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Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Beispiele

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Thekla Haemmerling
Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Beispiele
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Beispiele

Den Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels kann man nicht nur mit dem Taschenrechner bestimmen. Mithilfe eines Einheitskreises und eines Geodreiecks kann man diese Werte näherungsweise bestimmen. Wie genau das geht und was überhaupt ein Einheitskreis ist, lernst du in diesem Video anhand von Beispielen kennen. Viel Spaß!

Transkript Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Beispiele

Hallo! Mein Name ist Thekla und heute dreht sich alles um die Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis.Dabei sehen wir uns vor allem Beispiele an, wie man Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis ablesen kann. Zur Wiederholung siehst du hier einen Einheitskreis. Sein Mittelpunkt liegt im Koordinatenursprung und er hat einen Radius von einer Längeneinheit. Für jeden Punkt auf dem Einheitskreis P(x|y) gilt: x² plus y² gleich 1.

Dies kann man mithilfe des folgenden rechtwinkligen Dreiecks veranschaulichen. (Wird eingezeichnet) Diese Seite ist die Hypotenuse des Dreiecks. Ihre Länge ist 1, da sie dem Radius des Einheitskreises entspricht. Diese Seite hat die Länge x, diese hier die Länge y. Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: x² plus y² gleich 1², also 1. Rufe dir noch einmal die Verhältnisse von Sinus, Kosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken ins Gedächtnis. (Ich lege die Karte mit den Verhältnissen auf) Betrachtet man im Einheitskreis diesen Winkel, wir nennen ihn alpha, des rechtwinkligen Dreiecks, so kann man erkennen, dass Folgendes gilt: Der Sinus von Alpha entspricht dieser Seite, also der Gegenkathete zu alpha, weil die Hypotenuse 1 ist, und Kosinus entspricht dieser Seite, das ist die Ankathete von alpha, weil die Hypotenuse 1 ist.

Der Tangens ist die Gegenkathete dieses Dreiecks, da die Ankathete, also der Nenner, 1 beträgt.

Wir wollen nun an einigen Beispielen den Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels Alpha näherungsweise bestimmen. Dazu sehen wir uns verschiedene Winkel am Einheitskreis im 1. Quadranten des Koordinatensystems an. Hier ein kleiner Tipp: Wähle für dein Heft den Radius r = 10 cm, damit du später die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens besser ablesen kannst. Ich wähle 10 Längeneinheiten.

In unserem ersten Beispiel wollen wir Sinus, Cosinus und Tangens vom Winkel α=70° bestimmen. Jetzt müssen wir zuerst den Winkel mit Hilfe des Geodreiecks einzeichnen.

Dort, wo der Strahl den Einheitskreis schneidet, markieren wir Punkt P. Nun zeichnen wir von P aus eine Strecke senkrecht zur x-Achse und nennen den Endpunkt Q. Außerdem zeichnen wir von der 1 auf der x-Achse senkrecht nach oben eine Strecke, die am Schnittpunkt mit dem Strahl endet.

Diese Seite ist der Kosinus von 70°, diese der Sinus von 70° und diese hier der Tangens von 70°.

Wir messen die Seitenlängen und erhalten für den Kosinus von 70° 3,5 (evtl. 4), für den Sinus 9,5 (evtl.9) und für den Tangens 26. Da der Radius des Einheitskreises 1 und nicht 10 beträgt müssen wir die Werte noch durch 10 teilen, bzw. das Komma um eine Stelle nach links verschieben.

Zum Vergleich: Der Taschenrechner liefert die Werte: Betrachten wir nun ein zweites Beispiel. Hier wollen wir Sinus, Cosinus und Tangens des eingezeichneten Winkels Beta bestimmen. Dazu müssen wir zuerst den Winkel messen. Wir erhalten beta gleich 45°.

Wie im vorherigen Beispiel zeichnen wir die Punkte P und Q ein, sowie die Verbindungsstrecken von P und von der 1 ausgehend. Wir wissen nun, dass diese Seite der Kosinus von 45° ist, diese der Sinus von 45° und diese Strecke hier der Tangens von 45°.

