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Trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck 04:20 min

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Transkript Trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

Das Mathehorn in den Walliser Alpen. Großartiges Panorama, bester Schnee und spannende Abfahrten für Ski-Anfänger und Fortgeschrittene. Skipistenqueen Elly plant deshalb den Bau eines neuen Sessellifts direkt auf den Gipfel des Mathehorns. Um die Entfernungen korrekt auszurechnen, muss sie trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchführen. Dazu benötigt sie Kenntnisse über die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck. Die werden immer in Bezug auf einen gegebenen Winkel angegeben. Die Kathete, die dem Winkel gegenüber liegt, heißt Gegenkathete. Die Kathete, die am Winkel anliegt, heißt Ankathete. Die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse. Der Sinus des Winkels ist dann das Verhältnis aus Gegenkathete und Hypotenuse, der Cosinus das Verhältnis aus Ankathete und Hypotenuse und der Tangens das Verhältnis aus Gegenkathete und Ankathete. Zunächst möchte Elly die Höhe des Mathehorns ermitteln. Sie misst mit einem Nivelliergerät den Winkel zwischen der Horizontlinie und dem Gipfel. Sie misst 19 Grad. Außerdem weiß sie, dass sie sich 9,5 Kilometer vom Berg entfernt befindet. Gegeben ist ihr dieser Winkel und diese Seite des Dreiecks. Die Höhe des Berges ist gesucht und entspricht dieser Seite des Dreiecks. Gegeben ist also die Ankathete, gesucht die Gegenkathete. Also verwendet Elly den Tangens, denn der beschreibt das Verhältnis dieser beiden Seiten. Zunächst stellt Elly die Formel nach der gesuchten Größe um. Weil der Winkel in Grad angegeben ist, muss sie im Taschenrechner den Degree-Modus nutzen. Der Tangens von 19 Grad beträgt etwa 0,344. Das ergibt also 3,268 Kilometer oder 3268 Meter. So hoch ist das Mathehorn also. Für den Sessellift sollen Stahlseile bis zum Gipfel verlegt werden. Aber wie lang sollen die sein? Sie sollen entlang der Hypotenuse des Dreiecks verlaufen. Weil wir die Längen von Ankathete und Gegenkathete kennen, kann sich Elly aussuchen, ob sie den Sinus... oder den Cosinus verwenden möchte. Sie entscheidet sich für den Cosinus und stellt die Formel nach der gesuchten Größe um. Der Cosinus von 19 Grad beträgt etwa 0,946. Das ergibt also 10,042 Kilometer oder 10042 Meter. Und während Elly ihre Planungen abschließt, fassen wir zusammen. Mit Hilfe von Sinus, Cosinus und Tangens kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck unbekannte Seitenlängen ausrechnen. Dabei ist der Sinus das Verhältnis aus der Gegenkathete eines bestimmten Winkels und der Hypotenuse. Der Cosinus ist das Verhältnis aus Ankathete und Hypotenuse. Der Tangens ist schließlich das Verhältnis aus Gegenkathete und Ankathete. Hast du also einen konkreten Winkel und eine Seitenlänge gegeben, kannst du die anderen Seitenlängen ausrechnen. Dazu stellst du die passenden Formeln um und rechnest alles aus. Achte beim Berechnen von Sinus, Cosinus und Tangens darauf, dass sich dein Taschenrechner im Degree-Modus befindet, wenn die Winkel in Grad angegeben sind. Aber Achtung! Diese Rechnungen kannst du nur in rechtwinkligen Dreiecken durchführen! Ah, der Sessellift ist fertig! Eine echte Erleichterung für die Gämsen.

Trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Trigonometrische Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck kannst du es wiederholen und üben.

  • Zeige auf, was bei trigonometrischen Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck wichtig ist.

    Tipps

    Die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.

    Die Kathete, die am Winkel anliegt, heißt Ankathete.

    Die längste Seite des Dreiecks heißt Hypotenuse.

    Lösung

    Die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck werden immer in Bezug auf einen bestimmten Winkel angegeben (hier: $\alpha$).

    • Die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete (hier: $a$).
    • Die Kathete, die am Winkel anliegt, heißt Ankathete (hier: $b$).
    • Die längste Seite heißt Hypotenuse (hier: $c$), sie liegt immer dem rechten Winkel gegenüber.
    Damit ergeben sich die folgenden Verhältnisse:

    • Der Sinus des Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse: $\sin{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac a c$
    • Der Cosinus des Winkels ist das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse: $\cos{\alpha}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac b c$
    • Der Tangens des Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete: $\tan{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac a b$
  • Berechne die Höhe eines Berges mithilfe von Seitenverhältnissen in rechtwinkligen Dreiecken.

