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Trigonometrie – Einführung

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Team Digital
Trigonometrie – Einführung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Trigonometrie – Einführung

Inhalt

Was ist Trigonometrie?

Die Trigonometrie gehört in der Mathematik zur Geometrie. Aber was genau ist Trigonometrie? Schauen wir uns dazu das Wort selbst genauer an. Es setzt sich zusammen aus Trigon und metrie. Beide Begriffe stammen aus dem Griechischen. Trigon bedeutet Dreieck und metrie deutet darauf hin, dass etwas gemessen werden soll. Es geht also um das Vermessen von Dreiecken.

Genauer geht es in der Trigonometrie um Seitenverhältnisse von Dreiecken. Aussagen über solche Seitenverhältnisse machen zum Beispiel auch die Strahlensätze. Die Grundgrößen, die man mithilfe der Trigonometrie an einem Dreieck beschreiben kann, sind:

  • die Seitenlängen $a,b,c$
  • die Winkel $\alpha, \beta, \gamma$

Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn sie die gleichen Winkel haben. Solche Dreiecke haben jeweils die gleichen Seitenverhältnisse.

Ähnliche Dreiecke

Die beiden Dreiecke hier im Bild sind ähnlich zueinander, da sie die gleichen Winkel haben. Daher ist das Verhältnis der Seitenlängen der blauen Seite zur grünen Seite bei beiden Dreiecken gleich: $4,5:6 = 0,75$ und $3:4 = \frac{3}{4} = 0,75$. Genaueres über die Seitenverhältnisse erfährst du in dem Video über die Strahlensätze.

Trigonometrie – Definition

In der Trigonometrie geht es zunächst nur um rechtwinklige Dreiecke. Einen wichtigen Satz über rechtwinklige Dreiecke kennst du bereits: den Satz des Pythagoras. Er lautet:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Wenn du zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennst, kannst du also die dritte berechnen.

Ein weiterer Satz ist der Winkelsummensatz. Kennst du in einem solchen Dreieck außer dem rechten Winkel auch die Winkelgröße eines weiteren Winkels, so kannst du mithilfe der Innenwinkelsumme die Winkelgröße des dritten Winkels berechnen. Sind zum Beispiel $\gamma$ als rechter Winkel und $\beta$ vorgegeben, so kannst du $\alpha$ mit folgender Formel berechnen:

$\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma$

Der Sinus eines Winkels ist der Name für ein Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck. Bezeichnen wir den rechten Winkel mit $\gamma$, so liegt dem Winkel $\gamma$ die Hypotenuse $c$ des Dreiecks gegenüber. Dem Winkel $\beta$ liegt die Kathete $b$ gegenüber. Die andere Kathete $a$ liegt an dem Winkel $\beta$. Weil die Kathete $b$ dem Winkel $\beta$ gegenüberliegt, nennt man sie die Gegenkathete von $\beta$. Die Kathete $a$ ist entsprechend die Ankathete des Winkels $\beta$. Umgekehrt ist $b$ die Ankathete von $\alpha$ und $a$ die Gegenkathete von $\alpha$.

In jedem rechtwinkligen Dreieck heißt das Seitenverhältnis der Gegenkathete eines Winkels zur Hypotenuse des Dreiecks der Sinus des Winkels. Als Formel geschrieben sieht das so aus:

$\text{Sinus}(\beta) = \frac{\text{Gegenkathete}(\beta)}{\text{Hypotenuse}}$

Weil alle ähnlichen Dreiecke die gleichen Seitenverhältnisse haben, hängt der Sinus des Winkels als Seitenverhältnis gar nicht von den Seiten, sondern nur von dem Winkel ab.

Definition des Sinus

Man schreibt den Sinus des Winkels $\beta$ abkürzend auch so:

$\sin(\beta) = \frac{b}{c}$

Der Cosinus eines Winkels ist der Quotient aus Ankathete und Hypotenuse, also:

$\text{Cosinus}(\beta) = \frac{\text{Ankathete}(\beta)}{\text{Hypotenuse}}$

Das können wir in kurz auch so schreiben:

$\sin(\beta) = \frac{a}{c}$

Aber auch der Quotient aus den beiden Katheten ist eine trigonometrische Funktion, und zwar der Tangens:

$\text{Tangens}(\beta) = \frac{\text{Gegenkathete}(\beta)}{\text{Ankathete}(\beta)}$

Oder in kurz:

$ \tan(\beta) = \frac{b}{a} $

Trigonometrie – Beispiel

In einem speziellen rechtwinkligen Dreieck mit $\gamma = 90^\circ$ ist der Winkel $\beta = 37^\circ$. Du kannst den fehlenden Winkel $\alpha$ nun ausrechnen: $\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 37^\circ -90^\circ$. In jedem solchen Dreieck ist das Verhältnis der Seiten $b$ und $c$ gleich. Dieses Seitenverhältnis ist der Sinus des Winkels $37^\circ$. Du kannst das Seitenverhältnis bestimmen, indem du ein solches Dreieck zeichnest und die Seiten ausmisst. Du kannst dir den Sinus des Winkels $\beta = 37^\circ$ auch vom Taschenrechner ausrechnen lassen. Das Ergebnis ist:

$\sin(37^\circ) \approx 0,6$

Das Einführungsvideo zur Trigonometrie

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, wie Trigonometrie mit ähnlichen Dreiecken und den Strahlensätzen zusammenhängt. Du erfährst, dass ähnliche Dreiecke stets die gleichen Seitenverhältnisse haben. Der Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Spezialfall eines solchen Seitenverhältnisses.

