Lineare Gleichungen aufstellen und lösen
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Grundlagen zum Thema Lineare Gleichungen aufstellen und lösen
Wie stellt man eine lineare Gleichung auf?
Lineare Gleichungen sind Gleichungen, die eine oder mehrere Variablen ersten Grades besitzen. Eine Variable ist eine Variable ersten Grades, wenn diese nur in der ersten Potenz, also hoch $\it{1}$, vorkommt. Doch wie stellt man anhand einer gegebenen Aufgabe eine lineare Gleichung auf? Im Folgenden wird das Aufstellen linearer Gleichungen anhand von Beispielen auf einfache Weise erklärt.
Lineare Gleichungen aufstellen und lösen
Beispiel 1
Betrachten wir zunächst folgendes Beispiel: Gegeben ist ein Dreieck. Alle drei Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ des Dreiecks sind gleich groß. Wie groß sind die einzelnen Winkel?
Da alle Winkel die gleiche Größe haben, können wir sie alle mit der gleichen Variable, zum Beispiel $x$, bezeichnen:
$\alpha = x$
$\beta = x$
$\gamma = x$
Wir wissen, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer $180^\circ$ beträgt. Es gilt also:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
Setzen wir die gewählte Variable ein, so erhalten wir die lineare Gleichung:
$x + x + x = 180^\circ$
Um die Gleichung zu lösen, können wir zunächst auf der linken Seite zusammenfassen:
$3\,x = 180^\circ$
Indem wir nun beide Seiten der Gleichung durch $3$ teilen, lösen wir sie nach $x$ auf und erhalten:
$3\,x = 180^\circ \quad \vert :3$
$\,\,\, \,x = 60^\circ$
Da wir die Variable $x$ für jeden Winkel des Dreiecks gewählt haben, ist jeder Winkel genau $60^\circ$ groß.
Beispiel 2
Betrachten wir ein weiteres Dreieck. Die Winkel $\beta$ und $\gamma$ sind gegeben:
$\beta = 3 \alpha + 3\,\frac{1}{3}^\circ$
$\gamma = 2 \cdot \beta$
Auch hier können wir eine lineare Gleichung aufstellen, um die genaue Größe der Winkel zu ermitteln. Für $\alpha$ wählen wir die Variable $x$. Ersetzen wir in der Formel für $\beta$ den Winkel $\alpha$ mit der Variable $x$, so erhalten wir für $\beta$:
$\beta = 3\,x + 3\,\frac{1}{3}^\circ$
Der Winkel $\gamma$ ist doppelt so groß wie $\beta$, also:
$\gamma = 2 \cdot \left( 3\,x + 3\,\frac{1}{3} ^\circ\right)$
Um die lineare Gleichung aufzustellen, addieren wir zunächst die Ausdrücke, die für die drei unbekannten Winkel stehen. Auf der rechten Seite schreiben wir wieder $180^\circ$, da wir wissen, dass alle Winkel zusammen $180^\circ$ ergeben. Die lineare Gleichung lautet also:
$ x + 3\,x + 3\,\frac{1}{3}^\circ + 2 \cdot \left( 3\,x + 3\,\frac{1}{3}^\circ \right) = 180^\circ $
Um die Gleichung zu lösen, müssen wir sie nach $x$ auflösen. Dafür lösen wir zunächst die Klammer auf. Im nächsten Schritt können gleichartige Terme zusammengefasst werden. Durch Äquivalenzumformung kann $x$ im Anschluss isoliert werden.
