
  $x^2+3x-18$.

  $a=1$
  $b=3$
  $c=-18$

  Setze die Werte von $b$ und $c$ in die allgemeine Form von Binomen ein:

  $b~=n+m$
  $3~=n+m$.

  $\quad c~=m\cdot n$
  $-18=m\cdot n$

  Durch Ausprobieren wissen wir, dass folgende Zahlen für $m$ und $n$ passen:

  $\quad\, c=m\cdot n$
  $-18=m~\cdot n$
  $-18=~~\,1~\cdot-18$
  $-18=-1~\cdot~~\,18$
  $-18=~~\,2~\cdot-9$
  $-18=-2~\cdot~~\,9$
  $-18=~~\,3~\cdot-6$
  $-18=-3~\cdot~~\,6$.

  Diese sechs möglichen Kombinationen von $m$ und $n$ setzen wir nun in $b=n+m$ ein:

  $b=n+m$
  $3=n+m$.

  Dabei passt nur eine Zahlenkombination, die zusammen $3$ ergibt:

  $3=-3+6$.

  So sieht also die Kombination aus Binomen aus, die die Truhe öffnet:

  $(x-3)\cdot(x+6)$.

• Gib richtige Aussagen über das Faktorisieren quadratischer Terme wieder.

  Tipps

  Ein Term, der keine konkreten Zahlenwerte besitzt, ist in der allgemeinen Form.

  Die Vorsilbe „Bi-“ bedeutet in der Fachsprache zweifach.

  Lösung

  Dies sind die richtigen Merksätze für die Erklärung des Käpt'ns:

  • Faktorisieren heißt, dass man herausfindet, welche beiden Binome man multiplizieren (also "malnehmen") muss, damit der gegebene Term herauskommt.

  • $x^2 + 6x -27$ ist ein quadratischer Term mit konkreten Werten. Man nennt ihn quadratisch, weil er ein $x^2$ (gesprochen „x Quadrat“) enthält.

  • Und $ax^2+bx+c$ ist die allgemeine Form eines quadratischen Terms, auch genannt Polynom zweiten Grades.

  • Binom heißt, dass ein Term genau zwei Glieder hat. Der Term $x+m$ hat die zwei Glieder $x$ und $m$.

  • Und so sieht es aus, wenn Binome multipliziert werden: $(x+m) \cdot (x+n)$.

• Bestimme, welche Ausklammerung zum Term passt.

  Tipps

  Vergleiche:

  $x^2+2x=(x+2)\cdot x$.

  Beide Teile des Binoms werden mit dem $x$ multipliziert:

  $\begin{array}{ll} (x+2)\cdot x&=(x\cdot x)&+(2\cdot x) \\ \rightarrow~&=x^2&+2x \end{array}$

  Das $x$ kann auch weiter als bis $x^2$ gesteigert werden. Vergleiche:

  $x^2\cdot x^2=x^{2+2}=x^4$.

  Beachte: $x=x^1$.

  Lösung

  Folgende Ausklammerungen passen zum jeweils angegebenen Term:

  • $2x+5x^2=(2+5x)\cdot x$

  • $3x+x=(3+1)\cdot x$

  $\quad\rightarrow~$ denn erinnere dich: $x=1x$

  • $8x-2x^2=(8-2x)\cdot x\quad$ und

  $\quad\quad 8x-2x^2=(-2x+8)\cdot x$
  $\quad\rightarrow~$ denn bei Summen kannst du das Kommutativgesetz anwenden.

  • $3x^3+3x=(3x^2+3)\cdot x$

  $\quad\rightarrow~$ so wird ausgeklammert:
  $\begin{array}{llc} &3x^3&+&3x \\ =&(3x^2\cdot x)&+&(3\cdot x) \\ =&(3x^2+3)\cdot x && \end{array}$

  • Bei der letzten Aufgabe sind ebenfalls zwei Ausklammerungen richtig. Einmal diese

  $\quad 12x^2+6x=(12x+6)\cdot x$,
  $\quad$ und einmal diese
  $\quad 12x^2+6x=(4x+2)\cdot 3x$.
  $\quad\rightarrow~$ so wird hier ausgeklammert:
  $\begin{array}{llc} &12x^2&+&6x\\ =&(4x\cdot 3x)&+&(2\cdot 3x) \\ =&(4x+2)\cdot 3x && \end{array}$