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Formeln umstellen

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Team Digital
Formeln umstellen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Formeln umstellen

Inhalt

Formeln umstellen – Erklärung

Formeln sind ein essenzieller Bestandteil der Mathematik. Zusammenhänge verschiedener Größen können durch Formeln ausgedrückt werden. Somit helfen Formeln direkt, eine gesuchte Größe zu berechnen, indem gegebene Werte zur Berechnung der Größe in die Formel eingesetzt werden. Dabei werden Formeln durch mathematische Symbole und Zahlen dargestellt. Bekannte Formeln sind zum Beispiel die $pq$-Formel oder auch die binomischen Formeln. Auch zur Berechnung von Maßeinheiten werden Formeln verwendet. Charakteristisch für Formeln ist es, dass diese je nach gegebener und gesuchter Größe umgestellt werden können. Dies geschieht durch Äquivalenzumformungen.

Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen, die die Lösungsmenge der Gleichung unverändert lassen.

Mithilfe dieser Umformungen können Formeln gleichwertig umgestellt werden.

Entscheidend ist, dass auf beiden Seiten der Formel immer dasselbe gerechnet wird. Das heißt: Wird auf der einen Seite addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert, so muss die jeweilige Rechenoperation gleichermaßen auf der anderen Seite durchgeführt werden.

Die Umformungen werden im Folgenden durch das Äquivalenzzeichen $\Leftrightarrow$ dargestellt.

Formeln umstellen – Übungen

Beispiel: Satz des Pythagoras Für den Satz des Pythagoras ist die Formel $a^2+b^2=c^2$ allgemein geläufig. Diese können wir durch Äquivalenzumformungen beliebig nach $a^2$ oder auch $b^2$ umstellen. Soll die Formel nach $a^2$ umgestellt werden, wird wie folgt vorgegangen:

$\begin{array}{crclcl} &a^2+b^2&=&c^2&\vert&-b^2\\ \\ \Leftrightarrow&a^2&=&c^2-b^2 \end{array}$

Beispiel: Oberfläche eines Kegels oder einer Pyramide Vor allem in der Geometrie ist das Umstellen von Formeln unerlässlich, um gesuchte Größen in Abhängigkeit von gegebenen Größen zu ermitteln. Die Oberfläche $O$ eines Kegels ist gegeben als Summe der Mantelfläche $M$ und Grundfläche $G$. Diese Formel kann sowohl nach $M$ als auch nach $G$ umgestellt werden:

$\begin{array}{crclcl} &O& = & M+G&|&-G\\ \\ \Leftrightarrow&O-G& = &M \end{array} $

Ebenso kann nach $G$ umgestellt werden: $G=O-M$.

Beispiel: Volumen eines Zylinders Die Formel $V=\pi\cdot r^2\cdot h$ kann sowohl nach $h$ als auch nach $r$ umgestellt werden:

Formel umstellen nach $h$

$\begin{array}{crclcl} &V& = & \pi\cdot r^2\cdot h&|&:\pi~|~:r^2\\ \\ \Leftrightarrow&\frac{V}{\pi\cdot r^2}& = &\frac{\pi\cdot r^2\cdot h}{\pi\cdot r^2}\\ \\ \Leftrightarrow&\frac{V}{\pi\cdot r^2}& = &h \end{array} $

Formel umstellen nach $r$

$\begin{array}{crclcl} &V& = & \pi\cdot r^2\cdot h&|&:\pi~|~:h\\ \\ \Leftrightarrow&\frac{V}{\pi\cdot h}& = &\frac{\pi\cdot r^2\cdot h}{\pi\cdot h}\\ \\ \Leftrightarrow&\frac{V}{\pi\cdot h}& = &r^2&|&\sqrt{~~~}\\ \\ \Leftrightarrow&\sqrt{\frac{V}{\pi\cdot h}}&=&r \end{array} $

Beispiel: Volumen einer Kugel Die Formel zur Berechnung des Kugelvolumens lautet: $V=\frac43\cdot \pi\cdot r^3$. Soll die Formel nach $r$ umgestellt werden, wird wie folgt vorgegangen:

