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Lineare Gleichungen der Form ax+by=c (Gleichungen mit 2 Variablen) 06:17 min

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Transkript Lineare Gleichungen der Form ax+by=c (Gleichungen mit 2 Variablen)

Das ist sie also...die Höhle des Schreckens. Bevor Nele sich in die Höhle hinein traut, möchte sie herausfinden, wie viele Wesen dort überhaupt leben. Und dazu kann sie Lineare Gleichungen der Form ax+by=c verwenden. Nele weiß von Erzählungen, dass sich in der Höhle nur Gestalten mit jeweils 2 oder 3 Augen befinden. Insgesamt hat sie 60 Augen gezählt. Wählen wir x für die Anzahl der Lebewesen mit 2 Augen, können wir die Anzahl der Augen mit 2x darstellen. Wählen wir y für die Anzahl der Lebewesen mit 3 Augen, so können wir die Anzahl mit 3y darstellen. Insgesamt haben sie 60 Augen. 2x+3y ist also gleich 60. Wir haben hier eine Gleichung der Form ax+by = c. a, b und c nennen wir Koeffizienten und x und y sind Variablen. Deshalb sagt man zu dieser Art von Gleichung auch Gleichung mit 2 Variablen. Setzen wir für x und y Werte ein, so muss das Ergebnis in diesem Beispiel 60 ergeben. Als Lösung dieser Gleichung müssen wir also immer ein Zahlenpaar angeben. Zur Veranschaulichung können wir sie in ein Koordinatensystem eintragen. Wir können Zahlenpaare herausfinden, indem wir für x verschiedene Werte einsetzen und dann die zugehörigen y- Werte berechnen. Setzen wir für x zum Beispiel 0 ein so erhalten wir für y 20, denn 3 mal 20 ergibt 60. Stimmt also. Setzen wir für x 15 ein, so ergibt sich für y 10. 2 mal 15 plus 3 mal 10 ergibt nämlich ebenfalls 60. Ist x 30, so ist y 0. Der eine Wert ist also vom anderen abhängig. Verbinden wir diese 3 Punkte so sehen wir, dass sie sich auf einer Geraden befinden. Alle Zahlenpaare, die sich auf dieser Geraden befinden, lösen also die Gleichung. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Aber eigentlich möchte Nele das Ganze im Sinne der Augen und Lebensformen deuten. Es gibt natürlich nur ganze Lebewesen und auch keine negative Anzahl. Achte bei der Deutung also auch immer auf die Aufgabenstellung. Betrachten wir mal lineare Funktionen. Deren Graph ist auch eine Gerade. Und auch die Lineare Gleichung kannst du in eine Lineare Funktion umwandeln. Subtrahieren wir hier auf beiden Seiten 2x und teilen durch 3, so erhalten wir y=-2/3 x +20. Minus 2/3 ist die Steigung und 20 der y-Achsenabschnitt. In dieser Form können wir die Zahlenpaare auch einfacher finden und die Gerade mithilfe des y-Achsenabschnitts und der Steigung in das Koordinatensystem eintragen. Schauen wir uns nun doch noch einige Sonderfälle der Linearen Gleichung der Form ax+by=c an. Ist der Koeffizient vor y gleich 0, so wie bei dieser Funktion so muss das x in diesem Fall immer 10 sein. Es ergibt sich eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft. Verändern wir diese beiden Koeffizienten, so ergibt sich diese Gerade, die ebenfalls eine parallele zur y-Achse ist. Ist der Koeffizient vor y gleich 0, so ergibt sich immer eine zur y-Achse parallele Gerade. Ist dagegen der Koeffizient vor x gleich 0 so muss y in diesem Fall immer 20 sein. Es ergibt sich eine Gerade parallel zur x-Achse. Ist der Koeffizient vor x gleich 0, so ergibt sich immer eine Gerade parallel zur x-Achse. Sind aber die Koeffizienten a UND b gleich 0, so erhalten wir 0 = 40 und die Gleichung ist nicht erfüllbar. Ist zusätzlich c gleich 0... so erhalten wir 0=0 und die Gleichung ist allgemeingültig. Alle Zahlenpaare des Koordinatensystems erfüllen diese Gleichung. Nele kann jetzt wenigstens einschätzen, welche Anzahlen von Lebewesen in der berüchtigten Höhle möglich sind. Fassen wir das noch einmal zusammen. Eine Gleichung mit 2 Variablen ist eine Gleichung der Form ax+by=c. Die Koeffizienten a, b und c sind rationale Zahlen, x und y sind Variablen. Wir haben dazu dieses Beispiel kennengelernt. Stellen wir sie nach y um, so haben wir eine lineare Gleichung mit einer Steigung und einem y-Achsenabschnitt. Lösungen dieser Gleichung sind Zahlenpaare xIy. Wie bei jeder anderen linearen Gleichung gibt es unendlich viele von ihnen. Und Nele ist schon fast am Eingang der Höhle angekommen. Die Erzählungen haben augenscheinlich nicht gestimmt.

