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Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)

Erfahre, wie Gleichungen und ihre Lösungen zusammenhängen. Die Lösungsmenge enthält alle möglichen Lösungen einer Gleichung. Von einzelnen Lösungen bis zu leeren oder unendlichen Mengen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)
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Team Digital
Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen) kannst du es wiederholen und üben.
  • Zeige auf, was für verschiedene Lösungsmengen gilt.

    Tipps

    Für die Gleichung $1+3x=16$ ist $x=5$ eine Lösung.

    Die Elemente der Lösungsmenge von $x+y+z=1$ bestehen aus unendlich vielen Tripeln der Form: $(x,y,z)$.

    Da die Lösungsmenge aus unendlich vielen Elementen besteht, kann es nützlich sein, diese als Intervall zu schreiben. Dabei unterscheiden wir zwischen den runden und eckigen Klammern.

    Bei $[-3,3]$ sind die $-3$ und $3$ enthalten, bei $(-3,3)$ jedoch nicht.

    Lösung

    1. Eine Zahl, die wir in eine Gleichung einsetzen können, sodass wir eine richtige Gleichung erhalten, heißt Lösung der Gleichung. Diese Zahl erfüllt die Gleichung. Betrachten wir zum Beispiel die Gleichung $3x = 6$, dann können wir die Zahl $2$ statt des $x$ einsetzen. Eine weitere Lösung existiert nicht. Daher sieht die Lösungsmenge wie folgt aus: $\mathbb{L}=\{2\}$.
    2. Auch für Ungleichungen wie $x^2\leq 9$ können wir eine Lösungsmenge aufstellen. Die Gleichheit ist erfüllt für $-3$ und $3$. Für alle Zahlen dazwischen ist die Ungleichheit erfüllt, da das Vorzeichen durch das $^2$ verschwindet. Damit folgt: $\mathbb{L}=[-3,3]$. Die eckigen Klammern bedeuten, dass die $-3$ und $3$ in der Menge enthalten sind.
    3. Die Lösungsmenge kannst du auch für Gleichungen mit zwei Variablen angeben. Hier enthält die Lösungsmenge sogenannte Zahlenpaare.
    • Für die obere Gleichung sieht die Lösungsmenge im Beispiel wie folgt aus: $\mathbb{L}=\{(2,4),(1,7),(3,1), \dots\}$. Sie enthält unendlich viele Elemente. Das wird durch die Punkte angedeutet.
    • Für die untere gilt: $\mathbb{L}=\{(2,4),(1,5),(3,3), \dots\}$. Auch diese Lösungsmenge enthält unendlich viele Elemente.
    Betrachtet man die beiden als Gleichungssystem, enthält die Lösungsmenge nur die Zahlenpaare, die beide Gleichungen lösen. Das gilt hier nur für das Zahlenpaar $(2,4)$. Also: $\mathbb{L}=\{(2,4)\}$. Das Ganze kann man auch allgemein auf $n$ Variablen mit $n$-Tupeln erweitern.

  • Bestimme die Lösungsmengen für die Gleichungen und Ungleichungen.

    Tipps

    Die Lösung zu $3x=6$ ist $2$, da $3\cdot 2=6$ gilt.

    Eine Lösungsmenge kann leer sein, ein Element, zwei Elemente oder auch unendlich viele enthalten.

    In der Lösungsmenge $\mathbb{L}=[-1,1]$ sind alle Zahlen des Intervalls von $-1$ und $1$ enthalten.

    Lösung

    Eine Lösungsmenge kann entweder aus nur einer Zahl $\mathbb{L}=\{1\}$, einer Menge von Zahlen $\mathbb{L}=\{0,1,2\dots\}$ oder auch aus Intervallen $\mathbb{L}=[-1,1]$ bestehen.

    • $x+0=x$:
    Hier kannst du für $x$ jede beliebige Zahl einsetzen, daher besteht die Lösungsmenge aus der Menge der reellen Zahlen: $\mathbb{L}=\mathbb{R}$.
    • $x^2\leq 9$:
    Es gilt sowohl $3^2=9$ als auch $(-3)^2=9$. Alle Zahlen, die betragsmäßig kleiner sind, sind ebenfalls in der Lösungsmenge $\mathbb{L}=[-3,3]$ enthalten. Bei der Lösungsmenge handelt es sich um das Intervall, das alle Zahlen zwischen $-3$ und $3$ enthält. Die eckigen Intervallklammern bedeuten, dass auch die Grenzen $-3$ und $3$ in der Lösungsmenge enthalten sind.
    • $x<6$:
    Alle Zahlen, die echt kleiner sind als $6$, sind in der Lösungsmenge enthalten. Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L}=(-\infty,6)$. Die runden Intervallklammern zeigen, dass die Grenze $6$ nicht enthalten ist, da $6\nless 6$.
    • $x^2=9$:
    Es gilt sowohl $3^2=9$ als auch $(-3)^2=9$, daher gilt $\mathbb{L}=\{-3,3\}$.
    • $x^2>9$:
    Die Lösungsmenge kann sich auch aus mehreren Intervallen zusammensetzen. Hier gilt $\mathbb{L}=(-\infty,-3)\cup (3,\infty)$.