Um herauszufinden, wie groß diese Werte sind, müssen wir also nur noch die Streckenlängen messen.

Für den Kosinus von 45° messen wir ungefähr 7 LE. Da wir für unser Koordinatensystem einen größeren Maßstab gewählt haben, um besser abzulesen, müssen wir unser Ergebnis noch durch 10 teilen, also um eine Kommastelle nach links verschieben. Wir erhalten also cos(45°) ist ungefähr 0,7. Für den Sinus messen wir ebenfalls ungefähr 7 LE, also 0,7. Für den Tangens messen wir 10 LE, also genau 1.

Der Taschenrechner liefert die Werte: cos(45°) 0,7071 sin(45°) 0,7071 tan(45°)=1

Für einen Winkel von 45° gilt tatsächlich sin(45°) ist gleich cos (45°). Das kann man hier gut erkennen. Das Dreieck ist gleichschenklig, also sind diese Seite und diese hier gleich lang. Somit auch die Werte für Sinus und Kosinus. Und deswegen beträgt der Tangens auch genau 1. Als drittes Beispiel betrachten wir einen spannenden Sonderfall: Gamma gleich 90°.

Aber Moment mal! Hier kann man ja gar kein Dreieck einzeichnen!

Das stimmt, du kannst aber trotzdem die Werte für Sinus und Kosinus ablesen. Der Kosinus wird bei einem Winkel von 90° genau Null. Der Sinus hingegen erreicht bei 90° genau den Wert 1. Dafür brauchen wir nicht einmal einen Taschenrechner! Doch was ist mit dem Tangens? Ich habe hier einmal Skizzen angefertigt für einen Winkel von 80° und 85°. Du siehst, dass der Tangens in Richtung 90° immer größer wird und irgendwann nicht mehr eingezeichnet werden kann. Er wird unendlich groß.

Daher ist der Tangens von 90° nicht definiert. Lass uns nun alles zusammenfassen. In einem rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis entspricht diese Seite dem Kosinus, diese dem Sinus und diese Seite dem Tangens von alpha. Um den Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels näherunsgweise zu bestimmen, musst du zuerst den Winkel entweder messen oder einzeichnen. Danach zeichnest du die Punkte P und Q ein und die jeweiligen Strecken für den Sinus und Tangens. Dann musst du die einzelnen Strecken nur noch messen. Aber Achtung: Hast du den Radius des Einheitsviertelkreises mit 10 cm festgelegt, so musst deine gemessenen Werte um eine Kommastelle nach links verschieben. Toll, was man mithilfe eines Geodreiecks und Taschenrechners so alles am EInheitskreis messen und berechnen kann! Ich hoffe, es hat dir gefallen und wir sehen uns bald wieder!

Tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Vielen Dank! Dieses Video hat mir sehr weitergeholfen!

    Von Danielaholzmann, vor mehr als 5 Jahren

Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme näherungsweise die Werte des Sinus, Kosinus und Tangens von $45^\circ$.

    Tipps

    Mache dir zunächst klar, was Sinus, Kosinus und Tangens sind.

    Wenn der eine Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck $45^\circ$ beträgt, so muss dies auch für den anderen spitzen Winkel gelten.

    Sowohl das kleine als auch das große Dreieck sind gleichschenklig.

    Lösung

    An dem Einheitskreis kann man die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens näherungsweise bestimmen:

    Der Sinus ist die Gegenkathete in dem kleinen Dreieck, blau eingezeichnet.

    Der Wert liegt zwischen $0,6$ und $0,8$, recht genau in der Mitte, also ist $\sin(45^\circ)\approx 0,7$. Der Taschenrechner liefert den genauen Wert

    $\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt2}2\approx0,707$.

