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Sinus, Cosinus und Tangens – Anwendungsaufgaben

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Team Digital
Sinus, Cosinus und Tangens – Anwendungsaufgaben
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Sinus, Cosinus und Tangens – Anwendungsaufgaben

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, mit Sinus, Cosinus und Tangens zu rechnen.

Zunächst wiederholst du , wie Sinus, Cosinus und Tangens definiert sind. Anschließend werden ein paar Übungsaufgaben gerechnet.

Sinus Cosinus Tangens

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Sinus, Cosinus, Tangens, rechtwinkliges Dreieck, Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck definiert sind.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis definiert werden können.

Transkript Sinus, Cosinus und Tangens – Anwendungsaufgaben

Die Baldwin Street in Dunedin , Neuseeland ist die steilste Straße der Welt! An ihrer steilsten Stelle hat sie ein Steigung von 34,8 Prozent! Wie viele Höhenmeter man wohl geschafft hat, wenn man sie erklommen hat? Diese Frage können wir mit Hilfe der Trigonometrie beantworten! Lass uns also nochmal einen Blick auf „Sinus, Cosinus und Tangens“ werfen! Sinus, Cosinus, und Tangens, sind durch Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck definiert. Der Sinus von Alpha ist gleich Gegenkathete von Alpha durch Hypotenuse, der Cosinus von Alpha gleich Ankathete von Alpha durch Hypotenuse, und der Tangens von Alpha ist gleich Gegenkathete durch Ankathete. Mit Hilfe dieser drei Formeln können wir unbekannte Größen in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen. Dazu brauchen wir mindestens zwei Angaben über Winkelgröße und Seitenlängen. Dann müssen wir nur noch überlegen, welche der drei Formeln uns weiterhilft, und können mit dieser dann die gesuchte Größe berechnen. Ein erstes Beispiel. Gegeben ist dieses rechtwinklige Dreieck mit Alpha gleich fünfunddreißig Grad, und der „Seite c“ mit einer Seitenlänge von sieben Zentimetern. Gesucht ist die Länge von „Seite b“. Wie bekommen wir die jetzt heraus? Als erstes sollten wir den Seiten des Rechtecks die entsprechenden Begriffe zuordnen. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Das ist hier „Seite c“. Dann schauen wir auf den bekannten Winkel Alpha. Die Dreiecksseite, die ihm anliegt, ist die Ankathete. Die Dreiecksseite, die ihm gegenüberliegt, ist die Gegenkathete. Hier muss man manchmal ganz schön aufpassen, um nicht durcheinander zu kommen. Jetzt ist uns klar: Wir haben die Länge der Hypotenuse gegeben, und suchen die Länge der Ankathete. Für die Berechnung brauchen wir also die Formel des Cosinus! Wir setzen die gegebenen Werte ein, und stellen nach b um. Jetzt müssen wir nur noch den Cosinus von fünfunddreißig Grad berechnen – dazu benutzen wir den Taschenrechner. Wir müssen darauf achten, dass der Taschenrechner im Modus „D-E-G“ ist. Das steht für „degree“, also für die Maßeinheit Grad. Schon haben wir die gesuchte Seitenlänge: circa 5,73 Zentimeter. Ein weiteres Beispiel. In diesem rechtwinkligen Dreieck ist die „Seite a“ sechs, und die „Seite c“ acht Zentimeter lang. Gesucht ist dieses mal der Winkel Alpha, der hier liegt. Zuerst verschaffen wir uns wieder einen Überblick. „Seite c“ liegt dem rechten Winkel gegenüber. Das ist also unsere Hypotenuse. Die andere bekannte Größe – Seite a – liegt gegenüber von unserem Winkel Alpha. Es handelt sich somit um die Gegen- und nicht um die Ankathete von Alpha. Wir kennen also die Länge von Gegenkathete und Hypotenuse. Daher nutzen wir den Sinus! Der Sinus von Alpha ist gleich Gegenkathete durch Hypotenuse. Also gleich sechs Zentimeter geteilt durch acht Zentimeter, gekürzt drei Viertel. Jetzt müssen wir die Umkehrfunktion des Sinus nutzen – den Arkussinus. Alpha ist also gleich dem Arkussinus von 0,75. Wir geben das in den Taschenrechner ein. Auf vielen Taschenrechnern ist der Arkussinus abgekürzt mit „Sinus hoch minus eins“. So erhalten wir das Ergebnis: circa 48,6 Grad! Na dann können wir uns ja jetzt nochmal der Baldwin Street widmen. Folgende Informationen haben wir gegeben. Auf dem steilsten Abschnitt der Straße beträgt der durchschnittliche Steigungswinkel 16,3 Grad. Dieser Abschnitt ist außerdem einhunderteinundsechzig Meter lang. Und hier haben wir einen rechten Winkel. Wir wollen untersuchen, wie viele Höhenmeter auf dieser Strecke hinzukommen. Wir beschriften die unbekannte Größe mit einem x. Pausiere das Video doch kurz und überlege selbst, dann gehen wir die Lösung gemeinsam durch. Da die gegebene Seitenlänge an dem bekannten Winkel liegt und diesen mit dem rechten Winkel verbindet, kennen wir die Länge der Ankathete. Gesucht ist die Länge der Seite, die unserem Winkel gegenüberliegt, sprich der Gegenkathete. Dafür können wir die Formel des Tangens nutzen. Wir setzen unsere Werte ein, und stellen um. Es sind also circa siebenundvierzig Höhenmeter! Ganz schön sportlich! Während es bergauf geht, fassen wir nochmal zusammen. Wenn wir mit Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck rechnen, sollten wir uns zuerst immer klar machen, um welche Dreiecksseiten es sich bei den gegebenen und gesuchten Größen handelt. Denn nur so können wir uns sicher sein, welche der drei Formeln wir für unsere Rechnung benötigen. Anschließend müssen wir dann nur noch die gegebenen Werte einsetzen und die Gleichung nach der gesuchten Größe umstellen. Wenn wir mit Hilfe von zwei Seitenlängen eine Winkelgröße berechnen sollen, müssen wir daran denken, die jeweilige Umkehrfunktion von Sinus, Cosinus und Tangens auf unserem Taschenrechner zu verwenden. Am wichtigsten ist es aber, die Seiten im rechtwinkligen Dreieck richtig zuzuordnen. Wenn wir das einmal geschafft haben und so die passende Formel ausgewählt haben, geht es für den Rest der Rechnung ganz entspannt bergab. In diesem Sinne: volle Fahrt voraus!

