Faktorisieren quadratischer Terme (a=1)
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Grundlagen zum Thema Faktorisieren quadratischer Terme (a=1)
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, quadratische Terme der Form ax2+bx+c mit a=1 zu faktorisieren.
Zunächst lernst du, dass sich die faktorisierte Form eines quadratischen Terms aus zwei Binomen zusammensetzt. Anschließend übst du, wie du ausgehend von einem Produkt alle möglichen Faktoren auflisten kannst. Abschließend lernst du, wie du ausgehend von diesen Faktoren die Binome der faktorisierten Form bestimmen kannst.
Lerne etwas über das Faktorisieren quadratischer Terme, indem du Käpt'n Johnny Rotbart auf Schatzsuche begleitest.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie quadratische Terme, allgemeine Form, faktorisierte Form, Multiplikation zweier Binome, Produkt, Summe und Vergleich.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was ein quadratischer Term ist und wie du Klammern ausmultiplizierst.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das Faktorisieren quadratischer Terme der Form ax2+bx+c mit a ungleich 1 zu lernen.
Transkript Faktorisieren quadratischer Terme (a=1)
Käpt'n Johnny Rotbart und sein Papagei Holly sind auf Schatzsuche. Rotbart hat viele Geschichten über die sagenhaften Reichtümer der Schatzinsel gehört. Die Legende erzählt von einer Truhe, die niemand öffnen kann. Kein Werkzeug soll ihrem Schloss gewachsen sein, nur die richtige Kombination soll sie öffnen können. Rotbart möchte sich dieser Herausforderung stellen und setzt Kurs auf die Schatzinsel. Die Schatzkarte verrät dem Käpt'n, dem Matheexperten der sieben Weltmeere, dass der Schatz nicht nur mit einem x markiert ist, sondern auch mit einem Polynom. Er weiß, was zu tun ist: Er muss den Term faktorisieren. Um die Schatztruhe zu öffnen, muss Käpt'n Rotbart die richtigen Binome finden, die multipliziert den Ausdruck auf der Karte ergeben: x²+6x-27. Er muss das Polynom also faktorisieren. Das Polynom 2. Grades hat die Form ax² + bx + c Bei diesem Rätsel ist a = 1, b = 6 und c = -27. Käpt`n Johnny weiß, dass die Faktorisierung des Polynoms 2. Grades ein Produkt zweier Binome ergibt. Dieses hat die Form: in Klammern x+m, mal in Klammern x+n. Wenn wir die beiden Binome multiplizieren, ergibt das x² + nx + mx + mn. Wenn wir diese beiden Ausdrücke vergleichen, muss b die Summe von n + m, und c das Produkt von m und n sein. Denk dran: Bei Summen und Produkten kannst du das Kommutativgesetz anwenden. Käpt'n Rotbart muss also zwei Zahlen finden, die folgende Bedingungen erfüllen: Ihre Summe muss gleich b, in diesem Fall also 6, sein. Und das Produkt der beiden Zahlen muss gleich c, in diesem Fall also -27 sein. Auf so viele Zahlen kann das kaum zutreffen, aber wie finden wir die richtigen? Für die Multiplikation gibt es weniger Möglichkeiten, " darum beginnen wir damit. Welche beiden Faktoren ergeben multipliziert -27? Das wären 1 mal -27, -1 mal 27, 3 mal -9 und -3 mal 9. Mehr mögliche Werte für m und n gibt es nicht." Schauen wir uns also die Summen dieser Zahlen an. Es soll dabei 6 herauskommen. Sowohl 1 + -27 als auch -1 + 27 ergibt nicht 6. 3 + -9 = -6 also nicht gleich 6. Jetzt zur letzten Zahlenkombination: -3 + 9 = 6. Ja, das sind die richtigen Werte für m und n! Wir wissen also, dass m = -3 und n = 9 ist. Das können wir in unsere beiden Binome einsetzen und erhalten so die Faktoren von x² + 6x – 27. Unsere Faktoren sind (x -3) und (x + 9). Beim Klabautermann! Käpt'n Johnny Rotbart hat das Rätsel gelöst, das noch kein Mensch hat lösen können. Er gibt die Faktoren in das Schloss der Schatzkiste ein und was gibt die Truhe da frei? Kreuzdonnerwetter! Eine Karte mit noch komplizierter aussehenden Ausdrücken. Aber wenigstens ist er gut in Mathe. Anker hissen und Segel lichten! Äh oder so ähnlich, egal, auf in ein neues Abenteuer!