    Kosinus: Da für $\alpha=45^\circ$ auch der fehlende andere spitze Winkel $45^\circ$ nach dem Winkelsummensatz betragen muss, ist das Dreieck gleichschenklig und somit $\cos(45^\circ)\approx 0,7$. Dies kann man auch in der Skizze ablesen. Der Taschenrechner liefert den genauen Wert

    $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt2}2\approx0,707$.

    Tangens Der Tangens ist recht gut zu erkennen $\tan(45^\circ)=1$.

    Übrigens: Es gilt $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

  • Bestimme Sinus, Kosinus und Tangens von $90^\circ$, sofern möglich.

    Tipps

    Der Kosinus des Winkels ist im Einheitskreis die Ankathete des Winkels. Überlege dir, wie sich die Ankathete verändert, wenn der Winkel immer größer und schließlich $90^\circ$ wird.

    Für jeden Punkt $P(x|y)$ auf dem Einheitskreis gilt $x^2+y^2=1$.

    Stelle dir vor, dass $\alpha$ immer größer wird und schließlich $90^\circ$ beträgt. Dann wird die Gegenkathete in dem großen Dreieck immer länger.

    Lösung

    Man kann mithilfe des Einheitskreises auch Sinus, Kosinus und Tangens von nicht spitzen Winkeln berechnen. Zum Beispiel für den Winkel $90^\circ$:

    $90^\circ$: Wenn der Winkel $\alpha$ immer größer und schließlich $90^\circ$ wird, wird die Gegenkathete immer größer und schließlich $1$. Das bedeutet, dass $\sin(90^\circ)=1$ ist. Umgekehrt wird die Ankathete immer kürzer und schließlich $0$. Also ist $\cos(90^\circ)=0$. Der Tangens, die Gegenkathete in dem größeren Dreieck, wird immer größer und geht gegen unendlich. Das bedeutet, dass der Tangens für $90^\circ$ nicht bestimmt werden kann.

  • Vervollständige die Tabelle der Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte.

    Tipps

    Zeichne dir einen Einheitskreis und überlege, was mit der Gegen- und Ankathete geschieht, wenn der Winkel $\alpha$ immer näher gegen die beiden Winkel $180^\circ$ und $270^\circ$ geht.

    Beachte auch das Vorzeichen.

    Für jeden Punkt $P(x|y)$ auf dem Rand des Einheitskreises gilt

    $x^2+y^2=1$.

    Wenn der Sinus den Wert $0$ hat, hat auch der Tangens den Wert $0$.

    Wenn der Kosinus den Wert $0$ hat, ist der Tangens nicht definiert (n.d.).

    Lösung

    Ähnlich wie für die beiden Winkel $0^\circ$ sowie $90^\circ$ kann man bei $180^\circ$ und $270^\circ$ argumentieren. Die Werte für $360^\circ$ sind ja bereits eingetragen und ergeben sich daraus, dass $360^\circ$ dem Winkel $0^\circ$ entspricht, da der Winkel im gesamten Kreis $360^\circ$ beträgt.

    $180^\circ$: Wenn der Winkel $\alpha$ größer als $90^\circ$ wird und gegen $180^\circ$ läuft, wird die Gegenkathete immer kleiner und schließlich $0$. Das bedeutet, dass $\sin(180^\circ)=0$ ist. Umgekehrt wird die Ankathete immer länger, im negativen Bereich, und schließlich $-1$. Dies kann man sicher nicht mehr als Länge der Gegenkathete verstehen. Also ist $\cos(180^\circ)=-1$. Da der Tangens die Gegenkathete in dem größeren Dreieck ist, ist auch $\tan(180^\circ)=0$.

    $270^\circ$: Wenn der Winkel $\alpha$ noch größer und schließlich $270^\circ$ wird, wird die Ankathete wieder kleiner und schließlich $0$. Das bedeutet, dass $\cos(270^\circ)=0$ ist. Umgekehrt wird die Gegenkathete immer länger, im negativen Bereich, und schließlich $-1$. Auch dies ist wiederum nicht als Länge der Gegenkathete zu verstehen. Also ist $\sin(270^\circ)=-1$. Der Tangens, die Gegenkathete in dem größeren Dreieck, wird immer größer, im negativen Bereich, und geht gegen negativ unendlich. Das bedeutet, dass der Tangens für $270^\circ$ nicht bestimmt werden kann.

