Formeln umstellen
Formeln spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik, um verschiedene Größen miteinander zu verknüpfen und die gesuchte Größe zu berechnen. Sie bestehen aus Symbolen und Zahlen, wie zum Beispiel die pq-Formel. Durch Äquivalenzumformungen können Formeln so umgestellt werden, dass unterschiedliche Größen isoliert werden können. Interessiert? Erfahrt mehr in dem folgenden Text!
- Formeln umstellen – Erklärung
- Formeln umstellen – Beispiele
- Formel des Satz des Pythagoras umstellen
- Formel für die Oberfläche eines Kegels oder einer Pyramide umstellen
- Formel für das Volumen eines Zylinders umstellen
- Formel für das Volumen einer Kugel umstellen
- Kontext – Physikalische Formeln umstellen
- Formeln umstellen – Übungen
- Häufige Fragen zum Thema Formeln umstellen
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Grundlagen zum Thema Formeln umstellen
Formeln umstellen – Erklärung
Formeln sind ein essenzieller Bestandteil der Mathematik. Sie werden genutzt, um Zusammenhänge verschiedener Größen auszudrücken. So können beispielsweise gesuchte Größe direkt berechnet werden, indem gegebene Werte in die passende Formel eingesetzt werden.
Eine Formeln besteht aus mathematischen Symbolen und Zahlen. Bekannte Formeln sind zum Beispiel die $pq$-Formel, die binomischen Formeln oder Formeln zur Berechnung von Maßeinheiten wie Fläche und Volumen.
Charakteristisch für Formeln ist es, dass sie nach verschiedenen Größe umgestellt werden können. Dies geschieht durch Äquivalenzumformungen.
Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen, die die Lösungsmenge der Gleichung unverändert lassen.
Mithilfe dieser Umformungen können Formeln gleichwertig umgestellt werden.
Die Umformungen werden im Folgenden durch das Äquivalenzzeichen $\Leftrightarrow$ dargestellt.
Entscheidend ist, dass auf beiden Seiten der Formel immer dasselbe gerechnet wird.
Das heißt: Wird auf der einen Seite addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert, so muss die jeweilige Rechenoperation gleichermaßen auf der anderen Seite durchgeführt werden.
Formeln umstellen – Beispiele
Wir wollen nun das Umstellen von Formeln anhand einiger bekannter Beispiele betrachten.
Formel des Satz des Pythagoras umstellen
Für den Satz des Pythagoras ist die Formel $a^2+b^2=c^2$ allgemein geläufig. Diese können wir durch Äquivalenzumformungen beliebig nach $a^2$ oder auch $b^2$ umstellen. Soll die Formel nach $a^2$ umgestellt werden, wird wie folgt vorgegangen:
$\begin{array}{crcll} &a^2+b^2&=&c^2&\vert -b^2\\ \\ \Leftrightarrow&a^2 + b^2 - b^2 &=& c^2 - b^2 \\ \\ \Leftrightarrow&a^2&=&c^2-b^2 \end{array}$
Die Umstellung der Formel nach $b^2$ erfolgt analog: $b^2 = c^2 - a^2$.
Formel für die Oberfläche eines Kegels oder einer Pyramide umstellen
Vor allem in der Geometrie ist das Umstellen von Formeln unerlässlich, um gesuchte Größen in Abhängigkeit von gegebenen Größen zu ermitteln. Die Oberfläche $O$ eines Kegels oder einer Pyramide ist gegeben als Summe der Mantelfläche $M$ und Grundfläche $G$. Diese Formel kann sowohl nach $M$ als auch nach $G$ umgestellt werden:
$\begin{array}{crlll} &O&=& M+G&|-G\\ \\ \Leftrightarrow&O-G&=& M & \end{array} $
Ebenso kann nach $G$ umgestellt werden: $G=O-M$.
Formel für das Volumen eines Zylinders umstellen
Die Formel $V=\pi\cdot r^2\cdot h$ für das Zylindervolumen kann sowohl nach $h$ als auch nach $r$ umgestellt werden:
Formel umstellen nach $h$:
$\begin{array}{crclc} &V& = & \pi\cdot r^2\cdot h&|:\pi~|:r^2\\ \\ \Leftrightarrow&\dfrac{V}{\pi\cdot r^2}& = &\dfrac{\pi\cdot r^2\cdot h}{\pi\cdot r^2}\\ \\ \Leftrightarrow&\dfrac{V}{\pi\cdot r^2}& = &h \end{array} $
Formel umstellen nach $r$:
$\begin{array}{crlll} &V &=& \pi\cdot r^2\cdot h &|:\pi~|:h\\ \\ \Leftrightarrow&\dfrac{V}{\pi\cdot h}&=& \dfrac{\pi\cdot r^2\cdot h}{\pi\cdot h}\\ \\ \Leftrightarrow&\dfrac{V}{\pi\cdot h}&=& r^2 &|\sqrt{~~~}\\ \\ \Leftrightarrow&\sqrt{\dfrac{V}{\pi\cdot h}}&=& r & \end{array} $
Beim Umstellen einer Formel können auch mehrere Äquivalenzumformungen in einem Schritt gemacht werden. Wichtig ist, dass auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens immer die gleiche Rechenoperation durchgeführt wird.
