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Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Beispiele 09:25 min

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Transkript Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis – Beispiele

Hallo! Mein Name ist Thekla und heute dreht sich alles um die Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis.Dabei sehen wir uns vor allem Beispiele an, wie man Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis ablesen kann. Zur Wiederholung siehst du hier einen Einheitskreis. Sein Mittelpunkt liegt im Koordinatenursprung und er hat einen Radius von einer Längeneinheit. Für jeden Punkt auf dem Einheitskreis P(x|y) gilt: x² plus y² gleich 1.

Dies kann man mithilfe des folgenden rechtwinkligen Dreiecks veranschaulichen. (Wird eingezeichnet) Diese Seite ist die Hypotenuse des Dreiecks. Ihre Länge ist 1, da sie dem Radius des Einheitskreises entspricht. Diese Seite hat die Länge x, diese hier die Länge y. Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: x² plus y² gleich 1², also 1. Rufe dir noch einmal die Verhältnisse von Sinus, Kosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken ins Gedächtnis. (Ich lege die Karte mit den Verhältnissen auf) Betrachtet man im Einheitskreis diesen Winkel, wir nennen ihn alpha, des rechtwinkligen Dreiecks, so kann man erkennen, dass Folgendes gilt: Der Sinus von Alpha entspricht dieser Seite, also der Gegenkathete zu alpha, weil die Hypotenuse 1 ist, und Kosinus entspricht dieser Seite, das ist die Ankathete von alpha, weil die Hypotenuse 1 ist.

Der Tangens ist die Gegenkathete dieses Dreiecks, da die Ankathete, also der Nenner, 1 beträgt.

Wir wollen nun an einigen Beispielen den Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels Alpha näherungsweise bestimmen. Dazu sehen wir uns verschiedene Winkel am Einheitskreis im 1. Quadranten des Koordinatensystems an. Hier ein kleiner Tipp: Wähle für dein Heft den Radius r = 10 cm, damit du später die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens besser ablesen kannst. Ich wähle 10 Längeneinheiten.

In unserem ersten Beispiel wollen wir Sinus, Cosinus und Tangens vom Winkel α=70° bestimmen. Jetzt müssen wir zuerst den Winkel mit Hilfe des Geodreiecks einzeichnen.

Dort, wo der Strahl den Einheitskreis schneidet, markieren wir Punkt P. Nun zeichnen wir von P aus eine Strecke senkrecht zur x-Achse und nennen den Endpunkt Q. Außerdem zeichnen wir von der 1 auf der x-Achse senkrecht nach oben eine Strecke, die am Schnittpunkt mit dem Strahl endet.

Diese Seite ist der Kosinus von 70°, diese der Sinus von 70° und diese hier der Tangens von 70°.

Wir messen die Seitenlängen und erhalten für den Kosinus von 70° 3,5 (evtl. 4), für den Sinus 9,5 (evtl.9) und für den Tangens 26. Da der Radius des Einheitskreises 1 und nicht 10 beträgt müssen wir die Werte noch durch 10 teilen, bzw. das Komma um eine Stelle nach links verschieben.

Zum Vergleich: Der Taschenrechner liefert die Werte: Betrachten wir nun ein zweites Beispiel. Hier wollen wir Sinus, Cosinus und Tangens des eingezeichneten Winkels Beta bestimmen. Dazu müssen wir zuerst den Winkel messen. Wir erhalten beta gleich 45°.

Wie im vorherigen Beispiel zeichnen wir die Punkte P und Q ein, sowie die Verbindungsstrecken von P und von der 1 ausgehend. Wir wissen nun, dass diese Seite der Kosinus von 45° ist, diese der Sinus von 45° und diese Strecke hier der Tangens von 45°.

Um herauszufinden, wie groß diese Werte sind, müssen wir also nur noch die Streckenlängen messen.

Für den Kosinus von 45° messen wir ungefähr 7 LE. Da wir für unser Koordinatensystem einen größeren Maßstab gewählt haben, um besser abzulesen, müssen wir unser Ergebnis noch durch 10 teilen, also um eine Kommastelle nach links verschieben. Wir erhalten also cos(45°) ist ungefähr 0,7. Für den Sinus messen wir ebenfalls ungefähr 7 LE, also 0,7. Für den Tangens messen wir 10 LE, also genau 1.

Der Taschenrechner liefert die Werte: cos(45°) 0,7071 sin(45°) 0,7071 tan(45°)=1

Für einen Winkel von 45° gilt tatsächlich sin(45°) ist gleich cos (45°). Das kann man hier gut erkennen. Das Dreieck ist gleichschenklig, also sind diese Seite und diese hier gleich lang. Somit auch die Werte für Sinus und Kosinus. Und deswegen beträgt der Tangens auch genau 1. Als drittes Beispiel betrachten wir einen spannenden Sonderfall: Gamma gleich 90°.

Aber Moment mal! Hier kann man ja gar kein Dreieck einzeichnen!

Das stimmt, du kannst aber trotzdem die Werte für Sinus und Kosinus ablesen. Der Kosinus wird bei einem Winkel von 90° genau Null. Der Sinus hingegen erreicht bei 90° genau den Wert 1. Dafür brauchen wir nicht einmal einen Taschenrechner! Doch was ist mit dem Tangens? Ich habe hier einmal Skizzen angefertigt für einen Winkel von 80° und 85°. Du siehst, dass der Tangens in Richtung 90° immer größer wird und irgendwann nicht mehr eingezeichnet werden kann. Er wird unendlich groß.

Daher ist der Tangens von 90° nicht definiert. Lass uns nun alles zusammenfassen. In einem rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis entspricht diese Seite dem Kosinus, diese dem Sinus und diese Seite dem Tangens von alpha. Um den Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels näherunsgweise zu bestimmen, musst du zuerst den Winkel entweder messen oder einzeichnen. Danach zeichnest du die Punkte P und Q ein und die jeweiligen Strecken für den Sinus und Tangens. Dann musst du die einzelnen Strecken nur noch messen. Aber Achtung: Hast du den Radius des Einheitsviertelkreises mit 10 cm festgelegt, so musst deine gemessenen Werte um eine Kommastelle nach links verschieben. Toll, was man mithilfe eines Geodreiecks und Taschenrechners so alles am EInheitskreis messen und berechnen kann! Ich hoffe, es hat dir gefallen und wir sehen uns bald wieder!

Tschüss!

1 Kommentar
  1. Default

    Vielen Dank! Dieses Video hat mir sehr weitergeholfen!

    Von Danielaholzmann, vor mehr als 2 Jahren