Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels 05:52 min

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler. Herzlich willkommen zum Video Geometrie Teil 28. Das Thema dieses Videos heißt: Der Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels. Nehmen wir zum Beispiel das vorliegende Dreieck. Die Seite unten möge a heißen. Die Seite links möge b sein. Und der von a und b eingeschlossene Winkel sei γ. Mit einem Dreieck alleine kommen wir nicht weiter. Wir nehmen uns noch ein 2., zu dem 1. Dreieck kongruentes, Dreieck. Ihr seht, beide sind deckungsgleich und wir können aus beiden Dreiecken ein Parallelogramm legen. So, wie wir es schon in einigen Videos vorher getan haben. Den Flächeninhalt eines solchen Parallelogramms kann man einfach berechnen. Wer das vergessen hat, den bitte ich, sich noch einmal Video Geometrie Teil 25 anzuschauen. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist demzufolge: a×b×sinγ. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist doppelt so groß, wie der Flächeninhalt jedes dieser beiden kongruenten Dreiecke. Also: A Parallelogramm=2×A Dreieck. Man kann dann auch schreiben: A Dreieck=A Parallelogramm/2. Wir setzen nun die rechte Seite aus der oberen Gleichung für den Flächeninhalt des Parallelogramms in die Gleichung der 3. Zeile ein und erhalten: A Dreieck=(a×b×sinγ)/2. In Bruchschreibweise bedeutet das für den Flächeninhalt des Dreiecks, ich schreibe ihn mal links an das Dreieck an: A=1/2a×b×sinγ Da wir uns jetzt nur noch mit dem Flächeninhalt von Dreiecken beschäftigen werden, lasse ich den Index "Dreieck" am A weg. Nun möchten wir den Flächeninhalt des Dreiecks für spezielle Winkel γ konkretisieren. γ=30°: Der Sinus von 30°=1/2. Also beträgt der Flächeninhalt des entsprechenden Dreiecks: A=1/4a×b γ=45°: Der Sinus von 45° beträgt 1/2×\sqrt2. Der Flächeninhalt des entsprechenden Dreiecks beträgt demnach: A=1/4×\sqrt2×a×b γ=60°: Der Sinus von 60° beträgt 1/2×\sqrt3. Der Flächeninhalt des entsprechenden Dreiecks beträgt demnach: A=1/4×\sqrt3×a×b Und nun ein ganz besonderer Wert von γ: γ=90°: Der Sinus von 90°=1. Damit erhalten wir für den Flächeninhalt des entsprechenden Dreiecks: A=1/2a×b. Ist euch bei dem letzten Beispiel für ein Dreieck etwas aufgefallen? Richtig! Es handelt sich hier um das rechtwinkelige Dreieck. Der rechte Winkel wird von den Seiten a und b eingeschlossen. Es ist dann auch ganz klar, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks die Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks mit den Seitenlängen a und b ist. Zum Abschluss möchte ich noch mal darauf hinweisen, dass diese Aufgabe nicht für die Grundschule geeignet ist. Wer sie anschaut, muss damit rechnen, dass sie einen erhöhten Schwierigkeitsgrad hat. Sie ist vorgesehen für die Klassenstufe 10. Ich hoffe, ihr hattet viel Spaß, genauso wie ich. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.