Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen
Das Aufstellen und Lösen von linearen Gleichungen mit einer Variablen wird leicht gemacht! Erfahre, wie man aus einer Textaufgabe eine Gleichung bildet und löst. Schritt für Schritt erklärt anhand eines Beispiels mit Kata und Simon. Interessiert? Finde dies und vieles mehr im folgenden Text heraus!
- Aufstellen und Lösen einer linearen Gleichung mit einer Variablen
- Was sind lineare Gleichungen mit einer Variablen?
- Wie stellt man eine lineare Gleichung mit einer Variablen auf?
- Wie löst man eine lineare Gleichung mit einer Variablen?

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Gleichungen in einem Schritt lösen

Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen

Lineare Gleichungen aufstellen und lösen

Lineare Gleichungen der Form ax + by = c (Gleichungen mit 2 Variablen)

Lineare Gleichungen in allgemeiner Form – ax + by + c = 0

Versteckte lineare Gleichungen

Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)

Graphische Darstellung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen

Lineare Gleichungen grafisch lösen

Lineare und nicht lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen Übung
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Stelle die gesuchte lineare Gleichung auf.
TippsFür die Berechnung des Gesamtpreises gilt allgemein:
Anzahl $\cdot$ Einzelpreis $=$ Gesamtpreis
Bedenke, dass Simon auf eine Achterbahnfahrt verzichtet, um sich einmal Zuckerwatte zu gönnen. Somit gilt:
Anzahl Achterbahnfahrten Simon $=$ Anzahl Achterbahnfahrten Kata $\mathbf{- 1}$
LösungFolgende Angaben sind bekannt:
Einzelpreise:
- Achterbahn: $8$ €
- Riesenrad: $5$ €
- Zuckerwatte: $2$ €
- $x$-mal Achterbahn fahren
- $1$-mal Riesenrad fahren
- $0$-mal Zuckerwatte kaufen
- $(x-1)$-mal Achterbahn fahren
- $1$-mal Riesenrad fahren
- $1$-mal Zuckerwatte kaufen
- $100\ €$
Anzahl $\cdot$ Einzelpreis $=$ Gesamtpreis
Mit diesen Angaben kann folgende lineare Gleichung aufgestellt werden:
$\mathbf{8\cdot x+8\cdot (x-1)+5+5+2=100}$
-
Beschreibe die Rechenschritte bei der Berechnung der Unbekannten $x$.
TippsDie linke Seite der linearen Gleichung muss zunächst mithilfe von Rechengesetzen vereinfacht werden.
Bringe gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung, sodass du im letzten Schritt die Variable $x$ isolieren kannst. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation.
Schaue dir folgendes Beispiel an:
$ \begin{array}{llll} 2\cdot (x+1)-5 & = & 3 & \\ 2\cdot x+2\cdot 1-5 & = & 3 & \\ 2x-3 & = & 3 & \vert +3 \\ 2x & = & 6 & \vert :2 \\ x & = & 3 & \end{array} $
LösungDie gegebene lineare Gleichung mit der Variablen $x$, welche für die Anzahl der Achterbahnfahrten von Kata steht, lautet:
$8\cdot x+8\cdot (x-1)+5+5+2=100$
In dieser Gleichung wird zunächst der Klammerausdruck auf der linken Seite der Gleichung mittels der Anwendung des Distributivgesetzes aufgelöst. Anschließend werden alle gleichartigen Terme auf der linken Seite zusammengefasst:
$ \begin{array}{lllr} 8\cdot x+8\cdot (x-1)+5+5+2 & = & 100 & \\ 8\cdot x+8\cdot x-8\cdot 1+5+5+2 & = & 100 & \\ 16\cdot x+4 & = & 100 & \\ \end{array} $
Im nächsten Schritt werden gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung gebracht, sodass im letzen Schritt nur noch die Variable $x$ isoliert werden muss:
$ \begin{array}{llll} 16\cdot x+4 & = & 100 & \vert -4 \\ 16x & = & 96 & \vert :16 \\ x & = & 6 & \end{array} $
Demnach kann Kata bei optimaler Nutzung des ersparten Geldes $6$ Male Achterbahn fahren. Da Simon auf eine Achterbahnfahrt verzichtet, darf er $x-1$ Male, also $5$ Male, mit der Achterbahn fahren.
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Bestimme die gesuchte lineare Gleichung und löse sie.
TippsDie Summe aller Mengen muss der Gesamtmenge von $150$ ml entsprechen.
Die Menge für die Sahne ist durch die Variable $x$ gegeben.Zu der Menge des Ananassirups ist uns folgende Information bekannt:
Die Menge des Ananassirups entspricht der doppelten Sahnemenge um $60$ ml verringert.
Schaue dir folgendes Beispiel an:
In einem Rezept soll das Dreifache einer Menge $x$ um $40$ verringert hinzugegeben werden. Als Term ergibt sich:
$3x-40$
LösungFolgende Angaben sind uns aus der Aufgabenstellung bekannt:
- $20$ ml Kokossirup
- $30$ ml Ananassaft
- $40$ ml Maracujasaft
- $150$ ml Gesamtmenge
Die Menge von dem Ananassirup ist um $60$ ml weniger als die doppelte Menge der Sahne.Wenn wir also in unserer Gleichung $x$ für die Sahnemenge annehmen, dann gilt für die Menge von dem Ananassirup $2x-60$ und wir erhalten diese lineare Gleichung:
