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Versteckte lineare Gleichungen 04:02 min

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Transkript Versteckte lineare Gleichungen

Clarissa ist Comicsammlerin. Stets ist sie auf der Suche nach der nächsten versteckten Perle. Bei einem Bummel durch den Comicladen flippt sie plötzlich völlig aus! Zwei Sonderausgaben von "Miss Calculate", der liebenswerten, nerdigen Heldin, die Leuten hilft, ihre Mathefehler zu erkennen. Der Ladenbesitzer erklärt Clarissa, dass diese Ausgaben sehr wertvoll sind. Normalerweise stehen auf Miss-Calculate-Comics lineare Gleichungen. Diese hier sind aber mit nichtlinearen Gleichungen beschriftet. Clarissa ist misstrauisch und will überprüfen, ob die Gleichungen wirklich nichtlinear sind oder nur versteckte lineare Gleichungen. Auf dem ersten Comic steht: 'x geteilt durch 7' ist gleich '14 geteilt durch 98'. Das sieht mehr nach einer Verhältnisgleichung als nach einer linearen Gleichung aus. Aber die Variable ist in die erste Potenz erhoben und die Variablen in linearen Gleichungen sind immer in die erste Potenz erhoben. Schreiben wir diese Gleichung um, indem wir über Kreuz multiplizieren. Wir nehmen den Zähler der linken Seite der Gleichung und multiplizieren ihn mit dem Nenner auf der rechten Seite. Den Nenner auf der linken Seite multiplizieren wir mit dem Zähler der rechten Seite. Das ergibt '98x' ist gleich '7 mal 14' oder '98x' ist gleich '98'. Wir können das vereinfachen, indem wir beide Seiten durch 98 teilen. Moment mal, diese Sonderausgabe ist gar nichts Besonderes. Da steht ja bloß die lineare Gleichung 'x gleich 1'. Der Ladenbesitzer versichert, dass es sich um einen Fehler handeln muss. Schauen wir uns also mal die zweite Gleichung an. '4 minus x geteilt durch 9' ist gleich '3x plus 2 geteilt durch 36'. Das sieht etwas komplizierter aus, aber die Variablen sind alle in die erste Potenz erhoben also ist es eine lineare Gleichung, oder etwa nicht. Um das zu überprüfen, vereinfachen wir. Wieder multiplizieren wir über Kreuz. Den Zähler auf der linken Seite multiplizieren wir mit dem Nenner auf der rechten Seite. Und den Nenner auf der linken Seite multiplizieren wir mit dem Zähler auf der rechten Seite. Wir lösen die Klammern auf und erhalten '144 minus 36x' ist gleich '27x plus 18'. Mit Äquivalenzumformungen isolieren wir jetzt die Variable. Zuerst subtrahieren wir 144 auf beiden Seiten. Dann ziehen wir auf beiden Seiten 27x ab. Zuletzt teilen wir beide Seiten durch Minus 63 und erhalten 'x' ist gleich '2'? Wie, Bitte, Was? Der zweite Comic ist ebenfalls mit einer ganz gewöhnlichen linearen Gleichung betitelt. Fassen wir zusammen: Wenn du schauen willst, ob eine Gleichung linear ist vereinfachst du sie zuerst, dann isolierst du die Variable. Und zuletzt überprüfst du, ob die Variablen in die erste Potenz erhoben sind. Dank ihrer Berechnungen weiß Clarissa nun, dass der Comicverkäufer sie über den Tisch ziehen will. Das ist ein Job für Miss Calculate, die Rächerin rechnerischer Rechtsbrüche. Schurken und abtrünnige Mathematiker habt acht!

Versteckte lineare Gleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Versteckte lineare Gleichungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Vereinfache die Gleichung.

    Tipps

    Bei Bruchgleichungen, die aus jeweils einem Bruch auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens bestehen, ist es hilfreich, über Kreuz zu multiplizieren.

    Alle Arten von Gleichungen löst man, indem man die Variable so weit wie möglich vereinfacht, also isoliert.

