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Sinus und Cosinus am Einheitskreis

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Team Digital
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Sinus und Cosinus am Einheitskreis

Inhalt

Einheitskreis – Definition

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Der Radius des Einheitskreises hat die Länge $r=1$.

Einheitskreis

Der Einheitskreis hat eine besondere Eigenschaft: Für jeden Punkt $P(x|y)$ auf dem Einheitskreis gilt $x^{2}+y^{2}=1$. Um das zu verstehen, reicht es, wenn wir uns den 1. Quadranten anschauen, denn die Begründung ist für alle Quadranten äquivalent. Zu jedem Punkt $P(x|y)$ auf dem Einheitskreis können wir ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen. Die Katheten des Dreiecks haben die Längen $x$ und $y$ und die Hypotenuse $c$ entspricht dem Radius des Kreises, hat also die Länge $c=1$.

Punkt auf dem Einheitskreis im Koordinatensystem

Auf dieses rechtwinklige Dreieck können wir den Satz des Pythagoras anwenden und es ergibt sich $x^{2}+y^{2}=1$.

Trigonometrie am Einheitskreis

Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus kann man mithilfe von rechtwinkligen Dreiecken am Einheitskreis bestimmen. Dafür erinnern wir uns zunächst an die Eigenschaften von rechtwinkligen Dreiecken: Für den Winkel $\alpha$ in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse $c$, der Gegenkathete $a$ und der Ankathete $b$ gilt:

$\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}$

$\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}$

Rechtwinkliges Dreieck

Wenn du diese Eigenschaften wiederholen möchtest, kannst du dir das Video zur Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck anschauen.

Weil die Hypotenuse am Einheitskreis die Länge $1$ hat, vereinfachen sich die Formeln für Sinus und Cosinus am Einheitskreis:

$\sin(\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{1}=\text{Gegenkathete}$

$\cos(\alpha)= \frac{\text{Ankathete}}{1}=\text{Ankathete}$

Sinus und Cosinus am Einheitskreis

Beispiele für Sinus und Cosinus am Einheitskreis

Nun können wir Sinus und Cosinus am Einheitskreis für konkrete Winkel näherungsweise bestimmen. Wir zeichnen ein Dreieck mit einem Winkel $\alpha = 35^\circ$ in den Einheitskreis ein und lesen ab:

$\sin(35^\circ) \approx 0,55$

$\cos(35^\circ) \approx 0,8$

Winkel von 35 Grad am Einheitskreis

Für die Winkel $\alpha = 0^\circ$ und $\alpha = 90^\circ$ können wir keine rechtwinkligen Dreiecke im Einheitskreis einzeichnen. Wir können an der Skizze aber sinnvolle Werte ablesen. Nähert sich $\alpha$ einem Winkel von $0^\circ$ an, so nähert sich auch der Sinus von $\alpha$ dem Wert $0$ an. Der Cosinus von $\alpha$ nähert sich dabei dem Wert $1$ an. Also gilt:

$\sin(0^\circ) = 0$

$\cos(0^\circ)=1$

Nähert sich der Winkel $\alpha$ den $90^\circ$ an, so wird der Cosinus von $\alpha$ immer kleiner und der Sinus von $\alpha$ nähert sich dem Wert $1$ an.

$\sin(90°) = 1$

$\cos(90°)=0$

Zusammenfassung: Sinus und Cosinus am Einheitskreis

Für den Einheitskreis, der seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung und einen Radius der Länge $r=1$ hat, können wir die Werte für Sinus und Cosinus im Koordinatensystem ablesen. Sie entsprechen den Koordinaten des Punktes auf dem Einheitskreis, in dem die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks endet. Weitere Beispiele und Informationen zu Sinus und Cosinus am Einheitskreis erfährst du in diesem Video. Schau mal rein!

