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Was ist eine Äquivalenzumformung?

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Team Digital
Was ist eine Äquivalenzumformung?
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Was ist eine Äquivalenzumformung?

Inhalt

Was ist eine Äquivalenzumformung?

Als Äquivalenzumformungen werden Umformungen von Gleichungen bezeichnet, die die Lösungsmenge der Gleichung nicht verändern. Daher kannst du Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen.

Im Folgenden schauen wir uns an, welche Äquivalenzumformungen es gibt und was du dabei beachten musst.

Äquivalenzumformungen einfach erklärt

Die Definition von Äquivalenzumformungen besagt, dass sie die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändern dürfen. Die Gleichung kannst du dir wie zwei Waagschalen vorstellen, die im Gleichgewicht bleiben müssen.

Äquivalenzumformung in Mathe

Dabei entspricht jede Waagschale einer Seite der Gleichung. In dem Beispiel aus der Abbildung wäre die Gleichung demnach:

$x + 2 = 5$

Äquivalenzumformung Erklärung

Entfernen wir aus beiden Waagschalen jeweils zwei Gewichte, dann bleibt das Gleichgewicht erhalten. In der Gleichung müssen wir dazu auf beiden Seiten $2$ subtrahieren:

$x + 2 - 2 = 5 - 2$

Wir rechnen beide Seiten dieser neuen Gleichung aus und erhalten $x = 3$ als Lösung.

Äquivalenzumformungen sind also solche Umformungen, die das Gleichgewicht der Waage erhalten. Wir können auf beiden Seiten dieselbe Zahl:

  • addieren,
  • subtrahieren,
  • mit ihr multiplizieren, wenn die Zahl nicht $0$ ist und
  • durch sie dividieren, wenn die Zahl nicht $0$ ist.

Dabei ist entscheidend, dass auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Umformung stattfindet.

Es gibt außerdem zwei Ausnahmen, die du beachten musst:

  • Wir dürfen nicht mit $0$ multiplizieren oder durch $0$ dividieren.
  • Wir dürfen nicht mit der Unbekannten multiplizieren oder durch die Unbekannte dividieren.

Würden wir zum Beispiel unsere Gleichung von oben $x + 2 = 5$ auf beiden Seiten mit $0$ multiplizieren, dann erhielten wir $(x + 2) \cdot 0 = 5 \cdot 0$. Zusammengefasst ergibt sich: $0 = 0$. Die Lösung der Gleichung geht hier also verloren. Daher ist das Multiplizieren mit $0$ keine Äquivalenzumformung.

Äquivalenzumformungen – Beispiel

Betrachten wir nun ein Beispiel für die Berechnung mit Äquivalenzumformungen:

$\begin{array}{rcll} 5x - 9 & = & 3x + 3 & \vert - 3x \\ 5x - 3x - 9 & = & 3x - 3x + 3 & \\ 2x - 9 & = & 3 & \vert + 9 \\ 2x - 9 + 9 & = & 3 + 9 & \\ 2x & = & 12 & \vert :2 \\ x & = & 6 & \end{array}$

Hier kannst du sehen, wie die Unbekannte $x$ nach und nach auf der linken Seite der Gleichung isoliert wird. Dazu verwenden wir nacheinander die Äquivalenzumformungen $– 3x$, dann $+ 9$ und schließlich $: 2$ jeweils auf beiden Seiten der Gleichung.

Dieses Video

In diesem Video lernst du, welche Äquivalenzumformungen es gibt und wie wir sie anwenden können, um eine Gleichung zu lösen. Im Anschluss gibt es eine Übung mit Aufgaben zu Äquivalenzumformungen.

Transkript Was ist eine Äquivalenzumformung?