    Tipps

    Beachte, dass dein Taschenrechner sich im DEG Modus befindet.

    Sind zum Beispiel die Ankathete und der Winkel gegeben und die Hypotenuse ist gesucht, kann der Cosinus genutzt und nach der Hypotenuse umgestellt werden.

    $\cos{\alpha}=\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    $\text{Hypotenuse}=\frac{\text{Ankathete}}{\cos{\alpha}}$

    Lösung

    Elly misst mit einem Nivelliergerät den Winkel zwischen der Horizontlinie und dem Gipfel, da Seitenverhältnisse immer in Bezug auf einen Winkel angegeben werden. Dieser beträgt: $19^\circ$. Sie weiß auch, dass sie sich $d=9,5\text{ km}$ vom Berg entfernt befindet, diese Strecke entspricht der Ankathete. Gesucht ist die Höhe $h$, diese entspricht der Gegenkathete.

    Gegeben ist also:

    • $\alpha=19^\circ$
    • $d=9,5\text{ km}$
    Gesucht ist:
    • $h$
    Also verwendet Elly den Tangens, denn dieser beschreibt das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete. Wir nutzen:
    • $\tan{\alpha}=\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
    Für unseren Fall gilt:
    • $\tan{\alpha}=\frac h d$.
    Diese Gleichung stellen wir nach der gesuchten Größe um:

    $\begin{array}{rll} \tan{\alpha}&=\frac h d &|\cdot d \\ h&=d\cdot \tan{\alpha}\\ \end{array}$

    Wenn wir die Zahlen einsetzen, erhalten wir:

    • $h=d\cdot \tan{\alpha}=9,5\text{ km}\cdot \tan{19^\circ}\approx 9,5\text{ km}\cdot 0,344=3,268\text{ km}$
    Beachte, dass dein Taschenrechner sich immer im DEG Modus befindet, wenn die Winkel in Grad gegeben sind.

  • Berechne die fehlenden Seitenlängen und -verhältnisse.

    Tipps

    Die längste Seite, also die, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, ist die Hypotenuse.

    Hier gilt immer: $a$ ist die Gegenkathete, $b$ die Ankathete und $c$ die Hypotenuse.

    Lösung

    Hier gilt immer: $a$ ist die Gegenkathete, $b$ die Ankathete und $c$ die Hypotenuse.

    Erstes Dreieck

    Gegeben sind $a=3 \text{ cm}$, $b=4 \text{ cm}$ und $\sin{\alpha}=0,6$ .

    Wir können den Tangens von $\alpha$ berechnen:

    $\tan{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac a b= \frac{3 \text{ cm}}{4 \text{ cm}}= \frac34=0,75$

    Mithilfe von $\sin{\alpha}=0,6$ und der Gegenkathete bestimmen wir die Hypotenuse. Es gilt:

    $\sin{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    Diese Gleichung stellen wir nach der Hypotenuse, also $c$, um und setzen ein:

    $\text{Hypotenuse}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\sin{\alpha}}=\frac{a}{\sin{\alpha}} =\frac{3 \text{ cm}}{0,6}= 5\text{ cm}$

    Mit der Hypotenuse können wir nun auch den Cosinus bestimmen, indem wir die Werte einsetzen:

    $\cos{\alpha}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{c}=\frac{4 \text{ cm}}{5 \text{ cm}}= \frac45=0,8$

    Zweites Dreieck

    Gegeben sind $b=12 \text{ cm}$, $c=13 \text{ cm}$ und $\tan{\alpha}\approx 0,42$.

    Mit dem Tangens und der Ankathete berechnen wir die Ankathete:

    $\tan{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

    Diese stellen wir nach der Gegenkathete um und setzen die Werte ein:

    $a=\text{Gegenkathete}=\text{Ankathete} \cdot \tan{\alpha} \approx 12 \text{ cm}\cdot 0,42\approx 5 \text{ cm}$

    Mit der Ankathete und der Hypotenuse können wir den Cosinus bestimmen:

    $\cos{\alpha}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{c}=\frac{12 \text{ cm}}{13 \text{ cm}}= \frac{12}{13}\approx 0,92$

    Mit der Gegenkathete und der Hypotenuse können wir den Sinus bestimmen:

    $\sin{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{a}{c}=\frac{5 \text{ cm}}{13 \text{ cm}}= \frac{5}{13}\approx 0,38$

  • Ermittle die fehlenden Seitenlängen.

    Tipps

    Es gilt: $\tan{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

    Für den Sinus nutzt du: $\sin{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$.

    Lösung

    In allen Dreiecken $\Delta ABC$ gibt es die Katheten $a$ und $b$ und die Hypotenuse $c$.