Transkript Sinus und Cosinus am Einheitskreis

Pete ist im Riesenrad eingepennt und dreht eine Runde nach der anderen. Während es für ihn rauf und runter geht, schaut sich Maja das Ganze aus der Ferne an. Sie könnte ihn wecken, aber sie interessiert sich gerade viel mehr dafür, ob sich Petes Position im Riesenrad nicht auch irgendwie mathematisch bestimmen lässt. Und das geht tatsächlich! Dabei helfen uns „Sinus und Cosinus am Einheitskreis“. Schauen wir uns zunächst nochmal die ursprüngliche Definition von Sinus und Cosinus am rechtwinkligen Dreieck an: Wir markieren den rechten Winkel und den Winkel Alpha, den wir als Ausgangspunkt nehmen. Die längste Seite des Dreiecks ist die Hypotenuse. Sie liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Außerdem haben wir die Ankathete, die dem Winkel Alpha anliegt. Und die Gegenkathete. Also die Seite, die dem Winkel Alpha gegenüber liegt. Den Sinus von Alpha erhalten wir, wenn wir Gegenkathete durch Hypotenuse teilen. In unserem Dreieck also Seite a durch Seite c. Der Cosinus von Alpha ist gegeben durch Ankathete durch Hypotenuse, sprich b durch c. Und schon haben wir Sinus und Cosinus grundsätzlich definiert. Im rechtwinkligen Dreieck kann der Winkel Alpha jedoch nur eine Größe zwischen Null und Neunzig Grad annehmen. Was ist aber, wenn wir zum Beispiel den Sinus von Zweihundertsiebzig Grad berechnen wollen? Auch das ist möglich. Dafür benötigen wir allerdings ein weiteres, sehr nützliches Hilfsmittel: Den Einheitskreis. Dieser wird so genannt, da sein Radius genau eine Längeneinheit lang ist. Den Mittelpunkt des Einheitskreises setzen wir auf den Ursprung des Koordinatensystems. Der Radius schließt jetzt zusammen mit der positiven x-Achse einen Winkel ein. Diesen Winkel nennen wir Alpha. Den Punkt, an dem der Radius auf die Kreislinie trifft, nennen wir P. Die Koordinaten dieses Punktes kennen wir noch nicht. Wir müssen allerdings nur noch von Punkt P eine Senkrechte auf die x-Achse ziehen und wir haben es geschafft: Das Dreieck, das wir hier sehen ist, du ahnst es, rechtwinklig. Wir können also auch hier die uns schon bekannten Definitionen von Sinus und Cosinus anwenden. Aber was bringt uns das Ganze jetzt? Nun, schauen wir uns zunächst die Hypotenuse, also die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite, genauer an. Diese entspricht dem Kreisradius und dieser wiederum ist im Einheitskreis gleich eins. Um den Sinus von Alpha zu berechnen, müssen wir die Gegenkathete durch die Hypotenuse und somit durch eins teilen. Durch eins Teilen ist wie Mathe lernen ohne Sofatutor, es ändert sich rein gar nichts. Daher gilt im Einheitskreis: Sinus von Alpha gleich Gegenkathete. Die Länge der Gegenkathete entspricht genau der Y-Koordinate unseres Punktes P. Okay, das ist praktisch! Wir können also den Sinus von Alpha ganz einfach an unserem Punkt P ablesen. Und mit dem Cosinus von Alpha verhält es sich ganz ähnlich. Dieser entspricht der Ankathete unseres Dreiecks, da wir auch hier durch die Hypotenuse, also nur durch eins, teilen müssen. Im Einheitskreis gilt daher: Cosinus von Alpha gleich Ankathete. Die Länge der Ankathete wird wiederum durch die X-Koordinate unseres Punktes P angegeben. Die Werte von Sinus und Cosinus eines gegebenen Winkels Alpha können wir also einfach an Punkt P ablesen.
Die x-Koordinate gibt den Cosinus an und an der y-Koordinate können wir den Sinus ablesen. Das funktioniert sogar, wenn der Radius senkrecht zur x-Achse oder genau auf dieser liegt. Bei einem neuzig Grad Winkel beträgt der Sinus dementsprechend genau eins, der Cosinus null. Bei einem Winkel von Null Grad, sehen wir, dass der Sinus den Wert null annimmt, während der Cosinus hier gleich eins ist. Und es wird noch besser: Am Einheitskreis können wir auch dann Werte von Sinus und Cosinus ablesen, wenn der dazugehörige Winkel mehr als neunzig Grad beträgt. Wir müssen weiterhin einfach die Koordinaten des Punktes P ablesen. Dafür müssen wir nur die Negativen Achsenabschnitte hinzunehmen. Wenn Alpha zum Beispiel Hundertachtzig Grad beträgt, ist der Sinus, wie bereits bei null Grad, gleich null. Der Cosinus beträgt jetzt minus eins. Bei einem Winkel von zweihundertsiebzig Grad nimmt der Cosinus erneut den Wert null an. Nun ist der Sinus gleich minus eins. Nach dreihundertsechzig Grad haben wir den Einheitskreis schließlich einmal umschritten. Der Sinus von dreihundertsechzig Grad ist wieder gleich null, der Cosinus gleich eins. Die Sinus- und Cosinuswerte sind dieselben, wie bei unserem Ausgangspunkt, also bei einem Winkel von null Grad. Hier wird eine Grundeigenschaft der trigonometrischen Funktionen deutlich: Die Funktionswerte von Sinus und Cosinus wiederholen sich in einem Abstand von genau dreihundertsechzig Grad. Wir sprechen in diesem Fall von einer Periode. Somit sind auch Winkel über dreihundertsechzig Grad kein Problem. Sinus und Cosinus nehmen dann erneut den Wert an, den sie exakt eine Umdrehung zuvor auch schon hatten. Zusammenfassend können wir festhalten: Am Einheitskreis können wir Sinus und Cosinus eines gegebenen Winkels Alpha, ganz einfach an unserem Punkt P auf der Kreislinie ablesen. Die x-Koordinate gibt den Cosinus, die y-Koordinate den Sinus an. Achtung, hier musst du darauf achten, dass der Cosinus der vorderen Koordinate entspricht. Der betrachtete Winkel Alpha kann im Einheitskreis auch größer als neunzig Grad sein. Wichtige Werte von Sinus und Cosinus siehst du hier auf einen Blick. Diese als Orientierungswerte im Hinterkopf zu behalten ist sehr nützlich, wenn man es mit den trigonometrischen Funktionen zu tun hat. Außerdem sollten wir uns merken, dass Sinus und Cosinus periodisch sind. Das bedeutet, dass sich ihre Werte in einem Abstand von dreihundertsechzig Grad wiederholen. Das Gleiche lässt sich auch über Petes Lage im Riesenrad behaupten. Weckt den mal endlich jemand auf?

