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Faktorisieren quadratischer Terme (a=1) 04:27 min

Textversion des Videos

Transkript Faktorisieren quadratischer Terme (a=1)

Käpt'n Johnny Rotbart und sein Papagei Holly sind auf Schatzsuche. Rotbart hat viele Geschichten über die sagenhaften Reichtümer der Schatzinsel gehört. Die Legende erzählt von einer Truhe, die niemand öffnen kann. Kein Werkzeug soll ihrem Schloss gewachsen sein, nur die richtige Kombination soll sie öffnen können. Rotbart möchte sich dieser Herausforderung stellen und setzt Kurs auf die Schatzinsel. Die Schatzkarte verrät dem Käpt'n, dem Matheexperten der sieben Weltmeere, dass der Schatz nicht nur mit einem x markiert ist, sondern auch mit einem Polynom. Er weiß, was zu tun ist: Er muss den Term faktorisieren. Um die Schatztruhe zu öffnen, muss Käpt'n Rotbart die richtigen Binome finden, die multipliziert den Ausdruck auf der Karte ergeben: x²+6x-27. Er muss das Polynom also faktorisieren. Das Polynom 2. Grades hat die Form ax² + bx + c Bei diesem Rätsel ist a = 1, b = 6 und c = -27. Käpt`n Johnny weiß, dass die Faktorisierung des Polynoms 2. Grades ein Produkt zweier Binome ergibt. Dieses hat die Form: in Klammern x+m, mal in Klammern x+n. Wenn wir die beiden Binome multiplizieren, ergibt das x² + nx + mx + mn. Wenn wir diese beiden Ausdrücke vergleichen, muss b die Summe von n + m, und c das Produkt von m und n sein. Denk dran: Bei Summen und Produkten kannst du das Kommutativgesetz anwenden. Käpt'n Rotbart muss also zwei Zahlen finden, die folgende Bedingungen erfüllen: Ihre Summe muss gleich b, in diesem Fall also 6, sein. Und das Produkt der beiden Zahlen muss gleich c, in diesem Fall also -27 sein. Auf so viele Zahlen kann das kaum zutreffen, aber wie finden wir die richtigen? Für die Multiplikation gibt es weniger Möglichkeiten, " darum beginnen wir damit. Welche beiden Faktoren ergeben multipliziert -27? Das wären 1 mal -27, -1 mal 27, 3 mal -9 und -3 mal 9. Mehr mögliche Werte für m und n gibt es nicht." Schauen wir uns also die Summen dieser Zahlen an. Es soll dabei 6 herauskommen. Sowohl 1 + -27 als auch -1 + 27 ergibt nicht 6. 3 + -9 = -6 also nicht gleich 6. Jetzt zur letzten Zahlenkombination: -3 + 9 = 6. Ja, das sind die richtigen Werte für m und n! Wir wissen also, dass m = -3 und n = 9 ist. Das können wir in unsere beiden Binome einsetzen und erhalten so die Faktoren von x² + 6x – 27. Unsere Faktoren sind (x -3) und (x + 9). Beim Klabautermann! Käpt'n Johnny Rotbart hat das Rätsel gelöst, das noch kein Mensch hat lösen können. Er gibt die Faktoren in das Schloss der Schatzkiste ein und was gibt die Truhe da frei? Kreuzdonnerwetter! Eine Karte mit noch komplizierter aussehenden Ausdrücken. Aber wenigstens ist er gut in Mathe. Anker hissen und Segel lichten! Äh oder so ähnlich, egal, auf in ein neues Abenteuer!

3 Kommentare
  1. Ja echt gut da stimme ich allen zu! : )

    Von Madl Biedermann, vor 5 Tagen
  2. MEGA könntet ihr das Video fortsetzen

    Von Ben H., vor 10 Monaten
  3. Jedes mal interessante Beispiele

    Von Andre 100, vor 12 Monaten

Faktorisieren quadratischer Terme (a=1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Faktorisieren quadratischer Terme (a=1) kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Schritte der Faktorisierung von quadratischen Termen.

    Tipps

    Manchmal steht vor einer Variable wie $x$ oder $x^2$ keine Zahl. Das bedeutet, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:

    $x^2~=~1x^2$.

    Unser Term sieht eigentlich so aus:
    $\begin{align} &x^2&+&6x&-27 \\ =~&1x^2&+&6x&-27 \end{align}$

    Zum Vereinfachen können wir einen gemeinsamen Faktor ausklammern. Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $(2x+2y)=(x+y)\cdot2$.

