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Kreis – Umfang und Flächeninhalt 04:20 min

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Transkript Kreis – Umfang und Flächeninhalt

Der Sumo-Wettkampf des Jahres steht an. Während der große Yogi Mathemashi seinen Titel verteidigt, kämpfen wir mit dem Kreis und berechnen Umfang und Flächeninhalt. Yogi Mathemashi wird seinem leichtgewichtigen Erzfeind herausgefordert. Nach alter japanischer Tradition soll ein kreisförmig ausgelegtes Seil den Sumo-Ring bilden. Schauen wir uns an einem Kreis einmal alle wichtigen Größen an: Die Kreislinie hat an jeder Stelle den gleichen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises. Dieser Abstand wird Radius r genannt. Der Durchmesser d ist doppelt so lang wie der Radius, beträgt also zweimal r. Anders gesagt ist die Hälfte vom Durchmesser genau der Radius. Die Länge der Kreislinie wird als Umfang des Kreises bezeichnet und mit zwei Pi mal den Radius berechnet oder durch den Durchmesser R ausgedrückt: Zwei Pi mal die Hälfte vom Durchmesser. Wenn wir den Faktor Zwei mit der Zwei aus dem Nenner kürzen, erhalten wir vereinfacht Pi mal den Durchmesser. Innerhalb des Kreises liegt die Kreisfläche. Der Flächeninhalt des Kreises berechnet sich durch Pi mal r zum Quadrat. Lass uns auch hier für den Radius noch die Hälfte des Durchmessers verwenden. Dabei müssen wir auf jeden Fall Klammern setzen, denn das Quadrat bezieht sich auf den Zähler und auf den Nenner. Zurück zum Sumo-Ring: Der Durchmesser des Kreises beträgt nach japanischem Standard 4,55 Meter. Welche Länge muss dann das Seil haben? Dafür müssen wir den Umfang des Kreises berechnen. Wir verwenden die Umfangformel mit dem Durchmesser und setzen den gegebenen Wert für den Durchmesser ein. Mithilfe des Taschenrechners erhalten wir circa 14 Meter und 29 Zentimeter für die Länge des Seils. In einem richtigen Sumo-Ring ist außerdem der Boden mit einer dünnen Schicht Sand bedeckt. Um abzuschätzen, wie viel Sand benötigt wird, berechnen wir noch den Flächeninhalt des Kreises. Dazu verwenden wir die Flächeninhaltsformel mit dem Durchmesser und setzen wieder den gegebenen Wert für den Durchmesser ein. Achtung - das Quadrat am Durchmesser bezieht sich auf die Zahl und auf die Einheit! So erhalten wir im Zähler rund 20,70 Quadratmeter. "Geben wir den gesamten Ausdruck in den Taschenrechner ein, erhalten wir gute 16 Quadratmeter." Lass uns noch ein weiteres Beispiel untersuchen! Wie wäre es, wenn dir der Umfang vorgegeben wäre und du damit den Radius und den Flächeninhalt berechnen müsstest? Dann beginnst du mit der Formel für den Umfang, in welcher der Radius vorkommt. Diesmal setzen wir den Wert für den Umfang in die Gleichung ein. Indem wir durch zwei Pi teilen, lösen wir die Gleichung nach dem gesuchten Radius auf. Wir kürzen noch mit Zwei und ermitteln das Ergebnis mit unserem Taschenrechner! Den Flächeninhalt können wir nun berechnen, indem wir in die Flächeninhaltsformel mit dem Radius den bestimmten Radius einsetzen. Als erstes lösen wir die Klammer auf. Das ergibt rund Pi mal 23 Komma Null Quadratmeter und das sind mehr als 72 Quadratmeter. Wir fassen zusammen: Jeder Kreis besitzt eine Kreislinie und eine Kreisfläche. Der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie ist der Radius r und der Durchmesser d ist der größtmögliche Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Die Länge der Kreislinie wird Kreisumfang U genannt und die Größe der Kreisfläche ist der Flächeninhalt A des Kreises. Oftmals wird dir in deinen Aufgaben der Radius oder der Durchmesser gegeben sein. Hast du den Radius, so kannst du damit den Durchmesser, den Umfang und den Flächeninhalt des Kreises bestimmen. Mit dem Durchmesser andererseits, kannst du den Radius, den Umfang und den Flächeninhalt ermitteln. Sobald du eine der Größen gegeben hast, kannst du damit jede andere Größe ausrechnen. Der Ring ist fertig - los geht's! Oh, wow, das Leichtgewicht geht ja ziemlich ab. Aber Yogi Mathemashi weiß seinen Umfang richtig einzusetzen.

