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- Volumen und Oberfläche von Kugeln
- Kugel – Volumen und Oberfläche
Kugel – Volumen und Oberfläche
Lerne, das Volumen einer Kugel zu berechnen! Das Volumen einer Kugel beschreibt den dreidimensionalen Raum, den eine Kugel einnimmt. Es wird in Kubik-Einheiten gemessen und kann mit der Formel V = (4/3)πr³ berechnet werden, wobei "V" für das Volumen steht und "r" für den Radius der Kugel.
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Grundlagen zum Thema Kugel – Volumen und Oberfläche
Die Kugel
Wir beschäftigen uns in diesem Text damit, wie du das Volumen und die Oberfläche einer Kugel berechnen kannst.
Wir schauen uns dazu zunächst einmal die wichtigsten Begriffe für die Beschreibung einer Kugel an:
- Eine Kugel ist ein dreidimensionaler Körper ohne Ecken oder Kanten, der durch die Kugelfläche begrenzt wird.
- Die Kugelfläche wird durch alle Punkte gebildet, die den gleichen Abstand zum Kugelmittelpunkt $M$ haben.
- Der Abstand zwischen Kugelfläche und Mittelpunkt $M$ heißt Radius $r$.
- Der Durchmesser $d$ einer Kugel geht durch den Mittelpunkt $M$ und verbindet zwei Punkte auf der Kugelfläche. Er entspricht damit dem doppelten Radius.
- Wird eine Kugel halbiert, so ist die Schnittfläche ein Kreis mit dem Kugelradius $r$.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal eine runde Wassermelone in der Hand gehalten und dich gefragt, wie viel Fruchtfleisch darin steckt. Das Volumen der Wassermelonen‑Kugel kannst du mit der entsprechenden Formel berechnen. Wenn du den Radius (oder den Durchmesser) der Wassermelone misst und in die Volumenformel einsetzt, weißt du genau, wie viel Platz das Fruchtfleisch im Inneren einnimmt. Mathematik hilft dir also sogar bei deinem Lieblingsobst!
Kugel – Volumen und Oberfläche
Klären wir also zuerst einmal, was mit Oberfläche und Volumen einer Kugel gemeint ist.
Die Oberfläche einer Kugel ist der Flächeninhalt der Kugelfläche, die eine Kugel umgibt.
Die Kugeloberfläche wird in einer Flächeneinheit wie $\pu{cm}^2$ (Quadratzentimeter) oder $\pu{m2}$ (Quadratmeter) angegeben. Anhand der Oberfläche können wir beispielsweise bestimmen, wie viel Material für einen kugelförmigen Ball benötigt wird.
Das Volumen einer Kugel ist der Rauminhalt, den die Kugelfläche einschließt.
Das Kugelvolumen wir in einer Volumeneinheit wie $\pu{cm3}$ (Kubikzentimeter) oder $\pu{m3}$ (Kubikmeter) angegeben. Anhand des Volumens können wir beispielsweise bestimmen, wie viel Luft in einem kugelförmigen Ballon steckt, oder berechnen, wie viele Eiskugeln einer Packung Eis entsprechen.
Wusstest du schon?
Seifenblasen nehmen automatisch eine nahezu kugelförmige Gestalt an. Das liegt daran, dass die Kugelform die Form mit der kleinstmöglichen Oberfläche bei einem größtmöglichen Volumen ist.
Das minimiert die Energie, die zur Bildung der Seifenblasen notwendig ist und ist daher die effizienteste Form für diese fragilen Gebilde – ein bisschen Mathe in der Welt der Seifenblasen!
Kugeloberfläche – Formel
Um den Flächeninhalt der Oberfläche einer Kugel zu berechnen, musst du nur ihren Radius $r$ kennen. Den Wert kannst du dann in die folgende Formel für den Flächeninhalt $A$ einsetzen:
$A_\text{Kugel} = 4 \pi r^{2}$
Der griechische Buchstabe Pi ($\pi$) steht für die Kreiszahl. Diese Zahl kann man nicht durch einen Bruch darstellen, denn sie hat unendlich viele Nachkommastellen. Meist reicht es aber, wenn du einen gerundeten Wert benutzt. Der ungefähre Wert ist: ${\pi \approx 3{,}14}$. Der Radius $r$ steht im Quadrat, weil es sich um eine Fläche handelt.