$\begin{array}{crclcl} &V& = & \frac43\cdot \pi\cdot r^3&|&:\pi~|~:\frac43\\ \\ \Leftrightarrow&\frac{3\cdot V}{4\cdot \pi}& = &r^3&|&\sqrt[3]{~~~}\\ \\ \Leftrightarrow&\sqrt[3]{\frac{3\cdot V}{4\cdot \pi}}&=&r \end{array} $

Stelle die Formel nach $G$ um: $O = 2G+M$
Stelle die Formel nach $c$ um: $A = \frac{a+c}{2} \cdot h$

Kontext – Physikalische Formeln umstellen

Nicht nur in der Mathematik ist das Umstellen von Formeln notwendig. Auch in der Physik müssen Formeln umgestellt werden. Die Geschwindigkeit $v$ ist das Verhältnis von Weg $s$ zur dafür benötigten Zeit $t$, also $v=\frac st$. Sind der Weg und die Zeit gegeben, kann die Geschwindigkeit durch Einsetzen berechnet werden.

Formel umstellen nach $s$ Wenn die Geschwindigkeit und die Zeit gegeben sind, muss die Formel nach dem Weg umgestellt werden:

$\begin{array}{crclcl} &v& = & \frac st&|&\cdot t\\ \\ \Leftrightarrow&v\cdot t& = &\frac st\cdot t\\ \\ \Leftrightarrow&v\cdot t& = &s \end{array} $

Der Weg $s$ ist somit das Produkt aus Geschwindigkeit $v$ und Zeit $s$. Sind die Geschwindigkeit und die Zeit gegeben, kann der Weg durch Einsetzen berechnet werden.

Formel umstellen nach $t$ Die Formel kann auch nach $t$ umgestellt werden:

$\begin{array}{crclcl} &v& = & \frac st&|&\cdot t\\ \\ \Leftrightarrow&v\cdot t& = &\frac st\cdot t\\ \\ \Leftrightarrow&v\cdot t& = &s&|&:v\\ \\ \Leftrightarrow&v\cdot t:v& = &\frac sv\\ \\ \Leftrightarrow&t& = &\frac sv&\\ \end{array} $

Stelle die Formel nach $h$ um: $v = \sqrt{2\cdot h \cdot g}$

Häufige Fragen zum Thema Formeln umstellen

Wie stellt man eine Formel richtig um?
Was versteht man unter Formeln umstellen?
Welche Formeln kann man umstellen?
In welcher Klasse lernt man Formeln umstellen?

