Lineare Gleichungen aufstellen und lösen

Lineare Gleichungen aufstellen und lösen Übung

• Beschreibe das Vorgehen beim Aufstellen und Lösen von linearen Gleichungen.

  Tipps

  Um Probleme mit linearen Gleichungen zu lösen, musst du deine Informationen zuerst mathematisch ausdrücken.

  Hast du eine Variable ausgerechnet, kannst du damit alle anderen Variablen, die von dieser abhängig sind, berechnen.

  Lösung

  So kannst du hier vorgehen:

  „Schreibe die gegebenen Informationen in mathematische Ausdrücke mit verschiedenen Variablen um.“

  • Um Probleme mit linearen Gleichungen zu lösen, musst du deine Informationen zuerst mathematisch ausdrücken.

  „Fasse deine mathematischen Ausdrücke mit verschiedenen Variablen so zusammen, dass überall nur noch eine Variable vorkommt.“

  • Die Rechnung vereinfacht sich sehr, wenn nur eine Variable darin vorkommt.

  „Setze deine mathematischen Ausdrücke, in denen nur noch eine Variable vorkommt, zu einer Gleichung zusammen.“

  „Vereinfache die Gleichung und löse sie nach deiner Variablen auf.“

  „Berechne mit dieser Variablen alle anderen Variablen.“

  • Hast du eine Variable ausgerechnet, kannst du damit alle anderen Variablen, die von dieser abhängig sind, berechnen.

• Stelle eine lineare Gleichung auf und löse sie.

  Tipps

  Schreibe zuerst die gegebenen Informationen in mathematische Ausdrücke mit Variablen um und fasse diese anschließend so zusammen, dass nur noch eine Variable in ihnen vorkommt.

  Alle Dreiecke haben eine Winkelsumme von $180^{\circ}$. Das kannst du beim Aufstellen deiner Gleichung verwenden.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  • Schreibe zuerst die gegebenen Informationen in mathematische Ausdrücke mit Variablen um.

  „Wir wissen, dass $\beta$ doppelt so groß wie $\alpha$ ist. Also gilt:

  $\beta = 2\alpha$.

  Außerdem ist $\gamma$ dreimal so groß wie $\alpha$. Das können wir so ausdrücken:

  $\gamma = 3\alpha$.“

  • Fasse anschließend deine mathematischen Ausdrücke so zusammen, dass nur noch eine Variable vorkommt.

  „Bezeichnen wir den Winkel $\alpha$ mit der Variablen $x$

  $\alpha = x$,

  erhalten wir für die anderen Winkel:

  $\beta = 2x$ und

  $\gamma = 3x$.“

  • Alle Dreiecke haben eine Winkelsumme $180^{\circ}$. Mit diesen Informationen kannst du eine Gleichung aufstellen.

  „Das können wir zu einer Gleichung zusammenfassen:

  $x+ 2x+ 3x=180^{\circ}$.“

  • Die Gleichung kannst du nach der Variablen auflösen.

  „Vereinfacht ergibt das:

  $6x=180^{\circ}$.

  Damit erhalten wir

  $x=30^{\circ}$.“

  • Als letzten Schritt kannst du mit deiner ausgerechneten Variablen alle anderen Variablen, die von dieser abhängig sind, berechnen.

  „Setzen wir das in die Gleichungen für die anderen Winkel ein, erhalten wir:

  $\beta =60^{\circ}$ und

  $\gamma=90^{\circ}$.

  Hier liegt also der rechte Winkel.“

• Ermittle, wie du die Informationen mathematisch ausdrücken kannst.

  Tipps

  Um die Gleichungen zuzuordnen, nimm die kleinste Größe als Variable $x$ an. Dann versuche alle anderen Mengen durch diese Variable auszudrücken.

  Oft kannst du deine mathematischen Ausdrücke zu einer Gesamtmenge addieren.

  Lösung

  Um die Gleichungen zuzuordnen, nimm die kleinste Größe als Variable $x$ an. Dann versuche alle anderen Mengen durch diese Variable auszudrücken. Oft kannst du diese Variablen zu einer Gesamtmenge addieren.

  „In Annas Wasserflasche passt doppelt so viel wie in Luis' Flasche. Zusammen haben die beiden Flaschen ein Volumen von $2$ Liter.“

  • $ 2x + x=2$

  Hier beschreibt $x$ den Inhalt von Luis' Flasche. Da Annas Flasche doppelt so groß ist, bezeichnet $2x$ den Inhalt ihrer Flasche. Die Summe dieser beiden Inhalte muss $2$ sein.

  „Maria und Phil bezahlen $22~€$ für ihr Mittagessen. Marias Pizza kostet dreimal so viel wie Phils vegetarischer Döner. Sie geben $2~€$ Trinkgeld.“

  • $3x +x+2 =22$

  Hier beschreibt $x$ den vegetarischen Döner. Die Pizza ist dreimal so teuer, also $3x$. Zusammen mit den zwei Euro Trinkgeld muss das 22 ergeben.

  „Sarah fährt von New York nach Asheville. Nach der Hälfte macht sie eine Pause von einer Stunde. Insgesamt ist sie $11$ Stunden unterwegs.“

  • $x + 1=11$

  Hier bezeichnet $x$ die Zeit im Auto, $1$ die Dauer der Pause und $11$ die gesamte Reisedauer.