  • Arbeite die näherungsweisen Werte für Sinus, Kosinus und Tangens von $60^\circ$ heraus.

    Tipps

    Der Sinus ist die Gegenkathete und der Kosinus die Ankathete.

    Du kannst überprüfen, ob das Quadrat des Sinuswertes und das des Kosinuswertes addiert (ungefähr) $1$ ergeben, da der Punkt, der diese Koordinaten besitzt, auf dem Einheitskreis liegt.

    Der Tangens kann auch wie folgt bestimmt werden:

    $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

    Lösung

    Zunächst macht man sich klar, welche der Seiten in welchem Dreieck dem Sinus, welche dem Kosinus und welche dem Tangens entsprechen:

    Sinus: Dies ist die Gegenkathete in dem kleinen Dreieck, blau eingezeichnet.

    Der Wert liegt knapp unter $0,9$, also zwischen $0,8$ und $1$. Somit ist $\sin(60^\circ)\approx 0,9$. Der Taschenrechner liefert den genauen Wert

    $\sin(60^\circ)=0,866$.

    Kosinus: Auch dieser kann abgelesen werden mit $\cos(60^\circ)\approx 0,5$.

    Dies ist auch der exakte Wert, welchen der Taschenrechner ausgibt.

    Tangens: Der Tangens ist die Gegenkathete in dem großen Dreieck: Diese kann ebenfalls abgelesen werden mit $\tan(60^\circ)\approx 1,7$.

    Der Taschenrechner gibt hier den exakten Wert $\tan(\alpha)=1,732$ aus.

    Übrigens: Es gilt $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

  • Gib an, wie Sinus, Kosinus und Tangens definiert sind.

    Tipps

    Merke dir: Sowohl in der Definition des Sinus als auch des Kosinus kommt die Hypotenuse vor.

    In der Definition des Tangens kommen die beiden Katheten vor.

    Lösung

    In einem rechtwinkligen Dreieck sind für einen spitzen Winkel $\alpha$ der Sinus, der Kosinus und der Tangens wie folgt definiert:

    1. $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    2. $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$
    3. $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$
    Ebenso können diese Funktionen für den Winkel $\beta$ definiert werden.

  • Untersuche die folgenden Zusammenhänge zwischen Sinus und Kosinus.

    Tipps

    Für jeden der Punkte $P(x|y)$ auf dem Einheitskreis gilt nach dem Satz des Pythagoras $x^2+y^2=1$.

    Der Tangens wird immer größer, je größer der Winkel $\alpha$ wird.

    Das rechtwinklige Dreieck, dessen Katheten der Sinus und der Kosinus sind, befindet sich komplett innerhalb des Einheitskreises. Dabei ist ein Eckpunkt des Dreiecks der Mittelpunkt des Einheitskreises.

    Lösung

    Da der Sinus und der Kosinus des Winkels $\alpha$ die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse $r=1$ sind, gilt nach dem Satz des Pythagoras:

    $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

    Dies ist der sogenannte „trigonometrische Pythagoras“.

    Da sowohl der Sinus als auch der Kosinus Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind (wie in dem Bild zu erkennen), welches komplett innerhalb des Einheitskreises liegt, kann man folgern,

    • dass sowohl der Sinus
    • als auch der Kosinus immer kleiner oder gleich $1$ sind.
    • Dies gilt für den Tangens nicht.
    Ganz allgemein kann man die Wertebereiche der Funktionen wie folgt angeben:
    • $\mathbb W_{\sin}=[-1;1]$
    • $\mathbb W_{\cos}=[-1;1]$
    • $\mathbb W_{\tan}=[-\infty;\infty]$

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