Tims Lehrer hat angekündigt seinem Vater eine Email zu schicken. Was da wohl drin steht? Tim kann auf keinen Fall riskieren, dass sein Vater sie zuerst liest. Aber um das zu verhindern, muss er irgendwie in das Postfach seines Vaters. Typisch! Tims Vater hat seine Mailadresse mit einer mathematischen Gleichung abgesichert. Um da reinzukommen, muss Tim wissen, was Äquivalenzumformungen sind und wie man mit ihnen Gleichungen löst. Aber zunächst einmal: Was war überhaupt nochmal eine Gleichung? Eine Gleichung kann zum Beispiel so aussehen: "x plus zwei gleich fünf". Sie verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen. Außerdem enthält eine Gleichung meist eine oder mehrere Variablen beziehungsweise UNBEKANNTE. In unserem Fall ein x. Um herauszufinden, wann unsere Gleichung erfüllt ist, müssen wir ihre LÖSUNG bestimmen. Also den x-Wert, für den beide Terme GLEICHWERTIG sind. Dabei helfen uns ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN. Die Bedeutung von Äquivalenzumformungen können wir gut an einer Waage veranschaulichen. Auf der linken Seite liegen das x und zwei Gewichte und auf der rechten liegen fünf Gewichte. Wie schwer muss unser x sein, damit die Waage ausgeglichen ist? Du erkennst wahrscheinlich schon, dass die Lösung in unserem Fall drei ist. Aber wie kommst du darauf? Eine Möglichkeit besteht darin, auf beiden Seiten zwei Gewichte herunterzunehmen. So sehen wir, dass unser x genau so schwer sein muss wie drei Gewichte, damit die Waage im Gleichgewicht ist. Bei unserer Gleichung sieht das so aus: Da wir auf beiden Seiten zwei Gewichte wegnehmen, ziehen wir auch auf beiden Seiten der Gleichung zwei ab. Auf der linken Seite heben sich zwei und minus zwei gegenseitig auf, es bleibt nur noch das x stehen. Auf der rechten Seite bleibt eine drei übrig, nachdem wir zwei abgezogen haben. Und das war schon eine Äquivalenzumformung. Wir verdeutlichen unser Vorgehen, indem wir unseren Rechenschritt rechts an unsere Gleichung hinter einen Strich schreiben. Jetzt können wir die Lösung einfach an der umgeformten Gleichung ablesen: x gleich drei Unser Ziel ist es also, dass das x alleine auf einer Seite steht. Das können wir mit Äquivalenzumformungen erreichen, da durch diese die Lösungsmenge von Gleichungen nicht geändert wird. Wir müssen aber darauf achten, sie immer auf beiden Seiten durchzuführen! Folgende Äquivalenzumformungen sind grundsätzlich möglich: Wir können auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren, die gleiche Zahl subtrahieren, mit der gleichen Zahl multiplizieren, oder durch die gleiche Zahl dividieren. Zwei Ausnahmen müssen wir uns allerdings merken: Wir dürfen dabei nicht mit null multiplizieren oder durch null dividieren und auch mit unserer Unbekannten, beziehungsweise mit Termen, die unsere Unbekannte enthalten, dürfen wir diese beiden Rechenoperationen nicht ausführen. Denn das würde unsere Lösungsmenge ändern. Alles klar, dann jetzt mal ein Beispiel für Fortgeschrittene: "fünf x minus neun gleich drei x plus drei" Hier müssen wir erstmal ein bisschen Ordnung reinbringen. Wir wollen erreichen, dass unsere Unbekannte x nur noch auf EINER Seite steht. Um den Term "drei x" auf der rechten Gleichungsseite zu "eleminieren", nutzen wir die UMKEHROPERATION, also MINUS drei x. So fallen die drei x auf der rechten Gleichungsseite weg. Natürlich müssen wir die gleiche Rechenoperation auch auf der linken Seite durchführen: fünf x minus drei x können wir zu zwei x zusammenfassen. Als nächstes bietet es sich an, die minus neun los zu werden, damit wir nur noch unsere zwei x auf der linken Gleichungsseite haben. Wir wenden erneut die UMKEHROPERATION als Äquivalenzumformung an: Wir rechnen auf beiden Seiten PLUS neun. So - die Gleichung die wir jetzt haben, sieht doch schon viel schöner aus. Damit wir unsere Lösung einfach ablesen können, fehlt nur noch ein Schritt: Wir müssen durch die Zahl vor dem x teilen, also durch zwei. Und das wieder auf BEIDEN Seiten. So erhalten wir unsere Lösung: x gleich sechs. Perfekt, Tim hat das Prinzip verstanden und ist drauf und dran die Gleichung seines Vaters zu knacken. Wir fassen derweil nochmal alles Wichtige zusammen: Äquivalenzumformungen helfen uns dabei Gleichungen zu lösen. Wir können dabei alle Grundrechenarten mit der gleichen Zahl anwenden, also Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Dabei müssen wir immer darauf achten, die Umformungen auf beiden Seiten durchzuführen. Außerdem dürfen wir weder mit Null oder unseren Unbekannten multiplizieren noch durch diese dividieren. Denn nur wenn wir diese Hinweise beachten, können wir sicherstellen, dass sich die Lösungsmenge unserer Gleichung nicht ändert. Im Endeffekt wollen wir durch die Umformungen erreichen, dass wir unsere Unbekannte alleine auf einer Seite der Gleichung stehen haben. Wir nennen das auch: Die Unbekannte ISOLIEREN. Dann können wir die Lösung einfach ablesen. Endlich ist Tim im Postfach! Glauben die beiden wirklich sie könnten sich hinter seinem Rücken über ihn austauschen? Da haben sie die Rechnung aber ohne ihn gemacht! Was? Er soll DRINGEND Äquivalenzumformungen üben? Na klasse, da ist er den beiden ja schön auf den Leim gegangen, immerhin ist DAS jetzt kein Thema mehr.