    Lösung

    Wir betrachten im Folgenden das Vorgehen beim Lösen folgender Bruchgleichung:

    $\frac{4-x}{9}=\frac{3x+2}{36}$

    Im ersten Schritt müssen wir über Kreuz multiplizieren. Damit erhalten wir zunächst eine Gleichung, welche wir durch Anwendung des Distributivgesetzes ausmultiplizieren. Es folgt also:

    $\begin{array}{rll} 36 \cdot(4-x) &=& 9\cdot (3x+2) \\ 144-36x &=& 27x+18 \end{array}$

    Um die resultierende Gleichung zu vereinfachen, subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung $144$ und anschließend $27x$. Im darauffolgenden Schritt möchten wir $x$ isolieren und teilen daher beide Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor von $x$:

    $\begin{array}{rlll} 36 \cdot(4-x) &=& 9\cdot (3x+2) \\ 144-36x &=& 27x+18 & \vert -144 \\ -36x &=& 27x-126 & \vert -27x \\ -63x &=& -126 & \vert :(-63) \\ x &=& 2 & \end{array}$

    Somit erhalten wir die Lösung $x=2$.

  • Vereinfache die Gleichung.

    Tipps

    Um eine Gleichung zu lösen, musst du die Variable isolieren.

    Um eine Variable zu isolieren, ist es hilfreich, zuerst die Brüche in der Gleichung verschwinden zu lassen.

    Lösung

    Die gegebene Gleichung können wir mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach der Variable $x$ auflösen. Um die Variable zu isolieren, musst du zuerst über Kreuz multiplizieren und anschließend die Variable isolieren.

    $\begin{array}{llll} \frac{x}{7}&=&\frac{14}{98} &\vert \cdot 7\ \text{und}\ \cdot 98 \\ x \cdot 98 &=& 14\cdot 7 & \\ 98x &=&98 &\vert :98\\ x &=& 1 & \\ \end{array}$

  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Damit eine Gleichung vollständig aufgelöst ist, muss die Variable $x$ im Zähler stehen.

    Um eine Gleichung aufzulösen, solltest du zuerst versuchen, die Brüche in der Gleichung verschwinden zu lassen.

    Beginne am besten mit der Multiplikation über Kreuz.

    Lösung

    Um die Gleichungen zu lösen, musst du sie so weit wie möglich vereinfachen und nach der Variablen umstellen. Beispielsweise wird die Gleichung

    $\frac{6}{2}=\frac{2}{3x}$

    wie folgt gelöst:

    $\begin{array}{llll} \frac{6}{2}&=&\frac{2}{3x} &\vert \cdot x \\ \frac{6}{2}x&=&\frac{2}{3} &\vert \cdot 2\\ 6x&=&\frac{4}{3} &\vert :6\\ x&=&\frac{4}{18} \\ x&=&\frac{2}{9} \\ \end{array}$

    Hier ist es wichtig, die Gleichung so umzuformen, dass die Variable $x$ im Zähler steht. Die anderen Gleichungen kannst du auf ähnliche Weise umformen. Dann ergeben sich folgende Lösungen:

    • $\frac{x}{2}=\frac{5}{3}\quad\rightarrow\quad x=\frac{10}{3}$
    • $\frac{2x}{5}=\frac{4}{5}\quad\rightarrow\quad x=2$
    • $\frac{3}{x}=\frac{5}{2}\quad\rightarrow\quad x=\frac{6}{5}$
    • $\frac{6}{2}=\frac{2}{3x}\quad\rightarrow\quad x=\frac{2}{9}$
  • Bestimme, ob es sich um eine lineare Gleichung handelt.

    Tipps

    Isoliere die Variable $x$, um die Gleichung zu lösen.

    Eine lineare Gleichung enthält nur Variablen in der ersten Potenz.

    Lösung

    Um herauszufinden, welche dieser Gleichungen linear sind, musst du sie so weit wie möglich vereinfachen und anschließend die Potenz überprüfen. Dann ergibt sich:

    Diese Gleichungen sind nicht linear:

    • $\frac{x}{2}=\frac{5}{3x}$
    Die Gleichung wird folgendermaßen umgeformt:

    $\begin{array}{llll} \frac{x}{2}&=&\frac{5}{3x} &\vert \cdot x \\ \frac{x^2}{2}x&=&\frac{5}{3} &\vert \cdot 2\\ x^2&=&\frac{10}{3} &\vert \sqrt{}\\ x&=& \pm \sqrt{\frac{10}{3}}\\ \end{array}$

    Das ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen $x= \pm \sqrt{\frac{10}{3}}$, sie ist also nicht linear.

