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Kreise und die Kreiszahl Pi (π) 06:45 min

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Transkript Kreise und die Kreiszahl Pi (π)

Wie jeden Morgen genießt Bauer Johnson eine Tasse Kaffee, bevor er sich an die Arbeit macht. Da bemerkt er dort in der Ferne etwas Seltsames. Heiliger Strohsack! Was ist denn das? Kornkreise überall! Nur eine Art von Tunichtgut kann solche Spuren hinterlassen haben Außerirdische! Bauer Johnson misst die geheimnisvollen Markierungen sorgfältig aus und flitzt zurück in sein Gehöft, um der Sache auf den Grund zu gehen. Während er versucht, die Kornkreise zu verstehen und zu beweisen, dass Außerirdische existieren, wird Bauer Johnson viel über Kreise und die Kreiszahl Pi lernen. Zuerst nimmt er sich den größten Kreis vor. Er schaut sich den Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu verschiedenen Punkten auf der Kreislinie an. Fällt dir etwas auf? Egal wie viele Geraden Johnson zeichnet, sie sind immer genau 120 Meter lang. Da brat mir doch einer 'nen Storch! Ist das etwa der Beweis, dass die Markierungen von Außerirdischen stammen? Nun ja, leider nicht, Bauer Johnson. Diese Regel trifft auf alle Kreise zu. Wir nennen den Abstand vom Mittelpunkt des Kreises bis zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie "Radius". Üblicherweise stellt man ihn mit dem Buchstaben r dar. Egal, welchen Punkt auf der Kreislinie man auswählt, der Radius ist immer gleich. Tatsächlich ist das sogar die Eigenschaft, die den Kreis zum Kreis macht. Er ist eine geometrische Figur, die durch unendlich viele Punkte gebildet wird, die alle den gleichen Abstand zu seinem Mittelpunkt haben. Johnson schaut sich seine Tafel ganz genau an. Es muss doch einen Weg geben zu beweisen, dass diese Kreise von außerirdischen Invasoren stammen. Dieses Mal misst er nicht nur den Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Kreislinie, sondern auch die Strecke einmal quer durch den Mittelpunkt von einer Seite des Kreises zur anderen. Fällt dir ein Zusammenhang zwischen diesen beiden Abständen auf? Was zum Hafer! Der Abstand von einer Seite des Kreises zur anderen ist genau doppelt so groß wie der Radius. Ja, 240 Meter sind genau 2 mal 120 Meter. Und das trifft auch auf alle anderen Kreise zu. Das kann ja wohl kein Zufall sein. Das ist doch jetzt sicher der Beweis, dass Außerirdische hinter den Kreisen stecken. Nö, Bauer Johnson. Das ist einfach nur Mathematik. Diese Strecke nennt man den Durchmesser. Er verläuft durch den Kreismittelpunkt und berührt einander gegenüberliegende Punkte auf der Kreislinie. Und er ist immer doppelt so groß wie der Radius. Und warum ist das wohl so? Weil der Durchmesser entsteht, wenn man zwei Radien zusammensetzt. Bauer Johnson ist immer noch darauf aus, seine schrullige Theorie über Außerirdische zu beweisen. Er braucht dafür einfach nur einen großen Durchbruch, etwas, das sich mit Mathematik allein nicht erklären lässt. Dieses Mal misst er die Strecke um den Kreis herum. Dabei folgt er der kompletten Kreislinie. Dieses Maß nennen wir den Umfang. Hm, Moment mal, da gibt es doch einen Zusammenhang zum Durchmesser. Ja, je größer der Durchmesser, desto größer auch der Umfang. Das schauen wir uns mal etwas genauer an, indem wir das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser berechnen. 754 Meter geteilt durch 240 Meter ergibt näherungsweise 3,14. Und wie sieht das bei den beiden anderen Kreisen aus? Scheibenkleister! Siehst du, was Bauer Johnson sieht? Das Verhältnis ist gerundet immer gleich. Das kann doch nur das Werk dieser vermaledeiten Außerirdischen sein. Immer schön langsam mit den jungen Pferden, Bauer Johnson. Wie es aussieht, muss Frau Johnson ihrem Mann das eine oder andere erklären. Dieses "geheimnisvolle" Verhältnis, das Bauer Johnson so ausflippen lässt, kennen Mathematiker schon seit Jahrhunderten. Man nennt diese Zahl Pi – nach diesem griechischen Buchstaben hier. Sie beschreibt das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser von jedem Kreis. Richtig gehört: Ganz egal wie groß ein Kreis ist, das Verhältnis ist immer gleich. Pi hat den Wert 3,14159265358979 und so weiter. Pi ist eine unendliche Dezimalzahl, sie hat also unendlich viele Stellen nach dem Komma. Die Zahl ist auch nicht periodisch. Pi ist also eine irrationale Zahl. Wenn wir mit der Zahl rechnen wollen, können wir als Näherungswert entweder die Dezimalzahl 3,14 oder den Bruch 22/7 nutzen. Wenn wir ganz präzise sein müssen, können wir auch einfach das Symbol Pi verwenden. Wenn wir die Formel Pi = U durch d nach U umstellen, erhalten wir die Formel für den Umfang eines Kreises. Der Umfang ist gleich Pi mal der Durchmesser. Da der Durchmesser dem doppelten Radius entspricht, können wir die Formel auch wie folgt schreiben: Der Umfang ist gleich 2 mal Pi mal r. Bauer Johnson ist am Boden zerstört, weil die Kreise wohl doch nicht von Außerirdischen stammen. Fassen wir also noch mal zusammen. Alle Kreise, ganz egal wie groß, haben ein paar gleiche Eigenschaften. Der Radius, also der Abstand vom Kreismittelpunkt zu einem beliebigen Punkt der Kreislinie, ist immer gleich lang. Der Durchmesser ist eine gerade Strecke, die von einem Punkt der Kreislinie zum gegenüberliegenden Punkt verläuft und dabei den Mittelpunkt schneidet. Er ist immer doppelt do groß wie der Radius. Und zuletzt haben wir noch den Umfang des Kreises. Das ist die Strecke UM den Kreis herum. Das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser beschreibt die Kreiszahl Pi, die man mit dem Symbol Pi darstellt. In Rechnungen verwendet man für Pi oft die Näherung 3,14 oder 22/7 und die Zahl wurde garantiert nicht von Außerirdischen erfunden. Bauer Johnson steigt wieder auf seinen Wasserturm, ganz niedergeschlagen, weil es doch keine Außerirdischen gibt.