  • Ermittle die Elemente der Lösungsmenge für die Gleichungen.

    Tipps

    Um zu überprüfen, ob das Tripel $(1,1,2)$ zur Lösungsmenge der Gleichung $x+y-z=0$ gehört, setze die Zahlen ein und überprüfe, ob eine wahre Aussage entsteht:

    $x+y-z=1+1-2=0 ~\checkmark$

    Das Zahlenpaar $(0,0)$ gehört nicht zu der Gleichung $x=-y+1$, da $0\neq0+1=1$. Du könntest aber für ein festes $y$ einen $x$-Wert berechnen, da diese Gleichung bereits nach $x$ umgestellt ist. Es gilt:

    • $y=0$: $x=-0+1=1 \Rightarrow ~ (1,0)$
    • $y=1$: $x=-1+1=0 \Rightarrow ~ (0,1)$
    • $y=2$: $x=-2+1=-1 \Rightarrow ~ (-1,2)$

    Lösung

    Die Lösungsmenge einer Gleichung mit zwei Variablen enthält meist unendlich viele Zahlenpaare. Du überprüfst, welche dazugehören, indem du die Wert einsetzt und prüfst, ob du eine wahre Aussage erhältst.

    $1.$ $2x+6y=12$ Tupel der Form $(x,y)$:

    • $(0,2)$, da $2\cdot 0 +6\cdot 2=12$
    • $(6,0)$, da $2\cdot 6 +6\cdot 0=12$
    • $(3,1)$, da $2\cdot 3 +6\cdot 1=6+6=12$
    $2.$ $8x-4y=0$ :
    • $(0,0)$, da $8\cdot 0-4\cdot 0=0$
    • $(1,2)$, da $8\cdot 1-4\cdot 2=8-8=0$
    • $(2,4)$, da $8\cdot 2-4\cdot 4=16-16=0$
    • $(-1,-2)$, da $8\cdot (-1)-4\cdot (-2)=-8+8=0$
    $3.$ $x=-y+1 \Leftrightarrow x+y=1$:
    • $(0,1)$, da $0=-1+1$
    • $(1,0)$, da $1=-0+1$
    • $(2,-1)$, da $2=-(-1)+1$

  • Bestimme die Lösungsmengen der Gleichungen und Ungleichungen.

    Tipps

    Um zu überprüfen, ob die Relationen stimmen, kannst du gerade bei Intervallen der Form $\mathbb{L}=[-2,2]$ zunächst die Grenzen einsetzen und testen.

    Für $x>3$ gilt:
    $-2\ngtr3$ und $2\ngtr3$, damit kann die Ungleichung auch für keine Zahl dazwischen erfüllt sein und daher ist die Ungleichung auf keinen Fall für alle Elemente der Lösungsmenge erfüllt.

    In der Lösungsmenge $\mathbb{L}=[-2,2]$ sind alle Zahlen des Intervalls von $-2$ und $2$ enthalten.

    In der Lösungsmenge $\mathbb{L}=(-2,2)$ sind nur die Zahlen zwischen $-2$ und $2$ enthalten, die Grenzen nicht.

    Lösung

    Um die Lösungsmengen der (Un-)Gleichungen zu bestimmen, musst du überprüfen, für welche Werte von $x$ die entsprechenden (Un-)Gleichungen eine wahre Aussage liefern:

    • $x^2\leq4$
    Für $x=-2$ ist die Gleichheit $(-2)^2=4$ erfüllt, ebenso für $x=2$. Für alle Werte zwischen diesen Grenzen ist die Ungleichheit erfüllt. Daher gilt: $\mathbb{L}=[-2,2]$
    • $3x>9\Leftrightarrow x>3$
    Diese Relation gilt für jedes $x$, das echt größer als $3$ ist: $\mathbb{L}=(3,\infty)$
    • $1\cdot x= x \Leftrightarrow x=x$
    Diese Gleichung gilt für jede reelle Zahl: $\mathbb{L}=\mathbb{R}$
    • $\frac{1}{4}x^2 = 9$
    Die Gleichung ist nur für $x=-6$ und $x=6$ erfüllt. Daher gilt: $\mathbb{L}=\lbrace6,-6\rbrace$
  • Gib an, wie die Elemente der Lösungsmengen der entsprechenden Gleichungen heißen.

