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Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels

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André Otto
Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels

Bei dem vorliegenden Video handelt es sich um den 28. Teil der Filmreihe „ Geometrie “. Das Thema lautet „ Der Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels “. Du solltest bereits wissen, wie man den Flächeninhalt eines Parallelogramms bestimmt. Des Weiteren wäre es schön, wenn du dich noch an die Grundlagen der trigonometrischen Funktionen erinnerst. Im Film wird dir gezeigt, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel berechnet werden kann. Die Formel wird für spezielle Winkel konkretisiert.

Transkript Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels

Hallo, liebe Schülerinnen und Schüler. Herzlich willkommen zum Video Geometrie Teil 28. Das Thema dieses Videos heißt: Der Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels. Nehmen wir zum Beispiel das vorliegende Dreieck. Die Seite unten möge a heißen. Die Seite links möge b sein. Und der von a und b eingeschlossene Winkel sei γ. Mit einem Dreieck alleine kommen wir nicht weiter. Wir nehmen uns noch ein 2., zu dem 1. Dreieck kongruentes, Dreieck. Ihr seht, beide sind deckungsgleich und wir können aus beiden Dreiecken ein Parallelogramm legen. So, wie wir es schon in einigen Videos vorher getan haben. Den Flächeninhalt eines solchen Parallelogramms kann man einfach berechnen. Wer das vergessen hat, den bitte ich, sich noch einmal Video Geometrie Teil 25 anzuschauen. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist demzufolge: a×b×sinγ. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist doppelt so groß, wie der Flächeninhalt jedes dieser beiden kongruenten Dreiecke. Also: A Parallelogramm=2×A Dreieck. Man kann dann auch schreiben: A Dreieck=A Parallelogramm/2. Wir setzen nun die rechte Seite aus der oberen Gleichung für den Flächeninhalt des Parallelogramms in die Gleichung der 3. Zeile ein und erhalten: A Dreieck=(a×b×sinγ)/2. In Bruchschreibweise bedeutet das für den Flächeninhalt des Dreiecks, ich schreibe ihn mal links an das Dreieck an: A=1/2a×b×sinγ Da wir uns jetzt nur noch mit dem Flächeninhalt von Dreiecken beschäftigen werden, lasse ich den Index "Dreieck" am A weg. Nun möchten wir den Flächeninhalt des Dreiecks für spezielle Winkel γ konkretisieren. γ=30°: Der Sinus von 30°=1/2. Also beträgt der Flächeninhalt des entsprechenden Dreiecks: A=1/4a×b γ=45°: Der Sinus von 45° beträgt 1/2×\sqrt2. Der Flächeninhalt des entsprechenden Dreiecks beträgt demnach: A=1/4×\sqrt2×a×b γ=60°: Der Sinus von 60° beträgt 1/2×\sqrt3. Der Flächeninhalt des entsprechenden Dreiecks beträgt demnach: A=1/4×\sqrt3×a×b Und nun ein ganz besonderer Wert von γ: γ=90°: Der Sinus von 90°=1. Damit erhalten wir für den Flächeninhalt des entsprechenden Dreiecks: A=1/2a×b. Ist euch bei dem letzten Beispiel für ein Dreieck etwas aufgefallen? Richtig! Es handelt sich hier um das rechtwinkelige Dreieck. Der rechte Winkel wird von den Seiten a und b eingeschlossen. Es ist dann auch ganz klar, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks die Hälfte des Flächeninhalts des Rechtecks mit den Seitenlängen a und b ist. Zum Abschluss möchte ich noch mal darauf hinweisen, dass diese Aufgabe nicht für die Grundschule geeignet ist. Wer sie anschaut, muss damit rechnen, dass sie einen erhöhten Schwierigkeitsgrad hat. Sie ist vorgesehen für die Klassenstufe 10. Ich hoffe, ihr hattet viel Spaß, genauso wie ich. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. Bin 6. Klasse und habe ein Video zur Berechnung des Flächeninhalts von einem Dreieck gesucht dann kommt so: Sinus, Fuktionen und Innenwinkel 😂

    Von Sarah Kari, vor 3 Monaten
  2. war gut

    Von Ninio, vor etwa einem Jahr
  3. Hallo Jue Koellner,
    vielen Dank für den Hinweis. Ich habe die Aufgabenstellung nun angepasst, sodass die Lösung und auch der der Lösungsweg nun stimmen.
    Beste Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor fast 2 Jahren
  4. In Übung 5.2. ist in der Aufgabenstellung die Winkelgröße mit 60 Grad angegeben. Die Lösung zeigt aber einen Sinus-Wert eines 45-Grad-Winkels auf.