Kreise und die Kreiszahl Pi (π) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreise und die Kreiszahl Pi (π) kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu den Eigenschaften von Kreisen.

    Tipps

    Der Durchmesser ist die Länge der Verbindungsstrecke zweier Punkte auf der Kreislinie, die durch den Mittelpunkt verläuft.

    Per Definition haben alle Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand vom Mittelpunkt.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch.

    „Der Radius eines Kreises ist immer doppelt so lang wie der Durchmesser.“

    • Der Radius ist definiert als der Abstand zwischen Kreismittelpunkt und einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist die Länge der Verbindungsstrecke zweier Punkte auf der Kreislinie, die durch den Mittelpunkt verläuft. Per Definition muss der Durchmesser also doppelt so lang wie der Radius sein.
    „Die Kreiszahl $\pi$ ist eine irrationale Zahl und beträgt näherungsweise $4,13$.“

    • Die Kreiszahl $\pi$ beträgt auf zwei Nachkommastellen gerundet $3,14$.
    Diese Aussagen sind richtig.

    „ Der Abstand zwischen Kreismittelpunkt und einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie heißt Radius und ist immer gleich.“

    • Per Definition haben alle Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand vom Mittelpunkt.
    „Das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser aller Kreise ist immer gleich.“

    • Dieses Verhältnis ist immer gleich der Kreiszahl $\pi \approx 3,14$.
    „Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U=2 \pi r$ bestimmen.“

  • Benenne die Eigenschaften von Kreisen.

    Tipps

    Der Durchmesser verläuft durch den Mittelpunkt und verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie.

    Der Umfang beschreibt die Länge der Kreislinie.

    Lösung

    So kannst du das Bild vervollständigen:

    • Der Radius verläuft vom Mittelpunkt eines Kreises zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.
    • Der Durchmesser verläuft durch den Mittelpunkt und verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie. Damit ist er doppelt so lang wie der Radius, also $d=2r$.
    • Der Umfang beschreibt die Länge der Kreislinie. Du kannst ihn berechnen durch $U=2 \pi r$.
    • Das Verhältnis zwischen Umfang $U$ und Durchmesser $d$ eines Kreises ist immer konstant. Es ergibt die Kreiszahl $\pi$, also $\frac{U}{d}=\pi$.
  • Bestimme die Eigenschaften von Kreisen.

    Tipps

    Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers.

    Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U=2 \pi r$ berechnen.

    Lösung

    Mit folgenden Überlegungen kannst du die Tabelle vervollständigen:

    Der Durchmesser $d$ ist immer das Doppelte des Radiusses $r$. Also gilt für den ersten Kreis:

    $d=2r=2 \cdot 120=240$.

    Umgekehrt ist der Radius die Hälfte des Durchmessers. Beim zweiten Kreis gilt also:

    $r=\frac{d}{2}=\frac{120}{2}=60$.

    Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U=2 \pi r= \pi d$ berechnen. Dann erhältst du für den ersten Kreis:

    $U=2 \pi \cdot 120 \approx 754$.

    Das Verhältnis aus Umfang und Durchmesser ist in jedem Kreis gleich der Kreiszahl $\pi$. Also gilt für alle Kreise:

    $\frac{U}{d}=\pi \approx3,14$.

    Die vollständige Tabelle lautet also:

    $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Radius} ~r~ \text{in Meter} & \text{Durchmesser} ~d~ \text{in Meter} & \text{Umfang} ~U ~\text{in Meter} & \frac{U}{d}\\ \hline 120& 240 & 754 & 3,14\\ 60 & 120 & 377 & 3,14\\ 11 & 22 & 69 & 3,14\\ \end{array}$

  • Ermittle den Rollweg eines bremsenden Autos.

    Tipps

    Ein Rad, das auf der Straße eine volle Umdrehung macht, legt einmal seinen vollen Umfang zurück.

    Hast du eine Strecke $s$ gegeben, die das Rad zurücklegt, kannst du diese durch den Umfang $U$ teilen, um die Anzahl der Umdrehungen $n$ zu erhalten. Man rechnet also:

    $n=\frac{s}{U}$

    Lösung

    Ein Rad, das auf der Straße eine volle Umdrehung macht, legt einmal seinen vollen Umfang zurück. Hast du eine Strecke $s$ gegeben, die das Rad zurücklegt, kannst du diese durch den Umfang $U$ teilen, um die Anzahl der Umdrehungen $n$ zu erhalten. Du berechnest also zunächst den Umfang und rundest auf die Einerstelle:

    $U= \pi \cdot d= \pi \cdot 35 ~\text{cm} \approx 110~\text{cm}$

    Und für die Anzahl der Umdrehungen erhältst du:

    $n=\frac{s}{U}=\frac{330~\text{cm}}{110~\text{cm}}=3$

  • Entscheide, ob dies die Maße eines Kreises sind.

    Tipps

    Du kannst bestimmen, ob die Maße wirklich einen Kreis ergeben, indem du den gegebenen Umfang durch den Durchmesser teilst.

    Ist der Durchmesser nicht gegeben, kannst du ihn aus dem Radius wie folgt berechnen:

    $d=2r$.

    Lösung

    Du kannst bestimmen, ob die Maße wirklich einen Kreis ergeben, indem du den gegebenen Umfang durch den Durchmesser teilst. Das sollte immer die Kreiszahl $\pi$ ergeben.

    $\frac{U}{d}=\pi$

    Ist der Durchmesser nicht gegeben, kannst du ihn aus dem Radius berechnen.

    $d=2r$

    Dann erhältst du, dass folgende Maße keinen Kreis ergeben können:

    „$d=3~\text{m}$ und $U=8,85~\text{m}$“

    • Hier ergibt sich: $\frac{8,85}{3}=2,95 \neq \pi$
    „$r=5~\text{m}$ und $U=29,43~\text{m}$“

    • Hier erhältst du: $\frac{U}{2r}=\frac{29,43}{10}=2,94 \neq \pi$
    Diese Maße ergeben Kreise:

    „$r=3~\text{m}$ und $U=18,85~\text{m}$“

    „$r=0,5~\text{m}$ und $U=3,14~\text{m}$“

    „$d=8~\text{m}$ und $U=25,13~\text{m}$“

  • Ermittle den Umfang der Kreise.

    Tipps

    Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U= \pi d$ berechnen.

    Lösung

    Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U=d \pi = 2 \pi r$ bestimmen. Dann erhältst du:

    • $U=2 \pi \cdot 2,24~\text{m} \approx 14,07~\text{m} $
    • $U=\pi \cdot 5,26~\text{m} \approx 16,52~\text{m} $
    • $U=2\pi \cdot 8,78~\text{m}\approx 55,17 ~\text{m}$
    • $U= \pi \cdot 6,5~\text{m} \approx 20,42~\text{m}$