$\begin{array}{rll} x + 3\,x + 3\,\frac{1}{3}^\circ + 2 \cdot \left( 3\,x + 3\,\frac{1}{3}^\circ \right) & = 180^\circ & \\ 10\,x + 10^\circ & = 180^\circ & \vert -10^\circ \\ 10\,x & = 170^\circ & \vert :10 \\ x & = 17^\circ & \\ \end{array}$
Wir erhalten $x = 17^\circ$. Somit ist der Winkel $\alpha$ gleich $17^\circ$. Um die Winkel $\beta$ und $\gamma$ zu ermitteln, setzen wir den ermittelten Wert für $x$ in die Gleichungen ein und erhalten:
$\alpha = 17^\circ$
$\beta = 3\,x + 3\,\frac{1}{3}^\circ$
$\beta = 3 \cdot 17^\circ + 3\,\frac{1}{3}^\circ$
$\beta =54\,\frac{1}{3}^\circ$
$\gamma = 2 \cdot \left( 3\,x + 3\,\frac{1}{3}^\circ \right)$
$\gamma = 2 \cdot \left( 3 \cdot 17^\circ + 3\,\frac{1}{3}^\circ \right)$
$\gamma = 108\,\frac{2}{3}^\circ$
Lineare Gleichung aus einer Textaufgabe aufstellen
Schauen wir uns nun an, wie man anhand einer Textaufgabe eine lineare Gleichung aufstellen und lösen kann. Die Aufgabe lautet:
In einem Dreieck ist der Winkel $\beta$ doppelt so groß wie der Winkel $\alpha$. Der Winkel $\gamma$ ist dreimal so groß wie $\alpha$. Wie groß sind die drei Winkel?
Um die Aufgabe zu lösen, stellen wir zunächst wieder eine lineare Gleichung auf. Dafür wählen wir für $\alpha$ wieder die Variable $x$. Da $\beta$ doppelt so groß wie $\alpha$ sein soll, können wir für $\beta$ gleich $2\,x$ schreiben. Der Winkel $\gamma$ soll dreimal so groß wie $\alpha$ sein, also können wir dafür $3\,x$ einsetzen.
$\alpha = x$
$\beta = 2\,x$
$\gamma = 3\,x$
Wir wissen, dass die Innenwinkel eines Dreiecks $180^\circ$ ergeben, wenn man sie addiert, also können wir die folgende lineare Gleichung aufstellen:
$x + 2\,x + 3\,x = 180^\circ$
Auch hier können die gleichartigen Terme zunächst zu $6\,x$ zusammengefasst werden.
$6\,x = 180^\circ$
Um $x$ zu isolieren, müssen beide Seiten durch $6$ geteilt werden und wir erhalten für $x$:
$6\,x = 180^\circ \quad \vert :6$
$\,\,\, \, x = 30^\circ$
Setzen wir diese Werte in die Gleichungen für die Winkel ein, so erhalten wir:
$\alpha = x = 30^\circ$
$\beta = 2\,x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
$\gamma = 3\,x = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$
Bei Textaufgaben ist es wichtig, einen Antwortsatz zu formulieren. Dieser könnte bei der Aufgabe lauten: Die Winkel des Dreiecks haben die Größen $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 60^\circ$ und $\gamma = 90^\circ$.
Lineare Gleichungen aufstellen – Zusammenfassung
Die wichtigsten Schritte beim Aufstellen und Lösen linearer Gleichungen mit einer Variablen sind:
- Variable festlegen,
- gegebene Informationen in mathematische Terme in Abhängigkeit von der Variable übersetzen,
- Gleichung aufstellen,
- Gleichung nach der Variablen umstellen.
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Lineare Gleichungen aufstellen und lösen.
