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Faktorisieren quadratischer Terme (a=1)

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Team Digital
Faktorisieren quadratischer Terme (a=1)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Faktorisieren quadratischer Terme (a=1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Faktorisieren quadratischer Terme (a=1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Schritte der Faktorisierung von quadratischen Termen.

    Tipps

    Manchmal steht vor einer Variablen wie $x$ oder $x^2$ keine Zahl. Das bedeutet, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:

    $x^2~=~1x^2$

    Unser Term sieht eigentlich so aus:

    $\begin{array}{rrrrrr} &x^2&+&6x&-&27 \\ =&1x^2&+&6x&-&27 \end{array}$

    Zum Vereinfachen können wir einen gemeinsamen Faktor ausklammern. Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $(2x+2y)=(x+y)\cdot2$

    Lösung

    Zuerst einmal betrachten wir die Formel der Schatztruhe und erstellen damit die allgemeine Form von quadratischen Termen:

    $x^2+6x-27$
    $=ax^2+bx+c$

    $a$, $b$ und $c$ stehen hier für Zahlenwerte.

    Jetzt brauchen wir die allgemeine Form von Binomen und wir formen sie so um:

    $(x+m)\cdot(x+n)\quad\vert \text{~Multiplizieren}$
    $=x^2+nx+mx+mn$
    $=x^2+(n+m)\cdot x+mn$

    Wir vergleichen die umgeformte Formel für Binome mit der allgemeinen Form von quadratischen Gleichungen:

    $\begin{array}{llcclll} =&x^2 &+ &(n+m)~&x &+ &mn \\ =&x^2 &+ &b &x &+ &c \end{array}$

    Wir erkennen:

    $b=(n+m)$, $c=mn$

  • Ergänze die Faktorisierung des Terms.

    Tipps

    Erinnere dich, die allgemeine Form von quadratischen Termen sieht so aus:

    $ax^2+bx+c$

    Steht vor einer Variablen keine Zahl, bedeutet dies, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:

    $y=1y$

    Lösung

    Bestimme $a$, $b$ und $c$ bei $1x^2+6x-27$:

    $a=1$
    $b=6$
    $c=-27$

    Setze die Werte von $b$ und $c$ in die allgemeine Form von Binomen ein:

    $b=n+m$
    $\rightarrow$ $6=n+m$

    $c=m\cdot n$
    $\rightarrow$ $-27~=m\cdot n$

    Durch Ausprobieren wissen wir, dass folgende Zahlen für $m$ und $n$ passen:

    $\begin{array}{llcl} c&=&m &\cdot &n \\ -27&=&m &\cdot &n \\ -27&=&-9 &\cdot &3 \\ -27&=&9 &\cdot &(-3) \end{array}$

    Das sind mögliche Codekombinationen von $m$ und $n$:

    $m=-9$ mit $n=3$ und $m=9$ mit $n=-3$

    Diese Werte für $m$ und $n$ setzen wir nun hier ein:

    $\begin{array}{llcl} (n+m)&=&b \\ (n+m)&=&6 \end{array}$

    Wir überprüfen, welche der beiden Wertekombinationen $6$ ergibt:

    $-9+3=-6$
    $9+(-3)=6$.

    Diese Werte für $m$ und $n$ knacken also den Code:

    $m=9$, $n=-3$

    Und so lautet der fertige Code:

    $(x-3)\cdot(x+9)$

    Geschafft!

  • Bestimme die Werte der quadratischen Terme.

    Tipps

    Vergleiche mit diesem Beispiel:

    $5x^2-x+8$

    $\begin{array}{rl} \Rightarrow &a=5 \\ &b=-1 \\ &c=8 \end{array}$

    Erinnere dich daran, dass die allgemeine Form so lautet:

    $ax^2+bx+c$

    Lösung

    Die allgemeine Form von quadratischen Termen lautet $ax^2+bx+c$.

    • Der Wert, der vor $x^2$ steht, ist $a$.
    • Der Wert, der vor $x$ steht, ist $b$.
    • Der Wert, der kein $x$ oder $x^2$ hat, ist $c$.
    • $1x^2+9x+43$
    $\begin{align} \Rightarrow~ &a=1 \\ &b=9 \\ &c=43 \end{align}$

    • $9x^2+43x+1$
    $\begin{align} \Rightarrow~ &a=9 \\ &b=43 \\ &c=1 \end{align}$

    • $43x^2+1x+9$
    $\begin{align} \Rightarrow~ &a=43 \\ &b=1 \\ &c=9 \end{align}$

  • Berechne die Binome des quadratischen Terms.

    Tipps

    Beachte: Gibt es ein negatives Vorzeichen, so musst du dieses auch in die Lücke schreiben, z. B. $-18$.

