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Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion

Ein Kreis besteht aus allen Punkten einer Fläche, die alle den gleichen Abstand zu einem Mittelpunkt haben. Wenn man einen Kreis mit einem bestimmten Radius zeichnet, erhält man einen Kreisbogen. Lies, wie man Kreise konstruiert und welche Linien mit dem Kreis verbunden sind. Neugierig geworden? Das und vieles mehr kannst du im folgenden Text entdecken.

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Team Digital
Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreis – Definition, Begriffe und Konstruktion kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Begriffe des Kreises.

    Tipps

    Den Begriff „Kreisgerade“ gibt es nicht.

    Die Begriffe „Höhe“ und „Umlauf“ gehören nicht zum Kreis.

    Lösung

    Wir betrachten noch einmal die Definitionen der Begriffe und setzen entsprechend ein:

    • Kreislinie: Menge aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt $M$ der Ebene den gleichen Abstand r haben
    • Umfang: Länge der Kreislinie
    • Kreisfläche: von der Kreislinie eingeschlossene Fläche
    • Mittelpunkt $M$: von diesem aus wird die Kreislinie gezeichnet
    • Radius $r$: Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Kreislinie
    • Durchmesser $d$: doppelter Radius, geht durch den Mittelpunkt
    • Kreisbogen: Teilstrecke der Kreislinie
    • Kreissektor: Teilfläche der Kreisfläche
  • Beschreibe wichtige Begriffe zum Kreis.

    Tipps

    Kreislinie und Umfang stehen im Zusammenhang.

    Radius und Durchmesser haben miteinander zu tun.

    „Tangere“ bedeutet „berühren“.

    „Passer“ ist französisch und bedeutet „vorbeigehen“.

    Lösung

    Ein Kreis besteht aus einer Kreislinie, die eine Fläche umschließt. Man nennt sie Kreisfläche. Die Länge der Kreislinie ist der Umfang des Kreises.

    Der Radius steht im Zusammenhang zum Durchmesser. Er ist exakt doppelt so lang wie dieser.

    Wenn wir uns die Geraden am Kreis anschauen, unterscheiden wir zwischen Geraden mit einem, zwei oder keinem Schnittpunkt.

    Diese Begriffe gehören zu folgenden Erklärungen:

    $\begin{array}{l|l} \text{Begriff} & \text{Erklärung} \\ \hline \text{Umfang} & \text{Länge der Kreislinie} \\ \text{Durchmesser} & \text{doppelter Radius} \\ \text{Tangente} & \text{Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt} \\ \text{Sekante} & \text{Gerade, die den Kreis zweimal schneidet} \\ \text{Passante} & \text{Gerade, die den Kreis nicht schneidet oder berührt} \end{array}$

  • Entscheide, ob die Aussagen über eine Kreiskonstruktion richtig sind.

    Tipps

    Der Zirkel ist ein sehr einfaches Hilfsmittel, um einen Kreis zu zeichnen. Man muss ihn nur richtig einstellen und schon kann man einen Kreis anfertigen.

    Der Durchmesser ist der doppelte Radius.

    Lösung

    Im Geometrieunterricht lernst du, wie man Kreise richtig zeichnet. Hierfür brauchst du einen Zirkel. Dieser kann kleinere Kreise zeichnen. Wenn aber Kunstschaffende für ihre Kunstwerke einen großen Kreis zeichnen möchten, benötigen sie ein anderes Hilfsmittel: Hier kann eine Schnur mit Faden hilfreich sein.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • Wenn du einen Kreis konstruieren willst, dann musst du einen Weg finden, eine Linie mit einem festen Abstand zum Mittelpunkt zu zeichnen.
    • Für sehr große Kreise kannst du auch eine Schnur angebunden an einen Stift zur Hilfe nehmen. Du musst dafür die Schnur an einem Punkt fixieren.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • Mit dem Zirkel stellst du den Durchmesser ein und zeichnest damit den Kreis um den Mittelpunkt.
    Man muss den Radius beim Zirkel einstellen.
    • Um einen Kreis zu erhalten, wird ein Kreissektor um den Mittelpunkt gezeichnet.
    Man zeichnet eine Kreislinie um den Mittelpunkt.
  • Entscheide, welche Aussagen zu den Geraden am Kreis richtig sind.

    Tipps

    „Tangere“ bedeutet „berühren“.

    „Passer“ ist französisch und bedeutet „vorbeigehen“.

    Lösung

    Am Kreis unterscheidet man Strecken und Geraden. Diese werden ebenfalls noch einmal unterteilt nach ihrer Anzahl der Schnittpunkte.