Oberfläche einer Kugel berechnen – Beispiel
Wir wollen nun die Oberfläche einer Kugel mit $r = 10~\text{cm}$ bestimmen.
Wir setzen den gegebenen Radius in die Formel ein und berechnen:
$\begin{array}{rcl} A &=& 4 \pi r^{2} \\ &=& 4 \cdot \pi \cdot (10~\text{cm})^{2} \\ &=& 400\pi~\text{cm}^{2} \\ &\approx& 1\,257~\text{cm}^{2} \end{array}$
Kugelvolumen – Formel
Auch um das Volumen einer Kugel zu berechnen, brauchst du nur den Radius $r$. Hier lautet die Formel für das Volumen $V$:
$V_\text{Kugel} = \dfrac{4}{3} \pi r^{3}$
Auch die Formel zur Volumenberechnung enthält die Kreiszahl $\pi$. Der Radius $r$ hat den Exponenten drei, da es sich um ein Volumen handelt.
Volumen einer Kugel berechnen – Beispiel
Nun können wir auch das Volumen einer Kugel mit $r = 10~\text{cm}$ bestimmen.
Wir setzen den Radius in die Volumenformel ein und berechnen:
$\begin{array}{rcl} V &=& \dfrac{4}{3} \pi r^{3} \\ \\ &=& \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot (10 \text{cm})^{3} \\ \\ &=& \dfrac{4\,000}{3}\pi~\text{cm}^{3} \\ \\ &\approx& 4\,189~\text{cm}^3 \end{array}$
Kugelumfang – Formel
Der Umfang einer Kugel ist ein Kreis mit dem Radius $r$ der Kugel. Er entspricht also dem Umfang der kreisförmigen Schnittfläche, die beim Halbieren einer Kugel entsteht. Die Formel für die Länge des Umfangs $U$ lautet:
$U_\text{Kugel} = 2\pi r$
Der Umfang wird wie der Radius in einem Längenmaß wie $\pu{cm}$ (Zentimeter) oder $\pu{m}$ (Meter) angegeben. Mit dem Kugelumfang kannst du beispielsweise den Umfang bestimmen, den eine Verpackung für Tennisbälle haben muss, damit die Bälle hineinpassen.
Umfang einer Kugel berechnen – Beispiel
Die Erde hat näherungsweise die Form einer Kugel. Wir können also mit dem Umfang berechnen, wie lang der Weg ist, um die Erde einmal zu umrunden.
Dafür setzten wir den Erdradius $r \approx 6\,370~\pu{km}$ in die Formel ein und berechnen:
$\begin{array}{rcl} U &=& 2 \cdot \pi \cdot r \\ &=& 2 \cdot \pi \cdot 6\,370~\pu{km} \\ &=& 12\,740\pi~\text{km} \\ &\approx& 40\,024~\text{km} \end{array}$
Eine Reise einmal um die ganze Welt hat demnach eine Länge von ca. $40\,000~\pu{km}$.
Fehleralarm
Ein häufiger Flüchtigkeitsfehler ist die Verwechslung von Radius $r$ und Durchmesser $d$ einer Kugel. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers, das heißt, es gilt:
$r = \frac{d}{2}$
Übungsaufgaben zum Thema Kugel – Volumen und Oberfläche
Jetzt weißt du, wie Umfang, Oberfläche und Volumen von Kugeln berechnet werden. Mit den folgenden Aufgaben kannst du die Berechnung von Kugeln üben.
Hinweis: Du kannst die Formeln für die Kugel nach der gesuchten Größe umstellen und den Zusammenhang $d = 2r$ zwischen Radius $r$ und Durchmesser $d$ verwenden.
Hier interessiert uns die Oberfläche des Balles. Außerdem benötigen wir den Radius für die Berechnung der Oberfläche. Du musst also erst einmal den Durchmesser $d=22$ durch $2$ teilen: $r= \pu{11 cm}$.