Faktorisieren quadratischer Terme (a=1) Übung
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Ergänze die Schritte der Faktorisierung von quadratischen Termen.
TippsManchmal steht vor einer Variablen wie $x$ oder $x^2$ keine Zahl. Das bedeutet, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:
$x^2~=~1x^2$
Unser Term sieht eigentlich so aus:
$\begin{array}{rrrrrr} &x^2&+&6x&-&27 \\ =&1x^2&+&6x&-&27 \end{array}$
Zum Vereinfachen können wir einen gemeinsamen Faktor ausklammern. Sieh dir folgendes Beispiel an:
$(2x+2y)=(x+y)\cdot2$
LösungZuerst einmal betrachten wir die Formel der Schatztruhe und erstellen damit die allgemeine Form von quadratischen Termen:
$x^2+6x-27$
$=ax^2+bx+c$$a$, $b$ und $c$ stehen hier für Zahlenwerte.
Jetzt brauchen wir die allgemeine Form von Binomen und wir formen sie so um:
$(x+m)\cdot(x+n)\quad\vert \text{~Multiplizieren}$
$=x^2+nx+mx+mn$
$=x^2+(n+m)\cdot x+mn$Wir vergleichen die umgeformte Formel für Binome mit der allgemeinen Form von quadratischen Gleichungen:
$\begin{array}{llcclll} =&x^2 &+ &(n+m)~&x &+ &mn \\ =&x^2 &+ &b &x &+ &c \end{array}$
Wir erkennen:
$b=(n+m)$, $c=mn$
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Ergänze die Faktorisierung des Terms.
TippsErinnere dich, die allgemeine Form von quadratischen Termen sieht so aus:
$ax^2+bx+c$
Steht vor einer Variablen keine Zahl, bedeutet dies, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:
$y=1y$
LösungBestimme $a$, $b$ und $c$ bei $1x^2+6x-27$:
$a=1$
$b=6$
$c=-27$Setze die Werte von $b$ und $c$ in die allgemeine Form von Binomen ein:
$b=n+m$
$\rightarrow$ $6=n+m$$c=m\cdot n$
$\rightarrow$ $-27~=m\cdot n$Durch Ausprobieren wissen wir, dass folgende Zahlen für $m$ und $n$ passen:
$\begin{array}{llcl} c&=&m &\cdot &n \\ -27&=&m &\cdot &n \\ -27&=&-9 &\cdot &3 \\ -27&=&9 &\cdot &(-3) \end{array}$
Das sind mögliche Codekombinationen von $m$ und $n$:
$m=-9$ mit $n=3$ und $m=9$ mit $n=-3$
Diese Werte für $m$ und $n$ setzen wir nun hier ein:
$\begin{array}{llcl} (n+m)&=&b \\ (n+m)&=&6 \end{array}$
Wir überprüfen, welche der beiden Wertekombinationen $6$ ergibt:
$-9+3=-6$
$9+(-3)=6$.Diese Werte für $m$ und $n$ knacken also den Code:
$m=9$, $n=-3$
Und so lautet der fertige Code:
$(x-3)\cdot(x+9)$
Geschafft!
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Bestimme die Werte der quadratischen Terme.
TippsVergleiche mit diesem Beispiel:
$5x^2-x+8$
$\begin{array}{rl} \Rightarrow &a=5 \\ &b=-1 \\ &c=8 \end{array}$
Erinnere dich daran, dass die allgemeine Form so lautet:
$ax^2+bx+c$
LösungDie allgemeine Form von quadratischen Termen lautet $ax^2+bx+c$.
- Der Wert, der vor $x^2$ steht, ist $a$.
- Der Wert, der vor $x$ steht, ist $b$.
- Der Wert, der kein $x$ oder $x^2$ hat, ist $c$.
- $1x^2+9x+43$
- $9x^2+43x+1$
- $43x^2+1x+9$
-
Berechne die Binome des quadratischen Terms.
TippsBeachte: Gibt es ein negatives Vorzeichen, so musst du dieses auch in die Lücke schreiben, z. B. $-18$.