1 Kommentar
1 Kommentar
  1. Sehr Gut zu verstehen

    Von Leon, vor etwa einem Monat

Sinus, Cosinus und Tangens – Anwendungsaufgaben Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinus, Cosinus und Tangens – Anwendungsaufgaben kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Zusammenhänge bei Sinus, Cosinus und Tangens.

    Tipps

    Für Sinus und Cosinus brauchen wir die Hypotenuse, die jeweils immer im Nenner des Bruches steht.

    Die drei sogenannten Winkelfunktionen setzen die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks in ein Verhältnis zueinander.

    Drei Aussagen sind korrekt.

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck, also einem Dreieck, in dem einer der drei Innenwinkel $90^\circ$ beträgt, benennen wir die Seiten wie folgt:

    • Die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, wird Hypotenuse genannt.
    • Die Kathete, welche dem Ausgangswinkel anliegt, wird Ankathete genannt.
    • Die Kathete, welche diesem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.

    Mit diesen drei sogenannten Winkelfunktionen werden die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks in ein Verhältnis zueinander gesetzt. Sie helfen uns, die Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen.
    Es gibt drei verschiedene trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens.

    Der Sinus wird durch das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse ausgedrückt. Mathematisch schreiben wir:

    $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    Der Cosinus beschreibt das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. Wir schreiben:

    $\cos( \alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    Der Tangens wird ohne Hinzunahme der Hypotenuse ermittelt, denn er definiert sich durch das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete:

    $\tan( \alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

    Folgende Aussagen sind somit richtig:

    • Beim Cosinus wird in einem rechtwinkligen Dreieck die Ankathete mit der Hypotenuse in Beziehung gesetzt.
    • Nur beim Tangens wird nicht durch die Hypotenuse dividiert.
    • Der Sinus wird durch das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse ausgedrückt.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • Sinus, Cosinus und Tangens stellen jeweils einen Winkel dar.
    Das ist nicht korrekt, weil Sinus, Cosinus und Tangens Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck sind.
  • Gib an, welche Winkelfunktion zur Berechnung angewendet wird.

    Tipps

    Um zu entscheiden, welche der Winkelfunktionen angewendet wird, musst du jeweils schauen, welche Größen gegeben und welche gesucht sind. Wähle dann die Formel, die diese Größen miteinander in Beziehung setzt.

    Sinus und Cosinus verknüpfen einen Winkel im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten und der Hypotenuse.

    Lösung

    Du hast diese drei trigonometrischen Sätze kennengelernt:

    • Sinus: $\sin(\alpha)= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    • Cosinus: $\cos (\alpha)= \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    • Tangens: $\tan(\alpha)= \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

    Um zu entscheiden, welche der Winkelfunktionen angewendet wird, schauen wir jeweils, welche Größen gegeben und welche gesucht sind:

    Aufgabe 1:

    Der Winkel $\alpha$ und die Seite $c$, welche die Hypotenuse ist, sind gegeben. Die Seite $b$, welche die Ankathete des Winkels $\alpha$ ist, ist gesucht.
    Wir müssen also den Winkel, die Ankathete und die Hypotenuse miteinander in Verbindung bringen: Diese Größen werden im Cosinus zueinander in Beziehung gesetzt.

    Aufgabe 2:

    Die Seite $a$, welche die Gegenkathete des Winkels $\alpha$ ist und die Seite $c$, welche die Hypotenuse ist, sind gegeben. Der Winkels $\alpha$ ist gesucht.
    Wir müssen also den Winkel, die Gegenkathete und die Hypotenuse miteinander in Verbindung bringen: Diese Größen werden im Sinus zueinander in Beziehung gesetzt.

    Aufgabe 3:

    Ein Winkel und dessen Ankathete sind gegeben. Die Gegenkathete des Winkels ist gesucht.
    Wir müssen also den Winkel, die Ankathete und die Gegenkathete miteinander in Verbindung bringen: Diese Größen werden im Tangens zueinander in Beziehung gesetzt.

  • Ermittle, in welchem Winkel die Sonnenstrahlen auf den Boden treffen.

    Tipps

    Skizziere zunächst die Situation mit gegebenen und gesuchten Größen.

    Der Winkel $\alpha$, in welchem die Sonnenstrahlen auf den Boden treffen, ist gesucht. Der $5\,\text{m}$ hohe Baum ist die Gegenkathete dieses Winkels. Der $6\,\text{m}$ lange Schatten ist die Ankathete des Winkels.

    Du brauchst die Umkehrfunktion, um den gesuchten Winkel zu berechnen.

    Lösung

    Gegeben und gesucht

    Um die Textaufgabe zu lösen, vergegenwärtigen wir uns in einer Skizze zunächst, welche Größen gegeben und welche gesucht sind. Der Winkel $\alpha$, in welchem die Sonnenstrahlen auf den Boden treffen, ist gesucht. Der $5\,\text{m}$ hohe Baum ist die Gegenkathete dieses Winkels. Der $6\,\text{m}$ lange Schatten ist die Ankathete des Winkels.

    Formel auswählen

    Wir suchen eine Formel, die einen Winkel und dessen Gegenkathete und Ankathete miteinander in Beziehung setzt. Die gesuchte Formel ist der Tangens:

    $\color{#99CC00}{\mathbf{\tan( \alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}}$

    Werte einsetzen und Gleichung lösen

    Wir setzen die gegebenen Werte ein:

    $\tan( \alpha) = \dfrac{5\,\text{m}}{6\,\text{m}} = \color{#99CC00}{\mathbf{\dfrac{5}{6}}}$

    Wir müssen nun die Umkehrfunktion des Tangens anwenden, um den gesuchten Winkel zu berechnen. Dazu nutzen wir auf dem Taschenrechner den Befehl $tan^{-1}$ und erhalten:

    $\alpha \approx \color{#99CC00}{\mathbf{39{,}8^\circ}}$

    Antwortsatz

    Die Sonnenstrahlen treffen in einem Winkel von $\color{#99CC00}{\mathbf{39{,}8^\circ}}$ auf den Boden.

