Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels

Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels Übung

• Ergänze die Herleitung der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks als Funktion eines Innenwinkels.

  Tipps

  Hier siehst du ein Quadrat. Wenn du ein rechtwinkliges und gleichschenkliges Dreieck durch ein kongruentes Dreieck ergänzt, erhältst du ein Quadrat.

  Sicher ist der Flächeninhalt des Dreiecks kleiner als der des Vierecks.

  Du kennst die folgende Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks:

  $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot h_a$.

  Verwende $\sin(\gamma)=\frac{h_a}b$.

  Lösung

  Hier siehst du ein Parallelogramm. Dieses erhältst du, wenn du das gegebene Dreieck durch ein kongruentes Dreieck ergänzt.

  Da der Flächeninhalt des Parallelogramms das Doppelte des Flächeninhaltes des Dreiecks ist, kannst du folgern: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist die Hälfte des Flächeninhaltes des Parallelogramms.

  Verwende die Formel für das Parallelogramm: $A_{\text{Parallelogramm}}=a\cdot b\cdot \sin(\alpha)$.

  Damit ist $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)$.

• Gib die Formel für den Flächeninhalt $A_{\triangle}$ bei speziellen Winkeln an.

  Tipps

  Verwende die speziellen Werte für trigonometrische Funktionen aus diesem Tabellenausschnitt. Achte darauf, dass du die Sinuswerte verwendest.

  Du musst jeweils $\sin(\gamma)$ durch den speziellen Wert ersetzen und den Term so weit wie möglich vereinfachen.

  Ach ja: $\sin(90^\circ)=1$.

  Lösung

  Hier siehst du einen Ausschnitt aus einer Tabelle für spezielle Werte von trigonometrischen Funktionen. Was hier nicht zu sehen ist, ist der Sinuswert $\sin(90^\circ)=1$.

  Nun kannst du die Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)$ für spezielle Winkel untersuchen:

  1. $\gamma=30^\circ$ führt zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\frac12=\frac14\cdot a\cdot b$.
  2. $\gamma=45^\circ$ führt zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\frac12\cdot \sqrt2=\frac14\cdot\sqrt2\cdot a\cdot b$.
  3. $\gamma=60^\circ$ führt zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\frac12\cdot \sqrt3=\frac14\cdot\sqrt3\cdot a\cdot b$.
  4. $\gamma=90^\circ$ führt zu $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot1=\frac12\cdot a\cdot b$.

• Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

  Tipps

  Verwende $\sin(30^\circ)=\frac12$.

  Setze die bekannten Größen ein.

  Das Ergebnis ist eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle.

  Lösung

  Verwende die Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)$.

  In diesem Dreieck sind:

  • $a=15~\text{cm}$ und $b=10~\text{cm}$ (Die Reihenfolge ist für die Berechnung nicht von Bedeutung.) sowie
  • $\gamma=30^\circ$.

  Durch Einsetzen der bekannten Größen erhältst du:

  $\begin{array}{rclll} A_{\triangle}&=&\frac12\cdot 15~\text{cm}\cdot 10~\text{cm}\cdot \sin(30^\circ)&|&\sin(30^\circ)=\frac12\\ &=&\frac12\cdot 150~\text{cm}^2\cdot \frac12\\ &=&\frac14\cdot 150~\text{cm}^2\\ &=&37,5~\text{cm}^2 \end{array}$

• Leite die fehlende Seitenlänge her.

  Tipps

  Verwende die Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot \sin(\gamma)$.

  Setze den bekannten Flächeninhalt sowie $a$ und $\gamma$ ein.

  Es ist $\sin(60^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 3$.

  Lösung

  In diesem Dreieck ist die Länge der Seite $a=20~\text{cm}$ sowie der Winkel $\gamma=60^\circ$ bekannt. Gesucht ist die Länge der Seite $b$. Da auch der Flächeninhalt $A_{\triangle}=260\cdot\sqrt2~\text{cm}^2$ gegeben ist, kannst du durch Umstellen der Flächeninhaltsformel die Seitenlänge ermitteln.

