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Graphische Darstellung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen 04:32 min

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Transkript Graphische Darstellung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen

In der bergigen und wunderschönen Region um das Dörfchen Nanjie taucht ein mystischer Drache auf, der verspricht, den Menschen Wohlstand und Glück zu bringen.Doch das Dörfchen hat Tempel, in dem der Drache hausen könnte. Ohne Tempel wird er aber wieder gehen und das Glück zu einem anderen Ort tragen. Die Bewohner beschließen, einen Tempel auf einem hohen Hügel zu errichten. Wie aber können Sie all ihr Baumaterial dort hinaufschaffen, bevor der Drache weiterzieht? In Krise erscheint eine Heldin, mit der niemand gerechnet hat: Mei Long. Sie hat eine fantastischen Idee, um zu helfen. Sie möchte die Graphen von linearen Gleichungen mit zwei Variablen nutzen. Mei Longs Plan besteht darin, Graphen linearer Gleichungen zu nutzen, um die Dorfbewohner aufzureihen, sodass sie das Baumaterial von einer Person zur anderen weiterreichen können. Eine lineare Gleichung ist eines Gleichung 1. Grades. Das bedeutet, die Variable hat den Exponenten 1. Die graphische Darstellung einer linearen Gleichung entsprich einer Gerade. Diese lineare Gleichung hat zwei Variablen, beide haben den Exponenten 1. Hat ein Wert oder eine Variable den Exponenten 1, so kann man diesen Exponenten auch einfach weglassen. Legen wir mithilfe der Gleichung eine Tabelle an. Zuerst notieren wir einige x-Werte. Mei Long hat die Werte -3, 0, 1, 2 und 4 benutzt, also benutzen wir auch diese Werte. Um die zugehörigen y-Werte zu berechnen setzt du einfach die x-Werte nacheinander in die Gleichung ein. Für den x-Wert -3 erhalten wir y minus -3 ist gleich 3. Das können wir umschreiben zu y + 3 = 3. Mit Umkehroperationen können wir nach y auflösen. Y = 0. Das können wir jetzt in unsere Tabelle eintragen. Lösen wir noch eine. Für den x-Wert 0 erhalten wir y - 0 = 3. Also ist y gleich 3. Wir können in unserer Tabelle neben den x-Wert 0 also 3 eintragen. Wenn wir die übrigen x-Werte einsetzen, können wir die Tabelle vervollständigen. Erkennst du das Muster? Bei linearen Gleichungen lassen sich Punkte ganz einfach berechnen, denn der x-Wert und der y-Wert verändern sich immer um den gleichen Faktor. Die Punkte des Graphen einer linearen Gleichung liegen immer auf einer Geraden. Jetzt wissen die Dorfbewohner, wo sie stehen müssen, um das Baumaterial den Hügel hinaufzureichen. Wer seinen Kopf anstrengt, muss die Muskeln weniger anstrengen. Aber was ist denn da auf der anderen Seite des Hügels los? Dort haben die Bewohner die Punkte ohne Mei Longs Hilfe berechnet. Mit dieser Gleichung. Ist das überhaupt eine lineare Gleichung? Sie besitzt zwei Variablen, beide mit dem Exponenten 1. Aber warum stehen die Dorfbewohner dann nicht auf einer Geraden? Überprüfen wir diese Punkte, da scheint etwas nicht zu stimmen. Schauen wir uns zuerst x = 3 an und überprüfen, ob die Dorfbewohner den Punkt richtig berechnet haben. Wir setzen für x 3 ein und stellen die Gleichung um. Dann lösen wir mit Umkehroperationen nach y auf. Y = 3,5. Korrigieren wir das in der Tabelle. Und nun für den x-Wert 5. Du stellst die Gleichung genau um und löst dann mit Umkehroperationen nach y. Y = 2,5. Auch das können wir in unserer Tabelle korrigieren. Okay, mit diesen Punkten können wir die zwei Dorfbewohner wieder zurück auf die Gerade bringen. Mei Long und die Dorfbewohner haben sich wirklich angestrengt, damit der Drache zufrieden mit seinem Tempel ist. Und das haben sie so gut gemacht, dass jetzt offenbar noch mehr Glück unterwegs ist. Glücklicherweise kann man von einer guten Sache nie genug haben. Nicht wahr?

3 Kommentare
  1. Sehr gut erklärt

    Von Andre 100, vor 3 Monaten
  2. sehr schönes Video weiter so

    Von Svenjaskupin, vor 12 Monaten
  3. TTTTTTTTTTOOOOOOOOOOLLLLLLLLLL !!!!!!!!!!
    Sehr gut erklärt!!!!