Transkript Lineare Gleichungen aufstellen und lösen
Während er an einem Fall arbeitet, bekommt Privatdetektiv Irving eine anonyme Nachricht per Fax? Was ist das? Sieht aus wie ein Stadtplan und einige Orte sind markiert. Die Nachricht besagt, dass Irving den rechten Treffpunkt herausfinden kann, indem er die Winkelgrößen von Dreiecken berechnet. Helfen wir Irving dabei, indem wir mit ihm lineare Gleichungen aufstellen und lösen. Als Erstes übersetzen wir die Hinweise in mathematische Ausdrücke. Für jedes der Dreiecke gibt es drei Hinweise, mit denen man seine Winkel berechnen kann. Der erste Hinweis besagt, dass die Winkel des ersten Dreiecks alle gleich groß sind. Es handelt sich also um ein gleichseitiges Dreieck. Da die drei Winkel α, β und γ alle gleich groß sind, können wir die Winkelgrößen alle mit der Variablen x bezeichnen. Die Summe der Winkel eines Dreiecks ist immer 180 °. Wenn wir drei gleiche, unbekannte Werte addieren, können wir das als lineare Gleichung schreiben: 3x ist gleich 180 °. Wir lösen nach x auf, indem wir beide Seiten der Gleichung durch 3 teilen und erhalten so: x ist gleich 60 °. Jeder Winkel des Dreiecks ist also genau 60 ° groß. Da alle Winkel in diesem Dreieck gleich groß sind und Irving nicht an drei Orten zugleich sein kann, verrät ihm dieser Hinweis offenbar nicht den rechten Treffpunkt. Er kann dieses Dreieck also schon mal streichen. Schauen wir uns die Hinweise für das nächste Dreieck an. α ist unbekannt, wir nutzen wieder die Variable x. β ist 3 mal x + 3 ein Drittel Grad groß. Und γ ist doppelt so groß wie β. Auch wenn diese Aufgabe gemischte Brüche enthält, können wir sie genau so wie die erste lösen, indem wir eine lineare Gleichung aufstellen. Jetzt müssen wir einfach nur Schritt für Schritt vorgehen. Als Erstes addieren wir die Ausdrücke, die für die drei unbekannten Winkel stehen. Dann setzen wir den Term gleich 180 °, der Summe der Innenwinkel eines Dreiecks. Jetzt haben wir die lineare Gleichung. Um nach x aufzulösen, lösen wir zuerst die Klammer mit dem Distributivgesetz auf. Dann fassen wir gleichartige Terme zusammen und isolieren x mithilfe einer Äquivalenzumformung. In diesem Fall subtrahieren wir 10 Grad auf beiden Seiten der Gleichung. Dann teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 10, um nach x aufzulösen. So erhalten wir x = 17 °. Diesen Wert können wir jetzt einsetzen, um α, β und γ zu berechnen. α ist natürlich 17 °. Setzen wir 17 ° in die zweite Gleichung für x ein, erhalten wir 3 mal 17 ° plus 3 ein Drittel Grad. 3 mal 17 ° ergibt 51 °. Wenn wir 3 ein Drittel Grad addieren, erhalten wir als Ergebnis 54 ein Drittel Grad. Die Gleichung für γ sieht kompliziert aus, den Term in der Klammer haben wir aber schon gelöst. Das Ergebnis war: 54 ein Drittel Grad. Dieses Ergebnis müssen wir also nur mal 2 nehmen, um die Lösung zu erhalten: 108 zwei Drittel Grad. Keiner diese Punkte kann der rechte Treffpunkt sein. Außerdem liegen alle Eckpunkte im Wasser. Das hätte ihm auch vorher auffallen können. Hm, wir haben noch ein Dreieck übrig. β ist doppelt so groß wie α. Wir nutzen für α die Variable x und dementsprechend für β 2 mal x. γ ist dreimal so groß wie α. Das entspricht dann also 3x. Wieder stellen wir eine lineare Gleichung auf, indem wir die drei unbekannten Winkel addiert. Um nach x aufzulösen, fassen wir die gleichartigen Terme zusammen, x plus 2x plus 3x, ergibt 6x. Als Nächstes teilen wir beide Seiten durch 6, um x zu isolieren. Wir erhalten x ist gleich 30 °. Finden wir nun die Werte für die drei Winkel. α ist gleich x also gleich 30 °. β ist gleich 60 °. Und γ ist gleich 90 °. 90 °!? Das ist ja ein rechter Winkel. Die Hinweise haben Irving gezeigt, dass das Dreieck ein 30-60-90-Dreieck sein muss. Das muss es sein. Der rechte Treffpunkt. Irving springt in sein Auto und fährt zur Ecke mit dem rechten Winkel. Was ist das denn? Das war nur ein Plan, um ihn zu einer Überraschungsparty zu locken? Alles Gute zum Geburtstag, Irving!
Lineare Gleichungen aufstellen und lösen Übung
-
Beschreibe das Vorgehen beim Aufstellen und Lösen von linearen Gleichungen.
