Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen

Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen Übung

• Stelle die gesuchte lineare Gleichung auf.

  Tipps

  Für die Berechnung des Gesamtpreises gilt allgemein:

  Anzahl $\cdot$ Einzelpreis $=$ Gesamtpreis.

  Bedenke, dass Simon auf eine Achterbahnfahrt verzichtet, um sich eine Zuckerwatte zu gönnen. Somit gilt:

  Anzahl Achterbahnfahrten Simon $=$ Anzahl Achterbahnfahrten Kata $\mathbf{- 1}$.

  Lösung

  Folgende Angaben sind bekannt:

  Einzelpreise:

  • Achterbahn $8\ €$
  • Riesenrad $5\ €$
  • Zuckerwatte $2\ €$

  Kata (Anzahl):

  • $x$-mal Achterbahn fahren
  • $1$-mal Riesenrad fahren
  • $0$-mal Zuckerwatte kaufen

  Simon (Anzahl):

  • $(x-1)$-mal Achterbahn fahren
  • $1$-mal Riesenrad fahren
  • $1$-mal Zuckerwatte kaufen

  Gesamtausgabe:

  • $100\ €$

  Außerdem gilt für die Berechnung des Gesamtpreises: Anzahl $\cdot$ Einzelpreis $=$ Gesamtpreis.

  Mit diesen Angaben kann folgende lineare Gleichung aufgestellt werden:

  $\mathbf{8\cdot x+8\cdot (x-1)+5+5+2=100}$.

• Beschreibe die Rechenschritte bei der Berechnung der Unbekannten $x$.

  Tipps

  Die linke Seite der linearen Gleichung muss zunächst mithilfe von Rechengesetzen vereinfacht werden.

  Bringe gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung, sodass du im letzten Schritt die Variable $x$ isolieren kannst. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $ \begin{array}{llll} 2\cdot (x+1)-5 & = & 3 & \\ 2\cdot x+2\cdot 1-5 & = & 3 & \\ 2x-3 & = & 3 & \vert +3 \\ 2x & = & 6 & \vert :2 \\ x & = & 3 & \end{array} $

  Lösung

  Die gegebene lineare Gleichung mit der Variablen $x$, welche für die Anzahl der Achterbahnfahrten von Kata steht, lautet:

  $8\cdot x+8\cdot (x-1)+5+5+2=100$.

  In dieser Gleichung wird zunächst der Klammerausdruck auf der linken Seite der Gleichung mittels der Anwendung des Distributivgesetzes aufgelöst. Anschließend werden alle gleichartigen Terme auf der linken Seite zusammengefasst.

  $ \begin{array}{lllr} 8\cdot x+8\cdot (x-1)+5+5+2 & = & 100 & \\ 8\cdot x+8\cdot x-8\cdot 1+5+5+2 & = & 100 & \\ 16\cdot x+4 & = & 100 & \\ \end{array} $

  Im nächsten Schritt werden gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung gebracht, sodass im letzen Schritt nur noch die Variable $x$ isoliert werden muss. Es folgt:

  $ \begin{array}{llll} 16\cdot x+4 & = & 100 & \vert -4 \\ 16x & = & 96 & \vert :16 \\ x & = & 6 & \end{array} $

  Demnach kann Kata bei optimaler Nutzung des ersparten Geldes $6$ Mal Achterbahn fahren. Da Simon auf eine Achterbahnfahrt verzichtet, darf er $x-1$ Mal, also $5$ Mal mit der Achterbahn fahren.

• Bestimme die gesuchte lineare Gleichung und löse diese.

  Tipps

  Die Summe aller Mengen muss der Gesamtmenge von $150\ \text{ml}$ entsprechen.

  Die Menge für die Sahne ist durch die Variable $x$ gegeben.

  Zu der Menge des Ananassirups ist uns folgende Information bekannt:

  Die Menge des Ananassirups entspricht der doppelten Sahnemenge um $60\ \text{ml}$ verringert.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  In einem Rezept soll das Dreifache einer Menge $x$ um $40$ verringert hinzugegeben werden. Als Term ergibt sich:

  • $3x-40$.

  Lösung

  Folgende Angaben sind uns aus der Aufgabenstellung bekannt:

  • $20\ \text{ml}$ Kokossirup,
  • $30\ \text{ml}$ Ananassaft,
  • $40\ \text{ml}$ Maracujasaft und
  • $150\ \text{ml}$ Gesamtmenge.

  Zudem wissen wir:

  Die Menge von dem Ananassirup ist um $60\ \text{ml}$ weniger als die doppelte Menge der Sahne.

  Wenn wir also in unserer Gleichung $x$ für die Sahnemenge annehmen, dann gilt für die Menge von dem Ananassirup $2x-60$ und wir erhalten folgende lineare Gleichung:

  $ \begin{array}{lllr} x+2x-60+20+30+40 & = & 150 & \\ 3x+30 & = & 150 & \vert -30\\ 3x & = & 120 & \vert :3\\ x & = & 40 \end{array} $

  Somit erhalten wir folgende Mengen:

  • $40\ \text{ml}$ Sahne und
  • $20\ \text{ml}$ Ananassirup.

• Ermittle die Unbekannte $x$ durch geschicktes Rechnen.

  Tipps

  Beim Vereinfachen der Gleichungen musst du das Distributivgesetz anwenden. Dieses lautet wie folgt:

  $a\cdot(b+c)=ab+ac$.