6 Kommentare
  1. Ich Habs Anders gelernt

    Von Fla Germany, vor 18 Tagen
  2. Sehr cooles Video

    Von Sstocker022, vor 21 Tagen
  3. Hallo Omar A.,
    du kannst die Formel zur Berechnung des Umfangs einfach umstellen. Wir wissen, dass U=2⋅π⋅r ist. Der Durchmesser d=2⋅r. Nun können wir einfach die Formel nach r umstellen, indem wir durch π teilen. U/π=2⋅r. Also ist U/π=d.
    Du kannst nun den Umfang und Pi in die Formel einsetzen und erhälst somit den Durchmesser. Diesen kannst du dann für die Formel zum Flächeninhalt weiter verwenden.
    Ich hoffe, wir konnten dir helfen.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor etwa 2 Monaten
  4. Können sie mir bitte vllt bei diese Aufgabe helfen
    geg.:u=0,44m
    Gesucht ist Durchmesser und Flächeninhalt.
    Leider komme ich hier nicht weiter.
    MfG

    Von Omar A., vor etwa 2 Monaten
  5. Hallo Tiefen,
    wir freuen uns, dass dir das Video gefallen hat und wir dir damit helfen konnten.
    Viel Spaß weiterhin beim Lernen!
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 2 Monaten
  1. perfekt ich habe vorher ganichts verstanden und jetzt habe ich es endlich verstanden danke xD

    Von Tiefen, vor 2 Monaten
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Flächeninhalt und Umfang von Kreisen (1 Videos)

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Kreis – Umfang und Flächeninhalt Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreis – Umfang und Flächeninhalt kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu den Eigenschaften eines Kreises.

    Tipps

    Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie.

    Die Formeln für Flächeninhalt und Umfang enthalten beide den Radius $r$ des Kreises. Dieser kann wiederum durch den Durchmesser $d$ ausgedrückt werden.

    Lösung

    Dieses Aussagen sind falsch:

    • Der Radius eines Kreises ist doppelt so lang wie sein Durchmesser.
    Der Radius eines Kreises ist der Abstand des Kreismittelpunkts zu jedem Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Damit ist der Durchmesser doppelt so lang wie der Radius eines Kreises.

    • Die Länge der Kreislinie heißt Flächeninhalt des Kreises.
    Die Länge der Kreislinie wird Umfang genannt.

    Dieses Aussagen sind wahr:

    • Alle Punkte des Kreises haben den gleichen Abstand $r$ vom Kreismittelpunkt.
    • Flächeninhalt und Umfang eines Kreises können entweder durch den Durchmesser oder den Radius des Kreises ausgedrückt werden.
    Die Formeln für Flächeninhalt und Umfang enthalten beide den Radius $r$ des Kreises. Dieser kann wiederum durch den Durchmesser $d$ ausgedrückt werden:

    $d=2r$

    Durch Einsetzen können die beiden Größen auch durch den Durchmesser ausgedrückt werden.

    • Die Formel für den Flächeninhalt $A$ eines Kreises lautet $A= \pi r^2$.
  • Forme die Gleichungen um.

    Tipps

    Der Durchmesser $d$ ist das Doppelte des Radius $r$:

    $d=2r$.

    Lösung

    Folgende Ausdrücke gehören zusammen.

    • Der Radius ist der Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Kreislinie.
    Der Durchmesser $d$ ist das Doppelte des Radius $r$:
    $d=2r$.