Was ist eine Äquivalenzumformung? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist eine Äquivalenzumformung? kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was eine Äquivalenzumformung ist.

    Tipps

    Äquivalenzumformungen müssen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden, damit sie die Lösungsmenge der Gleichung nicht verändern.

    Bei Umformungen mit Multiplikation und Division müssen zwei Ausnahmen beachtet werden.

    Lösung

    Wir nutzen Äquivalenzumformungen, um die Lösung einer Gleichung zu bestimmen. Durch die Umformungen darf die Lösungsmenge also nicht verändert werden.

    Dazu wird immer auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Umformung durchgeführt.
    Wir können dieselbe Zahl:

    • addieren,
    • subtrahieren,
    • mit ihr multiplizieren und
    • durch sie dividieren.

    Ausgenommen sind:

    • Multiplikation und Division mit $0$
    • Multiplikation und Division mit der Unbekannten oder Termen, die die Unbekannte enthalten

    Da sich dadurch die Lösungsmenge der Gleichung verändern kann. Hier siehst du an zwei Beispielen, wie eine nicht erlaubt Rechenoperation zu einer falschen Lösung der Gleichung führt:

    Beispiel 1: Multiplikation mit $0$, korrekte Lösung ist $x = 2$
    $\begin{align} 3x &= 6 \quad |\cdot 0 \\ 3x \cdot 0 &= 6 \cdot 0 \\ 0 &= 0 \end{align}$

    Beispiel 2: Division mit $x$, korrekte Lösung ist $x = 0$
    $\begin{align} 3x &= 6x \quad |:x \\ 3x :x &= 6x : x \cdot 0 \\ 3 &= 6 \end{align}$

  • Gib die Rechenschritte zur Lösung der Gleichung $5x - 9 = 3x + 3$ mit Äquivalenzumformungen an.

    Tipps

    Zu Beginn der Rechnung können Zahlen und Terme mit der Variablen auf beiden Seiten der Gleichung stehen. Diese werden nach und nach auf verschiedenen Seiten isoliert.

    Am Ende der Rechnung steht das Ergebnis.