Transkript Formeln umstellen

Formeln beschreiben die Realität, die uns umgibt. Egal, ob du wissen willst, wie schnell der Zug fährt, mit dem du gerade unterwegs bist, oder, wie groß die Pizza ist, die du gleich „weg spachteln“ wirst – Der Schlüssel für die Antworten auf diese Fragen sind Formeln. Damit wir dann auch ganz konkret mit ihnen rechnen können, müssen wir wissen, wie wir „Formeln umstellen“ können. Bevor's losgeht vielleicht ganz kurz die Frage: Was war noch gleich 'ne Formel? Nun, eine Formel ist nichts anderes als eine mathematische Gleichung, die mithilfe von Variablen eine Gesetzmäßigkeit beschreibt. Dabei kann es sich um mathematische, aber zum Beispiel auch um physikalische, chemische oder biologische Gesetzmäßigkeiten handeln. Formeln sind also nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den Naturwissenschaften extrem wichtig. Mit einer einfachen Formel, wie zum Beispiel der Formel für die Geschwindigkeit – die da lautet „Geschwindigkeit v“ gleich „Strecke s“ geteilt durch „Zeit t“ – können wir Geschwindigkeiten berechnen, wenn wir die zurückgelegte Strecke und die vergangene Zeit kennen. Aber was ist eigentlich, wenn wir die durchschnittliche Geschwindigkeit kennen, mit der unser Zug gefahren ist, genauso wie die Zeit, die seit der Anfahrt vergangen ist und wir herausfinden wollen welche Strecke der Zug in dieser Zeit zurückgelegt hat? In diesem Fall müssen wir die Formel umstellen. Genauer gesagt: Wir wollen, dass die Variable s alleine auf einer Seite der Gleichung steht, damit wir dann ablesen können, welchen Wert sie annimmt. Das nennen wir auch „die Formel nach s auflösen“. Dann legen wir mal los! Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit t. So erhalten wir diese Gleichung. Auf der rechten Seite können wir t jetzt kürzen. Und schon haben wir die Formel so umgestellt, dass wir s bestimmen können. „S ist gleich v mal t.“ Jetzt müssen wir die gegebenen Werte nur noch einsetzen, dann kürzt sich h raus und wir haben die zurückgelegte Strecke berechnet. Anstatt die Formel erst umzustellen und dann die Werte einzusetzen, hätten wir die Werte natürlich auch direkt einsetzen und die so entstehende Gleichung dann lösen können. Du kannst dir also überlegen, welche Methode dir besser gefällt! Jetzt bist du dran! Angenommen unser Zug ist mit einer konstanten Geschwindigkeit von neunzig km/h unterwegs – wie lange braucht er dann für dreihundert Kilometer? Pausiere das Video doch kurz und rechne selbst. Dann gehen wir die Lösung gemeinsam durch. Diesmal wollen wir unsere Formel also nach T umstellen. Dafür könnte man auf die Idee kommen, durch s zu teilen. Da t allerdings im Nenner und nicht im Zähler steht, hätten wir dadurch nicht viel gewonnen. Stattdessen multiplizieren wir erstmal mit t, um es sozusagen „aus dem Nenner zu befreien“. Jetzt können wir das t prima auf der linken Gleichungsseite „isolieren“. Dafür müssen wir nur noch beide Seiten durch v dividieren. Dann kürzt sich v auf der linken Seite weg. t lässt sich also mit der Formel „t gleich s durch v“ berechnen. Wir setzen die gegebenen Werte ein. Um mit den Einheiten und dem Doppelbruch nicht durcheinander zu kommen, wenden wir einen kleinen Trick an und erweitern den Bruch mit „h“. Dann können wir die Einheiten prima kürzen und erhalten die gesuchte Zeitdauer: drei ein Drittel Stunden, sprich drei Stunden und zwanzig Minuten. Natürlich hättest du auch wieder erst die Werte einsetzen und dann die Gleichung lösen können. Das kommt aufs Selbe hinaus. Na dann können wir uns ja endlich der Pizza widmen! Bevor die verspeist werden kann, wollen wir aber noch eine äußerst dringende Frage klären. Wir wissen zwar, dass der Umfang der Pizza 56,55 Zentimeter beträgt. Aber wie groß ist eigentlich der Radius? Bevor wir das rausgefunden haben, können wir die kreisrunde Pizza einfach nicht genießen! Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet „u gleich zweimal pi mal r“. Kannst du die Formel so umstellen, dass wir r bestimmen können? Klick gerne kurz auf Pause und probiere es selbst! Um die Formel nach r aufzulösen, müssen wir dafür sorgen, dass r alleine auf einer Seite steht. Dafür dividieren wir die Gleichung durch die Faktoren zwei und Pi. Wir teilen also durch zwei und durch Pi und erhalten so die Formel „r gleich U durch zwei mal pi.“ Wenn du gesehen hast, dass man direkt durch „zwei Pi“ teilen kann, ist das natürlich auch richtig! Jetzt können wir den gegebenen Wert für den Umfang einsetzen. Am besten geben wir das Ganze in den Taschenrechner ein – wenn wir keinen zur Hand haben können wir aber auch den Näherungswert 3,14 für die Kreiszahl Pi verwenden. und erhalten dann unser Ergebnis. Und wenn wir dann endlich wissen, wie groß der Radius ist, schmeckt die Pizza doch gleich doppelt so gut! Vorher fassen wir aber noch einmal kurz zusammen. Wenn wir eine bestimmte Größe, also eine Variable, mit Hilfe einer Formel berechnen möchten, müssen wir diese Formel nach der gesuchten Variablen „auflösen“. Das heißt, wir stellen die Formel so um, dass die gesuchte Variable alleine auf einer Seite steht. Dann müssen wir nur noch die gegebenen Werte einsetzen, und ausrechnen. Alternativ können wir die angegebenen Zahlen auch direkt einsetzen, und die so entstehende Gleichung lösen. So können wir unbekannte Größen im Handumdrehen berechnen. Und uns dann dem Wesentlichen widmen. Guten Appetit!

1 Kommentar

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  1. Sehr gutes video

    Von MNE and CH Bayern München Fan, vor 4 Monaten
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