    Lösung

    Zuerst einmal betrachten wir die Formel der Schatztruhe und erstellen damit die allgemeine Form von quadratischen Termen:
    $x^2+6x-27$
    $=ax^2+bx+c$.
    $a$, $b$ und $c$ stehen hier für Zahlenwerte.

    Jetzt brauchen wir die allgemeine Form von Binomen und wir formen sie so um:
    $(x+m)\cdot(x+n)\quad\vert \text{Multiplizieren}$
    $=x^2+nx+mx+mn$
    $=x^2+(n+m)\cdot x+mn$.

    Wir vergleichen die umgeformte Formel für Binome mit der allgemeinen Form von quadratischen Gleichungen:

    $\begin{array}{llcclll} =&x^2 &+ &(n+m)~&x &+ &mn \\ =&x^2 &+ &b &x &+ &c \end{array}$

    Wir erkennen:
    $b=(n+m)$,
    $c=mn$.

  • Gib richtige Aussagen über das Faktorisieren quadratischer Terme wieder.

    Tipps

    Ein Term, der keine konkreten Zahlenwerte besitzt, ist in der allgemeinen Form.

    Die Vorsilbe „Bi-“ bedeutet in der Fachsprache zweifach.

    Lösung

    Dies sind die richtigen Merksätze für die Erklärung des Käpt'ns:

    • Faktorisieren heißt, dass man herausfindet, welche beiden Binome man multiplizieren (also "malnehmen") muss, damit der gegebene Term herauskommt.
    • $x^2 + 6x -27$ ist ein quadratischer Term mit konkreten Werten. Man nennt ihn quadratisch, weil er ein $x^2$ (gesprochen „x Quadrat“) enthält.
    • Und $ax^2+bx+c$ ist die allgemeine Form eines quadratischen Terms, auch genannt Polynom zweiten Grades.
    • Binom heißt, dass ein Term genau zwei Glieder hat. Der Term $x+m$ hat die zwei Glieder $x$ und $m$.
    • Und so sieht es aus, wenn Binome multipliziert werden: $(x+m) \cdot (x+n)$.
  • Bestimme, welche Ausklammerung zum Term passt.

    Tipps

    Vergleiche:

    $x^2+2x=(x+2)\cdot x$.

    Beide Teile des Binoms werden mit dem $x$ multipliziert:

    $\begin{array}{ll} (x+2)\cdot x&=(x\cdot x)&+(2\cdot x) \\ \rightarrow~&=x^2&+2x \end{array}$

    Das $x$ kann auch weiter als bis $x^2$ gesteigert werden. Vergleiche:

    $x^2\cdot x^2=x^{2+2}=x^4$.

    Beachte: $x=x^1$.

    Lösung

    Folgende Ausklammerungen passen zum jeweils angegebenen Term:

    • $2x+5x^2=(2+5x)\cdot x$
    • $3x+x=(3+1)\cdot x$
    $\quad\rightarrow~$ denn erinnere dich: $x=1x$

    • $8x-2x^2=(8-2x)\cdot x\quad$ und
    $\quad\quad 8x-2x^2=(-2x+8)\cdot x$
    $\quad\rightarrow~$ denn bei Summen kannst du das Kommutativgesetz anwenden.

    • $3x^3+3x=(3x^2+3)\cdot x$
    $\quad\rightarrow~$ so wird ausgeklammert:
    $\begin{array}{llc} &3x^3&+&3x \\ =&(3x^2\cdot x)&+&(3\cdot x) \\ =&(3x^2+3)\cdot x && \end{array}$

    • Bei der letzten Aufgabe sind ebenfalls zwei Ausklammerungen richtig. Einmal diese
    $\quad 12x^2+6x=(12x+6)\cdot x$,
    $\quad$ und einmal diese
    $\quad 12x^2+6x=(4x+2)\cdot 3x$.
    $\quad\rightarrow~$ so wird hier ausgeklammert:
    $\begin{array}{llc} &12x^2&+&6x\\ =&(4x\cdot 3x)&+&(2\cdot 3x) \\ =&(4x+2)\cdot 3x && \end{array}$

  • Ergänze die Faktorisierung des Terms.

    Tipps

    Erinnere dich, die allgemeine Form von quadratischen Termen sieht so aus:

    $ax^2+bx+c$.

    Steht vor einer Variable keine Zahl, bedeutet dies, dass dort unsichtbar eine $1$ steht.