    • Der Durchmesser ist der größtmögliche Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie und somit gleich dem doppelten Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Kreislinie.
    Durch Einsetzen von $d=2r$ erhältst du außerdem die folgenden Gleichungen für Umfang und Flächeninhalt:

    • Für den Umfang $U$ gilt $U= 2 \pi r= \pi d$.
    • Für den Flächeninhalt $A$ eines Kreises gilt $A=\pi r^2=\frac{\pi}{4} d^2$.
  • Berechne den Umfang und Flächeninhalt eines Kreises.

    Tipps

    Der Radius eines Kreises ist der Abstand des Kreismittelpunkts zu jedem Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Damit ist der Durchmesser doppelt so lang wie der Radius eines Kreises.

    Die Länge der Kreislinie heißt Umfang des Kreises und wird berechnet, indem man den Durchmesser des Kreises mit $\pi$ multipliziert. Du kannst den Umfang aber auch über den Radius ausrechnen.

    Um das Quadrat einer Länge zu bestimmen, musst du die Zahl und die Einheit quadrieren:

    $(2~\text{m})^2=2^2~\text{m}^2 = 4~\text{m}^2$.

    Lösung

    Der Lückentext kann folgendermaßen ausgefüllt werden:

    • Der Durchmesser $d$ eines Sumoringes beträgt $4,55~\text{m}$. Daraus kann der Radius $r$ berechnet werden, denn es gilt:
    • $r=\frac{d}{2}$, also $r=\frac{4,55~\text{m}}{2} = 2,275~\text{m}$.
    Der Radius eines Kreises ist der Abstand des Kreismittelpunkts zu jedem Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist der maximale Abstand zweier Punkte auf der Kreislinie. Damit ist der Durchmesser doppelt so lang wie der Radius eines Kreises.

    • (...) Dazu kann der Umfang eines Kreises berechnet werden:
    Die Länge der Kreislinie heißt Umfang des Kreises und wird so berechnet:

    • $U=2 \pi \cdot r$, hier also $U= 2 \pi \cdot 2,275~\text{m}\approx14,29~\text{m}$.
    Die Fläche eines Kreises berechnet sich folgendermaßen:

    • (...) $A= \pi r^2$, in unserem Fall also $A= \pi \cdot (2,275~\text{m})^2= 16,26~\text{m}^2$.
  • Erarbeite die Berechnung von Kreissektoren.

    Tipps

    Nach einer Konvention wird der Innenwinkel eines Kreises in $360$ gleich große Teile zerlegt. Jedes dieser Teile nennt man ein „Grad“.

    Lösung

    Die Lücken können so vervollständigt werden:

    • Ein Anteil einer Kreisfläche heißt Kreissektor. Diese Fläche bestimmst du über den dabei aufgespannten Winkel $\alpha$. Der komplette Kreis spannt dabei einen Winkel von $360^{\circ}$ auf.
    Nach einer Konvention wird der Innenwinkel eines Kreises in $360$ gleich große Teile zerlegt. Jedes dieser Teile nennt man ein „Grad“.

    • Die Fläche des Kreissektors $A_{S}$ bestimmst du, indem du den Anteil des aufgespannten Winkels $\alpha$ am Gesamtwinkel von $360^{\circ}$ mit der normalen Formel der Kreisfläche multiplizierst. $A_{S}=\frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2$
    • Ein Viertel eines Kreises hat einen aufgespannten Winkel von $90^{\circ}$.
    Ein Viertel von $360^{\circ}$ beträgt $90^{\circ}$.

    • Setzt du das in die obige Formel ein, erhältst du: $A_{S}=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi r^2$.
    Den Radius des Kreises berechnest du mit der bekannten Formel:

    • (...) $r=\frac{d}{2}=\frac{30~\text{cm}}{2}=15~\text{cm}$.
    Durch Einsetzen erhältst du das Kreissegment:

    • (...) $A_{S}=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi (15~\text{cm})^2=\frac{1}{4} \cdot \pi (15~\text{cm})^2\approx 176,71~\text{cm}^2$.
  • Bestimme den Flächeninhalt eines Kreises aus seinem Umfang.