Lineare Gleichungen der Form ax+by=c (Gleichungen mit 2 Variablen) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen der Form ax+by=c (Gleichungen mit 2 Variablen) kannst du es wiederholen und üben.

  • Zeige auf, wie du eine lineare Gleichung mit zwei Variablen in eine Funktionsgleichung umschreiben kannst.

    Tipps

    Die Graphen von linearen Funktionen sind immer Geraden.

    Ist eine Variable gegeben, kannst du die andere Variable berechnen, indem du die gegebene einsetzt und die Gleichung nach der gesuchten umstellst.

    So kannst du bei $4x+y=8$ vorgehen, wenn $y=4$ vorgegeben ist:

    1. $y=4$ einsetzen: $4x+4=8$
    2. Auf beiden Seiten $4$ abziehen: $4x=4$
    3. Auf beiden Seiten durch $4$ teilen: $x=1$
    Lösung

    Wir betrachten folgende allgemeine Gleichung mit $2$ Variablen:

    $ax+by=c$.

    Dabei sind $x$ und $y$ die Variablen und $a$, $b$ und $c$ bezeichnen wir als die Koeffizienten.

    Für die Gleichung $2x+3y=60$ erhalten wir also die ...

    • ... Variablen $x$ und $y$.
    • ... Koeffizienten $60$, $2$ und $3$.
    Man kann natürlich zunächst durch Ausprobieren ein paar Wertepaare für die Variablen herausfinden:

    • Für $x=0$ folgt:
    $\begin{array}{rll} 2x+3y&= 60 &\quad | x=0 \text{ einsetzen} \\ 2 \cdot 0 +3y &= 60 &\quad \\ 3y &= 60 &\quad | :3 \\ y &= 20 \\ \end{array}$

    • Für $x=15$ erhalten wir:
    $\begin{array}{rll} 2x+3y&= 60 &\quad | x=15 \text{ einsetzen} \\ 2 \cdot 15 +3y &= 60 &\quad | -30 \\ 3y &= 30 &\quad | :3 \\ y &= 10 \\ \end{array}$

    • Für $y=0$ ergibt sich:
    $\begin{array}{rll} 2x+3y&= 60 &\quad | y=0 \text{ einsetzen} \\ 2x +3\cdot 0 &= 60 &\quad \\ 2x &= 60 &\quad | :2 \\ x &= 30 \\ \end{array}$

    Zeichnet man diese Wertepaare als Punkte in ein Koordinatensystem ein, erhält man eine Gerade. Alle Punkte auf dieser Geraden sind Lösungen der Gleichung. Es gibt also unendlich viele Lösungen für diese Gleichung. Manchmal möchte man jedoch zum Beispiel nur ganzzahlige Lösungen. Achte daher immer genau auf die Aufgabenstellung. Noch einfacher kannst du die Punkte bestimmen, indem du die lineare Gleichung zu einer Funktionsgleichung umformst, indem du die Gleichung nach $y$ umstellst:

    $\begin{array}{rll} 2x+3y&= 60 &\quad | -2x \\ 3y&= 60 -2x&\quad | :3 \\ y&=-\frac23x+20& \\ \end{array}$

    $y=-\frac23x+20$

    Dabei ist $-\frac23$ die Steigung und $20$ der $y$-Achsenabschnitt.

  • Gib wieder, welche Spezialfälle bei linearen Gleichungen der Form $ax+by=c$ auftreten.