$ \begin{array}{llll} x+2x-60+20+30+40 & = & 150 & \\ 3x+30 & = & 150 & \vert -30\\ 3x & = & 120 & \vert :3\\ x & = & 40 \end{array} $
Somit erhalten wir folgende Mengen:
- $40$ ml Sahne
- $20$ ml Ananassirup
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Ermittle die Unbekannte $x$ durch geschicktes Rechnen.
TippsBeim Vereinfachen der Gleichungen musst du das Distributivgesetz anwenden. Dieses lautet wie folgt:
$a\cdot(b+c)=ab+ac$
Klammern können auch weitere Klammern enthalten. In so einem Fall rechnet man von innen nach außen. Auch dann sollst du weiterhin das Distributivgesetz anwenden. Allgemein gilt:
$a\cdot [b\cdot (c+d)]=a\cdot [bc+bd]=abc+abd$
Wenn eine Gleichung auf beiden Seiten so weit wie möglich vereinfacht ist, werden gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung gebracht. Dies erfolgt mittels Umkehroperationen.
LösungDas Vorgehen in dieser Aufgabe wird anhand der dritten Gleichung gezeigt. Diese lautet:
$4\cdot [3\cdot (2x+1)+2]+x-15 = 155$
Um die lineare Gleichung zu lösen, wird im ersten Schritt die linke Seite der Gleichung vereinfacht. Dazu wird zunächst der Klammerausdruck aufgelöst. Da in diesem Fall die ersten Klammern weitere Klammern enthalten, wird von innen nach außen gerechnet. Es folgt:
$ \begin{array}{llll} 4\cdot [3\cdot (2x+1)+2]+x-15 & = & 155 & \\ 4\cdot [6x+3+2]+x-15 & = & 155 & \\ 4\cdot [6x+5]+x-15 & = & 155 & \\ 24x+20+x-15 & = & 155 & \\ 25x+5 & = & 155 & \\ \end{array} $
Im nächsten Schritt werden gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung gebracht und die Unbekannte $x$ wird isoliert:
$ \begin{array}{llll} 25x+5 & = & 155 & \vert -5 \\ 25x & = & 150 & \vert :25 \\ x & = & 6 & \\ \end{array} $
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Bestimme durch eine Probe, welche Lösung die gegebene lineare Gleichung erfüllt.
TippsEine Probe wird durchgeführt, indem der berechnete Wert für die Variable $x$ eingesetzt und der Term so weit wie möglich vereinfacht wird.
Falls es sich um die korrekte Lösung handelt, steht auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl.
Schaue dir folgendes Beispiel an:
$4x+5=25$
Wir führen die Probe erst mit der $3$ und dann mit der $5$ durch.
$3$ eingesetzt für $x$ liefert:$4\cdot 3+5 = 12+5 = 17 \neq 25$
Somit ist die $3$ keine Lösung der Gleichung.
Nun wird für $x$ die $5$ eingesetzt und der Term auf der linken Seite berechnet:
$4\cdot 5+5 = 20+5 = 25$
Die $5$ erfüllt die gegebene lineare Gleichung.
LösungFür die lineare Gleichung $2\cdot(x+1)=4$ sollen beide Proben durchgeführt werden, um die zutreffende Lösung zu finden.
Zunächst wird für $x$ die $5$ eingesetzt und vereinfacht:
$2\cdot(5+1)=2\cdot 6=12\neq 4$
Wir sehen, dass die $5$ die gegebene Gleichung nicht erfüllt. Nun führen wir die Probe für die $1$ durch. Wir setzen für $x$ die $1$ ein und berechnen:
$2\cdot(1+1)=2\cdot 2=4$
Wir erhalten durch Einsetzen der $1$ in die gegebene lineare Gleichung $2\cdot(x+1)=4$ auf der linken und rechten Seite der Gleichung denselben Wert. Somit ist $1$ die Lösung der Gleichung.
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Leite die gesuchte lineare Gleichung her und löse sie.
TippsSchaue dir folgendes Beispiel an:
Zwei Zahlen unterscheiden sich um $3$. Die Differenz aus dem Vierfachen der kleineren Zahl und dem Zweifachen der größeren Zahl entspricht $2$. Wir berechnen hier die größere Zahl.
$ \begin{array}{llll} 4\cdot (x-3)-2x & = & 2 & \\ 4x -12 -2x & = & 2 & \\ 2x -12 & = & 2 & \vert +12 \\ 2x & = & 14 & \vert :2 \\ x & = & 7 & \\ \end{array} $
Der Vorgänger einer natürlichen Zahl $x$ kann mit $x-1$ beschrieben werden. Ähnlich machst du es für den Nachfolger.
LösungDas Vorgehen in dieser Aufgabe wird anhand der zweiten Teilaufgabe verdeutlicht.
Folgendes ist uns bekannt:
Die Summe dreier Zahlen ist $112$. Dabei ist die zweite Zahl um $8$ größer als die erste Zahl. Die dritte Zahl entspricht dem Sechsfachen der zweiten Zahl.
Wie groß ist die erste Zahl?
Gehen wir nun Schritt für Schritt vor: Wir nehmen für die gesuchte erste Zahl die Variable $x$ an. Dann folgt für die zweite Zahl $x+8$, da diese um $8$ größer ist als die erste Zahl. Die dritte Zahl entspricht dem Sechsfachen der zweiten Zahl, ist also $6$-mal so groß. Für die dritte Zahl nehmen wir also $6\cdot (x+8)$ an. Jetzt müssen die einzelnen Terme addiert und mit $112$ gleichgesetzt werden. Wir erhalten:
$ \begin{array}{llll} x+x+8+6\cdot (x+8) & = & 112 & \\ x+x+8+6x+48 & = & 112 & \\ 8x+56 & = & 112 & \vert -56 \\ 8x & = & 56 & \vert :8 \\ x & = & 7 & \\ \end{array} $
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