Damit ist $O=4\cdot \pi\cdot(\pu{11 cm})^2=484\cdot\pi~\pu{cm}^2 \approx \underline{\underline{1520{,}5~\pu{cm2}}}$.
Dies ist der gesuchte Materialaufwand.
Die benötigte Menge Stoff ist:
$O=4\cdot \pi\cdot(20~\pu{cm})^2=1600\cdot \pi~\pu{cm}^2 \approx \underline{\underline{5026{,}5~\pu{cm}^2}}$
Wir formen zunächst die Oberflächenformel nach $r$ umformen:
$O = 4 \cdot \pi \cdot r^2~~~ \Leftrightarrow~~~r=\sqrt{\dfrac{O}{4\cdot\pi}}$
Nun setzten wir die bekannten Größen in diese Formel einsetzen:
$r=\sqrt{\dfrac{3\,500~\pu{cm}^2}{4\cdot\pi}} \approx \underline{\underline{16{,}7~\pu{cm}}}$
Wir verwenden die Volumenformel:
$V=\dfrac43\cdot \pi\cdot(\pu{3,5 cm})^3=\dfrac{343}6\cdot\pi~\pu{cm}^3 \approx \underline{\underline{179{,}6~\pu{cm}^3}}$
Wir rechnen zunächst das Volumen der kleineren Kugel aus:
$V=\dfrac43\cdot \pi\cdot(\pu{1,5 cm})^3=\dfrac{9}2\cdot\pi~\pu{cm}^3 \approx \pu{14,1 cm}^3$
Das Volumen der Superkugel mit $r = \pu{3,5 cm}$ war $\pu{179,6 cm3}$.
Das Verhältnis der Preise sollte dem Verhältnis im Volumen entsprechen. Wir erhalten den Preis $p$ für die normale Kugel daher, indem wir den Preis $P$ der Superkugel mit dem Quotienten der Volumeninhalte multiplizieren:
$p = \dfrac{V_\text{n}}{V_\text{R}} \cdot P = \dfrac{\pu{14,1 cm3}}{\pu{179,6 cm3}} \cdot 7\,€ \approx 0{,}55\,€$
Die normale Kugel sollte also $\pu{55 ct}$ kosten.
Wir bestimmen zunächst das Volumen, indem wir das Volumen der Superkugel mit dem angestrebten Preisverhältnis multiplizieren:
$V=\dfrac{3\,€}{7\,€}\cdot \pu{179,6 cm3} \approx 77~\pu{cm}^3$
Nun stellen wir die die Formel für das Kugelvolumen nach dem gesuchten Radius um:
$r=\sqrt[3]{\dfrac{V}{\frac43\cdot\pi}}$
Wir setzten das Volumen ein und berechnen:
$r=\sqrt[3]{\dfrac{77~\pu{cm}^3}{\frac43\cdot\pi}}\approx \pu{2,64 cm}$
Eine Eiskugel mit einem Preis von $3\,€$ sollte also einen Radius von $\pu{2,64 cm}$ haben.
Ausblick – das lernst du nach Kugel – Volumen und Oberfläche
Vertiefe dein Verständnis für räumliche Figuren, indem du auch das Volumen und die Oberfläche eines Zylinders, eines Kegels und eines Tetraeders berechnest. Das bringt dich der Meisterschaft in der Geometrie näher – komm mit und lass dich begeistern!
Zusammenfassung der Kugel – Oberfläche und Volumen
- Eine Kugel ist ein Körper ohne Ecken oder Kanten. Sie wird durch die Menge aller Punkte begrenzt, die einen festen Abstand, den Radius $r$, vom Mittelpunkt $M$ der Kugel haben.
- Die Oberfläche einer Kugel besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt $M$ den Abstand $r$ (Radius) haben.
- Das Volumen einer Kugel ist der Rauminhalt, der von der Kugelfläche umschlossen wird.
Für eine Kugel gelten die Formeln:
- Kugeloberfläche: $\quad A_\text{Kugel} = 4 \pi r^{2}$
- Kugelvolumen: $\quad V_\text{Kugel} = \dfrac{4}{3} \pi r^{3}$
- Kugelumfang: $\quad U_\text{Kugel} = 2\pi r$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Kugel – Volumen und Oberfläche
Das Volumen einer Kugel mit Radius $r$ wird mit der Formel ${V = \frac{4}{3} \pi r^{3}}$ berechnet.