    Tipps

    Betrachte $0\cdot x+ 2y=40$. Da $0\cdot x=0$ gilt, kannst du schreiben $2y=40$. Die Gleichung ist für $y=20$ erfüllt, aber für welche Werte von $x$ gilt das?

    Gilt für beliebige $x$ immer $y=20$, erhalten wir eine parallele Gerade zur $x$-Achse.

    Lösung

    • Gilt $b=0$, ... ergibt sich als Graph eine Gerade, die parallel zur $y$-Achse verläuft.
    Betrachte dazu $2x+0\cdot y=20$. Da $0\cdot y=0$ gilt, kannst du schreiben: $2x=20$. Somit gilt für jedes beliebige $y$, dass $x=10$ sein muss.

    • Gilt $a=0$, ... ergibt sich als Graph eine Gerade, die parallel zur $x$-Achse verläuft.
    Betrachte dazu $0\cdot x+ 2y=40$. Da $0\cdot x=0$ gilt, kannst du schreiben $2y=40$. Somit gilt für jedes beliebige $x$, dass $y=20$ sein muss.

    • Gilt $a=0$, $b=0$ und $c\neq 0$, ... hat die Gleichung keine Lösung.
    Betrachte dazu $0\cdot x+ 0\cdot y=40$. Da $0\cdot x=0$ und $0\cdot y=0$ gilt, erhältst du $0 =40$. Diese Gleichung ist aber falsch, egal was du für $x$ oder $y$ einsetzt. Deshalb hat die Gleichung keine Lösung.

    • Gilt $a=0$, $b=0$ und $c= 0$, ... ist jeder Punkt im Koordinatensystem eine Lösung.
    Betrachte dazu $0\cdot x+ 0\cdot y=0$. Da $0\cdot x=0$ und $0\cdot y=0$ gilt, erhältst du $0 =0$. Diese Gleichung ist für jede beliebige Kombination von Werten für $x$ und $y$ richtig, da beide mit $0$ multipliziert werden. Somit ist jeder Punkt im Koordinatensystem eine korrekte Lösung.

  • Ermittle, welche Wertepaare eine Lösung der linearen Gleichung mit zwei Variablen sind.

    Tipps

    Setze die Werte $(x|y)$ in die Gleichungen ein und überprüfe, ob sie noch gültig ist.

    $(8|0)$ gehört zum Beispiel nicht zu $11x-8y=3$, denn

    • $11 \cdot 8-8\cdot 0=88-0=88\neq 3$.

    Zu $3x+6y=24$ gehört unter anderem das Wertepaar:

    • $(8|0)$, denn $3 \cdot 8+6\cdot 0=24+0=24$.

    Lösung

    Zu $3x+6y=24$ gehören die folgenden Wertepaare:

    • $(2|3)$, denn $3 \cdot 2+6\cdot 3=6+18=24$
    • $(0|4)$, denn $3 \cdot 0+6\cdot 4=0+24=24$
    • $(4|2)$, denn $3 \cdot 4+6\cdot 2=12+12=24$
    Die Funktionsgleichung der dazugehörigen Geraden lautet: $y=-\frac12 x+4$.

    Zu $7x+9y=63$ gehören die folgenden Wertepaare:

    • $(0|7)$, denn $7 \cdot 0+9\cdot 7=0+63=63$.
    • $(9|0)$, denn $7 \cdot 9+9\cdot 0=63+0=63$.
    Die Funktionsgleichung der dazugehörigen Geraden lautet: $y=-\frac79x+7$.

    Zu $11x-8y=3$ gehören die folgenden Wertepaare:

    • $(1|1)$, denn $11 \cdot 1-8\cdot 1=11-8=3$
    • $(9|12)$, denn $11 \cdot 9-8\cdot 12=99-96=3$
    • $(-7|-10)$, denn $11 \cdot (-7)-8\cdot (-10)=-77+80=3$
    Die Funktionsgleichung der dazugehörigen Geraden lautet: $y=\frac{11}{8}x-\frac{3}8$.

  • Bestimme den Funktionsgraphen.