    Von Rima A., vor etwa einem Jahr

Graphische Darstellung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Graphische Darstellung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Eigenschaften an, die auf lineare Gleichungen mit zwei Variablen zutreffen.

    Tipps

    Im Folgenden siehst du einige Beispiele zu linearen Gleichungen mit zwei Variablen:

    • $y-x=3$
    • $2y-4x=8$

    Eine Tabelle hilft bei der übersichtlichen Darstellung von Daten.

    Potenzen sind die abkürzende Schreibweise der mehrfachen Multiplikation eines Faktors mit sich selbst. Es ist also:

    • $a^3=a\cdot a\cdot a$
    • $a^2=a\cdot a$
    • $a^1=a$
    Lösung

    Aussage 1: In linearen Gleichungen haben beide Variablen unterschiedliche Exponenten.

    • Das ist falsch. In linearen Gleichungen haben beide Variablen den gleichen Exponenten $1$.
    Aussage 2: Hat eine Variable den Exponenten $1$, muss man diesen nicht aufschreiben.
    • Das ist korrekt. Der Exponent $1$ wird üblicherweise weggelassen, denn es gilt: $x^1=x$.
    Aussage 3: Um die Werte linearer Gleichungen zu bestimmen, hilft es, eine Tabelle anzulegen.
    • Das ist korrekt. Eine Tabelle hilft bei der übersichtlichen Darstellung von Daten. Da man bei Geraden verschiedene Wertepaare ausrechnet, ist es, hilfreich eine Tabelle anzulegen.
    Aussage 4: Eine Tabelle muss immer den Wert $x=-3$ enthalten.
    • Das ist falsch. Eine Tabelle ist ein persönliches Hilfsmittel. Sie soll so angelegt werden, dass die wichtigsten Informationen erkenntlich werden.
    Aussage 5: Der Graph einer linearen Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gerade.
    • Das ist korrekt. Alle Graphen von linearen Gleichungen mit zwei Variablen nennt man Geraden.

  • Beschreibe, wie man den $y$-Wert einer Gleichung ausrechnet.

    Tipps

    Um den $y$-Wert auszurechnen, setzt man den $x$-Wert in die Gleichung ein.

    Jeder Rechenschritt vereinfacht die Gleichung.

    Lösung

    Gegeben ist die Gleichung $y-x=3$. Hierfür soll der $y$-Wert für $x=4$ ausgerechnet werden.

    Um den $y$-Wert zu einem $x$-Wert auszurechnen, muss man den $x$-Wert in die Gleichung einsetzen. Also setzt man $x=4$ in die Gleichung $y-x=3$ ein. Es folgt dann:

    $\begin{array}{llll} y-4 &=& 3 & \vert +4\\ y &=& 7 & \end{array}$

    Durch die jeweilige Umkehroperation konnten wir die obige Gleichung nach $y$ umstellen. So haben wir für $x=4$ den $y$-Wert $7$ erhalten. Der Punkt $(4 \vert 7)$ liegt also auf der Geraden $y-x=3$.

  • Bestimme die fehlenden $y$-Werte.

    Tipps

    Um den $y$-Wert zu berechnen, setzt man den $x$-Wert in die Gleichung ein.

    Achte auf doppelte Minuszeichen.

    Den $y$-Wert für $x=-2$ berechnet man durch:

    $\begin{array}{llll} y-(-2) &=& 3 & \\ y+2 &=& 3 & \vert -2 \\ y &=& 1 & \end{array}$

    Lösung

    Um die fehlenden $y$-Werte zu berechnen, setzt man die zugehörigen $x$-Werte in die Gleichung $y-x=3$ ein und rechnet aus.

    Für $x=-3$ ergibt sich:

    $\begin{array}{llll} y-(-3) &=& 3 & \\ y+3 &=& 3 & \vert -3 \\ y &=& 0 & \end{array}$

    Analog erhält man für den $x$-Wert $0$ den $y$-Wert $3$, für $x=1$ ergibt sich $y=4$ und für $x=2$ folgt $y=5$.

  • Bestimme die Steigung der Geraden $y=3x+2$.

    Tipps

    Die $x$- und $y$-Werte einer linearen Gleichung sind voneinander abhängig.

    Lösung

    Verändert man den $x$-Wert einer linearen Gleichung um $1$, dann verändert sich auch der $y$-Wert. Den Betrag, um den sich dieser hierbei verändert, nennt man Steigung.

    Die $x$- und $y$-Werte einer Gleichung sind voneinander abhängig. Also muss sich auch der $y$-Wert verändern.

    Um die Steigung zu berechnen, bestimmt man also zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Wir betrachten die $x$-Werte $x=0$ und $x=1$.