Der Umfang $U$ einer Kugel mit Radius $r$ ist ein Kreis:
$U = 2 \cdot \pi \cdot r$.
Wir können diese Formel nach dem Radius $r$ auflösen: $r = \dfrac{U}{2 \pi}$
Wenn wir diesen Term für den Radius $r$ in die Formel für das Kugelvolumen
${V = \frac{4}{3} \pi r^{3}}$ einsetzten, erhalten wir für das Volumen einer Kugel mit Umfang $U$:
$V = \dfrac{4}{3} \pi \left(\dfrac{U}{2 \pi}\right)^{3} = \dfrac{4}{3} \pi \dfrac{U^{3}}{8 \pi^{3}} = \dfrac{U^{3}}{6 \pi^{2}}$
Das Volumen einer Kugel mit Radius $r_{\text{neu}} = 3 \cdot r_{\text{alt}}$ ist $27$-mal so groß wie das der Kugel mit $r_{\text{alt}}$.
Es gilt:
$V_{\text{neu}} = \dfrac{4}{3} \pi r_{\text{neu}}^{3} = \dfrac{4}{3} \pi (3 \cdot r_{\text{alt}})^{3}= 27 \cdot \underbrace{\dfrac{4}{3} \pi r_{\text{alt}}^{3}}_{V_{\text{alt}}} = 27 \cdot V_{\text{alt}}$
Das Volumen einer Kugel mit Radius $r_{\text{neu}} = \frac{1}{2} \cdot r_{\text{alt}}$ ist $\frac{1}{8}$-mal so groß wie das der Kugel mit $r_{\text{alt}}$.
Es gilt:
$V_{\text{neu}} = \dfrac{4}{3} \pi r_{\text{neu}}^{3} = \dfrac{4}{3} \pi \left( \frac{1}{2} \cdot r_{\text{alt}} \right)^{3}= \frac{1}{8} \cdot \underbrace{\dfrac{4}{3} \pi r_{\text{alt}}^{3}}_{V_{\text{alt}}}= \frac{1}{8} \cdot V_{\text{alt}}$
Das Volumen einer Kugel, mit Radius $r_{\text{neu}} = 2 \cdot r_{\text{alt}}$ ist $8$-mal so groß wie das der Kugel mit $r_{\text{alt}}$. Es gilt:
$V_{\text{neu}} = \dfrac{4}{3} \pi r_{\text{neu}}^{3} = \dfrac{4}{3} \pi (2 \cdot r_{\text{alt}})^{3} = 8 \cdot \underbrace{\dfrac{4}{3} \pi r_{\text{alt}}^{3}}_{V_{\text{alt}}} = 8 \cdot V_{\text{alt}}$
Der Durchmesser $d$ einer Kugel entspricht dem doppelten Radius $r$.
Es gilt: $d = 2 \cdot r$
Wir können diese Formel nach dem Radius $r$ auflösen: $r = \frac{d}{2}$
Wenn wir diesen Term für den Radius $r$ in die Formel für das Kugelvolumen ${V = \frac{4}{3} \pi r^{3}}$ einsetzten, erhalten wir für das Volumen einer Kugel mit Durchmesser $d$:
$V = \dfrac{4}{3} \pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^{3} = \dfrac{4}{3} \pi \dfrac{d^{3}}{8} = \dfrac{\pi}{6} d^{3}$
Die Oberfläche einer Kugel mit Radius $r$ wird mit der Formel $O = 4 \pi r^{2}$ berechnet.
Die Oberfläche einer Kugel ist die Fläche, die die Kugel umschließt. Sie kann für eine Kugel mit Radius $r$ mit der Formel $O = 4 \pi r^{2}$ berechnet werden.
Der Oberflächeninhalt einer Kugel kann genutzt werden, um zu bestimmen, wie viel Farbe benötigt wird, um eine Kugel anzumalen, oder wie viel Papier es braucht, um sie zu verpacken.
Um die Oberfläche einer Kugel um die Faktor $a$ zu vervielfachen, muss man ihren Radius $r$ um den Faktor $\sqrt{a}$ vergrößern.