    Tipps

    Wir können die Gleichung $x+2y=6$ nach $y$ umstellen:

    $\begin{array}{rll} x+2y&= 6 &\quad | -x \\ 2y&= 6 -x&\quad | :2 \\ y&=-\frac12x+3& \\ \end{array}$

    Du hast hier zwei Möglichkeiten:

    1. Du formst die lineare Gleichung zunächst in eine Funktionsgleichung der Form $y=mx+b$ um. Dann überprüfst du die Geraden bezüglich der Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$.
    2. Du bestimmst zu jeder Gleichung zunächst zwei Wertepaare. Dann suchst du die entsprechenden Punkte im Koordinatensystem und die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht.
    Lösung

    Du hast hier grundsätzlich zwei Möglichkeiten:

    1. Möglichkeit: Du formst die lineare Gleichung zunächst in eine Funktionsgleichung der Form $y=mx+b$ um. Dann überprüfst du die Geraden bezüglich der Steigung $m$ und den $y$-Achsenabschnitt $b$.

    2. Möglichkeit: Du bestimmst zu jeder Gleichung zunächst zwei Wertepaare. Dann suchst du die entsprechenden Punkte im Koordinatensystem und die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht. (Beachte hierbei, dass erst zwei Punkte eine Gerade eindeutig festlegen, ein einzelner Punkt liegt auf vielen unterschiedlichen Geraden.)

    Zu den einzelnen Geraden:

    1) $2x+0y=2$

    Wir stellen sehr schnell fest, dass wir jedes beliebige $y$ einsetzen können, da wir immer das $y$ mit $0$ multiplizieren. Durch Umformen erhalten wir: $2x=2 \Leftarrow x=1$. Damit ist die gesuchte Gerade eine Parallele zur $y$-Achse, die die $x$-Achse bei $x=1$ schneidet.

    Als Wertepaare könnten wir zum Beispiel $(1|0)$ und $(1|5)$ nehmen, da $2\cdot 1 +0\cdot 0=2+0=2$ und $2\cdot 1 +0\cdot 5=2+0=2$ gilt.

    2) $3x+6y=6$

    Wir können diese Gleichung nach $y$ umstellen:

    $\begin{array}{llrcll} && 3x+6y &=& 6 &\quad | -3x \\ && 6y &=& 6 -3x&\quad | :6 \\ && y &=& -\frac12x+1& \\ \end{array}$

    Als Wertepaare könnten wir zum Beispiel $(2|0)$ und $(0|1)$ nehmen, da $3\cdot 2 +6\cdot 0=6+0=6$ und $3\cdot 0 +6\cdot 1=0+6=6$.

    Auf die gleiche Weise erhalten wir für die anderen:

    3) $0x+5y=10$

    • $y=2$
    • $(0|2)$ und $(1|2)$
    4) $x-y=0$

    • $y=x$
    • $(0|0)$ und $(1|1)$
  • Bestimme sinnvolle Lösungspaare für die Gleichung.

    Tipps

    Setze $x$ und $y$ in die Gleichung ein und überprüfe, ob du eine wahre Aussage erhältst.

    Wenn wir eine Anzahl an Tieren berechnen wollen, müssen $x$ und $y$ natürliche Zahlen oder $0$ sein, sonst sind die Werte nicht sinnvoll im Sinne der Aufgabenstellung.

    $x=0$ und $y=20$ wäre auch eine korrekte Lösung der Gleichung, da:

    $2\cdot 0 +3\cdot 20=60$ eine wahre Aussage ist und $y=20$ und $x=0$ als Anzahl möglich sind.

    Lösung

    Bei der Lösung dieser Aufgabe gibt es zwei Dinge zu beachten:

    1. Kann ich die Werte für $x$ und $y$ in die Gleichung einsetzen und erhalte eine wahre Aussage?
    2. Sind $x$ und $y$ sinnvoll? Das heißt, wenn wir eine Anzahl an Tieren haben wollen, müssen $x$ und $y$ natürliche Zahlen oder $0$ sein (keine negativen Zahlen oder Brüche).
    Damit sind folgende Wertepaare richtig:
    • $x=15$ und $y=10$
    1. Durch Einsetzen erhalten wir eine wahre Aussage: $2\cdot 15 +3\cdot 10=30+30=60$
    2. Zudem sind $x=15$ und $y=10$ als Anzahl von Tieren sinnvolle Werte.
    • $x=30$ und $y=0$
    1. Durch Einsetzen erhalten wir eine wahre Aussage: $2\cdot 30 +3\cdot 0=60+0=0$
    2. Auch sind $x=30$ und $y=0$ sinnvolle Anzahlen von Tieren.