    Nach dem Zusammenfassen folgt der nächste Rechenschritt mit einer Äquivalenzumformung.

    Lösung

    Wir lösen die Gleichung $5x - 9 = 3x + 3$ Schritt für Schritt mithilfe von Äquivalenzumformungen. Dazu wird immer auf beiden Seiten der Gleichung derselbe Rechenschritt durchgeführt und soweit wie möglich zusammengefasst. Dann folgt der nächste Schritt zur Umformung bis $x$ auf einer Seite alleine steht.

    $\begin{array}{rcll} 5x - 9 &=& 3x + 3 & \vert +9 \\ 5x - 9 + 9 &=& 3x + 3 + 9 & \\ 5x &=& 3x + 12 & \vert -3x \\ 5x -3x &=& 3x -3x+12 & \\ 2x &=& 12 & \vert :2\\ x &=& 6 & \end{array}$

  • Vergleiche die Gleichungen vor und nach Durchführung der Äquivalenzumformungen.

    Tipps

    Führe die angegebene Äquivalenzumformung auf beiden Seiten der Gleichung durch und fasse jeweils zusammen.

    Ziel einer Äquivalenzumformung ist es, die Gleichung zu vereinfachen. Bei Addition und Subtraktion bedeutet das in der Regel, dass ein Term durch die Umformung wegfällt und sich somit eine Seite der Gleichung verkürzt.

    Lösung

    Bei einer Äquivalenzumformung wird die entsprechende Rechenoperation auf beiden Seiten der Gleichung notiert und die Terme anschließend zusammengefasst. Dabei ist es besonders wichtig, dass auf beiden Seiten exakt dasselbe passiert, um die Lösungsmenge der Gleichung nicht zu verändern.

    Beispiel 1:
    $\begin{align}3x - 5 &= 2 \quad \quad |+5 \\ 3x - 5 + 5 &= 2 + 5 \\ 3x &= 7 \end{align}$

    Beispiel 2:
    $\begin{align}2x + 2 &= 4x + 4 \quad \quad |-4x \\ 2x - 4x + 2 &= 4x - 4x + 4 \\ -2x + 2 &= 4 \end{align}$

    Beispiel 3:
    $\begin{align}15 - x &= 5 + 4x \quad \quad |+x \\ 15 - x + x &= 5 + 4x + x \\ 15 &= 5 + 5x \end{align}$

    Beispiel 4:
    $\begin{align}x - 2 &= 5x + 8 \quad \quad |+2 \\ x - 2 + 2 &= 5x + 8 +2 \\ x &= 5x + 10 \end{align}$

    Beispiel 5:
    $\begin{align}15 - x &= 5 + 4x \quad \quad |-5 \\ 15 - 5 - x &= 5 - 5 + 4x \\ 10 - x &= 4x \end{align}$

  • Entscheide, ob es sich bei den folgenden Umformungen um Äquivalenzumformungen handelt.

    Tipps

    Erinnere dich an die Ausnahmen bei Multiplikation und Division.

    Mehrere Rechenschritte können zu einer Äquivalenzumformung zusammengefasst werden.
    Zum Beispiel kann man direkt $+ 5 -x$ rechnen anstatt zuerst $+5$ und im nächsten Schritt $-x$.

    Lösung

    Eine Äquivalenzumformung muss auf beiden Seiten der Gleichung aufgeführt werden. Wir können so Zahlen und Terme addieren und subtrahieren ohne die Lösungsmenge der Gleichung zu verändern.
    $|-7$ und $|-3x$ sind also Äquivalenzumformungen.

    Auch Multiplikation und Division sind bis auf zwei Ausnahmen möglich, diese sind:

    • Multiplikation oder Division mit $0$.
    • Multiplikation oder Division mit der Variablen.
    Daher sind $|\cdot 7$ und $|:(-2)$ Äquivalenzumformungen, $|:3x$, $|\cdot x$ und $|\cdot 0$ hingegen nicht. Bei $|\cdot (1 + 6x)$ wird mit einem Term multipliziert, der die Unbekannte $x$ enthält, damit ist auch dies keine Äquivalenzumformung.