Damit $O_{\text{neu}} = a \cdot O_{\text{alt}}$ ist, muss gelten:
$4 \pi r_{\text{neu}}^{2} = a \cdot 4 \pi r_{\text{alt}}^{2}$
Wir stellen die Gleichung nach $r_{\text{neu}}$ um.
$4 \pi r_{\text{neu}}^{2} = a \cdot 4 \pi r_{\text{alt}}^{2} \quad \vert :4\pi$
$r_{\text{neu}}^{2} = a \cdot r_{\text{alt}}^{2} \qquad \vert \sqrt{~}$
$r_{\text{neu}} = \sqrt{a} \cdot r_{\text{alt}}$
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Ninja-Nina ist in geheimer Mission unterwegs! Für den Fall, dass sie entdeckt wird, hat sie Rauchbomben dabei...damit kann sie etwas Verwirrung stiften! Oh nein, das war die letzte!Nach ihrem bewährten Ninja-Rezept muss sie dann wohl eine neue Rauchbombe herstellen. Dazu baut sie eine Kugel aus Ninja-Rauchpulver, die sie mit Ninja-Spezialfolie umwickelt. Die Kugel muss so viel Pulver enthalten, dass Nina komplett im Rauch verschwinden kann! Der Oberflächeninhalt und das Volumen der Kugel verrät uns, ob Ninja-Nina genug Material dabei hat. Sehen wir uns eine Kugel zunächst einmal genauer an. Eine Kugel ist ein dreidimensionaler Körper. In der Mitte befindet sich der Mittelpunkt M. Jeder Punkt, der sich auf der Oberfläche der Kugel befindet, hat von diesem Mittelpunkt den gleichen Abstand. Dieser Abstand wird als Radius r bezeichnet. Der doppelte Radius ist der Durchmesser d. Den Raum, der von der Kugeloberfläche eingeschlossen wird, nennt man das Volumen der Kugel. Vielleicht erinnert dich das alles ein wenig an eine ebene Figur, die gewisse Ähnlichkeiten zur Kugel aufweist! Auch beim Kreis gibt es einen Rand, der vom Mittelpunkt immer den gleichen Abstand, nämlich den Radius, hat. Kennst du noch die Formeln zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts eines Kreises? Um den Umfang U zu berechnen, rechnest du '2 mal Pi mal r'. Und den Flächeninhalt A erhältst du, wenn du Pi mit 'r Quadrat' multiplizierst. Pi wird auch Kreiszahl genannt... und kann nicht als Bruch geschrieben werden. Der Wert von Pi beträgt ungefähr 3,14. Auch in den Formeln für die Berechnung von Oberfläche und Volumen der Kugel kommt Pi vor...wieder so ähnlich wie beim Kreis. Den Oberflächeninhalt der Kugel erhältst du, indem du 4 mal Pi mal 'r Quadrat' rechnest. Das Volumen der Kugel ist gleich vier Drittel mal Pi mal 'r hoch 3'. Diese Formeln solltest du dir merken...aber keine Sorge, das ist gar nicht so viel, wie es auf den ersten Blick aussieht! Ein kleiner Tipp: Eine Fläche wird ja z.B. in 'Meter hoch 2' angegeben, und das entspricht dem 'r hoch 2' in der Formel für den Oberflächeninhalt. Und die Volumeneinheiten enthalten fast immer ein 'hoch 3', genau wie die Formel für das Volumen der Kugel ein 'r hoch 3'enthält. Wenn du daran denkst, musst du eigentlich nur noch die Zahlen vor dem Pi auswendig können! Wenn in einer Aufgabe der Durchmesser gebeben ist, dann berechnest du zuerst den Radius als die Hälfte des Durchmessers. So, jetzt legen wir mal los und unterstützen Ninja-Nina! Ninja-Ninas Kugel soll einen Radius von 10cm haben. Die Einheit lassen wir in der Rechnung aber weg. Fangen wir mit dem Oberflächeninhalt an. In die Formel setzen wir für 'r' 10 ein. Also...'4 mal Pi mal 10 Quadrat', das ergibt '4 mal Pi mal 100'...oder '400 mal Pi'. Für ein genaues Ergebnis kannst du Pi so stehen lassen. Für ein gerundetes Ergebnis kannst du einen ungefähren Wert für Pi einsetzen und damit weiterrechnen. Dann erhältst