    • $3x-4=5x+3-2x-7$
    Das Umformen dieser Gleichung ergibt:

    $0=0$

    Es ist also keine linare Gleichung.

    Diese Gleichungen sind linear:

    • $x=-3$
    • $\frac{2x}{5}=\frac{4}{5}$
    • $\frac{2}{x}=\frac{5}{3}$
    Bei allen dieser Gleichungen ist die Variable nach dem Umformen zur ersten Potenz erhoben. Sie sind also linear.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu versteckten linearen Gleichungen.

    Tipps

    Nur Gleichungen, in denen alle Variablen genau zur ersten Potenz erhoben sind, heißen linear.

    Im Folgenden siehst du, wie du eine lineare Gleichung lösen kannst:

    $\begin{array}{llll} \frac x4 &=& \frac 12 & \vert \ \ddot{\text{u}}\text{ber Kreuz multiplizieren} \\ 2x &=& 4 & \vert :2 \\ x &=& 2 & \end{array}$

    Einen Term der Form $a\cdot (b+c)$ kannst du wie folgt ausmultiplizieren: $~ ab+ac$

    Lösung

    Diese Aussage ist falsch:

    • In linearen Gleichungen ist die Variable immer mindestens zur ersten Potenz erhoben.
    • Eine Bruchgleichung kann niemals eine lineare Gleichung sein.
    Nur Gleichungen, in denen alle Variablen genau zur ersten Potenz erhoben sind, heißen linear.

    Diese Aussagen sind richtig:

    • Man kann eine lineare Gleichung mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen umstellen.
    Alle linearen Gleichungen kann man lösen, indem man die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen so weit wie möglich vereinfacht, also die Variable isoliert.

    • In einer linearen Gleichung ist die Variable immer genau zur ersten Potenz erhoben.
    • Folgende Gleichung ist eine lineare Gleichung: $~ 2\cdot (x-1)=4$
    Die Klammern in dieser Gleichung kannst du mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren und anschließend mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen umstellen. Es folgt dann:

    $\begin{array}{llll} 2\cdot (x-1) &=& 4 & \\ 2x-2 &=& 4 & \vert +2 \\ 2x &=& 6 & \vert :2 \\ x &=& 3 & \end{array}$

  • Erarbeite, wie man versteckte lineare Gleichungen mit zwei Variablen vereinfacht.

    Tipps

    In jeder linearen Gleichung sind alle Variablen genau zur ersten Potenz erhoben.

    Um zu bestimmen, ob eine Gleichung linear ist, musst du sie komplett vereinfachen. Dazu musst du versuchen, die Brüche verschwinden zu lassen.

    Lösung

    Um zu prüfen, ob Gleichungen mit zwei Variablen linear sind, gehst du wie folgt vor:

    Wie bei versteckten linearen Gleichungen mit einer Variablen musst du bei zwei Variablen die Gleichung zunächst vereinfachen. Hast du die Gleichung so weit wie möglich vereinfacht, kannst du bestimmen, ob sie linear ist. Dazu musst du überprüfen, ob alle Variablen zur ersten Potenz erhoben sind.

    Nach dem Vereinfachen liegt die Gleichung in folgender Form vor:

    • $a\cdot x + b \cdot y =c$
    Dabei sind $a$, $b$ und $c$ Konstanten und $x$ und $y$ Variablen.

    Die Gleichung $3\cdot x -4 \cdot y =0$ ist komplett vereinfacht, mit den Konstanten $a=3$, $b=-4$ und $c=0$.

    Nun betrachten wir folgende Bruchgleichung:

    • $\frac{3}{x}=\frac{2}{y}$
    Die Variablen müssen im Zähler des Bruchs stehen. Dazu multiplizierst du die Gleichung zuerst mit dem Nenner des ersten Bruchs, also $x$. Das ergibt:

    • $3=\frac{2x}{y}$
    Danach multiplizierst du die Gleichung mit dem Nenner des verbleibenden Bruchs, also $y$, und erhältst:

    • $3y=2x$
    Damit die beiden Terme mit Variablen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens stehen, subtrahierst du $2x$ von beiden Seiten der Gleichung.

    Damit ist klar, dass es sich um eine lineare Gleichung mit zwei Variablen handelt. Das kann man daran erkennen, dass alle Variablen zur ersten Potenz erhoben sind. Die Konstanten lauten $a=3$, $b=-2$ und $c=0$.