Graphische Darstellung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen

in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.

Gleichungen in einem Schritt lösen

Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen

Lineare Gleichungen aufstellen und lösen

Lineare Gleichungen der Form ax + by = c (Gleichungen mit 2 Variablen)

Lineare Gleichungen in allgemeiner Form – ax + by + c = 0

Versteckte lineare Gleichungen

Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)

Graphische Darstellung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen

Lineare Gleichungen grafisch lösen

Lineare und nicht lineare Gleichungen
Graphische Darstellung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen Übung
-
Gib die Eigenschaften an, die auf lineare Gleichungen mit zwei Variablen zutreffen.
TippsIm Folgenden siehst du einige Beispiele zu linearen Gleichungen mit zwei Variablen:
- $y-x=3$
- $2y-4x=8$
Eine Tabelle hilft bei der übersichtlichen Darstellung von Daten.
Potenzen sind die abkürzende Schreibweise der mehrfachen Multiplikation eines Faktors mit sich selbst. Es ist also:
$a^3=a\cdot a\cdot a$
$a^2=a\cdot a$
$a^1=a$LösungAussage 1: In linearen Gleichungen haben beide Variablen unterschiedliche Exponenten.
- Das ist falsch: In linearen Gleichungen haben beide Variablen den gleichen Exponenten $1$.
- Das ist korrekt: Der Exponent $1$ wird üblicherweise weggelassen, denn es gilt: $x^1=x$.
- Das ist korrekt: Eine Tabelle hilft bei der übersichtlichen Darstellung von Daten. Da man bei Geraden verschiedene Wertepaare ausrechnet, ist es hilfreich, eine Tabelle anzulegen.
- Das ist falsch: Eine Tabelle ist ein persönliches Hilfsmittel. Sie soll so angelegt werden, dass die wichtigsten Informationen erkenntlich werden.
- Das ist korrekt: Alle Graphen von linearen Gleichungen mit zwei Variablen nennt man Geraden.
-
Bestimme die fehlenden $y$-Werte.
TippsUm den $y$-Wert zu berechnen, setzt man den $x$-Wert in die Gleichung ein.
Achte auf doppelte Minuszeichen.
Den $y$-Wert für $x=-2$ berechnet man durch:
$\begin{array}{llll} y-(-2) &=& 3 & \\ y+2 &=& 3 & \vert -2 \\ y &=& 1 & \end{array}$
LösungUm die fehlenden $y$-Werte zu berechnen, setzt man die zugehörigen $x$-Werte in die Gleichung $y-x=3$ ein und rechnet aus.
Für $x=-3$ ergibt sich:
$\begin{array}{llll} y-(-3) &=& 3 & \\ y+3 &=& 3 & \vert -3 \\ y &=& 0 & \end{array}$
Analog erhält man für den $x$-Wert $0$ den $y$-Wert $3$, für $x=1$ ergibt sich $y=4$ und für $x=2$ folgt $y=5$.
-
Bestimme die fehlenden $y$-Werte.
TippsSetze die gegebenen $x$-Werte in die Gleichung ein.
Beachte die Regel „Punkt vor Strich“.
Für $x=2$ sieht die Rechnung so aus:
$\begin{array}{llll} y &=& 3 \cdot 2 +2 & \\ y &=& 6+2 & \\ y &=& 8& \end{array}$
LösungUm die zugehörigen $y$-Werte zu berechnen, setzt man $x$-Werte in die Gleichung $y=3x+2$ ein und rechnet aus.
Für $x=-2$ ergibt sich:
$\begin{array}{llll} y &=& 3 \cdot (-2) +2 & \\ y &=& -6+2 & \\ y &=& -4& \end{array}$
Analog berechnet man für $x=0$:
$y=2$
Genauso erhält man für $x=1$
$y=5$
Und für $x=3$
$y=11$
-
Ermittle die Punkte, die auf der Geraden liegen.
TippsUm zu überprüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, muss man den $x$-Wert in die Gleichung einsetzen und den $y$-Wert berechnen.
Ist der $y$-Wert berechnet, muss man ihn mit dem angegebenen $y$-Wert vergleichen.
Es bietet sich an, die Gleichung $3-y=2x$ zunächst nach $y$ umzuformen. So kann man die $y$-Werte leichter bestimmen:
$\begin{array}{llll} 3-y &=& 2x & \vert +y \\ 3 &=& y+2x & \vert -2x \\ -2x+3 &=& y & \end{array}$
LösungUm zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man den $x$-Wert in die Gleichung ein und stellt diese nach dem $y$-Wert um. Dann rechnet man den $y$-Wert aus und vergleicht den berechneten mit dem gegebenen Wert. Sind diese Werte gleich, dann liegt der gegebene Punkt auf der Geraden.
Es bietet sich an, die Gleichung $3-y=2x$ zunächst nach $y$ umzuformen. So kann man die $y$-Werte leichter bestimmen. Es folgt:
$\begin{array}{llll} 3-y &=& 2x & \vert +y \\ 3 &=& y+2x & \vert -2x \\ -2x+3 &=& y & \end{array}$