    Von Jue Koellner, vor fast 2 Jahren
  5. @Arthuroichi Hallo Arthuroichi, das wird gemacht, da der Flächeninhalt des Parallelogramms leicht in Abhängigkeit des Winkels berechnen kann. Das Dreieck hat dann die halbe Fläche des Parallelogramms. Denn das Parallelogramm ist aus zwei mal dem gleichen Dreieck zusammen gesetzt.

    Von Hjördis Leiser, vor mehr als 3 Jahren
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Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Herleitung der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels.

    Tipps

    Hier siehst du ein Quadrat. Wenn du ein rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck durch ein kongruentes Dreieck ergänzt, erhältst du ein Quadrat.

    Sicher ist der Flächeninhalt des Dreiecks kleiner als der des Vierecks.

    Du kennst die folgende Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:

    $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot h_a$.

    Verwende $\sin(\gamma)=\frac{h_a}b$.

    Lösung

    Hier siehst du ein Parallelogramm. Dieses erhältst du, wenn du das gegebene Dreieck durch ein kongruentes Dreieck ergänzt.

    Da der Flächeninhalt des Parallelogramms das Doppelte des Flächeninhaltes des Dreiecks ist, kannst du folgern: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist die Hälfte des Flächeninhaltes des Parallelogramms.

    Verwende die Formel für das Parallelogramm: $A_{\text{Parallelogramm}}=a\cdot b\cdot \sin(\alpha)$.

    Damit ist $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)$.

  • Gib die Formel für den Flächeninhalt $A_{\triangle}$ bei speziellen Winkeln an.

    Tipps

    Verwende die speziellen Werte für trigonometrische Funktionen aus diesem Tabellenausschnitt. Achte darauf, dass du die Sinuswerte verwendest.

    Du musst jeweils $\sin(\gamma)$ durch den speziellen Wert ersetzen und den Term so weit wie möglich vereinfachen.

    Ach ja: $\sin(90^\circ)=1$.

    Lösung

    Hier siehst du einen Ausschnitt aus einer Tabelle für spezielle Werte von trigonometrischen Funktionen. Was hier nicht zu sehen ist, ist der Sinuswert $\sin(90^\circ)=1$.

    Nun kannst du die Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)$ für spezielle Winkel untersuchen:

    1. $\gamma=30^\circ$ führt zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\frac12=\frac14\cdot a\cdot b$.
    2. $\gamma=45^\circ$ führt zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\frac12\cdot \sqrt2=\frac14\cdot\sqrt2\cdot a\cdot b$.
    3. $\gamma=60^\circ$ führt zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\frac12\cdot \sqrt3=\frac14\cdot\sqrt3\cdot a\cdot b$.
    4. $\gamma=90^\circ$ führt zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot1=\frac12\cdot a\cdot b$.
  • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

    Tipps

    Verwende $\sin(30^\circ)=\frac12$.

    Setze die bekannten Größen ein.

    Das Ergebnis ist eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle.

    Lösung

    Verwende die Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)$.

    In diesem Dreieck sind:

    • $a=15~\text{cm}$ und $b=10~\text{cm}$ (Die Reihenfolge ist für die Berechnung nicht von Bedeutung.) sowie
    • $\gamma=30^\circ$.
    Durch Einsetzen der bekannten Größen erhältst du:

    $\begin{array}{rclll} A_{\triangle}&=&\frac12\cdot 15~\text{cm}\cdot 10~\text{cm}\cdot \sin(30^\circ)&|&\sin(30^\circ)=\frac12\\ &=&\frac12\cdot 150~\text{cm}^2\cdot \frac12\\ &=&\frac14\cdot 150~\text{cm}^2\\ &=&37,5~\text{cm}^2 \end{array}$

  • Leite die fehlende Seitenlänge her.

    Tipps

    Verwende die Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)$.

    Setze den bekannten Flächeninhalt sowie $a$ und $\gamma$ ein.

    Es ist $\sin(60^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 3$.