  „Chris backt einen Kuchen. Darin kommt doppelt so viel Margarine wie Zucker und viermal so viel Mehl wie Zucker. Insgesamt wiegt der Teig zwei Kilo.“

  • $x+2x+4x=2$

• Ermittle die Lösung der Gleichungen.

  Tipps

  Die Lösungen kannst du bestimmen, indem du die Gleichungen vereinfachst und anschließend auflöst. Fasse gleichartige Terme immer zuerst zusammen.

  Eine der Rechnungen beginnt so:

  $\begin{array}{rlll} 3x +x+2 &=&22 \\ 4x+2 &=&22 &\vert-2 \\ \end{array}$

  Lösung

  Die Lösungen kannst du bestimmen, indem du die Gleichungen vereinfachst und anschließend auflöst. So erhältst du:

  $\begin{array}{rlll} 3x +x+2 &=&22 \\ 4x+2 &=&22 &\vert-2 \\ 4x&=&20 &\vert :4 \\ x &=&5\\ \end{array}$

  Oder:

  $\begin{array}{rlll} x+2x+4x-6&=&1\\ 7x-6 &=&1 &\vert+6 \\ 7x&=&7 &\vert :7 \\ x &=&1\\ \end{array}$

  Die anderen Gleichungen kannst du ähnlich lösen. Hier müssen jedoch zunächst die Klammern aufgelöst werden. Dann erhältst du:

  • $12(x-3) -9x=12~\Rightarrow~x=16$

  $\begin{array}{rlll} 12(x-3) -9x&=&12 & ~\\ 12x - 36 - 9x &=& 12 & \vert +36 \\ 3x &=& 48 &\vert :3 \\ x &=& 16 &~\\ \end{array}$

  • $5(x+2)+ x(1+4)=0~\Rightarrow~x=-1$

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Aufstellen und Lösen von linearen Gleichungen.

  Tipps

  Die drei Winkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$.

  Wenn $\beta$ doppelt so groß ist wie $\alpha$, dann ergeben zwei $\alpha$ ein $\beta$.

  Lösung

  Diese Aussage ist falsch:

  „Wenn alle Winkel eines Dreiecks gleich groß sind, können wir die Gleichung

  $4x=180^{\circ}$

  aufstellen.“

  • Die drei Winkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$. Also lautet die Gleichung: $3x=180^{\circ}$.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Wenn $\beta$ doppelt so groß ist wie $\alpha$ und $\alpha=x$, dann gilt:

  $\beta= 2x$.“

  • Zwei $\alpha$ ergeben ein $\beta$. In der Gleichung wurde $\alpha$ durch $x$ ausgedrückt.

  „Um die Winkel zu bestimmen, können wir einen Winkel mit $x$ bezeichnen und alle anderen Winkel durch diese Variable ausdrücken.“

  • Das ist ein gutes Vorgehen, um hier die linearen Gleichungen zu lösen.

  „Wenn gilt: $2\beta= \gamma$ und $\beta=54 \frac{1}{3}^{\circ} $, dann ist $\gamma=108 \frac{2}{3}^{\circ} $.“

  • Setzt du hier den Wert für $\beta$ in die Gleichung ein, erhältst du diesen Wert für $\gamma$.

• Bestimme das Ergebnis mit Hilfe einer linearen Gleichung.

  Tipps

  Zuerst musst du die Informationen in mathematische Ausdrücke umschreiben:

  $a$ ist doppelt so lang wie $b$, also:

  $a =2b$.

  $c$ ist dreimal so lang wie $d$, also:

  $c=3d$.

  Die Fläche des linken Rechtecks kannst du so schreiben.

  $A_1=a \cdot b= 2b \cdot b$

  So sieht die fertige Gleichung aus:

  $2b \cdot b + 3b \cdot b = 10 b$.

  Lösung

  So kannst du die Maße des Zimmers bestimmen:

  Zur Übersichtlichkeit lassen wir die Einheiten in der Gleichung weg. Zuerst schreiben wir die Informationen in mathematische Ausdrücke um:

  $a$ ist doppelt so lang wie $b$, also:

  $a =2b$.

  $c$ ist dreimal so lang wie $d$, also:

  $c=3d$.

  Da außerdem $b=d$ gilt, erhalten wir:

  $c=3b$.

  Die Fläche des linken Rechtecks können wir schreiben durch:

  $A_1=a \cdot b= 2b \cdot b$.

  Die rechte Fläche können wir schreiben als:

  $A_2=c \cdot d= 3d \cdot d= 3b \cdot b $.

  Damit können wir die Gleichung aufstellen und lösen:

  $\begin{array}{rlll} A_1+A_2 &=& 10 b\\ 2b \cdot b + 3b \cdot b &=& 10 b\\ 5b \cdot b &=& 10 b &\vert : b\\ 5b &=& 10 &\vert : 5\\ b &=& 2\\ \end{array}$

  Die anderen Größen können wir durch Einsetzen bestimmen:

  $a=2b= 4~\text{m}$

  $c=3b= 6~\text{m}$

  $A=10 \cdot b~\text{m} = 20~\text{m}^2$