    $y=1y$

    Lösung

    Bestimme $a$, $b$ und $c$ bei
    $1x^2+6x-27$.

    $a=1$
    $b=6$
    $c=-27$

    Setze die Werte von $b$ und $c$ in die allgemeine Form von Binomen ein:

    $b=n+m$
    $\rightarrow$ $6=n+m$

    $c=m\cdot n$
    $\rightarrow$ $-27~=m\cdot n$

    Durch Ausprobieren wissen wir, dass folgende Zahlen für $m$ und $n$ passen:

    $\begin{array}{llcl} c&=&m &\cdot &n \\ -27&=&m &\cdot &n \\ -27&=&-9 &\cdot &3 \\ -27&=&9 &\cdot &(-3) \end{array}$

    Dies sind mögliche Code-Kombinationen von $m$ und $n$:
    $m=-9$ mit $n=3$ und
    $m=9$ mit $n=-3$.

    Diese Werte für $m$ und $n$ setzen wir nun hier ein:
    $\begin{array}{llcl} (n+m)&=&b \\ (n+m)&=&6 \end{array}$

    Wir überprüfen, welche der beiden Wertekombinationen $6$ ergibt:
    $-9+3=-6$
    $9+(-3)=6$.

    Diese Werte für $m$ und $n$ knacken also den Code:

    $m=9$,
    $n=-3$.

    Und so lautet der fertige Code:

    $(x-3)\cdot(x+9)$.

    Geschafft!

  • Bestimme die Werte der quadratischen Terme.

    Tipps

    Vergleiche mit diesem Beispiel:

    $5x^2-x+8$.

    $\begin{align} \Rightarrow &a=5 \\ &b=-1 \\ &c=8 \end{align}$

    Erinnere dich, die allgemeine Form lautet:

    $ax^2+bx+c$.

    Lösung

    Die allgemeine Form von quadratischen Termen lautet $ax^2+bx+c$.

    • Der Wert, der vor $x^2$ steht, ist $a$.
    • Der Wert, der vor $x$ steht, ist $b$.
    • Der Wert, der kein $x$ oder $x^2$ hat, ist $c$.
    • $1x^2+9x+43$
    $\begin{align} \Rightarrow~ &a=1 \\ &b=9 \\ &c=43 \end{align}$

    • $9x^2+43x+1$
    $\begin{align} \Rightarrow~ &a=9 \\ &b=43 \\ &c=1 \end{align}$

    • $43x^2+1x+9$
    $\begin{align} \Rightarrow~ &a=43 \\ &b=1 \\ &c=9 \end{align}$

  • Berechne die Binome des quadratischen Terms.

    Tipps

    Beachte: Gibt es ein negatives Vorzeichen, so musst du dieses auch in die Lücke schreiben, z.B. $-18$.

    Erinnere dich: Steht vor einer Variable wie $x$ oder $x^2$ keine Zahl, bedeutet das, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:

    $x=1x$.

    Denk daran, dass du bei Produkten und Summen das Kommutativgesetz anwenden kannst:

    $\begin{array}{ll} &m+n &=n+m \\ &m\cdot n &=n\cdot m \end{array}$

    Lösung

    Bestimme $a$, $b$ und $c$ bei
    $x^2+3x-18$.

    $a=1$
    $b=3$
    $c=-18$

    Setze die Werte von $b$ und $c$ in die allgemeine Form von Binomen ein:

    $b~=n+m$
    $3~=n+m$.

    $\quad c~=m\cdot n$
    $-18=m\cdot n$

    Durch Ausprobieren wissen wir, dass folgende Zahlen für $m$ und $n$ passen:

    $\quad\, c=m\cdot n$
    $-18=m~\cdot n$
    $-18=~~\,1~\cdot-18$
    $-18=-1~\cdot~~\,18$
    $-18=~~\,2~\cdot-9$
    $-18=-2~\cdot~~\,9$
    $-18=~~\,3~\cdot-6$
    $-18=-3~\cdot~~\,6$.

    Diese sechs möglichen Kombinationen von $m$ und $n$ setzen wir nun in $b=n+m$ ein:

    $b=n+m$
    $3=n+m$.

    Dabei passt nur eine Zahlenkombination, die zusammen $3$ ergibt:

    $3=-3+6$.

    So sieht also die Kombination aus Binomen aus, die die Truhe öffnet:

    $(x-3)\cdot(x+6)$.