  • Ordne die Dreiecke nach der Länge der Seite $x$.

    Tipps

    Benenne in jedem Dreieck die gegebenen und gesuchten Größen und entscheide so, welche Winkelfunktion du verwendest.

    Beispiel:

    • Winkel: $30^\circ$
    • Gegenkathete des Winkels: $16$ (grüne Seite)
    • Hypotenuse: $x$ (rote Seite)

    Wir verwenden den Sinus:

    $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    Einsetzen der Werte:

    $\sin(30^\circ) = \dfrac{16}{x} \quad \Leftrightarrow \quad x = \dfrac{16}{\sin(30^\circ) } = 32$

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck, also einem Dreieck, in dem einer der drei Innenwinkel $90^\circ$ beträgt, gelten diese drei trigonometrischen Funktionen:

    • $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\cos( \alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\tan( \alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

    Wir benennen in jedem Dreieck die gegebenen und gesuchten Größen und entscheiden so, welche Winkelfunktion wir verwenden:

    Dreieck 1:

    • Winkel: $30^\circ$
    • Gegenkathete des Winkels: $x$ (grüne Seite)
    • Hypotenuse: $16$ (rote Seite)

    Wir verwenden den Sinus:

    $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    Einsetzen der Werte:

    $\sin(30^\circ) = \dfrac{x}{16} \quad \Leftrightarrow \quad x = \sin(30^\circ) \cdot 16 = 8$

    Dreieck 2:

    • Winkel: $60^\circ$
    • Ankathete des Winkels: $x$ (grüne Seite)
    • Gegenkathete des Winkels: $32$ (blaue Seite)

    Wir verwenden den Tangens:

    $\tan( \alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

    Einsetzen der Werte:

    $\tan(60^\circ) = \dfrac{32}{x} \quad \Leftrightarrow \quad x = \dfrac{32}{\tan(60^\circ) } \approx 18{,}5$

    Dreieck 3:

    • Winkel: $60^\circ$
    • Gegenkathete des Winkels: $x$ (blaue Seite)
    • Hypotenuse: $32$ (rote Seite)

    Wir verwenden den Sinus:

    $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    Einsetzen der Werte:

    $\sin(60^\circ) = \dfrac{x}{32} \quad \Leftrightarrow \quad x = \sin(60^\circ) \cdot 32 \approx 27{,}7$

    Dreieck 4:

    • Winkel: $60^\circ$
    • Ankathete des Winkels: $32$ (grüne Seite)
    • Hypotenuse: $x$ (rote Seite)

    Wir verwenden den Cosinus:

    $\cos( \alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    Einsetzen der Werte:

    $\cos(60^\circ) = \dfrac{32}{x} \quad \Leftrightarrow \quad x = \dfrac{32}{\cos(60^\circ) } = 64$

    Die Dreiecke sind also so bereits in der richtigen Reihenfolge angeordnet.

  • Benenne die Seiten im rechtwinkligen Dreieck mit den passenden Fachbegriffen.

    Tipps

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

    Die Benennung von Ankathete und Gegenkathete hängt vom jeweiligen Winkel ab, aus dessen Perspektive das Dreieck betrachtet wird.

    Die Kathete, welche dem Ausgangswinkel anliegt, wird Ankathete genannt.
    Die Kathete, welche diesem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.

    Eine Tangente gibt es im Dreieck nicht.

    Lösung

    Rechtwinklige Dreiecke sind spezielle Dreiecke. Sie zeichnet aus, dass einer der drei Innenwinkel $90^\circ$ beträgt.