Nun kann man die $x$-Werte in diese umgeformte Gleichung einsetzen. Für $x=-3$ ergibt sich:
$\begin{array}{lll} y &=& -2 \cdot (-3) +3 \\ y &=& 6+3 \\ y &=& 9 \end{array}$
Wir haben also $-3$ in die Gleichung eingesetzt und $9$ erhalten. Damit ist klar, dass der Punkt $(-3|9)$ auf der Geraden liegt. Analog berechnet man für $x=-1$:
$\begin{array}{lll} y &=& -2 \cdot (-1) +3 \\ y &=& 2+3 \\ y &=& 5 \end{array}$
Der Punkt $(-1|2)$ liegt demnach nicht auf der Geraden. Für $x=0$ bestimmt man:
$\begin{array}{lll} y &=& -2 \cdot 0 +3 \\ y &=& 0+3 \\ y &=& 3 \end{array}$
Der Punkt $(0|3)$ liegt also auf der Geraden. Und schließlich für $x=2$:
$\begin{array}{lll} y &=& -2 \cdot 2 +3 \\ y &=& -6+3 \\ y &=& -3 \end{array}$
Der Punkt $(2|1)$ liegt demzufolge nicht auf der Geraden.
-
Beschreibe, wie man den $y$-Wert einer Gleichung ausrechnet.
TippsUm den $y$-Wert auszurechnen, setzt man den $x$-Wert in die Gleichung ein.
Jeder Rechenschritt vereinfacht die Gleichung.
LösungGegeben ist die Gleichung $y-x=3$. Hierfür soll der $y$-Wert für $x=4$ ausgerechnet werden.
Um den $y$-Wert zu einem $x$-Wert auszurechnen, muss man den $x$-Wert in die Gleichung einsetzen. Also setzt man $x=4$ in die Gleichung $y-x=3$ ein. Es folgt dann:
$\begin{array}{llll} y-4 &=& 3 & \vert +4\\ y &=& 7 & \end{array}$
Durch die jeweilige Umkehroperation konnten wir die obige Gleichung nach $y$ umstellen. So haben wir für $x=4$ den $y$-Wert $7$ erhalten. Der Punkt $(4 \vert 7)$ liegt also auf der Geraden $y-x=3$.
-
Bestimme die Steigung der Geraden $y=3x+2$.
TippsDie $x$- und $y$-Werte einer linearen Gleichung sind voneinander abhängig.
LösungVerändert man den $x$-Wert einer linearen Gleichung um $1$, dann verändert sich auch der $y$-Wert. Den Betrag, um den sich dieser hierbei verändert, nennt man Steigung.
Die $x$- und $y$-Werte einer Gleichung sind voneinander abhängig. Also muss sich auch der $y$-Wert verändern.
Um die Steigung zu berechnen, bestimmt man also zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. //
Wir betrachten die $x$-Werte $x=0$ und $x=1$:
Für $x=0$ ergibt sich der y-Wert $y=2$ und für $x=1$ erhält man den y-Wert $y=5$.
Die $y$-Werte lassen sich durch Einsetzen in die Gleichung $y=3x+2$ bestimmen.
Um jetzt die Veränderung des $y$-Werts zu bestimmen, berechnet man die Differenz der beiden $y$-Werte:
$y_1-y_0=5-2=3$
Die Steigung der Geraden beträgt also $3$.
Die Steigung einer Geraden ist die Veränderung des $y$-Werts von zwei benachbarten $x$-Werten. Also muss man die Differenz dieser beiden $y$-Werte bestimmen.
Für alle benachbarten Punkte erhält man dasselbe Ergebnis.
Betrachten wir die Werte $x=1$ und $x=2$:Für $x=1$ ergibt sich der $y$-Wert $5$ und für $x=2$ erhält man den $y$-Wert $8$.
Die $y$-Werte lassen sich durch Einsetzen in die Gleichung $y=3x+2$ bestimmen.
Auch hier berechnet man die Differenz der beiden $y$-Werte:
$y_2-y_1=8-5=3$
Die Steigung der Geraden beträgt also wirklich $3$.
9.369
sofaheld-Level
6.600
vorgefertigte
Vokabeln
8.224
Lernvideos
38.691
Übungen
33.496
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrkräften

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Prozentrechnung - Übungen
- Primzahlen
- Geometrische Lagebezeichnungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Flächeninhalt – Übungen
- Volumen Zylinder
- Potenzgesetze – Übungen
- Umfang Kreis
- Zehnerzahlen vergleichen und ordnen – Übungen
- Quadrat
- Zahlen sortieren – Übungen
- Division
- Binomische Formeln – Übungen
- Raute
- Brüche umwandeln Übungen
- Parallelogramm
- Ungleichungen – Übungen
- Polynomdivision
- Zahlen bis 1000 ordnen – Übungen
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Terme mit Variablen aufstellen – Übungen
- Prisma
- Die Grundrechenarten – Übungen
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Punkt-vor-Strich und Klammern-zuerst-Regel
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Zahlen runden – Übungen
- Satz Des Pythagoras
- Ziffern und Stellenwerte – Übungen
- Dreieck Grundschule
- Koordinatensystem – Übungen
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Quadratische Gleichungen – Übungen
- Flächeninhalt