    Für $x=0$ ergibt sich der y-Wert $y=2$ und für $x=1$ erhält man den y-Wert $y=5$.

    Die $y$-Werte lassen sich durch Einsetzen in die Gleichung $y=3x+2$ bestimmen.

    Um jetzt die Veränderung des $y$-Werts zu bestimmen, berechnet man die Differenz der beiden $y$-Werte:

    $y_1-y_0=5-2=3$.

    Die Steigung der Geraden beträgt also $3$.

    Die Steigung einer Geraden ist die Veränderung des $y$-Werts von zwei benachbarten $x$-Werten. Also muss man die Differenz dieser beiden $y$-Werten bestimmen.

    Für alle benachbarten Punkte erhält man dasselbe Ergebnis. Betrachten wir die Werte $x=1$ und $x=2$.

    Für $x=1$ ergibt sich der $y$-Wert $y=5$ und für $x=2$ erhält man den y-Wert $y=8$.

    Die $y$-Werte lassen sich durch Einsetzen in die Gleichung $y=3x+2$ bestimmen.

    Auch hier berechnet man die Differenz der beiden $y$-Werte

    $y_2-y_1=8-5=3$.

    Die Steigung der Geraden beträgt also wirklich $3$.

  • Bestimme die fehlenden $y$-Werte.

    Tipps

    Setze die gegebenen $x$-Werte in die Gleichung ein.

    Beachte die Regel Punkt vor Strich.

    Für $x=2$ sieht die Rechnung so aus:

    $\begin{array}{llll} y &=& 3 \cdot 2 +2 & \\ y &=& 6+2 & \\ y &=& 8& \end{array}$

    Lösung

    Um die zugehörigen $y$-Werte zu berechnen, setzt man $x$-Werte in die Gleichung $y=3x+2$ ein und rechnet aus.

    Für $x=-2$ ergibt sich:

    $\begin{array}{llll} y &=& 3 \cdot (-2) +2 & \\ y &=& -6+2 & \\ y &=& -4& \end{array}$

    Analog berechnet man für $x=0$:

    $y=2$.

    Genauso erhält man für $x=1$:

    $y=5$.

    Und für $x=3$:

    $y=11$.

  • Ermittle die Punkte, die auf der Geraden liegen.

    Tipps

    Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, muss man den $x$-Wert in die Gleichung einsetzen und den $y$-Wert berechnen.

    Ist der $y$-Wert berechnet, musst du ihn mit dem angegebenen $y$-Wert vergleichen.

    Es bietet sich an, die Gleichung $3-y=2x$ zunächst nach $y$ umzuformen. So kann man die $y$-Werte leichter bestimmen:

    $\begin{array}{llll} 3-y &=& 2x & \vert +y \\ 3 &=& y+2x & \vert -2x \\ -2x+3 &=& y & \end{array}$

    Lösung

    Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man den $x$-Wert in die Gleichung ein und stellt diese nach dem $y$-Wert um. Dann rechnet man den $y$-Wert aus und vergleicht den berechneten mit dem gegebenen Wert. Sind diese Werte gleich, dann liegt der gegebene Punkt auf der Geraden.

    Es bietet sich an, die Gleichung $3-y=2x$ zunächst nach $y$ umzuformen. So kann man die $y$-Werte leichter bestimmen. Es folgt:

    $\begin{array}{llll} 3-y &=& 2x & \vert +y \\ 3 &=& y+2x & \vert -2x \\ -2x+3 &=& y & \end{array}$

    Nun kann man die $x$-Werte in diese umgeformte Gleichung einsetzen. Für $x=-3$ ergibt sich:

    $\begin{array}{lll} y &=& -2 \cdot (-3) +3 \\ y &=& 6+3 \\ y &=& 9 \end{array}$

    Wir haben also $-3$ in die Gleichung eingesetzt und $9$ erhalten. Damit ist klar, dass der Punkt $(-3|9)$ auf der Geraden liegt. Analog berechnet man für $x=-1$:

    $\begin{array}{lll} y &=& -2 \cdot (-1) +3 \\ y &=& 2+3 \\ y &=& 5 \end{array}$

    Der Punkt $(-1|2)$ liegt also nicht auf der Geraden. Für $x=0$ bestimmt man:

    $\begin{array}{lll} y &=& -2 \cdot 0 +3 \\ y &=& 0+3 \\ y &=& 3 \end{array}$

    Der Punkt $(0|3)$ liegt also auf der Geraden. Und schließlich für $x=2$:

    $\begin{array}{lll} y &=& -2 \cdot 2 +3 \\ y &=& -6+3 \\ y &=& -3 \end{array}$

    Der Punkt $(2|1)$ liegt also nicht auf der Geraden.