TippsUm Probleme mit linearen Gleichungen zu lösen, musst du deine Informationen zuerst mathematisch ausdrücken.
Hast du eine Variable ausgerechnet, kannst du damit alle anderen Variablen, die von dieser abhängig sind, berechnen.
LösungSo kannst du hier vorgehen:
„Schreibe die gegebenen Informationen in mathematische Ausdrücke mit verschiedenen Variablen um.“
- Um Probleme mit linearen Gleichungen zu lösen, musst du deine Informationen zuerst mathematisch ausdrücken.
- Die Rechnung vereinfacht sich sehr, wenn nur eine Variable darin vorkommt.
„Vereinfache die Gleichung und löse sie nach deiner Variablen auf.“
„Berechne mit dieser Variablen alle anderen Variablen.“
- Hast du eine Variable ausgerechnet, kannst du damit alle anderen Variablen, die von dieser abhängig sind, berechnen.
-
Stelle eine lineare Gleichung auf und löse sie.
TippsSchreibe zuerst die gegebenen Informationen in mathematische Ausdrücke mit Variablen um und fasse diese anschließend so zusammen, dass nur noch eine Variable in ihnen vorkommt.
Alle Dreiecke haben eine Winkelsumme von $180^{\circ}$. Das kannst du beim Aufstellen deiner Gleichung verwenden.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
- Schreibe zuerst die gegebenen Informationen in mathematische Ausdrücke mit Variablen um.
$\beta = 2\alpha$.
Außerdem ist $\gamma$ dreimal so groß wie $\alpha$. Das können wir so ausdrücken:
$\gamma = 3\alpha$.“
- Fasse anschließend deine mathematischen Ausdrücke so zusammen, dass nur noch eine Variable vorkommt.
$\alpha = x$,
erhalten wir für die anderen Winkel:
$\beta = 2x$ und
$\gamma = 3x$.“
- Alle Dreiecke haben eine Winkelsumme $180^{\circ}$. Mit diesen Informationen kannst du eine Gleichung aufstellen.
$x+ 2x+ 3x=180^{\circ}$.“
- Die Gleichung kannst du nach der Variablen auflösen.
$6x=180^{\circ}$.
Damit erhalten wir
$x=30^{\circ}$.“
- Als letzten Schritt kannst du mit deiner ausgerechneten Variablen alle anderen Variablen, die von dieser abhängig sind, berechnen.
$\beta =60^{\circ}$ und
$\gamma=90^{\circ}$.
Hier liegt also der rechte Winkel.“
-
Ermittle, wie du die Informationen mathematisch ausdrücken kannst.
TippsUm die Gleichungen zuzuordnen, nimm die kleinste Größe als Variable $x$ an. Dann versuche alle anderen Mengen durch diese Variable auszudrücken.
Oft kannst du deine mathematischen Ausdrücke zu einer Gesamtmenge addieren.
LösungUm die Gleichungen zuzuordnen, nimm die kleinste Größe als Variable $x$ an. Dann versuche alle anderen Mengen durch diese Variable auszudrücken. Oft kannst du diese Variablen zu einer Gesamtmenge addieren.
„In Annas Wasserflasche passt doppelt so viel wie in Luis' Flasche. Zusammen haben die beiden Flaschen ein Volumen von $2$ Liter.“
- $ 2x + x=2$
„Maria und Phil bezahlen $22~€$ für ihr Mittagessen. Marias Pizza kostet dreimal so viel wie Phils vegetarischer Döner. Sie geben $2~€$ Trinkgeld.“
- $3x +x+2 =22$
„Sarah fährt von New York nach Asheville. Nach der Hälfte macht sie eine Pause von einer Stunde. Insgesamt ist sie $11$ Stunden unterwegs.“
- $x + 1=11$
„Chris backt einen Kuchen. Darin kommt doppelt so viel Margarine wie Zucker und viermal so viel Mehl wie Zucker. Insgesamt wiegt der Teig zwei Kilo.“
- $x+2x+4x=2$
-
Ermittle die Lösung der Gleichungen.