Formel für das Volumen einer Kugel umstellen
Die Formel zur Berechnung des Kugelvolumens lautet: $V=\frac43\cdot \pi\cdot r^3$. Soll die Formel nach $r$ umgestellt werden, wird wie folgt vorgegangen:
$\begin{array}{crlll} &V &=& \dfrac43\cdot \pi\cdot r^3 &|:\dfrac43\\ \\ \Leftrightarrow&\dfrac{3\cdot V}{4} &=& \pi \cdot r^3 &|:\pi \\ \\ \Leftrightarrow&\dfrac{3\cdot V}{4\cdot \pi}&=& r^3 &|\sqrt[3]{~~~}\\ \\ \Leftrightarrow&\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot V}{4\cdot \pi}}&=& r & \end{array} $
Hinweis: Das Teilen durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dessen Kehrwert.
Kontext – Physikalische Formeln umstellen
Nicht nur in der Mathematik ist das Umstellen von Formeln notwendig. Auch in der Physik müssen Formeln umgestellt werden. Die Geschwindigkeit $v$ ist das Verhältnis von Weg $s$ zur dafür benötigten Zeit $t$, also $v=\frac st$. Sind der Weg und die Zeit gegeben, kann die Geschwindigkeit durch Einsetzen der Werte berechnet werden.
Formel umstellen nach $s$:
Wenn die Geschwindigkeit und die Zeit gegeben sind, muss die Formel nach dem Weg umgestellt werden:
$\begin{array}{crlll} &v &=& \dfrac st &|\cdot t\\ \\ \Leftrightarrow & v \cdot t &=& \dfrac st\cdot t & \\ \\ \Leftrightarrow & v \cdot t &=& s & \end{array} $
Der Weg $s$ ist somit das Produkt aus Geschwindigkeit $v$ und Zeit $t$. Sind die Geschwindigkeit und die Zeit gegeben, kann der Weg durch Einsetzen der Werte berechnet werden.
Formel umstellen nach $t$:
Die Formel kann auch nach $t$ umgestellt werden:
$\begin{array}{crlllcl} &v&=& \dfrac st&|\cdot t\\ \\ \Leftrightarrow&v\cdot t&=&\dfrac st\cdot t\\ \\ \Leftrightarrow&v\cdot t&=& s&|:v\\ \\ \Leftrightarrow& \dfrac{v\cdot t}{v}&=& \dfrac sv\\ \\ \Leftrightarrow&t&=& \dfrac sv&\\ \end{array} $
Formeln umstellen – Übungen
Häufige Fragen zum Thema Formeln umstellen
Transkript Formeln umstellen
Formeln beschreiben die Realität, die uns umgibt. Egal, ob du wissen willst, wie schnell der Zug fährt, mit dem du gerade unterwegs bist, oder, wie groß die Pizza ist, die du gleich „weg spachteln“ wirst – Der Schlüssel für die Antworten auf diese Fragen sind Formeln. Damit wir dann auch ganz konkret mit ihnen rechnen können, müssen wir wissen, wie wir „Formeln umstellen“ können. Bevor's losgeht vielleicht ganz kurz die Frage: Was war noch gleich 'ne Formel? Nun, eine Formel ist nichts anderes als eine mathematische Gleichung, die mithilfe von Variablen eine Gesetzmäßigkeit beschreibt. Dabei kann es sich um mathematische, aber zum Beispiel auch um physikalische, chemische oder biologische Gesetzmäßigkeiten handeln. Formeln sind also nicht nur in der Mathematik, sondern auch in den Naturwissenschaften extrem wichtig. Mit einer einfachen Formel, wie zum Beispiel der Formel für die Geschwindigkeit – die da lautet „Geschwindigkeit v“ gleich „Strecke s“ geteilt durch „Zeit t“ – können wir Geschwindigkeiten berechnen, wenn wir die zurückgelegte Strecke und die vergangene Zeit kennen. Aber was ist eigentlich, wenn wir die durchschnittliche Geschwindigkeit kennen, mit der unser Zug gefahren ist, genauso wie die Zeit, die seit der Anfahrt vergangen ist und wir herausfinden wollen welche Strecke der Zug in dieser Zeit zurückgelegt hat? In diesem Fall müssen wir die Formel umstellen. Genauer gesagt: Wir wollen, dass die Variable s alleine auf einer Seite der Gleichung steht, damit wir dann ablesen können, welchen Wert sie annimmt. Das nennen wir auch „die Formel nach s auflösen“. Dann legen wir mal los! Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit t. So erhalten wir diese Gleichung. Auf der rechten Seite können wir t jetzt kürzen. Und schon haben wir die Formel so umgestellt, dass wir s bestimmen können. „S ist gleich v mal t.“ Jetzt müssen wir die gegebenen Werte nur noch einsetzen, dann kürzt sich h raus und wir haben die zurückgelegte Strecke berechnet. Anstatt die Formel erst umzustellen und dann die Werte einzusetzen, hätten wir die Werte natürlich auch direkt einsetzen und die so entstehende Gleichung dann lösen können. Du kannst dir also überlegen, welche Methode dir besser gefällt! Jetzt bist du dran! Angenommen unser Zug ist mit einer konstanten Geschwindigkeit von neunzig km/h unterwegs – wie lange braucht er dann für dreihundert Kilometer? Pausiere das Video doch kurz und rechne selbst. Dann gehen wir die Lösung gemeinsam durch. Diesmal wollen wir unsere Formel also nach T umstellen. Dafür könnte man auf die Idee kommen, durch s zu teilen. Da t allerdings im Nenner und nicht im Zähler steht, hätten wir dadurch nicht viel gewonnen. Stattdessen multiplizieren wir erstmal mit t, um es sozusagen „aus dem Nenner zu befreien“. Jetzt können wir das t prima auf der linken Gleichungsseite „isolieren“. Dafür müssen wir nur noch beide Seiten durch v dividieren. Dann kürzt sich v auf der linken Seite weg. t lässt sich also mit der Formel „t gleich s durch v“ berechnen. Wir setzen die gegebenen Werte ein. Um mit den Einheiten und dem Doppelbruch nicht durcheinander zu kommen, wenden wir einen kleinen Trick an und erweitern den Bruch mit „h“. Dann können wir die Einheiten prima kürzen und erhalten die gesuchte Zeitdauer: drei ein Drittel Stunden, sprich drei Stunden und zwanzig Minuten. Natürlich hättest du auch wieder erst die Werte einsetzen und dann die Gleichung lösen können. Das kommt aufs Selbe hinaus. Na dann können wir uns ja endlich der Pizza widmen! Bevor die verspeist werden kann, wollen wir aber noch eine äußerst dringende Frage klären. Wir wissen zwar, dass der Umfang der Pizza 56,55 Zentimeter beträgt. Aber wie groß ist eigentlich der Radius? Bevor wir das rausgefunden haben, können wir die kreisrunde Pizza einfach nicht genießen! Die Formel für den Umfang eines Kreises lautet „u gleich zweimal pi mal r“. Kannst du die Formel so umstellen, dass wir r bestimmen können? Klick gerne kurz auf Pause und probiere es selbst! Um die Formel nach r aufzulösen, müssen wir dafür sorgen, dass r alleine auf einer Seite steht. Dafür dividieren wir die Gleichung durch die Faktoren zwei und Pi. Wir teilen also durch zwei und durch Pi und erhalten so die Formel „r gleich U durch zwei mal pi.“ Wenn du gesehen hast, dass man direkt durch „zwei Pi“ teilen kann, ist das natürlich auch richtig! Jetzt können wir den gegebenen Wert für den Umfang einsetzen. Am besten geben wir das Ganze in den Taschenrechner ein – wenn wir keinen zur Hand haben können wir aber auch den Näherungswert 3,14 für die Kreiszahl Pi verwenden. und erhalten dann unser Ergebnis. Und wenn wir dann endlich wissen, wie groß der Radius ist, schmeckt die Pizza doch gleich doppelt so gut! Vorher fassen wir aber noch einmal kurz zusammen. Wenn wir eine bestimmte Größe, also eine Variable, mit Hilfe einer Formel berechnen möchten, müssen wir diese Formel nach der gesuchten Variablen „auflösen“. Das heißt, wir stellen die Formel so um, dass die gesuchte Variable alleine auf einer Seite steht. Dann müssen wir nur noch die gegebenen Werte einsetzen, und ausrechnen. Alternativ können wir die angegebenen Zahlen auch direkt einsetzen, und die so entstehende Gleichung lösen. So können wir unbekannte Größen im Handumdrehen berechnen. Und uns dann dem Wesentlichen widmen. Guten Appetit!