Sinus und Cosinus am Einheitskreis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinus und Cosinus am Einheitskreis kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe den Einheitskreis.

    Tipps

    Der Name Einheitskreis kommt von der Länge des Radius.

    Beispiel:

    Lösung

    Der Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Er hat immer den Radius $r = 1~\text{LE}$, daher auch der Name: Einheitskreis.
    Verbinden wir einen Punkt auf dem Einheitskreis senkrecht mit der $x$-Achse, so ergibt sich stets ein rechtwinkliges Dreieck, wie du zum Beispiel in der Abbildung erkennen kannst. Dabei ist der Radius $r$ immer die längste Seite, also die Hypotenuse dieses Dreiecks mit Länge $1$.

    Falsche Aussagen:

    • Der Einheitskreis ist nur für Winkel bis $180^\circ$ geeigent.
    Diese Aussage ist falsch. Der Einheitskreis eignet sich für beliebige Winkel, da du von jedem Punkt auf dem Kries aus ein entsprechendes Dreieck einzeichnen kannst.
    • Wir nutzen den Einheitskreis um Längeneinheiten umzurechnen.
    Diese Aussage ist auch falsch. Der Name kommt vielmehr daher, dass der Radius $r$ immer genau einer Längeneinheit entspricht.
  • Gib an, wie du Sinus und Cosinus eines Winkels $\alpha$ am Einheitskreis direkt ablesen kannst.

    Tipps

    Die Strecke zwischen dem Mittelpunkt und dem Punkt auf dem Einheitskreis ist die längste Seite des Dreiecks.

    Bei rechtwinkeligen Dreiecken gibt es für die drei Seitenlängen folgende Bezeichnungen:

    Lösung

    Jede Verbindung eines Punktes auf einem Kreis mit einem Mittelpunkt ist ein Radius des Kreises. So auch die Verbindung eines Punktes $P$ auf dem Einheitskreis mit dem Ursprung. Dieser Radius schließt zusammen mit der positiven $x$-Achse einen Winkel ein, den wir mit $\alpha$ bezeichnen.

    Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erhalten ziehen wir vom Punkt $P$ aus eine Senkrechte auf die $x$-Achse. In diesem Dreieck entspricht die Hypotenuse dem Radius $r$. Damit hat sie die Länge $\mathbf{1~\text{LE}}$. Die beiden Katheten entsprechen den Koordinaten des Punktes $P$. Es gilt, dass die Gegenkathete von $\alpha$ gleich der $y$-Koordinate und die Ankathete gleich der $x$-Koordinate ist.