    Der Radius ist die Strecke vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie. Der Radius schneidet den Kreis einmal.

    Die Passante beschreibt eine Gerade, die den Kreis nicht schneidet oder berührt. Das Wort wird von dem französischen Verb „passer“ = „vorbeigehen“ abgeleitet. Die Passante hat also keine Schnittpunkte mit dem Kreis.

    Die Tangente beschreibt eine Gerade, die den Kreis genau einmal schneidet bzw. berührt. Das Wort wird von dem lateinischen Verb „tangere“ = „berühren“ abgeleitet. Die Tangente hat also nur einen Schnittpunkt mit dem Kreis.

    Die Sekante beschreibt eine Gerade, die den Kreis genau zweimal schneidet. Das Wort wird von dem lateinischen Verb „secare“ = „schneiden“ abgeleitet. Die Sekante hat also zwei Schnittpunkte mit dem Kreis.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • Die hellblaue und die dunkelblaue Gerade sind Tangenten.
    • Die dunkelgrüne und die gelbe Gerade sind Passanten.
    • Die hellgrüne und die lila Gerade sind Sekanten.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • Die gelbe und die hellgrüne Gerade sind Passanten.
    Die hellgrüne Gerade ist eine Sekante.
    • Die hellgrüne und die hellblaue Gerade sind Sekanten.
    Die hellblaue Gerade ist eine Tangente.
    • Der Radius ist eine Sekante.
    Der Radius ist keine Gerade, sondern eine Strecke am Kreis.
  • Gib die Definition eines Kreises an.

    Tipps

    Hier wurde ein Mittelpunkt $M$ markiert und immer im Abstand von ${3}~\text{cm}$ ein Punkt gesetzt. Irgendwann ensteht eine Kreislinie, auch Kreis mit Radius $r$ genannt.

    Der Abstand des Mittelpunktes $M$ zum Radius $r$ ist immer gleich.

    Lösung

    Kreise kommen in vielen Kunstwerken vor. Aus ihnen können eindrucksvolle Muster entstehen.

    Ein Kreis hat immer einen Mittelpunkt $M$ und einen Radius $r$.

    Die Menge aller Punkte $P$ in einer Ebene $E$, die von einem gegebenen Punkt $M$ denselben Abstand $r$ haben, heißt Kreis.
    Man kann sich das so vorstellen, dass, wenn man einen Mittelpunkt $M$ markiert und immer im gleichen Abstand $r$ zu $M$ einen Punkt setzt, irgendwann ein Kreis entsteht.

    Der Radius ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt $M$ und der Kreislinie. Der Durchmesser ist der doppelte Radius.

    Die Länge der Kreislinie nennt man Umfang.

  • Bestimme alle Bilder, auf denen Kreissektoren dargestellt sind.

    Tipps

    Überprüfe, ob die eingeschlossene Fläche von einem Kreisbogen und zwei Kreisradien eingeschlossen wird.

    Eine Fläche zwischen einer Sekante und dem Kreisbogen nennt man Kreissegment.

    Lösung

    Bei einem Kreissektor handelt es sich um eine Teilfläche der Kreisfläche. Diese wird von einem Kreisbogen (Teilstrecke der Kreislinie) und von zwei Kreisradien eingeschlossen und berührt somit den Mittelpunkt.

    Durch eine Sekante, welche den Kreis zweimal schneidet und nicht durch den Mittelpunkt geht, entstehen zwei Teilflächen. Dabei handelt es sich nicht um Kreissektoren.

    Folgende Bilder zeigen Kreissektoren:

    Bild 1:
    Der Kreissektor geht vom Mittelpunkt aus und wird von zwei Radien begrenzt, eine sehr kleine gelb markierte Fläche entsteht.

    Bild 3:
    Der Kreissektor geht ebenfalls vom Mittelpunkt aus, wird von zwei Radien eingeschlossen und umschließt eine gelb markierte Fläche, welche fast ${\frac{3}{4}}$ der gesamten Kreisfläche darstellt.

    Bild 4:
    Der Kreissektor geht auch vom Mittelpunkt aus, wird von zwei Radien eingeschlossen und die halbe Kreisfläche ist gelb markiert.

    Folgendes Bild zeigt keinen Kreissektor, sondern ein Kreissegment:

    Bild 2:
    Eine Sekante schneidet den Kreis zweimal und schließt eine Fläche ein, geht aber nicht durch den Mittelpunkt.