du als Ergebnis rund 1256. Also beträgt der Oberflächeninhalt von Ninja-Ninas Kugel etwa 1256 Quadratzentimeter. Ninja-Ninas Folie ist etwa 36 Zentimeter mal 36 Zentimeter groß – sie reicht also aus. Knitterfalten gibt es dabei natürlich auch...aber schöne Verpackungen spielen für Ninjas keine Rolle! Jetzt kommen wir zum Volumen der Kugel. Wir setzten für 'r' wieder 10 in die Volumenformel der Kugel ein. '10 hoch 3 ist 1000', also ist das Volumen der Kugel '4/3 Pi mal 1000'. Das ist '1333 Komma Periode 3 mal Pi'. Mit dem gerundeten Wert für Pi entspricht das etwa '4186 Komma Periode 6'. Das Volumen der Kugel beträgt also ungefähr '4186 Komma Periode 6' Kubikzentimeter. Das sind etwas mehr als vier Liter – zum Glück hat Ninja-Nina 5 Liter Pulver dabei! Ninja-Nina hat also genug Material dabei, um ihre Rauchbombe zu bauen. Währenddessen fassen wir zusammen. Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts A einer Kugel mit Radius r lautet: 'A gleich 4 Pi r Quadrat'. Das Volumen einer Kugel berechnest du mit der Formel 'V gleich 4/3 Pi mal r hoch 3'. Für genaue Ergebnisse lässt du Pi stehen...für gerundete Ergebnisse verwendest du einen ungefähren Wert für Pi. Ninja-Nina hat ihre Rauchbombe fertig und nähert sich ihrem Ziel! Oh nein, sie wurde entdeckt!Zeit für die Rauchbombe. Das war wohl zu viel Pulver!
Kugel – Volumen und Oberfläche Übung
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Benenne die Eigenschaften von Kreisen und Kugeln.
TippsDie Oberfläche einer Kugel ähnelt der ebenen Kreislinie, deren Punkte vom Mittelpunkt denselben Abstand haben.
Der Oberflächeninhalt einer Kugel wird in Einheiten gemessen, die das Quadrat einer Länge enthalten, beispielsweise in $\text{cm}^2$ oder $\text m^2$.
Der Oberflächeninhalt einer Kugel ist viermal so groß wie der Flächeninhalt eines Kreises mit demselben Radius.
LösungEine Kugel ist eine räumliche Figur, sie ähnelt dem Kreis als ebene Figur. Die Oberfläche der Kugel entspricht der Kreislinie, das von der Oberfläche eingeschlossene Volumen entspricht der von der Kreislinie umgrenzten Kreisscheibe. Wie die Punkte der Kreislinie vom Mittelpunkt denselben Abstand haben, so besteht auch die Oberfläche der Kugel aus allen Punkten im Raum, die vom Mittelpunkt $M$ denselben Abstand haben.
Folgende Aussagen sind demnach wahr:
- Die Oberfläche einer Kugel besteht aus allen Punkten im Raum, die vom Mittelpunkt $M$ denselben Abstand haben.
- Der Radius eines Kreises ist der Abstand zwischen einem Punkt auf der Kreislinie und dem Mittelpunkt des Kreises.
- Die Fläche eines Kreises mit Radius $r$ beträgt $\pi r^2$.
- Der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $r$ ist $4\pi r^2$.
Diese Aussagen dagegen sind falsch:
- Das Volumen einer Kugel besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt $M$ denselben Abstand haben.
- Der Radius einer Kugel ist der Abstand zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Punkt der Kugel.
- Das Volumen einer Kugel wird in $\text{m}^2$ gemessen.
-
Gib die Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen einer Kugel wieder.
TippsDer Oberflächeninhalt einer Kugel ist viermal so groß wie der Flächeninhalt eines Kreises mit demselben Radius.
Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$ ist $A=\pi r^2$.
In den Formeln für den Oberflächeninhalt und das Volumen kommen keine höheren Potenzen von $\pi$ vor.
