Lineare Gleichungen aufstellen und lösen
Lineare Gleichungen aufstellen leicht gemacht! Erfahre in einfachen Schritten, wie du lineare Gleichungen löst. Beispiel-Dreiecke helfen dir, die richtigen Gleichungen aufzustellen und nach der gesuchten Variation aufzulösen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
- Wie stellt man eine lineare Gleichung auf?
- Lineare Gleichungen aufstellen und lösen
- Lineare Gleichung aus einer Textaufgabe aufstellen

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Gleichungen in einem Schritt lösen

Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen

Lineare Gleichungen aufstellen und lösen

Lineare Gleichungen der Form ax + by = c (Gleichungen mit 2 Variablen)

Lineare Gleichungen in allgemeiner Form – ax + by + c = 0

Versteckte lineare Gleichungen

Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)

Graphische Darstellung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen

Lineare Gleichungen grafisch lösen

Lineare und nicht lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen aufstellen und lösen Übung
-
Beschreibe das Vorgehen beim Aufstellen und Lösen von linearen Gleichungen.
TippsUm Probleme mit linearen Gleichungen zu lösen, musst du deine Informationen zuerst mathematisch ausdrücken.
Hast du eine Variable ausgerechnet, kannst du damit alle anderen Variablen, die von dieser abhängig sind, berechnen.
LösungSo kannst du hier vorgehen:
„Schreibe die gegebenen Informationen in mathematische Ausdrücke mit verschiedenen Variablen um.“
- Um Probleme mit linearen Gleichungen zu lösen, musst du deine Informationen zuerst mathematisch ausdrücken.
- Die Rechnung vereinfacht sich sehr, wenn nur eine Variable darin vorkommt.
„Vereinfache die Gleichung und löse sie nach deiner Variablen auf.“
„Berechne mit dieser Variablen alle anderen Variablen.“
- Hast du eine Variable ausgerechnet, kannst du damit alle anderen Variablen, die von dieser abhängig sind, berechnen.
-
Stelle eine lineare Gleichung auf und löse sie.
TippsSchreibe zuerst die gegebenen Informationen in mathematische Ausdrücke mit Variablen um und fasse diese anschließend so zusammen, dass nur noch eine Variable in ihnen vorkommt.
Alle Dreiecke haben eine Winkelsumme von $180^{\circ}$. Das kannst du beim Aufstellen deiner Gleichung verwenden.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
- Schreibe zuerst die gegebenen Informationen in mathematische Ausdrücke mit Variablen um.
$\beta = 2\alpha$.
Außerdem ist $\gamma$ dreimal so groß wie $\alpha$. Das können wir so ausdrücken:
$\gamma = 3\alpha$.“
- Fasse anschließend deine mathematischen Ausdrücke so zusammen, dass nur noch eine Variable vorkommt.
$\alpha = x$,
erhalten wir für die anderen Winkel:
$\beta = 2x$ und
$\gamma = 3x$.“
- Alle Dreiecke haben eine Winkelsumme $180^{\circ}$. Mit diesen Informationen kannst du eine Gleichung aufstellen.
$x+ 2x+ 3x=180^{\circ}$.“
- Die Gleichung kannst du nach der Variablen auflösen.
$6x=180^{\circ}$.
Damit erhalten wir
$x=30^{\circ}$.“
- Als letzten Schritt kannst du mit deiner ausgerechneten Variablen alle anderen Variablen, die von dieser abhängig sind, berechnen.
$\beta =60^{\circ}$ und
$\gamma=90^{\circ}$.
Hier liegt also der rechte Winkel.“
-
Ermittle, wie du die Informationen mathematisch ausdrücken kannst.
TippsUm die Gleichungen zuzuordnen, nimm die kleinste Größe als Variable $x$ an. Dann versuche alle anderen Mengen durch diese Variable auszudrücken.
Oft kannst du deine mathematischen Ausdrücke zu einer Gesamtmenge addieren.
LösungUm die Gleichungen zuzuordnen, nimm die kleinste Größe als Variable $x$ an. Dann versuche alle anderen Mengen durch diese Variable auszudrücken. Oft kannst du diese Variablen zu einer Gesamtmenge addieren.
