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Umfang von Kreisen – Erklärung

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Team Digital
Umfang von Kreisen – Erklärung
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Umfang von Kreisen – Erklärung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Formel für den Umfang des Kreises für Berechnungen anzuwenden.

Umfang einer Pizza

Zunächst lernst du, wie Durchmesser und Umfang miteinander zusammenhängen. Anschließend schauen wir uns den Proportionalitätsfaktor Pi ein bisschen genauer an. Abschließend erfährst du, wie du die Umfangsformel nutzen kannst, wenn du den Durchmesser oder den Radius gegeben hast.

Pi Wortherkunft Etymologie

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Kreis, Radius, Durchmesser, Pi, Kreisumfang und Proportionalitätsfaktor.

Umfang Durchmesser Proportionalitätsfaktor

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits grundlegendes Wissen zu Kreisen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Formel für den Flächeninhalt von Kreisen zu lernen.

Transkript Umfang von Kreisen – Erklärung

Was haben eine Pizza, deine Lieblingstasse und unsere Erde gemein? Auf den ersten Blick nicht viel, oder? Aber wenn wir uns ihren Querschnitt anschauen, ist dieser jeweils kreisförmig. Wie man den Umfang dieser Querschnitte nicht nur nachmessen, sondern sogar berechnen kann, erfährst du in diesem Video. Aber erstmal ganz langsam. Was ist überhaupt der Umfang eines Kreises? Der Umfang ist die Länge der Kreislinie. Den kann man aber nicht mal eben mit dem Lineal nachmessen. Krumme Linien lassen sich so wirklich schlecht messen. Da würde vielleicht eher ein Maßband helfen. Na dann holen wir uns doch mal runde Gegenstände aus der Küche und messen nach. Zum Beispiel ein Glas, eine Tasse und einen Frühstücksteller. Zuerst messen wir einmal um das Glas herum, also den Umfang. Danach messen wir auch noch die briete des Glases aus – das ist der Durchmesser. Wir haben diese Werte gemessen, vielleicht haben die Gläser bei dir zu Hause aber auch eine andere Größe. Die Tasse und der Teller haben bei uns diese Werte. Man erkennt: je größer der Durchmesser wird, desto größer wird auch der Umfang. Aber werden sie auch im selben Maß größer? In anderen Worten: Wenn sich der Durchmesser verdoppelt, verdoppelt sich dann auch der Umfang? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir untersuchen, ob wir einen allgemeinen Proportionalitätsfaktor finden können. Dafür teilen wir den Umfang durch den Durchmesser und schauen, ob sich bei unseren drei Beispielen ein konstanter Proportionalitätsfaktor ergibt. Wir erhalten dabei diese gerundeten Werte. Die liegen alle ziemlich nah beieinander. Im Rahmen der Messungenauigkeit unserer Maßband-Methode können die Werte sogar als identisch betrachtet werden. Das bedeutet, unsere These stimmt: Wenn der Durchmesser wächst, wächst der Umfang proportional mit ihm. Das heißt: ganz egal wie groß der Kreis ist: das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist immer gleich groß, also konstant. Wenn wir also unsere Messungenauigkeiten vernachlässigen, ist der Umfang ungefähr 3,14-mal so groß wie der Durchmesser. Unser Proportionalitätsfaktor ist nämlich Pi. Aber warum nennt man ihn ausgerechnet Pi? Pi ist der erste Buchstabe des griechischen Wortes „periféria“, das bedeutet „Umfang“ oder „Umkreis“. Bildlich gesprochen heißt das, dass der Durchmesser locker dreimal in den Umfang passt. Umfang geteilt durch Durchmesser ergibt also immer Pi. Wenn wir die Formel mit „d“ multiplizieren, haben wir nach „U“ umgestellt. Um den Umfang zu berechnen, müssen wir also den Durchmesser mal Pi rechnen. So hat zum Beispiel eine Pizza, die einen Durchmesser von dreißig Zentimetern hat, einen Umfang von circa vierundneunzig Zentimetern. Und wenn wir den Durchmesser der Erde berechnen wollen, müssen wir den Umfang durch Pi teilen. Der Umfang der Erde ist die Länge des Äquators. Der ist knapp vierzigtausend Kilometer lang. Eingesetzt in unsere Formel erhalten wir den Erddurchmesser. Beim Rechnen mit Pi müssen die Ergebnisse immer gerundet werden. Das liegt daran, dass Pi irrational ist, also unendlich viele, nichtperiodische Kommastellen hat. Meistens reicht es aus, auf zwei Nachkommastellen zu runden. Und falls wir bei einem Kreis mal nicht den Durchmesser, sondern den Radius gegeben haben, können wir die Umfangsformel einfach umstellen, weil der Durchmesser ja immer das Doppelte des Radius ist. U ist dann zwei mal pi mal r. Um das Ganze abzurunden, fassen wir kurz zusammen. Der Umfang eines Kreises ist die Länge der Kreislinie. Um ihn zu berechnen, multiplizieren wir pi mit dem Durchmesser. Wenn wir nicht den Durchmesser, sondern den Radius gegeben haben, rechnen wir zwei mal pi mal r. Die Konstante Pi ist dabei super praktisch, weil wir so nicht den krummen Umfang sondern nur den geradlinigen Durchmesser oder Radius eines Kreises ausmessen müssen, um dann den Umfang exakt berechnen zu können. „Jetzt weißt du, wer für das Gemeinsame der Pizza, deiner Lieblingstasse und unserer Erde verantwortlich ist! Pi - eine der wichtigsten und schönsten Zahlen der Mathematik.“