    Stellen wir nun die Seitenverhältnisse für Sinus und Cosinus von $\alpha$ auf:

    $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} = \frac{\text{Gegenkathete}}{1} = \text{Gegenkathete}$

    $\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}} = \frac{\text{Ankathete}}{1} = \text{Ankathete}$

    Da die Koordinaten von $P$ den Katheten entsprechen, stellen wir fest, dass die $x$-Koordinate von $P$ gleich $\mathbf{cos(\alpha)}$ und die $y$-Koordinate von $P$ gleich $\mathbf{sin(\alpha)}$ ist. Auf diese Weise können wir die Werte direkt an den Koordinaten des Punktes $P(\cos(\alpha) \vert \sin(\alpha))$ ablesen.

  • Entscheide, welche Sinus- und Cosinus-Werte am Einheitskreis farblich markiert sind.

    Tipps

    Betrachte zunächst den Winkel, für den das Dreieck im Einheitskreis gezeichnet ist.

    Im Einheitskreis entspricht der Sinus der Gegenkathete, der Cosinus der Ankathete des Winkels.

    Lösung

    Wenn wir Sinus- und Cosinus-Werte im Einheitskreis darstellen wollen, gehen wir wie folgt vor:

    • Wir zeichnen den zugehörigen Winkel $\alpha$ ausgehend von der positiven $x$-Achse im Einheitskreis ein.
    • Von dem Punkt aus, an dem der Radius, der den Winkel beschränkt, den Kreis schneidet, ziehen wir dann eine Senkrechte auf die $x$-Achse.
    • In dem entstandenen rechtwinkligen Dreieck entspricht die waagrechte Kathete (Ankathete) dem Cosinus von $\alpha$, die senkrechte Kathete (Gegenkathete) ist gleich dem Sinus von $\alpha$.
    Beispiel 1:
    Im Einheitskreis ist das rechtwinklige Dreieck für $\alpha = 30^\circ$ eingezeichnet. Die markierte waagrechte Kathete entspricht $\cos(30^\circ)$.

    Beispiel 2:
    Im Einheitskreis ist das rechtwinklige Dreieck für $\alpha = 120^\circ$ eingezeichnet. Die markierte senkrechte Kathete entspricht $\sin(120^\circ)$.

    Beispiel 3:
    Im Einheitskreis ist das rechtwinklige Dreieck für $\alpha = 120^\circ$ eingezeichnet. Die markierte waagrechte Kathete entspricht $\cos(120^\circ)$.

    Beispiel 4:
    Im Einheitskreis ist das rechtwinklige Dreieck für $\alpha = 300^\circ$ eingezeichnet. Die markierte waagrechte Kathete entspricht $\cos(300^\circ)$.

  • Ermittle die Sinus- und Cosinus-Werte ohne den Taschenrechner zu verwenden.

    Tipps

    Die Werte von Sinus und Cosinus wiederholen sich in einem Abstand von genau $360^\circ$.

    Beispiel:

    $\sin(540^\circ) = \sin(180^\circ + 360^\circ) = \sin(180^\circ + 1 \cdot 360^\circ) = \sin(180^\circ) = 0$

    Lösung

    Bei einem Winkel von $360^\circ$ ist die erste Umrundung des Einheitskreises abgeschlossen. Betrachten wir größere Winkel, so wiederholen sich die Werte erneut. Dabei sind die Werte bei Winkeln mit einem Abstand von $360^\circ$ immer identisch, da hier am Einheitskreis wieder dieselbe Situation entsteht, wie bei der Umdrehung zuvor.

    Formal können wir das folgendermaßen schreiben:

    $\sin(\alpha) = \sin(\alpha + k \cdot 360^\circ)$ und
    $\cos(\alpha) = \cos(\alpha + k \cdot 360^\circ)$ mit $k \in \mathbb{Z}$

    Das bedeutet, dass die Werte für Sinus und Cosinus immer dann gleich sind, wenn man zu dem Winkel ein ganzzahliges Vielfaches von $360^\circ$ addiert.