    Mehrere Äquivalenzumformungen können in einem Schritt durchgeführt werden, zum Beispiel $| -2 + 3x$ statt zuerst $|-2$ und im nächsten Schritt $|+3x$.
    Auch $|+2x-3$ und $|-(1+6x)$ sind also Äquivalenzumformungen.

  • Vervollständige die Rechnung zum Lösen der Gleichung mittels Äquivalenzumformungen.

    Tipps

    Bei einer Äquivalenzumformung wird immer auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert, subtrahiert, mit ihr multipliziert oder durch sie dividiert.

    Wir bringen zunächst alle Zahlen auf eine und alle Terme mit $x$ auf die andere Seite.

    Lösung

    Um eine Gleichung mit Äquivalenzumformungen zu lösen, wird auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert bzw. mit derselben Zahl multipliziert oder durch sie dividiert.
    Dadurch wird die Variable Schritt für Schritt isoliert. Zunächst bringst du alle Zahlen auf eine Seite der Gleichung und alle Terme mit $x$ auf die andere.
    $\begin{array} {rcll} 5x - 9 & = & 3x + 3 & \vert +9 \\ 5x - 9 + 9 & = & 3x + 3 + 9 & \\ 5x & = & 3x + 12 & \vert -3x \\ 5x -3x & = & 3x -3x+12 & \\ 2x & = & 12 & \end{array}$

    Im letzten Schritt dividierst du durch den Faktor vor dem $x$.
    $\begin{array} {rcl} 2x &= &12 & \vert :2 \\ x &= & 6 & \end{array}$

  • Berechne die Lösung der Gleichung durch Verwendung von Äquivalenzumformungen.

    Tipps

    Führe immer die gleiche Rechenoperation auf beiden Seiten der Gleichung durch, um so Schritt für Schritt die Unbekannte $x$ zu isolieren.

    Versuche zunächst alle Zahlen auf eine Seite der Gleichung zu bringen und alle Terme mit der Unbekannten $x$ auf die andere Seite.

    Wenn auf einer Seite der Gleichung nur noch ein Term mit $x$ und auf der anderen eine Zahl steht, kannst du durch den Faktor vor dem $x$ teilen:
    $\begin{align} 2x &= 4 \quad \quad |:2 \\ x &= 4:2 \\ x &= 2 \end{align}$

    Lösung

    Zum Lösen der Gleichungen isolieren wir die Unbekannte $x$ Schritt für Schritt. Dazu nutzen wir Äquivalenzumformungen, um alle Teile der Gleichung, die $x$ enthalten, auf die eine Seite der Gleichung und alle Zahlen auf die andere Seite zu bringen.

    Beispiel 1:
    $\begin{array} {rcll} -3x & = & 9 & \vert:(-3) \\ x & = & 9 :(-3) & \\ x & = & -3 & \end{array}$

    Beispiel 2:
    $\begin{array} {rcll} 5 + 2x & = & 7 & \vert -5 \\ 5-5+2x & = & 7 - 5 & \\ 2x & = & 2 & \vert :2 \\ x & = & 2 : 2 & \\ x & = & 1 & \end{array}$

    Beispiel 3:
    $\begin{array} {rcll} x - 3 & = & -2x + 3 & \vert +3 \\ x -3 +3 & = & -2x + 3 + 3 & \\ x & = & -2x + 6 & \vert +2x \\ x + 2x & = & 6 & \\ 3x & = & 6 & \vert:3 \\ x & = & 6:3 & \\ x & = & 2 & \end{array}$

    Beispiel 4:
    $\begin{array} {rcll} -4x + 20 & = & x & \vert +4x \\ -4x+4x+20 & = & x + 4x & \\ 20 & = & 5x & \vert :5 \\ 20:5 & = & x & \\ 4 & = & x & \end{array}$

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