2 Kommentare
2 Kommentare
  1. Danke

    Von Leonie, vor 9 Monaten
  2. Gut erklärt

    Von Leonie, vor 9 Monaten

Umfang von Kreisen – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Umfang von Kreisen – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Formeln für den Umfang eines Kreises gelten.

    Tipps

    Der Durchmesser entspricht dem doppelten Radius.

    $\pi$ gibt den Proportionalitätsfaktor $\frac{U}{d}$ an.

    Lösung

    Der Durchmesser $d$ eines Kreises geht geradlinig durch den Mittelpunkt $M$ und berührt auf beiden Seiten die Kreislinie.

    Der Radius $r$ eines Kreises geht vom Mittelpunkt $M$ aus geradlinig bis zur Kreislinie.

    Der Radius entspricht somit der Hälfte des Durchmessers, also $d=2 \cdot r $.

    Der Umfang entspricht der Länge der Kreislinie. Und $\pi$ gibt den Proportionalitätsfaktor $\frac{U}{d}$ an.

    Folgende Formeln sind im Kreis korrekt:

    • $U=2 \cdot r \cdot \pi$
    • $U=d \cdot \pi$
    Folgende Formeln sind im Kreis nicht korrekt:
    • $U=2 \cdot d \cdot \pi$
    • $U=2 \cdot d \cdot r$

  • Berechne den Proportionalitätsfaktor.

    Tipps

    $\pi$ gibt den Proportionalitätsfaktor $\dfrac{U}{d}$ an.

    Um den Proportionalitätsfaktor zu berechnen, teilen wir Umfang durch den Durchmesser.
    Beispiel: $ U = 50~\text{cm}$ und $d=15{,}9~\text{cm}$
    Rechnung: $\dfrac{U}{d} = \dfrac{50}{15,9} = 3{,}144$

    Lösung

    Der Proportionalitätsfaktor wird mit dem Quotienten $\frac{U}{d}$ angegeben. $U$ ist der Umfang und $d$ der Durchmesser eines Kreises. Wenn man den Umfang von Alltagsgegenständen mit einem Kreis als Querschnitt misst, erhält man verschiedene Werte. In dieser Aufgabe sind einige Beispiele genannt. Es fällt auf, dass sich alle Quotienten um den Wert $3{,}14$ herum einordnen. Diese Zahlen nähern sich der irrationalen Zahl $\pi$ an.

    Die Ergebnisse der Rechnungen sind:

    • $\frac{20,8}{6,6}~\approx~3{,}151$
    • $\frac{25,8}{8,2}~\approx~3{,}146$
    • $\frac{60,3}{19,2}~\approx~3{,}141$

  • Berechne den Umfang der einzelnen Kreise.

    Tipps

    Setze $r$ in die Formel $U=\pi \cdot 2 \cdot r$ ein.

    Setze $d$ in die Formel $U=\pi \cdot d $ ein.

    Lösung

    Der Umfang des Kreises kann mit der Formel $U=\pi \cdot 2 \cdot r$ oder $U=\pi \cdot d$ berechnet werden. Je nachdem, welchen Wert du gegeben hast, kannst du die passende Formel wählen. Grundsätzlich ist der Radius immer die Hälfte des Durchmessers.

    Folgende Paare gehören zusammen:

    • $d=5~\text{cm} ~ \rightarrow ~ U = \pi \cdot d ~ \rightarrow ~ \pi \cdot 5~\text{cm} = 15{,}70~\text{cm} = U$
    • $r=5~\text{cm} ~ \rightarrow ~ U = \pi \cdot 2 \cdot r ~ \rightarrow ~ \pi \cdot 2 \cdot 5~\text{cm} = 31{,}42~\text{cm} = U$
    • $r=4~\text{cm} ~ \rightarrow ~ U = \pi \cdot 2 \cdot r ~ \rightarrow ~ \pi \cdot 2 \cdot 4~\text{cm} = 25{,}13~\text{cm} = U$
    • $d=4~\text{cm} ~ \rightarrow ~ U = \pi \cdot d ~ \rightarrow ~ \pi \cdot 4~\text{cm} = 12{,}56~\text{cm} = U$

  • Ermittle den Umfang der Kreise.