    Folgende Wertepaare sind falsch:

    • $x=10$ und $y=15$
    1. Durch Einsetzen erhalten wir eine falsche Aussage: $60=2\cdot 10 +3\cdot 15=20+45=65$
    • $x=22,5$ und $y=5$
    1. Durch Einsetzen erhalten wir eine wahre Aussage: $2\cdot 22,5 +3\cdot 5=45+15=60$
    2. Aber $x=22,5$ ist keine natürliche Zahl, kann also keine Anzahl von Tieren darstellen.
    • $x=-15$ und $y=30$
    1. Durch Einsetzen erhalten wir eine wahre Aussage: $2\cdot (-15) +3\cdot 30=-30+90=60$
    2. Aber $x=-15$ ist keine natürliche Zahl, kann also keine Anzahl von Tieren darstellen.

  • Gib an, wie viele Tiere auf dem Bauernhof leben.

    Tipps

    In der linearen Gleichung steht $x$ für die Anzahl der Hühner und $y$ für die Anzahl der Kühe.

    Für den letzten Fall: Seine Kinder sagen ihm, dass es mehr Hühner als Kühe sind, aber von jedem mindestens $2$. Hier kannst du einfach die möglichen Wertepaare durchgehen und die nicht passenden ausschließen. Du kannst aber auch die zugehörige Gerade zeichnen und die Punkte ablesen.

    Lösung

    Bauer Winfried Weizen möchte wissen, wie viele Tiere zurzeit auf seinem Bauernhof leben und schickt seine Kinder los zum Nachzählen. Leider haben diese etwas falsch verstanden und zählen nicht die Tiere, sondern die Beine. Er weiß, dass er Hühner mit $2$ und Kühe mit $4$ Beinen besitzt. Insgesamt haben seine Kinder $14$ Beine gezählt.

    Damit kann man folgende lineare Gleichung aufstellen:

    • $2x+4y=14$.
    Hier steht $x$ für die Anzahl der Hühner und $y$ für die Anzahl der Kühe.

    • Besitzt er nur ein Huhn, dann hat er $3$ Kühe. Dazu hat er $x=1$ in die Gleichung eingesetzt: $2 \cdot 1+4y=14$. Diese hat er dann nach $y$ umgestellt: $4y=12 \Rightarrow y=3$.
    • Besitzt er nur eine Kuh, dann hat er $5$ Hühner. Dazu hat er $y=1$ in die Gleichung eingesetzt: $2x+4\cdot 1=14$. Diese hat er dann nach $x$ umgestellt: $2x=10 \Rightarrow x=5$.
    Seine Kinder sagen ihm, dass es mehr Hühner als Kühe sind, aber von jedem mindestens $2$. Also hat er:

    $3$ Hühner und $2$ Kühe.

    Dazu hat er folgende Überlegungen durchgeführt:

    • Besitzt er $2$ Hühner, setzt er $x=2$ in die Gleichung ein: $2\cdot 2+4y=14$. Diese stellt er nach $y$ um: $4y=10 \Rightarrow y=\frac{10}4 =2,5$. Die Anzahl der Kühe muss aber eine natürliche Zahl sein, daher kann das nicht sein.
    • Besitzt er $3$ Hühner, setzt er $x=3$ in die Gleichung ein: $2\cdot 3+4y=14$. Umgestellt nach $y$ folgt: $4y=8 \Rightarrow y=2$. Damit hätte er $3$ Hühner und $2$ Kühe mit insgesamt $14$ Beinen, was alle Aussagen seiner Kinder erfüllt.
    • Würde er mehr Hühner als $3$ besitzen, reichen die Beine nicht mehr für $2$ Kühe.
    • Besitzt er $3$ Kühe, setzt er $y=3$ in die Gleichung ein: $2x+4\cdot 3=14$. Umgestellt nach $x$ folgt: $2x=2 \Rightarrow x=1$. Damit hätte er nur ein Huhn. Es können also nicht mehr als $2$ Kühe sein. Damit bleibt nur der zweite Fall.