    Mithilfe der trigonometrischen Sätze lassen sich die verschiedenen Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen. Um sich besser orientieren zu können, werden den Seiten so benannt:

    • Ankathete
    • Gegenkathete
    • Hypotenuse

    Dabei wird die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse genannt wird. Diese Seite ist in allen rechtwinkligen Dreiecken die längste.

    Die Benennung der Katheten hängt von dem betrachteten Winkel ab. Mit dem betrachteten Winkel kann einer der beiden Winkel außer dem rechten Winkel gemeint sein:

    • Die Kathete, welche dem betrachteten Winkel anliegt, wird Ankathete genannt.
    • Die Kathete, welche diesem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.

    In dem abgebildeten Dreieck ist die Ankathete zu $\alpha$ grün, die Gegenkathete gelb und die Hypotenuse ist rot gekennzeichnet.

  • Berechne den Steigungswinkel und die Steigung in Prozent.

    Tipps

    Fertige eine Skizze mit den gegebenen und gesuchten Größen an.

    In diesem rechtwinkligen Dreieck stellt die Seite $c$ die Fahrtstrecke dar und die Seite $a$ den überwundenen Höhenunterschied.

    Zur Berechnung des Steigungswinkels nutzen wir den Sinus, der Gegenkathete und Hypotenuse miteinander in Beziehung setzt.

    Die Steigung ist das Verhältnis des Höhenunterschiedes $a$ zur waagerechten Distanz $b$. Eine Angabe von $10\,\%$ Steigung bedeutet zum Beispiel, dass pro $100\,\text{m}$ in waagerechter Richtung ein Höhenunterschied von $10\,\text{m}$ vorliegt.

    Das Verhältnis des Höhenunterschiedes $a$ zur waagerechten Distanz $b$ wird durch den Tangens ausgedrückt:

    $\tan( \alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

    Lösung

    Wir vergegenwärtigen uns zunächst die gegebenen und gesuchten Größen in einer Skizze: In dem abgebildeten rechtwinkligen Dreieck stellt die Seite $c = 640\,\text{m}$ die Fahrtstrecke dar. Das ist die Strecke, die die Seilbahn zurücklegt. Die Seite $a = 78\,\text{m}$ bezeichnet den überwundenen Höhenunterschied. Der Winkel $\alpha$ ist der gesuchte Steigungswinkel.

    Berechnung des Steigungswinkels

    Die Seite $c$ ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, die Seite $a$ ist die Gegenkathete des gesuchten Winkels. Wir benötigen also eine Formel, die einen Winkel, dessen Gegenkathete und die Hypotenuse miteinander in Beziehung setzt. Die gesuchte Formel ist der Sinus:

    $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    Wir setzen die gegebenen Werte ein:

    $\sin( \alpha) = \dfrac{78\,\text{m}}{640\,\text{m}} = \dfrac{39}{320}$

    Wir müssen nun die Umkehrfunktion des Sinus anwenden, um den gesuchten Winkel zu berechnen. Dazu nutzen wir auf dem Taschenrechner den Befehl $sin^{-1}$ und erhalten:

    $\alpha \approx \color{#99CC00}{\mathbf{7{,}0^\circ}}$

    Berechnung der Steigung in Prozent

    Wir ermitteln jetzt die Steigung in Prozent. Dazu vergegenwärtigen wir uns, dass die Steigung das Verhältnis des Höhenunterschiedes $a$ zur waagerechten Distanz $b$ ist. Eine Angabe von $10\,\%$ Steigung bedeutet zum Beispiel, dass pro $100\,\text{m}$ in waagerechter Richtung ein Höhenunterschied von $10\,\text{m}$ vorliegt.

    Das Verhältnis des Höhenunterschiedes $a$ zur waagerechten Distanz $b$ wird durch den Tangens ausgedrückt:

    $\tan( \alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

    Wir berechnen also den Tangens des Steigungswinkels:

    $\tan(7^\circ)=0{,}123$

    Da sich die Steigung in Prozent auf $100\,\text{m}$ waagerechte Distanz bezieht, multiplizieren wir mit $100$ und erhalten als Steigung in Prozent:

    $\color{#99CC00}{\mathbf{12{,}3\,\%}}$

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