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Kreise und die Kreiszahl Pi (π)

Kreiszahl Pi (π) ist das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zum Durchmesser: π = U/d = 3,14159... Oft verwendet man Näherungswerte wie π ≈ 3,14. Erfahre mehr über die Bedeutung von π, ihre geschichtlichen Hintergründe und wichtigen Anwendungen in der Geometrie. Interessiert? Klicke hier für weitere Informationen zum mathematischen Phänomen Pi!

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Team Digital
Kreise und die Kreiszahl Pi (π)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Kreise und die Kreiszahl Pi (π) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreise und die Kreiszahl Pi (π) kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu den Eigenschaften von Kreisen.

    Tipps

    Der Durchmesser ist die Länge der Verbindungsstrecke zweier Punkte auf der Kreislinie, die durch den Mittelpunkt verläuft.

    Per Definition haben alle Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand vom Mittelpunkt.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch.

    „Der Radius eines Kreises ist immer doppelt so lang wie der Durchmesser.“

    • Der Radius ist definiert als der Abstand zwischen Kreismittelpunkt und einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist die Länge der Verbindungsstrecke zweier Punkte auf der Kreislinie, die durch den Mittelpunkt verläuft. Per Definition muss der Durchmesser also doppelt so lang wie der Radius sein.
    „Die Kreiszahl $\pi$ ist eine irrationale Zahl und beträgt näherungsweise $4,13$.“

    • Die Kreiszahl $\pi$ beträgt auf zwei Nachkommastellen gerundet $3,14$.
    Diese Aussagen sind richtig.

    „Der Abstand zwischen Kreismittelpunkt und einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie heißt Radius und ist immer gleich.“

    • Definitionsgemäß haben alle Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand vom Mittelpunkt.
    „Das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser aller Kreise ist immer gleich.“

    • Dieses Verhältnis ist immer gleich der Kreiszahl $\pi \approx 3,14$.
    „Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U=2 \pi r$ bestimmen.“

  • Bestimme die Eigenschaften von Kreisen.

    Tipps

    Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers.

    Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U=2 \pi r$ berechnen.

    Lösung

    Mit folgenden Überlegungen kannst du die Tabelle vervollständigen.

    Der Durchmesser $d$ ist immer das Doppelte des Radius $r$. Also gilt für den ersten Kreis:

    $d=2r=2 \cdot 120=240$.

    Umgekehrt ist der Radius die Hälfte des Durchmessers. Beim zweiten Kreis gilt also:

    $r=\frac{d}{2}=\frac{120}{2}=60$.

    Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U=2 \pi r= \pi d$ berechnen. Dann erhältst du für den ersten Kreis:

    $U=2 \pi \cdot 120 \approx 754$.

    Das Verhältnis aus Umfang und Durchmesser ist in jedem Kreis gleich der Kreiszahl $\pi$. Also gilt für alle Kreise:

    $\frac{U}{d}=\pi \approx3,14$.

    Die vollständige Tabelle lautet also:

    $\begin{array}{c|c|c|c} \text{Radius} ~r~ \text{in Meter} & \text{Durchmesser} ~d~ \text{in Meter} & \text{Umfang} ~U ~\text{in Meter} & \frac{U}{d}\\ \hline 120& 240 & 754 & 3,14\\ 60 & 120 & 377 & 3,14\\ 11 & 22 & 69 & 3,14\\ \end{array}$

  • Entscheide, ob dies die Maße eines Kreises sind.

    Tipps

    Du kannst bestimmen, ob die Maße wirklich einen Kreis ergeben, indem du den gegebenen Umfang durch den Durchmesser teilst.

    Ist der Durchmesser nicht gegeben, kannst du ihn aus dem Radius wie folgt berechnen:

    $d=2r$.

    Lösung

    Du kannst bestimmen, ob die Maße wirklich einen Kreis ergeben, indem du den gegebenen Umfang durch den Durchmesser teilst. Das sollte immer die Kreiszahl $\pi$ ergeben.

    $\frac{U}{d}=\pi$

    Ist der Durchmesser nicht gegeben, kannst du ihn aus dem Radius berechnen.

    $d=2r$

    Dann erhältst du, dass folgende Maße keinen Kreis ergeben können:

    „$d=3~\text{m}$ und $U=8,85~\text{m}$“.

    • Hier ergibt sich: $\frac{8,85}{3}=2,95 \neq \pi$
    „$r=5~\text{m}$ und $U=29,43~\text{m}$“.

    • Hier erhältst du: $\frac{U}{2r}=\frac{29,43}{10}=2,94 \neq \pi$.
    Diese Maße ergeben Kreise:

    „$r=3~\text{m}$ und $U=18,85~\text{m}$“

    „$r=0,5~\text{m}$ und $U=3,14~\text{m}$“

    „$d=8~\text{m}$ und $U=25,13~\text{m}$“

  • Ermittle den Umfang der Kreise.

    Tipps

    Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U= \pi d$ berechnen.

    Lösung

    Den Umfang eines Kreises kannst du mit der Formel $U=d \pi = 2 \pi r$ bestimmen. Dann erhältst du:

    • $U=2 \pi \cdot 2,24~\text{m} \approx 14,07~\text{m} $
    • $U=\pi \cdot 5,26~\text{m} \approx 16,52~\text{m} $
    • $U=2\pi \cdot 8,78~\text{m}\approx 55,17 ~\text{m}$
    • $U= \pi \cdot 6,5~\text{m} \approx 20,42~\text{m}$
  • Benenne die Eigenschaften von Kreisen.

    Tipps

    Der Durchmesser verläuft durch den Mittelpunkt und verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie.

    Der Umfang beschreibt die Länge der Kreislinie.

    Lösung

    So kannst du das Bild vervollständigen:

    • Der Radius verläuft vom Mittelpunkt eines Kreises zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.
    • Der Durchmesser verläuft durch den Mittelpunkt und verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie. Damit ist er doppelt so lang wie der Radius, also $d=2r$.
    • Der Umfang beschreibt die Länge der Kreislinie. Du kannst ihn berechnen durch $U=2 \pi r$.
    • Das Verhältnis zwischen Umfang $U$ und Durchmesser $d$ eines Kreises ist immer konstant. Es ergibt die Kreiszahl $\pi$, also $\frac{U}{d}=\pi$.
  • Ermittle den Rollweg eines bremsenden Autos.

    Tipps

    Ein Rad, das auf der Straße eine volle Umdrehung macht, legt einmal seinen vollen Umfang zurück.

    Hast du eine Strecke $s$ gegeben, die das Rad zurücklegt, kannst du diese durch den Umfang $U$ teilen, um die Anzahl der Umdrehungen $n$ zu erhalten. Man rechnet also:

    $n=\frac{s}{U}$.

    Lösung

    Ein Rad, das auf der Straße eine volle Umdrehung macht, legt einmal seinen vollen Umfang zurück. Hast du eine Strecke $s$ gegeben, die das Rad zurücklegt, kannst du diese durch den Umfang $U$ teilen, um die Anzahl der Umdrehungen $n$ zu erhalten. Du berechnest also zunächst den Umfang und rundest auf die Einerstelle:

    $U= \pi \cdot d= \pi \cdot 35 ~\text{cm} \approx 110~\text{cm}$.

    Und für die Anzahl der Umdrehungen erhältst du:

    $n=\frac{s}{U}=\frac{330~\text{cm}}{110~\text{cm}}=3$.