TippsDie Lösungen kannst du bestimmen, indem du die Gleichungen vereinfachst und anschließend auflöst. Fasse gleichartige Terme immer zuerst zusammen.
Eine der Rechnungen beginnt so:
$\begin{array}{rlll} 3x +x+2 &=&22 \\ 4x+2 &=&22 &\vert-2 \\ \end{array}$
LösungDie Lösungen kannst du bestimmen, indem du die Gleichungen vereinfachst und anschließend auflöst. So erhältst du:
$\begin{array}{rlll} 3x +x+2 &=&22 \\ 4x+2 &=&22 &\vert-2 \\ 4x&=&20 &\vert :4 \\ x &=&5\\ \end{array}$
Oder:
$\begin{array}{rlll} x+2x+4x-6&=&1\\ 7x-6 &=&1 &\vert+6 \\ 7x&=&7 &\vert :7 \\ x &=&1\\ \end{array}$
Die anderen Gleichungen kannst du ähnlich lösen. Hier müssen jedoch zunächst die Klammern aufgelöst werden. Dann erhältst du:
- $12(x-3) -9x=12~\Rightarrow~x=16$
- $5(x+2)+ x(1+4)=0~\Rightarrow~x=-1$
-
Bestimme die korrekten Aussagen zum Aufstellen und Lösen von linearen Gleichungen.
TippsDie drei Winkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$.
Wenn $\beta$ doppelt so groß ist wie $\alpha$, dann ergeben zwei $\alpha$ ein $\beta$.
LösungDiese Aussage ist falsch:
„Wenn alle Winkel eines Dreiecks gleich groß sind, können wir die Gleichung
$4x=180^{\circ}$
aufstellen.“
- Die drei Winkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$. Also lautet die Gleichung: $3x=180^{\circ}$.
„Wenn $\beta$ doppelt so groß ist wie $\alpha$ und $\alpha=x$, dann gilt:
$\beta= 2x$.“
- Zwei $\alpha$ ergeben ein $\beta$. In der Gleichung wurde $\alpha$ durch $x$ ausgedrückt.
- Das ist ein gutes Vorgehen, um hier die linearen Gleichungen zu lösen.
- Setzt du hier den Wert für $\beta$ in die Gleichung ein, erhältst du diesen Wert für $\gamma$.
-
Bestimme das Ergebnis mithilfe einer linearen Gleichung.
TippsZuerst musst du die Informationen in mathematische Ausdrücke umschreiben:
$a$ ist doppelt so lang wie $b$, also:
$a =2b$.
$c$ ist dreimal so lang wie $d$, also:
$c=3d$.
Die Fläche des linken Rechtecks kannst du so schreiben.
$A_1=a \cdot b= 2b \cdot b$
So sieht die fertige Gleichung aus:
$2b \cdot b + 3b \cdot b = 5b^{2}$.
LösungSo kannst du die Maße des Zimmers bestimmen:
Zur Übersichtlichkeit lassen wir die Einheiten in der Gleichung weg. Zuerst schreiben wir die Informationen in mathematische Ausdrücke um:
$a$ ist doppelt so lang wie $b$, also:
$a =2b$.
$c$ ist dreimal so lang wie $d$, also:
$c=3d$.
Da außerdem $b=d$ gilt, erhalten wir:
$c=3b$.
Die Fläche des linken Rechtecks können wir schreiben durch:
$A_1=a \cdot b= 2b \cdot b$.
Die rechte Fläche können wir schreiben als:
$A_2=c \cdot d= 3d \cdot d= 3b \cdot b $.
Damit können wir die Gleichung aufstellen und lösen:
$\begin{array}{rlll} A_1+A_2 &=& 10 b\\ 2b \cdot b + 3b \cdot b &=& 10 b\\ 5b \cdot b &=& 10 b &\vert : b\\ 5b &=& 10 &\vert : 5\\ b &=& 2\\ \end{array}$
Die anderen Größen können wir durch Einsetzen bestimmen:
$a=2b= 4~\text{m}$
$c=3b= 6~\text{m}$
$A=10 \cdot b~\text{m} = 20~\text{m}^2$
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