    Tipps

    Mit dem gegebenen Umfang kannst du den Radius bestimmen, den du wiederum in die Formel des Flächeninhalts einsetzen kannst.

    Lösung

    Hier ist nach einer Möglichkeit gesucht, den gegebenen Umfang mit der Fläche eines Kreises in Verbindung zu bringen. Da wir wissen, dass der Radius $r$ in den Formeln für beide Größen vorkommt, können wir ihn als „Bindeglied“ nutzen, indem wir über einen Zwischenschritt erst den Radius und mit diesem dann die Kreisfläche berechnen.

    • Zuerst setzt du den gegebenen Umfang in die Gleichung ein: $U=106,81~\text{cm}=2 \pi \cdot r$.
    Mit dem gegebenen Umfang kannst du den Radius bestimmen, den du wiederum in die Formel des Flächeninhalts einsetzen kannst.

    • Dann teilst du durch $2\pi$:
    $\begin{array}{llll} 106,81~\text{cm}&=2 \pi \cdot r & \vert : 2 \pi \\ \frac{106,81~\text{cm}}{2 \pi} &=& r & \end{array}$

    • Und berechnest den Radius $r$: $r\approx 17 ~\text{cm}$.
    Um den Radius aus dieser Formel zu berechnen, teilst du durch $2 \pi$ und rechnest aus.

    Mit dem so bestimmten Radius kannst du anschließend den Flächeninhalt berechnen.

    • Den Radius kannst du in die Formel des Flächeninhalts einsetzen: $A=\pi \cdot r^2=\pi \cdot (17 ~\text{cm})^2$.
    • Und schließlich ausrechnen: $A\approx908 ~\text{cm}^2$.
  • Bestimme die Kenngrößen der Kreise.

    Tipps

    Den Radius $r$ kannst du aus dem Durchmesser $d$ bestimmen:

    $r=\frac{d}{2}$.

    Den Radius kannst du auch aus dem Umfang bestimmen.

    $\begin{array}{llll} U&=&2 \pi \cdot r & \vert : 2 \pi \\ r &=& \frac{U}{2 \pi} &\\ \end{array}$

    Lösung

    Die fehlenden Größen der Tabelle kannst du wie folgt berechnen.

    Den Radius $r$ bestimmst du aus dem Durchmesser $d$

    $r=\frac{d}{2}$, $r_1=\frac{6 ~\text{cm}}{2}=3 ~\text{cm}$

    oder aus dem Umfang $U$.

    $\begin{array}{llll} U_3= 15~\text{cm}&=&2 \pi \cdot r_3 & \vert : 2 \pi \\ \frac{15~\text{cm}}{2 \pi} &=& r_3 &\\ 2,39~\text{cm} &\approx & r_3 \end{array}$

    Den Durchmesser $d$ bestimmt du aus dem Radius:

    $d=2r$, z.B. $d_3=2\cdot 2,39~\text{cm}= 4,78~\text{cm}$.

    Den Umfang aus dem Radius:

    $U=2 \pi r$, also

    $\begin{array}{lll} U_1&=&2 \pi \cdot 3~\text{cm}\\ U_1&\approx&18,85 ~\text{cm}\\ U_2&=&2 \pi \cdot 6~\text{cm}\\ U_2&\approx&37,70~\text{cm}\\ \end{array}$

    Und den Flächeninhalt $A$ aus dem Radius:

    $A=\pi r^2$, also

    $\begin{array}{lll} A_2&=&\pi(6~\text{cm})^2\\ A_2&\approx&113,10~\text{cm}^2\\ A_3&\approx&\pi (2,39~\text{cm})^2\\ A_3&\approx& 17,95~\text{cm}^2\\ \end{array}$

    Um $A_3$ zu berechnen, setzt du hier den vorher aus dem Umfang $U_3$ bestimmten Radius $r_3\approx2,39~\text{cm}$ ein.