LösungOberflächeninhalt der Kugel
Die Formel für den Oberflächeninhalt $A$ einer Kugel mit Radius $r$ lautet:
$A=4\pi r^2$
Um den Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $r=10~\text{cm}$ zu bestimmen, setzen wir in diese Formel $r=10~\text{cm}$ ein. Durch Quadrieren des Radius mitsamt der Einheit ermitteln wir den Oberflächeninhalt:
$A= 4\pi \cdot 10^2~\text{cm}^2 =400\pi~\text{cm}^2$
Dies ist der genaue Wert des Oberflächeninhaltes. Um zu wissen, welchem Wert in Dezimalzahlen das ungefähr entspricht, setzen wir $\pi\approx 3,14$. Damit erhalten wir:
$A \approx 400 \cdot 3,14~\text{cm}^2 \approx 1 256~\text{cm}^2$
Volumen der Kugel
Für das Volumen einer Kugel mit Radius $r$ gilt die Formel:
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$
Um nun das Volumen einer Kugel mit Radius $r=10~\text{cm}$ zu bestimmen, setzen wir $r=10~\text{cm}$ in diese Formel ein. Mit der dritten Potenz des Radius und seiner Einheit ermitteln wir das Volumen:
$A= \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3~\text{cm}^3 =\frac{4}{3} \cdot 1 000\pi~\text{cm}^3$
Wie zuvor beim Oberflächeninhalt ist dies der genaue Wert des Volumens. Um einen Dezimalwert zu erhalten, setzen wir wieder $\pi \approx 3,14$ und notieren von dem Ergebnis nur die Stellen vor dem Komma. So ergibt sich:
$V \approx \frac{4}{3} \cdot 1 000 \cdot 3,14~\text{cm}^3 \approx 4 187~\text{cm}^3$
-
Ordne die Oberflächeninhalte und Volumina zu.
TippsDer Oberflächeninhalt einer Kugel mit Durchmesser $r$ ist derselbe wie der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $r$.
Eine Kugel mit dem Radius $r=\frac{3}{2}~\text{cm}$ hat folgenden Oberflächeninhalt:
$A= 4\pi \frac{3^2}{2^2}~\text{cm}^2 = 9 \pi ~\text{cm}^2$
Verdoppelt man den Radius einer Kugel, so vervielfacht sich das Volumen um den Faktor $2^3=8$.
LösungZur Berechnung des Oberflächeninhaltes $A$ und des Volumens $V$ einer Kugel mit Radius $r$ verwendet Ninja-Nina diese Formeln:
$ \begin{array}{ll} A &= 4\pi r^2 \\ V &= \frac{4}{3} \pi r^3 \end{array} $
Durch Einsetzen der angegebenen Werte für den Radius $r$ berechnen wir für Ninja-Nina folgende Oberflächeninhalte und Volumina:
$ \begin{array}{c|c|c} r & A & V \\ \hline 2~\text{cm} & 16~\pi~\text{cm}^2 & \frac{32}{3}\pi~\text{cm}^3 \\ \pi~\text{cm} & 4\pi^3~\text{cm}^2 & \frac{4}{3}\pi^4~\text{cm}^3 \\ \frac{2}{\sqrt{\pi}}~\text{cm} & 16~\text{cm}^2 & \frac{32}{3\sqrt{\pi}}~\text{cm}^3 \\ \frac{3}{2}~\text{cm} & 9\pi~\text{cm}^2 & \frac{9\pi}{2}~\text{cm}^3 \end{array} $
Dieser Tabelle kann Ninja-Nina die Zuordnungen entnehmen.
-
Ordne die Werte für Umfang, Flächeninhalt, Oberflächeninhalt und Volumen den Radien zu.
TippsDer Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $r$ entspricht dem Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $2r$.
Zu jedem Radius gehört jeweils höchstens ein Wert für $U$, $A$, $O$ und $V$.
Der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $r=\pi~\text{cm}$ beträgt $\frac{4}{3}\pi \cdot (\pi~\text{cm})^3 = \frac{4}{3} \pi^4~\text{cm}^3$.