    Erinnere dich: Steht vor einer Variablen wie $x$ oder $x^2$ keine Zahl, bedeutet das, dass dort unsichtbar eine $1$ steht:

    $x=1x$

    Denke daran, dass du bei Produkten und Summen das Kommutativgesetz anwenden kannst:

    $\begin{array}{ll} &m+n &=n+m \\ &m\cdot n &=n\cdot m \end{array}$

    Lösung

    Bestimme $a$, $b$ und $c$ bei $x^2+3x-18$:

    $a=1$
    $b=3$
    $c=-18$

    Setze die Werte von $b$ und $c$ in die allgemeine Form von Binomen ein:

    $b~=n+m$
    $3~=n+m$

    $\quad c~=m\cdot n$
    $-18=m\cdot n$

    Durch Ausprobieren wissen wir, dass folgende Zahlen für $m$ und $n$ passen:

    $\quad\, c=m\cdot n$
    $-18=m~\cdot n$
    $-18=~~\,1~\cdot-18$
    $-18=-1~\cdot~~\,18$
    $-18=~~\,2~\cdot-9$
    $-18=-2~\cdot~~\,9$
    $-18=~~\,3~\cdot-6$
    $-18=-3~\cdot~~\,6$

    Diese sechs möglichen Kombinationen von $m$ und $n$ setzen wir nun in $b=n+m$ ein:

    $b=n+m$
    $3=n+m$

    Dabei passt nur eine Zahlenkombination, die zusammen $3$ ergibt:

    $3=-3+6$

    So sieht also die Kombination aus Binomen aus, die den Briefkasten öffnet:

    $(x-3)\cdot(x+6)$

  • Gib korrekte Aussagen über das Faktorisieren quadratischer Terme wieder.

    Tipps

    Ein Term, der keine konkreten Zahlenwerte besitzt, hat die allgemeine Form.

    Die Vorsilbe „Bi-“ bedeutet in der Fachsprache „zweifach“, „zweimal“.

    Lösung

    Dies sind die richtigen Merksätze für die Erklärung des Käpt’ns:

    • „Faktorisieren“ heißt, dass man herausfindet, welche beiden Binome man multiplizieren muss, damit der gegebene Term herauskommt.
    • $x^2 + 6x -27$ ist ein quadratischer Term mit konkreten Werten. Man nennt ihn quadratisch, weil er ein $x^2$ (gesprochen „x Quadrat“) enthält.
    • Und $ax^2+bx+c$ ist die allgemeine Form eines quadratischen Terms, auch genannt Polynom zweiten Grades.
    • „Binom“ heißt, dass ein Term genau zwei Glieder hat. Der Term $x+m$ hat die zwei Glieder $x$ und $m$.
    • Und so sieht es aus, wenn Binome multipliziert werden: $(x+m) \cdot (x+n)$.
  • Bestimme, welche Ausklammerung zum Term passt.

    Tipps

    Vergleiche:

    $x^2+2x=(x+2)\cdot x$

    Beide Teile des Binoms werden mit $x$ multipliziert:

    $\begin{array}{lcccc} (x+2)\cdot x&=&(x\cdot x)&+&(2\cdot x) \\ \rightarrow&=&x^2&+&2x \end{array}$

    $x$ kann auch weiter als bis $x^2$ gesteigert werden. Vergleiche:

    $x^2\cdot x^2=x^{2+2}=x^4$

    Beachte:

    $x=x^1$

    Lösung

    Folgende Ausklammerungen passen zum jeweils angegebenen Term:

    1. Term

    $2x+5x^2=(2+5x)\cdot x$

    2. Term

    $3x+x=(3+1)\cdot x$

    Denn erinnere dich:

    $x=1x$

    3. Term

    $8x-2x^2=(8-2x)\cdot x\quad$ und
    $\quad\quad 8x-2x^2=(-2x+8)\cdot x$

    Denn bei Summen kannst du das Kommutativgesetz anwenden.

    4. Term

    $3x^3+3x=(3x^2+3)\cdot x$

    So wird ausgeklammert:

    $\begin{array}{llc} &3x^3&+&3x \\ =&(3x^2\cdot x)&+&(3\cdot x) \\ =&(3x^2+3)\cdot x && \end{array}$

    5. Term

    Bei der letzten Aufgabe sind ebenfalls zwei Ausklammerungen richtig. Einmal diese:

    $\quad 12x^2+6x=(12x+6)\cdot x$, $\quad$

    Und einmal diese:

    $\quad 12x^2+6x=(4x+2)\cdot 3x$

    Hier wird so ausgeklammert:

    $\begin{array}{llc} &12x^2&+&6x\\ =&(4x\cdot 3x)&+&(2\cdot 3x) \\ =&(4x+2)\cdot 3x && \end{array}$

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