  Klammern können auch weitere Klammern enthalten. In so einem Fall rechnet man von innen nach außen. Auch dann sollst du weiterhin das Distributivgesetz anwenden. Allgemein gilt:

  $a\cdot [b\cdot (c+d)]=a\cdot [bc+bd]=abc+abd$.

  Wenn eine Gleichung auf beiden Seiten so weit wie möglich vereinfacht ist, werden gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung gebracht. Dies erfolgt mittels Umkehroperationen.

  Lösung

  Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird anhand der dritten Gleichung gezeigt. Diese lautet:

  $4\cdot [3\cdot (2x+1)+2]+x-15 = 155$.

  Um die lineare Gleichung zu lösen, wird im ersten Schritt die linke Seite der Gleichung vereinfacht. Dazu wird zunächst der Klammerausdruck aufgelöst. Da in diesem Fall die ersten Klammern weitere Klammern enthalten, wird von innen nach außen gerechnet. Es folgt:

  $ \begin{array}{llll} 4\cdot [3\cdot (2x+1)+2]+x-15 & = & 155 & \\ 4\cdot [6x+3+2]+x-15 & = & 155 & \\ 4\cdot [6x+5]+x-15 & = & 155 & \\ 24x+20+x-15 & = & 155 & \\ 25x+5 & = & 155 & \\ \end{array} $

  Im nächsten Schritt werden gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung gebracht und die Unbekannte $x$ isoliert:

  $ \begin{array}{llll} 25x+5 & = & 155 & \vert -5 \\ 25x & = & 150 & \vert :25 \\ x & = & 6 & \\ \end{array} $

• Bestimme durch eine Probe, welche Lösung die gegebene lineare Gleichung erfüllt.

  Tipps

  Eine Probe wird durchgeführt, indem der berechnete Wert für die Variable $x$ eingesetzt und der Term so weit wie möglich vereinfacht wird.

  Falls es sich um die korrekte Lösung handelt, steht auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  • $4x+5=25$.

  Wir führen die Probe erst mit der $3$ und dann mit der $5$ durch.
  $3$ eingesetzt für $x$ liefert:

  • $4\cdot 3+5 = 12+5 = 17 \neq 25$.

  Somit ist die $3$ keine Lösung der Gleichung.

  Nun wird für $x$ die $5$ eingesetzt und der Term auf der linken Seite berechnet:

  • $4\cdot 5+5 = 20+5 = 25$.

  Die $5$ erfüllt die gegebene lineare Gleichung.

  Lösung

  Für die lineare Gleichung $2\cdot(x+1)=4$ sollen beide Proben durchgeführt werden, um die zutreffende Lösung zu finden.

  Zunächst wird für $x$ die $5$ eingesetzt und vereinfacht:

  • $2\cdot(5+1)=2\cdot 6=12\neq 4$.

  Wir sehen, dass die $5$ die gegebene Gleichung nicht erfüllt. Nun führen wir die Probe für die $1$ durch. Wir setzen für $x$ die $1$ ein und berechnen:

  • $2\cdot(1+1)=2\cdot 2=4$.

  Wir erhalten durch Einsetzen der $1$ in die gegebene lineare Gleichung $2\cdot(x+1)=4$ auf der linken und rechten Seite der Gleichung denselben Wert. Somit ist $1$ die Lösung der Gleichung.

• Leite die gesuchte lineare Gleichung her und löse diese.

  Tipps

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  Zwei Zahlen unterscheiden sich um $3$. Die Differenz aus dem Vierfachen der kleineren Zahl und dem Zweifachen der größeren Zahl entspricht $2$. Wir berechnen hier die Größere.

  $ \begin{array}{llll} 4\cdot (x-3)-2x & = & 2 & \\ 4x -12 -2x & = & 2 & \\ 2x -12 & = & 2 & \vert +12 \\ 2x & = & 14 & \vert :2 \\ x & = & 7 & \\ \end{array} $

  Der Vorgänger einer natürlichen Zahl $x$ kann mit $x-1$ beschrieben werden. Ähnlich machst du es für den Nachfolger.

  Lösung

  Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird anhand der zweiten Teilaufgabe verdeutlicht.

  Folgendes ist uns bekannt:

  Die Summe dreier Zahlen ist $112$. Dabei ist die zweite Zahl um $8$ größer als die erste Zahl. Die dritte Zahl entspricht dem Sechsfachen der zweiten Zahl.

  Wie groß ist die erste Zahl?

  Gehen wir nun Schritt für Schritt vor. Wir nehmen für die gesuchte erste Zahl die Variable $x$ an. Dann folgt für die zweite Zahl $x+8$, da diese um $8$ größer ist als die erste Zahl. Die dritte Zahl entspricht dem Sechsfachen der zweiten Zahl, ist also $6$-mal so groß. Für die dritte Zahl nehmen wir also $6\cdot (x+8)$ an. Nun müssen die einzelnen Terme addiert und mit $112$ gleichgesetzt werden.

  Wir erhalten:

  $ \begin{array}{llll} x+x+8+6\cdot (x+8) & = & 112 & \\ x+x+8+6x+48 & = & 112 & \\ 8x+56 & = & 112 & \vert -56 \\ 8x & = & 56 & \vert :8 \\ x & = & 7 & \\ \end{array} $