LösungZur Berechnung des Umfangs $U$ und des Flächeninhaltes $A$ eines Kreises mit Radius $r$ bzw. des Oberflächeninhaltes $O$ und des Volumens $V$ einer Kugel mit Radius $r$ verwenden wir folgende Formeln:
$ \begin{array}{ll} U &= 2\pi r \\ A &= \pi r^2 \\ O &= 4\pi r^2 \\ V &= \frac{4}{3} \pi r^3 \end{array} $
In diese Formeln setzen wir die Werte $r=1~\text m$ und $r=2~\text m$ und $r=\frac{2}{\sqrt{\pi}}~\text m$ ein und erhalten folgende Ergebnisse:
$ \begin{array}{l|l|l|l|l} r & U & A & O & V \\ \hline 1~\text m & 2\pi~\text m & \pi~\text{m}^2 & 4\pi~\text{m}^2 & \frac{4}{3} \pi~\text{m}^3 \\ 2~\text m & 4\pi~\text m & 4 \pi~\text{m}^2 & 16 \pi~\text{m}^2 & \frac{32}{3} \pi~\text{m}^3 \\ \frac{2}{\sqrt{\pi}}~\text m & 4 \sqrt{\pi}~\text m & 4~\text m^2 & 16~\text m^2 & \frac{32}{3\sqrt{\pi}}~\text m^3 \end{array} $
Der Tabelle kannst du die jeweiligen Zuordnungen entnehmen.
-
Berechne den Oberflächeninhalt einer Kugel.
TippsMit Folie kann man gut Dinge einwickeln. Bei runden Objekten wirft die Folie dann aber Falten. Dann braucht man eher etwas mehr Folie.
In der Formel für das Volumen oder den Rauminhalt einer Kugel kommt der Radius vor. Dort steht er in der dritten Potenz.
LösungOberflächeninhalt der Kugel
Um den Oberflächeninhalt $A$ ihrer Kugel zu berechnen, verwendet Ninja-Nina diesw Formel:
- $A=4\pi r^2$
Ninja-Ninas Kugel hat einen Radius von $r=10~\text{cm}$. Diesen Wert setzt sie an Stelle von $r$ in die Formel für den Oberflächeninhalt ein. So erhält sie folgende Rechnung:
$A=4\pi \cdot 10^2~\text{cm}^2 = 400\pi~\text{cm}^2$
Um den Oberflächeninhalt als Dezimalzahl zu schreiben, setzt Ninja-Nina $\pi \approx 3,14$. Jetzt erhält sie folgende Rechnung:
$A \approx 400 \cdot 3,14~\text{cm}^2 \approx 1 256~\text{cm}^2$
So viel Folie braucht Ninja-Nina also mindestens.
-
Analysiere die Berechnungen des Oberflächeninhaltes und des Volumens.
TippsDer Flächeninhalt eines Quadrats mit Kantenlänge $2~\text{cm}$ ist $4~\text{cm}^2$.
LösungFolgende Aussagen sind falsch:
- Das Volumen einer Kugel mit Radius $r$ ist kleiner als das eines kreisförmigen Zylinders mit Radius $r$ und Höhe $r$. Denn das Volumen des Zylinders berechnet man wie folgt: Die kreisförmige Grundfläche hat den Flächeninhalt $\pi r^2$. Multipliziert mit der Höhe ergibt sich das Volumen $V= \pi r^3$.
- Der Flächeninhalt eines Quadrats der Kantenlänge $2\pi~\text{cm}$ ist dasselbe wie der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $1~\text{cm}$.
Folgende Aussagen sind richtig:
- Eine Kugel vom Radius $r=10~\text{cm}$ hat ein Volumen von etwa $V \approx 4 187~\text{cm}^3$. Das Volumen eines Würfels mit Kantenlänge $10~\text{cm}$ ist viel kleiner.
- Der Oberflächeninhalt einer Kugel mit Radius $\frac{1}{4}~\text{m}$ ist kleiner als der Flächeninhalt eines Quadrats mit Kantenlänge $1~\text{m}$.
- Der Oberflächeninhalt einer Kugel ist viermal so groß wie der Flächeninhalt des Kreises, der vom Äquator begrenzt wird.
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