  Du verwendest nun $\sin(60^\circ)=\frac12\cdot\sqrt3$ und erhältst für den Flächeninhalt $A_{\triangle}=\frac14\cdot\sqrt3\cdot a\cdot b$.

  Setze nun die bekannten Größen ein und forme um:

  $\begin{array}{rclll} 260\cdot\sqrt3~\text{cm}^2&=&\frac14\cdot\sqrt3\cdot 20~\text{cm}\cdot b\\ &=&\sqrt3\cdot 5~\text{cm}\cdot b&|&:5~\text{cm}\\ 52\cdot\sqrt3~\text{cm}&=&\sqrt3\cdot b&|&:\sqrt 3\\ 52~\text{cm}&=&b \end{array}$

• Beschreibe, welcher besondere Fall bei $\gamma=90^\circ$ vorliegt.

  Tipps

  Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ beträgt $A_{\text{Rechteck}}=a\cdot b$.

  Wenn du ein Rechteck entlang einer Diagonalen aufschneidest, erhältst du zwei kongruente Dreiecke.

  In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein.

  Lösung

  Wenn $\gamma=90^\circ$ ist, dann erhältst du mit $\sin(90^\circ)$ für den Flächeninhalt des Dreiecks $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b$.

  Fällt dir etwas auf?

  • Das Dreieck ist rechtwinklig. Der rechte Winkel wird von den Seiten $a$ und $b$ eingeschlossen.
  • Das Dreieck ist die Hälfte eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$.
  • Der Flächeninhalt des Rechtecks ist $A_{\text{Rechteck}}=a\cdot b$.

  So kannst die obige Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b$ auch erklären.

• Ermittle die jeweiligen Flächeninhalte.

  Tipps

  In diesem Tabellenausschnitt siehst du verschiedene Sinuswerte für bestimmte Winkel.

  Alle einzutragenden Werte sind ganzzahlig.

  Du kannst zu jedem der speziellen Winkel ausgehend von der Formel $A_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin(\gamma)$ eine spezielle Formel angeben.

  Anhand der Längenangaben bei $\triangle_2$ und $\triangle_3$ kannst du schon erkennen, welche Formel du verwenden kannst.

  Lösung

  Zu verschiedenen speziellen Winkeln sollst du nun Flächeninhalte berechnen:

  $\triangle_1$: $a=b=16~\text{cm}^2$ und $\gamma=30^\circ$

  • Verwende $\sin(30^\circ)=\frac12$ und somit $A_{\triangle_1}=\frac14\cdot a\cdot b$.
  • Setze die bekannten Größen ein $A_{\triangle_1}=\frac14\cdot 16~\text{cm}\cdot 16~\text{cm}=64~\text{cm}^2$.

  $\triangle_2$: $a=16~\text{cm}^2$, $b=5\cdot\sqrt2~\text{cm}$ und $\gamma=45^\circ$

  • Es ist $\sin(45^\circ)=\frac12\cdot\sqrt2$. So erhältst du $A_{\triangle_2}=\frac14\cdot \sqrt 2\cdot a\cdot b$.
  • Setze auch hier die bekannten Größen ein $A_{\triangle_2}=\frac14\cdot \sqrt 2\cdot 16~\text{cm}\cdot 5\cdot\sqrt 2~\text{cm}=\frac12\cdot 80~\text{cm}^2=40~\text{cm}^2$.

  $\triangle_3$: $a=16\cdot \sqrt3~\text{cm}^2$, $b=12~\text{cm}$ und $\gamma=60^\circ$

  • Mit $\sin(60^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 3$ kommst du zu der Formel $A_{\triangle_3}=\frac14\cdot \sqrt 3\cdot a\cdot b$.
  • Damit erhältst du $A_{\triangle_3}=\frac14\cdot \sqrt 3\cdot 16\cdot \sqrt 3~\text{cm}\cdot 12~\text{cm}=\frac34\cdot 192~\text{cm}^2=144~\text{cm}^2$.