    Tipps

    $\mathbb{L}=\{(2,4), (1,7), (3,1),(4,-2), \dots \}$ ist die Lösungsmenge für die Gleichung $3x+y=10$.

    Bestimme zunächst, wie viele Variablen in dieser Gleichung bestimmt werden müssen.

    Tripel steht für dreifach und Quadrupel für vierfach.

    Lösung

    Die Lösungsmenge der Gleichung $3x=6$ besteht aus nur einer Zahl, denn $3\cdot 2=6$. Damit folgt: $\mathbb{L}=\{2\}$. Aber wie sieht das bei komplizierteren Gleichungen aus?

    1. Hat eine Gleichung zwei Variablen, brauchen wir ein Zahlenpaar, zum Beispiel der Form $(x,y)$ für $3x+y=10$. Die Lösungsmenge sieht dann wie folgt aus: $\mathbb{L}=\{(2,4), (1,7), (3,1),(4,-2), \dots \}$ und hat unendlich viele Elemente.
    2. Die Gleichung $x+y+z=1$ hat zum Beispiel drei unbekannte Variablen, die wir bestimmen müssen. Dazu brauchen wir ein Zahlentripel (tri steht für drei) oder kurz: Tripel. Die Lösungsmenge sieht wie folgt aus: $\mathbb{L}~=~\{(0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), \dots \}$.
    3. Analog dazu brauchen wir für $a+b+c+d=1$ aufgrund der $4$ Variablen ein Quadrupel, die Vorsilbe kennst du zum Beispiel von einem Quadrat.
    4. Allgemein sagen wir, dass wir für eine Gleichung mit $n$ Variablen $x_1+x_2+\dots+x_n=1$ in der Lösungsmenge $n$-Tupel benötigen.
  • Entscheide, welche Aussagen korrekt sind.

    Tipps

    Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist der Schnitt der Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen, zum Beispiel bei $2$ Gleichungen:

    $\mathbb{L}_{\text{Sys}}=\mathbb{L}_1\cap\mathbb{L}_2$

    Du wählst also nur die Elemente, die in beiden Lösungsmengen enthalten sind.

    Ein Produkt ist genau immer dann $0$, wenn einer der Faktoren gleich $0$ ist.

    Lösung

    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    „Die Lösungsmenge zu einer Gleichung kann niemals leer sein.“

    • Die Gleichung $x^2=-1$ hat keine reelle Lösung, da wir nur im komplexen Zahlenbereich die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen können. Wir schreiben: $\mathbb{L}=\{\}$.
    • Betrachte alternativ: $3+x=5+x$. Subtrahiert man auf beiden Seiten $x$, erhält man $3=5$. Da dies offensichtlich falsch ist, ist die Gleichung für kein $x$ erfüllt: $\mathbb{L}=\{\}$
    „Bei $3-x=5-x$ kann jedes beliebige reelle $x$ eingesetzt werden, daher gilt: $\mathbb{L}=\mathbb{R}$.“

    • Addiert man auf beiden Seiten $x$, erhält man $3=5$. Da dies offensichtlich falsch ist, ist die Gleichung für kein $x$ erfüllt: $\mathbb{L}=\{\}$.
    „$0\cdot x>1$ hat keine Lösungsmenge.“

    • Vereinfacht lautet die Ungleichung $0>1$, hat also keine Lösung. Das heißt, die Lösungsmenge ist leer, existiert aber.

    Die folgenden Aussagen sind richtig:

    „Das Gleichungssystem

    $\text{I}:$ $2x+2y=0$

    $\text{II}:$ $x=y$

    hat die Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{(0,0)\}$.“

    • Die Lösungsmenge von $\text{I}:$ $2x+2y=0$ lautet: $\mathbb{L}_1=\{(0,0), (1,-1), (-1,1), \dots \}$.
    • Die Lösungsmenge von $\text{II}:$ $x=y$ lautet: $\mathbb{L}_2=\{(0,0), (1,1), (-1,-1), \dots \}$.
    • Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist der Schnitt der beiden Lösungsmengen: $\mathbb{L}_{sys}=\mathbb{L}_1\cap\mathbb{L}_2=\{(0,0)\}$.
    „Die Lösungsmenge von $(x-1)\cdot (x+1)=0$ ist $\mathbb{L}=\{-1,1\}$.“

    • Ein Produkt ist genau immer dann $0$, wenn einer der Faktoren gleich $0$ ist. Daher kannst du die beiden Lösungen hier direkt ablesen. Für $x=1$ wird der erste Faktor $0$ und für $x=-1$ der zweite.