Erinnere dich: Steht vor einer Variablen wie $x$ oder $x^2$ keine Zahl, bedeutet das, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:
$x=1x$
Denke daran, dass du bei Produkten und Summen das Kommutativgesetz anwenden kannst:
$\begin{array}{ll} &m+n &=n+m \\ &m\cdot n &=n\cdot m \end{array}$
LösungBestimme $a$, $b$ und $c$ bei $x^2+3x-18$:
$a=1$
$b=3$
$c=-18$Setze die Werte von $b$ und $c$ in die allgemeine Form von Binomen ein:
$b~=n+m$
$3~=n+m$$\quad c~=m\cdot n$
$-18=m\cdot n$Durch Ausprobieren wissen wir, dass folgende Zahlen für $m$ und $n$ passen:
$\quad\, c=m\cdot n$
$-18=m~\cdot n$
$-18=~~\,1~\cdot-18$
$-18=-1~\cdot~~\,18$
$-18=~~\,2~\cdot-9$
$-18=-2~\cdot~~\,9$
$-18=~~\,3~\cdot-6$
$-18=-3~\cdot~~\,6$Diese sechs möglichen Kombinationen von $m$ und $n$ setzen wir nun in $b=n+m$ ein:
$b=n+m$
$3=n+m$Dabei passt nur eine Zahlenkombination, die zusammen $3$ ergibt:
$3=-3+6$
So sieht also die Kombination aus Binomen aus, die den Briefkasten öffnet:
$(x-3)\cdot(x+6)$
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Gib korrekte Aussagen über das Faktorisieren quadratischer Terme wieder.
TippsEin Term, der keine konkreten Zahlenwerte besitzt, hat die allgemeine Form.
Die Vorsilbe „Bi-“ bedeutet in der Fachsprache „zweifach“, „zweimal“.
LösungDies sind die richtigen Merksätze für die Erklärung des Käpt’ns:
- „Faktorisieren“ heißt, dass man herausfindet, welche beiden Binome man multiplizieren muss, damit der gegebene Term herauskommt.
- $x^2 + 6x -27$ ist ein quadratischer Term mit konkreten Werten. Man nennt ihn quadratisch, weil er ein $x^2$ (gesprochen „x Quadrat“) enthält.
- Und $ax^2+bx+c$ ist die allgemeine Form eines quadratischen Terms, auch genannt Polynom zweiten Grades.
- „Binom“ heißt, dass ein Term genau zwei Glieder hat. Der Term $x+m$ hat die zwei Glieder $x$ und $m$.
- Und so sieht es aus, wenn Binome multipliziert werden: $(x+m) \cdot (x+n)$.
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Bestimme, welche Ausklammerung zum Term passt.
TippsVergleiche:
$x^2+2x=(x+2)\cdot x$
Beide Teile des Binoms werden mit $x$ multipliziert:
$\begin{array}{lcccc} (x+2)\cdot x&=&(x\cdot x)&+&(2\cdot x) \\ \rightarrow&=&x^2&+&2x \end{array}$
$x$ kann auch weiter als bis $x^2$ gesteigert werden. Vergleiche:
$x^2\cdot x^2=x^{2+2}=x^4$
Beachte:
$x=x^1$
LösungFolgende Ausklammerungen passen zum jeweils angegebenen Term:
1. Term
$2x+5x^2=(2+5x)\cdot x$
2. Term
$3x+x=(3+1)\cdot x$
Denn erinnere dich:
$x=1x$
3. Term
$8x-2x^2=(8-2x)\cdot x\quad$ und
$\quad\quad 8x-2x^2=(-2x+8)\cdot x$Denn bei Summen kannst du das Kommutativgesetz anwenden.
4. Term
$3x^3+3x=(3x^2+3)\cdot x$
So wird ausgeklammert:
$\begin{array}{llc} &3x^3&+&3x \\ =&(3x^2\cdot x)&+&(3\cdot x) \\ =&(3x^2+3)\cdot x && \end{array}$
5. Term
Bei der letzten Aufgabe sind ebenfalls zwei Ausklammerungen richtig. Einmal diese:
$\quad 12x^2+6x=(12x+6)\cdot x$, $\quad$
Und einmal diese:
$\quad 12x^2+6x=(4x+2)\cdot 3x$
Hier wird so ausgeklammert:
$\begin{array}{llc} &12x^2&+&6x\\ =&(4x\cdot 3x)&+&(2\cdot 3x) \\ =&(4x+2)\cdot 3x && \end{array}$
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Ja echt gut da stimme ich allen zu! : )
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