„In Annas Wasserflasche passt doppelt so viel wie in Luis' Flasche. Zusammen haben die beiden Flaschen ein Volumen von $2$ Liter.“
- $ 2x + x=2$
„Maria und Phil bezahlen $22~€$ für ihr Mittagessen. Marias Pizza kostet dreimal so viel wie Phils vegetarischer Döner. Sie geben $2~€$ Trinkgeld.“
- $3x +x+2 =22$
„Sarah fährt von New York nach Asheville. Nach der Hälfte macht sie eine Pause von einer Stunde. Insgesamt ist sie $11$ Stunden unterwegs.“
- $x + 1=11$
„Chris backt einen Kuchen. Darin kommt doppelt so viel Margarine wie Zucker und viermal so viel Mehl wie Zucker. Insgesamt wiegt der Teig zwei Kilo.“
- $x+2x+4x=2$
-
Ermittle die Lösung der Gleichungen.
TippsDie Lösungen kannst du bestimmen, indem du die Gleichungen vereinfachst und anschließend auflöst. Fasse gleichartige Terme immer zuerst zusammen.
Eine der Rechnungen beginnt so:
$\begin{array}{rlll} 3x +x+2 &=&22 \\ 4x+2 &=&22 &\vert-2 \\ \end{array}$
LösungDie Lösungen kannst du bestimmen, indem du die Gleichungen vereinfachst und anschließend auflöst. So erhältst du:
$\begin{array}{rlll} 3x +x+2 &=&22 \\ 4x+2 &=&22 &\vert-2 \\ 4x&=&20 &\vert :4 \\ x &=&5\\ \end{array}$
Oder:
$\begin{array}{rlll} x+2x+4x-6&=&1\\ 7x-6 &=&1 &\vert+6 \\ 7x&=&7 &\vert :7 \\ x &=&1\\ \end{array}$
Die anderen Gleichungen kannst du ähnlich lösen. Hier müssen jedoch zunächst die Klammern aufgelöst werden. Dann erhältst du:
- $12(x-3) -9x=12~\Rightarrow~x=16$
- $5(x+2)+ x(1+4)=0~\Rightarrow~x=-1$
-
Bestimme die korrekten Aussagen zum Aufstellen und Lösen von linearen Gleichungen.
TippsDie drei Winkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$.
Wenn $\beta$ doppelt so groß ist wie $\alpha$, dann ergeben zwei $\alpha$ ein $\beta$.
LösungDiese Aussage ist falsch:
„Wenn alle Winkel eines Dreiecks gleich groß sind, können wir die Gleichung
$4x=180^{\circ}$
aufstellen.“
- Die drei Winkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$. Also lautet die Gleichung: $3x=180^{\circ}$.
„Wenn $\beta$ doppelt so groß ist wie $\alpha$ und $\alpha=x$, dann gilt:
$\beta= 2x$.“
- Zwei $\alpha$ ergeben ein $\beta$. In der Gleichung wurde $\alpha$ durch $x$ ausgedrückt.
- Das ist ein gutes Vorgehen, um hier die linearen Gleichungen zu lösen.
- Setzt du hier den Wert für $\beta$ in die Gleichung ein, erhältst du diesen Wert für $\gamma$.
-
Bestimme das Ergebnis mithilfe einer linearen Gleichung.
TippsZuerst musst du die Informationen in mathematische Ausdrücke umschreiben:
$a$ ist doppelt so lang wie $b$, also:
$a =2b$.
$c$ ist dreimal so lang wie $d$, also:
$c=3d$.
Die Fläche des linken Rechtecks kannst du so schreiben.
$A_1=a \cdot b= 2b \cdot b$
So sieht die fertige Gleichung aus:
$2b \cdot b + 3b \cdot b = 5b^{2}$.
LösungSo kannst du die Maße des Zimmers bestimmen:
Zur Übersichtlichkeit lassen wir die Einheiten in der Gleichung weg. Zuerst schreiben wir die Informationen in mathematische Ausdrücke um:
$a$ ist doppelt so lang wie $b$, also:
$a =2b$.
$c$ ist dreimal so lang wie $d$, also:
$c=3d$.
Da außerdem $b=d$ gilt, erhalten wir:
$c=3b$.
Die Fläche des linken Rechtecks können wir schreiben durch:
$A_1=a \cdot b= 2b \cdot b$.
Die rechte Fläche können wir schreiben als:
$A_2=c \cdot d= 3d \cdot d= 3b \cdot b $.
Damit können wir die Gleichung aufstellen und lösen:
$\begin{array}{rlll} A_1+A_2 &=& 10 b\\ 2b \cdot b + 3b \cdot b &=& 10 b\\ 5b \cdot b &=& 10 b &\vert : b\\ 5b &=& 10 &\vert : 5\\ b &=& 2\\ \end{array}$
Die anderen Größen können wir durch Einsetzen bestimmen:
$a=2b= 4~\text{m}$
$c=3b= 6~\text{m}$
$A=10 \cdot b~\text{m} = 20~\text{m}^2$
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