    Dreieck 1:

    Gegeben: $a=20$ und $\alpha=30^\circ$

    $a$ ist die Gegenkathete von $\alpha$, wir können also mit dem Tangens die andere Kathete und mit dem Sinus die Hypotenuse berechnen. Wir nutzen:

    $\begin{array}{rll} \tan{\alpha}&=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\ \tan{\alpha}&=\frac a b &|\cdot b \\ \tan{\alpha}\cdot b&=a &|: \tan{\alpha}\\ b&=\frac a {\tan{\alpha}} \\ \end{array}$

    Nun können wir $a$ und $\alpha$ einsetzen, um $b$ zu bestimmen:

    $b=\frac a {\tan{\alpha}}= \frac {20} {\tan{30^\circ}}\approx 34,64$

    Ebenso gilt:

    $\begin{array}{rll} \sin{\alpha}&=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\ \sin{\alpha}&=\frac a c &|\cdot c \\ \sin{\alpha}\cdot c&=a &|: \sin{\alpha}\\ c&=\frac a {\sin{\alpha}} \\ c&=\frac {20} {\sin{30^\circ}} \\ c&=40 \end{array}$

    Dreieck 2:

    Gegeben: $a=10$ und $\beta=30^\circ$

    • $b=a\cdot \tan{\beta}=10\cdot \tan{30^\circ}\approx 5,77$
    • $c=\frac {a}{ \cos{\beta}}=\frac {10} {\cos{30^\circ}}\approx 11,55$
    Dreieck 3:

    Gegeben: $c=15$ und $\alpha=60^\circ$

    • $a=c\cdot \sin{\alpha}=15\cdot \sin{60^\circ}\approx 12,99$
    • $b=c\cdot \cos{\alpha}=15\cdot \cos{60^\circ}= 7,5$
    Dreieck 4:

    Gegeben: $c=10$ und $\beta=45^\circ$

    • $a=c\cdot \cos{\beta}=10\cdot \cos{45^\circ}\approx 7,07$
    • $b=c\cdot \sin{\beta}=10\cdot \sin{45^\circ}\approx 7,07$
  • Gib wieder, wie du Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck angeben kannst.

    Tipps

    Es gilt: $\sin{\alpha}=\dfrac{\text{grüne Seite}}{\text{gelbe Seite}}$

    Es gilt: $\cos{\alpha}=\dfrac{\text{rote Seite}}{\text{gelbe Seite}}$

    Die Hypotenuse ist hier gelb markiert.

    Lösung

    Die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck werden immer in Bezug auf einen bestimmten Winkel angegeben (hier: $\alpha$).

    • Dem rechten Winkel mit $90^\circ$ liegt die Hypotenuse gegenüber.
    • Die Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.
    • Die Kathete, die am Winkel anliegt, heißt Ankathete.
    Damit ergeben sich die folgenden Verhältnisse:

    • Der Sinus des Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse: $\sin{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    • Der Cosinus des Winkels ist das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse: $\cos{\alpha}=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    • Der Tangens des Winkels ist das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete: $\tan{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
  • Bestimme die Lösung der Textaufgabe.

    Tipps

    Der Tangens ist das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete.

    Berechne zunächst die Höhen in den beiden Jahren und danach die Differenz.

    Lösung

    Wenn du die Aufgabe noch einmal in Ruhe liest, erkennst du schnell, was gesucht ist: Die Höhe der Tanne. Dabei sind zwei unterschiedliche Beobachtungswinkel angegeben: Letztes Jahr betrug der Beobachtungswinkel $\alpha_1=38^\circ$ und dieses Jahr beträgt er $\alpha_2=39^\circ$. Der Abstand zur Tanne ist ebenfalls bekannt mit $80$ Metern.

    Da die Tanne gewachsen ist, rechnest du zunächst die Höhe der Tanne letztes Jahr mit Hilfe des Beobachtungswinkels $\alpha_1=38^\circ$ und die Höhe der Tanne dieses Jahr mit $\alpha_2=39^\circ$ aus. Das machst du wieder mit Hilfe der Formel zum Tangens von $\alpha$.

    $\tan{\alpha}=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$

    Die Gleichung stellst du entsprechend um und setzt dann die Werte für $\alpha_1$ und $\alpha_2$ ein.

    $\text{Gegenkathete von }\alpha= \tan{\alpha} \cdot \text{Ankathete von }\alpha $

    • Für $\alpha_1$: $~\text{Gegenkathete von }\alpha=\tan{38^\circ}\cdot 80\text{ m}\approx 64,3\text{ m}$
    • Für $\alpha_2$: $~\text{Gegenkathete von }\alpha=\tan{39^\circ}\cdot 80\text{ m}\approx 66,58\text{ m}$
    Dann ermittelst du die Differenz zwischen diesen beiden Werten und erhältst $2,28\text{ m}$