    Tipps

    Beispiel: $r = 5~\text{cm}$
    Rechnung: $U=\pi \cdot 2 \cdot 5 = 31{,}42~\text{cm}$

    Beispiel: $d=9~\text{cm}$
    Rechnung: $U=\pi \cdot 9 = 28{,}27~\text{cm}$

    Lösung

    Der Umfang des Kreises wird mit der Formel $U=\pi \cdot d$ oder $U=\pi \cdot 2 \cdot r $ berechnet.

    Folgender Umfang ist kleiner als $10~\text{cm}$.

    • $r=1{,}5~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 2 \cdot 1{,}5 = 9{,}42~\text{cm}$
    • $d=1{,}5~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 1{,}5 = 4{,}71~\text{cm}$
    • $d=2~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 2 = 6{,}28~\text{cm}$
    Folgender Umfang ist größer als $20~\text{cm}$.
    • $r=3{,}5~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 2 \cdot 3{,}5 = 21{,}99~\text{cm}$
    • $r=4~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 2 \cdot 4 = 25{,}13~\text{cm}$
    Folgender Umfang liegt zwischen $10~\text{cm}$ und $20~\text{cm}$.
    • $r=2~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 2 \cdot 2 = 12{,}57~\text{cm}$
    • $d=3{,}5~\text{cm}$, weil $U=\pi \cdot 3{,}5 = 11~\text{cm}$

  • Bestimme den Umfang der Pizza.

    Tipps

    Der Durchmesser ist mit $30~\text{cm}$ gegeben. Hier ist der Radius gefragt.

    Der Durchmesser entspricht dem doppelten Radius.

    Du musst die $30~\text{cm}$ durch $2$ dividieren, um die richtige Lösung für die Lücke zu erhalten.

    Lösung

    Der Umfang des Kreises wird mit der Formel $U=\pi \cdot d$ oder $U=\pi \cdot 2 \cdot r $ berechnet. In der Aufgabe ist $d$ gegeben und es wird nach $r$ gefragt, deshalb müssen wir die $30~\text{cm}$ durch $2$ dividieren.

    Radius = $15~\text{cm}$
    Umfang der Pizza = $2 \cdot 15 \cdot \pi \approx 94{,}25$

  • Bestimme die fehlenden Werte.

    Tipps

    Achte auf die Umrechnungen. Zum Beipiel sind $1~\text{cm} = 10~\text{mm}$.

    Um von der Einheit $\text{km}$ auf die Einheit $\text{m}$ zu kommen, wird mit dem Faktor $1000$ multipliziert. Umgekehrt wird mit dem Faktor $1000$ dividiert.
    Beispiel: $20~\text{km} \cdot 1000 = 20\,000~\text{m} $

    Lösung

    Der Umfang des Kreises wird mit der Formel $U=\pi \cdot d$ oder $U=\pi \cdot 2 \cdot r $ berechnet. In dieser Aufgabe ist es wichtig zu wissen, wie man die Einheiten umrechnet.
    Es gilt:

    • $1~\text{m} = 10 ~\text{dm} = 100~\text{cm} = 1000~\text{mm}$
    • $1~\text{km} = 1000~\text{m}$
    Alle Ergebnisse sind auf eine Nachkommastelle gerundet.

    Die Lösungen für die Aufgaben sind:

    • Umfang $ = 7{,}5~\text{cm}~ = ~75~\text{mm}~\rightarrow~ U = \pi \cdot 2 \cdot r = 75~\text{mm} ~ \rightarrow r = \dfrac{75~\text{mm}}{\pi \cdot 2} = 11{,}9~\text{cm}$
    • Radius $ =36~\text{cm}~ = ~ 0{,}36 ~\text{m} ~\rightarrow~ U= \pi \cdot 2 \cdot r= 0{,}36~\text{m} \cdot 2 \cdot \pi = 2{,}3~\text{m}$
    • Radius $ = 118~\text{m}~ = ~0{,}118~\text{km}~\rightarrow~ U=\pi \cdot 2 \cdot r = 0{,}118~\text{km} \cdot 2 \cdot \pi = 0{,}7~\text{km}$

    • Durchmesser $=0{,}7~\text{km}~ = ~700~\text{m} ~ \rightarrow ~ U = \pi \cdot d = \pi \cdot 700~\text{m} = 2199{,}1~\text{m}$
    • Umfang $ = 6{,}9~\text{dm} ~ = ~ 0{,}69~\text{m}~ \rightarrow ~ U= \pi \cdot d = \pi \cdot 0{,}69~\text{m}~ \rightarrow ~ d = \dfrac{0,69~\text{m}}{\pi} = 0{,}2~\text{m}$
    • Durchmesser $=75~\text{mm}~ = ~ 7{,}5~\text{cm} ~ \rightarrow ~ U = \pi \cdot d = \pi \cdot 7{,}5~\text{cm} = 23{,}6~\text{cm}$
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