    Beispiel 1:
    $\sin(450^\circ) = \sin(90^\circ + 360^\circ) = \sin(90^\circ + 1 \cdot 360^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$

    Beispiel 2:
    $\cos(630^\circ) = \cos(270^\circ + 360^\circ) = \cos(270^\circ + 1 \cdot 360^\circ) = \cos(270^\circ) = 0$

    Beispiel 3:
    $\cos(900^\circ) = \cos(180^\circ + 720^\circ) = \cos(180^\circ + 2 \cdot 360^\circ) = \cos(180^\circ) = -1$

    Beispiel 4:
    $\sin(1080^\circ) = \sin(3 \cdot 360^\circ) = \sin(0^\circ + 3 \cdot 360^\circ) = \sin(0^\circ) = 0$

  • Vervollständige die Tabelle mit den Werten für $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$.

    Tipps

    Für jeden Punkt $P$ auf dem Einheitskreis gilt:

    $P(\cos(\alpha) \vert \sin(\alpha))$

    Lösung

    Die Tabelle zeigt die Werte für Sinus und Cosinus bei verschiedenen Winkeln $\alpha$.

    Für jeden Winkel lassen sich die zugehörigen Werte für Sinus und Cosinus über die Koordinaten des entsprechenden Punktes $P$ am Einheitskreis ablesen. Es gilt:
    $P(\cos(\alpha) \vert \sin(\alpha))$

    Für die Winkel in der Tabelle ergibt sich dabei folgendes Bild:

    • $\alpha = 0^\circ$: Der Punkt liegt auf der $x$-Achse bei $1$, daher gilt $\cos(0^\circ) = 1$ und $\sin(0^\circ) = 0$.
    • $\alpha = 90^\circ$: Der Punkt liegt auf der $y$-Achse bei $1$, daher gilt $\cos(90^\circ) = 0$ und $\sin(90^\circ) = 1$.
    • $\alpha = 180^\circ$: Der Punkt liegt auf der $x$-Achse bei $-1$, daher gilt $\cos(0^\circ) = -1$ und $\sin(0^\circ) = 0$.
    • $\alpha = 270^\circ$: Der Punkt liegt auf der $y$-Achse bei $-1$, daher gilt $\cos(270^\circ) = 0$ und $\sin(270^\circ) = -1$.
    • $\alpha = 360^\circ$: Der Punkt liegt auf der $x$-Achse bei $1$, daher gilt $\cos(360^\circ) = 1$ und $\sin(360^\circ) = 0$.
  • Entscheide, welche Werte übereinstimmen.

    Tipps

    Veranschauliche die Sinus- und Cosinus-Werte am Einheitskreis.

    Es gibt beim Sinus immer zwei Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$, die denselben Sinus-Wert haben und zwei weitere Winkel, die denselben Wert mit entgegengesetztem Vorzeichen ergeben. Gleiches gilt für den Cosinus.

    Beispiele:

    $\begin{array}{rcl} \cos(30^\circ) & = & \cos(330^\circ) \\ \\ \sin(200^\circ) & = & \sin(340^\circ) \end{array}$

    Lösung

    Da der Radius beim Einheitskreis $1~\text{LE}$ ist, hat auch die Hypotenuse der rechtwinkligen Dreiecke, die sich bei verschiedenen Winkeln ergeben, stets diese Länge. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die Katheten müssen daher immer eine Länge zwischen $0$ und $1$ haben.

    Dabei nimmt der Sinus im ersten und zweiten Quadranten positive und im dritten und vierten Quadranten negative Werte an. Jeder Wert tritt dabei bei zwei verschiedenen Winkeln auf, da der Kreis und damit auch die Werte für den Sinus symmetrisch zur $\mathbf{y}$-Achse verlaufen.
    Beim Cosinus sind die Werte für den ersten und vierten Quadranten positiv, für den zweiten und dritten Quadranten entsprechend negativ. Hier treten dieselben Werte symmetrisch zur $\mathbf{x}$-Achse auf, zu der der Einheitskreis ebenfalls symmetrisch ist.

    Durch Veranschaulichung der Werte am Einheitskreis oder theoretische Überlegungen ergibt sich:

    • $\sin(10^\circ) = \sin(170^\circ) = -\sin(350^\circ) = -\sin(190^\circ)$
    • $\cos(10^\circ) = \cos(350^\circ) = -\cos(170^\circ) = -\cos(190^\circ)$
    • $\cos(110^\circ) = \cos(250^\circ) = -\cos(70^\circ) = -\cos(290^\circ)$
    • $\sin(60^\circ) = -\sin(300^\circ) = \sin(120^\circ) = -\sin(240^\circ)$
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