Transkript Trigonometrie – Einführung

Rechtwinklige Dreiecke, Hypotenuse, Katheten, Sinus, Cosinus und Tangens. Wofür braucht man überhaupt den ganzen Kram? In der Astronomie. Wow. Akustik und Optik, das scheint ja schon wichtig für Naturwissenschaften zu sein. Was, GPS funktioniert auf der Grundlage von Trigonometrie? Na, dann scheint sich der Blick auf eine kurze „Einführung in die Trigonometrie“ ja doch nochmal zu lohnen. Fangen wir mit dem Begriff selbst an: Was bedeutet Trigonometrie eigentlich? Das Wort setzt sich aus zwei Bezeichnungen zusammen. „Trigon“ kommt aus dem Griechischen und bedeutet Dreieck. Die Wortendung „metrie“ deutet zusätzlich darauf hin, dass etwas gemessen werden soll. Es geht also um die Messung von Dreiecken. Was genau können wir an diesen denn überhaupt messen? Nun, neben den drei Seitenlängen, können wir auch die Größe der drei Innenwinkel bestimmen. Es gibt also Sechs grundlegende Größen im Dreieck, die wir messen können. Haben wir einige davon gegeben, hilft uns die Trigonometrie dabei, die Größe der übrigen herauszufinden. Und es wird sogar noch etwas einfacher: Die Trigonometrie betrachtet zunächst nur eine spezielle Art von Dreiecken, nämlich nur die, die einen rechten Winkel besitzen. Rechtwinklige Dreiecke? Kennen wir da nicht schon so eine Formel zu den Seitenlängen? Ach ja, da war was: Der Satz des Pythagoras! „a Quadrat plus b Quadrat gleich c Quadrat“. Mit Hilfe dieses Satzes können wir eine unbekannte Seitenlänge in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen, wenn wir die beiden anderen Seitenlängen kennen. Bei den Winkeln hilft uns der Winkelsummensatz. Dieser besagt, dass die drei Winkel in einem Dreieck zusammen immer hundertachtzig Grad betragen. Kennen wir zwei Winkel, können wir so den dritten ganz einfach berechnen. Doch welche Beziehung besteht zwischen Seitenlängen und Winkelgrößen? Hier kommt die Trigonometrie ins Spiel, quasi als eine Art „Dolmetscher“. Sie ermöglicht uns, von Seitenlängen auf Winkelgrößen zu schließen und andersherum. Dafür wählen wir den Winkel Alpha im Dreieck als Ausgangspunkt. Außerdem haben wir bereits den rechten Winkel gegeben. Auf dieser Grundlage können wir den Dreiecksseiten nun spezielle Bezeichnungen geben: Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, nennen wir im Allgemeinen Hypotenuse. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Die Kathete, die auch unseren Winkel Alpha einschließt, nennen wir Ankathete, da sie dem Winkel anliegt. Die andere Kathete nennen wir Gegenkathete. Sie liegt dem Winkel Alpha gegenüber. Mit Hilfe dieser Bezeichnungen können wir jetzt die trigonometrischen Funktionen definieren: Die erste Funktion dieser Art, die wir uns anschauen ist der Sinus. Der Sinus von Alpha ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Bei unserem Dreieck entspricht das der Seitenlänge von a geteilt durch die Seitenlänge von b. Den Cosinus des Winkels Alpha erhalten wir, wenn wir Ankathete durch Hypotenuse teilen. Sprich b geteilt durch c. Der Tangens von Alpha ist definiert als Gegenkathete durch Ankathete.
Das entspricht in unserem Fall a geteilt durch b. Die trigonometrischen Funktionen definieren also die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck. Diese werden so mit den Winkelgrößen verknüpft. Um mit Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck rechnen zu können, brauchen wir neben dem rechten Winkel lediglich einen weiteren Winkel und eine Seitenlänge. Die übrigen Seitenlängen zu ermitteln ist dann kein Problem mehr. Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen können wir jedoch noch viel mehr erreichen, als bloß die Seitenlängen und Winkelgrößen in rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen. Wie genau das Ganze funktioniert, klären wir aber ein andermal. Die Mathestunde ist für heute erstmal beendet. Aha. Da wurde ja auch schon ein neues Anwendungsgebiet für die Trigonometrie gefunden. Man kann nie wissen wozu Mathe noch so gut sein kann.

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