    Lösung

    In diesem Dreieck ist die Länge der Seite $a=20~\text{cm}$ sowie der Winkel $\gamma=60^\circ$ bekannt. Gesucht ist die Länge der Seite $b$. Da auch der Flächeninhalt $A_{\triangle}=260\cdot\sqrt2~\text{cm}^2$ gegeben ist, kannst du durch Umstellen der Flächeninhaltsformel die Seitenlänge ermitteln.

    Du verwendest nun $\sin(60^\circ)=\frac12\cdot\sqrt3$ und erhältst für den Flächeninhalt $A_{\triangle}=\frac14\cdot\sqrt3\cdot a\cdot b$.

    Setze nun die bekannten Größen ein und forme um:

    $\begin{array}{rclll} 260\cdot\sqrt3~\text{cm}^2&=&\frac14\cdot\sqrt3\cdot 20~\text{cm}\cdot b\\ &=&\sqrt3\cdot 5~\text{cm}\cdot b&|&:5~\text{cm}\\ 52\cdot\sqrt3~\text{cm}&=&\sqrt3\cdot b&|&:\sqrt 3\\ 52~\text{cm}&=&b \end{array}$

  • Beschreibe, welcher besondere Fall bei $\gamma=90^\circ$ vorliegt.

    Tipps

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ beträgt $A_{\text{Rechteck}}=a\cdot b$.

    Wenn du ein Rechteck entlang einer Diagonalen aufschneidest, erhältst du zwei kongruente Dreiecke.

    In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein.

    Lösung

    Wenn $\gamma=90^\circ$ ist, dann erhältst du mit $\sin(90^\circ)$ für den Flächeninhalt des Dreiecks $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b$.

    Fällt dir etwas auf?

    • Das Dreieck ist rechtwinklig. Der rechte Winkel wird von den Seiten $a$ und $b$ eingeschlossen.
    • Das Dreieck ist die Hälfte eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$.
    • Der Flächeninhalt des Rechtecks ist $A_{\text{Rechteck}}=a\cdot b$.
    So kannst die obige Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b$ auch erklären.

  • Ermittle die jeweiligen Flächeninhalte.

    Tipps

    In diesem Tabellenausschnitt siehst du verschiedene Sinuswerte für bestimmte Winkel.

    Alle einzutragenden Werte sind ganzzahlig.

    Du kannst zu jedem der speziellen Winkel ausgehend von der Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)$ eine spezielle Formel angeben.

    Anhand der Längenangaben bei $\triangle_2$ und $\triangle_3$ kannst du schon erkennen, welche Formel du verwenden kannst.

    Lösung

    Zu verschiedenen speziellen Winkeln sollst du nun Flächeninhalte berechnen:

    $\triangle_1$: $a=b=16~\text{cm}^2$ und $\gamma=30^\circ$

    • Verwende $\sin(30^\circ)=\frac12$ und somit $A_{\triangle_1}=\frac14\cdot a\cdot b$.
    • Setze die bekannten Größen ein $A_{\triangle_1}=\frac14\cdot 16~\text{cm}\cdot 16~\text{cm}=64~\text{cm}^2$.
    $\triangle_2$: $a=16~\text{cm}^2$, $b=5\cdot\sqrt2~\text{cm}$ und $\gamma=45^\circ$

    • Es ist $\sin(45^\circ)=\frac12\cdot\sqrt2$. So erhältst du $A_{\triangle_2}=\frac14\cdot \sqrt 2\cdot a\cdot b$.
    • Setze auch hier die bekannten Größen ein $A_{\triangle_2}=\frac14\cdot \sqrt 2\cdot 16~\text{cm}\cdot 5\cdot\sqrt 2~\text{cm}=\frac12\cdot 80~\text{cm}^2=40~\text{cm}^2$.
    $\triangle_3$: $a=16\cdot \sqrt3~\text{cm}^2$, $b=12~\text{cm}$ und $\gamma=60^\circ$

    • Mit $\sin(60^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 3$ kommst du zu der Formel $A_{\triangle_3}=\frac14\cdot \sqrt 3\cdot a\cdot b$.
    • Damit erhältst du $A_{\triangle_3}=\frac14\cdot \sqrt 3\cdot 16\cdot \sqrt 3~\text{cm}\cdot 12~\text{cm}=\frac34\cdot 192~\text{cm}^2=144~\text{cm}^2$.
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