Formeln umstellen Übung
-
Gib korrekte Umformungen der Formel nach $s$ und $t$ an.
TippsBeispiel:
$ x + 5 = 10$
Um die $5$ auf die andere Seite zu bekommen, rechnest du $- 5$:
$\begin{array}{ccc} x + 5 - 5 &=& 10 - 5 \\ x &=& 5 \end{array}$
Der Bruchstrich steht für geteilt.
Der Bruch $\frac{1}{2}$ bedeutet das Gleiche wie $1 : 2$.Es gibt zwei richtige Lösungen.
LösungStelle dir vor, du weißt die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke, nicht aber die dafür benötigte Zeit.
Um diese auszurechnen, musst du die Formel für die Geschwindigkeit umstellen.Um die Formel $v=\dfrac{s}{t}$ nach $s$ aufzulösen, musst du $\cdot~t$ rechnen, denn der Bruchstrich steht für geteilt.
Da es eine Gleichung ist, musst du diese Umformung auf beiden Seiten durchführen. Somit steht in der nächsten Zeile:$v \cdot t = \dfrac{s}{\color{#FF8C00}{t}} \cdot \color{#FF8C00}{t}$
Das $t$ kannst du kürzen, somit ist die Umformung nach $s$:
$\color{#99CC00}{s = v \cdot t}$
Wenn du die Formel $v=\dfrac{s}{t}$ nach $t$ auflösen willst, musst du zuerst das $t$ durch $\cdot~ t$ auf die linke Seite bringen (wie bei der Umformung nach $s$).
Dann lautet die Gleichung:$\\$ $v \cdot t = s$
Im zweiten Schritt bringst du das $v$ auf die rechte Seite. Dies gelingt dir durch die Umformung $: v$.
Da auch diese Umformung wieder auf beiden Seiten stattfindet, fällt das $v$ auf der linken Seite heraus. Somit ist die richtige Umformung nach $t$:$\color{#99CC00}{t = \dfrac{s}{v}}$
Folgende Umformungen sind also falsch:
- $t=s - v$
- $s=\dfrac{v}{t}$
-
Vervollständige das Umstellen der Formel nach dem Radius $r$.
TippsVersuche zuerst, die Zahl auf die andere Seite zu bekommen.
Die Gleichung $3 \cdot x = 9$ löst du, indem du $:3$ rechnest.
LösungWenn du die Gleichung $U = 2 \cdot \pi \cdot r$ nach $r$ umformen möchtest, dann versuchst du zuerst, die $2$ auf die linke Seite zu bringen.
Das gelingt dir, indem du $:\color{#99CC00}{2}$ rechnest (Umkehroperation).
Somit kürzt sich die $2$ auf der rechten Seite heraus und auf der linken Seite steht dann noch:
$\dfrac {U}{2} = \pi \cdot \color{#99CC00}{r}$
Nun musst du nur noch $:\color{#99CC00}{\pi}$ rechnen.
Wenn du einen Bruch durch eine Zahl oder Variable teilst, dann darfst du diese im Nenner multiplizieren.
Somit ist die Umformung nach $r$:$\color{#99CC00}{r} \color{black}{~=~} \dfrac {\color{#99CC00}{U}}{2 \cdot \pi}$
-
Berechne den Radius $r$ des Kreises.
TippsStelle zuerst die Gleichung um. Setze dann den Wert ein.
Versuche zuerst, das $\pi$ auf die linke Seite zu bekommen.
LösungUm den Radius $r$ mithilfe des Flächeninhalts zu berechnen, musst du die bekannte Formel für den Flächeninhalt nach der gesuchten Größe umstellen. Dabei gehst du allgemein in folgenden Schritten vor:
- Passende Formel suchen
- Formel nach gesuchter Größe umstellen
- gegebenen Wert einsetzen und gesuchte Größe ausrechnen
Für unsere Aufgabe bedeutet dies:
- gegeben: $A = 200~\text{cm}^2$
- gesucht: $r = ~?$
- Formel Kreisfläche: $~A = \pi \cdot r^2$
Um die Formel $A= \pi \cdot r^{2}$ nach $r$ umzustellen, musst du im ersten Schritt das $\pi$ auf die linke Seite bekommen.
Da $\pi$ mit $r^2$ multipliziert wird, musst du $\vert : \pi$ rechnen (Gegenteilrechnung). Somit steht in der nächsten Zeile:$\dfrac{A}{\pi} = r^{2}$
Danach musst du noch die Wurzel ziehen:
$\vert \sqrt{~}$
Dann steht in der nächsten Zeile:
$\sqrt{\dfrac{A}{\pi}} = r$
Nun musst du nur noch den Wert für die bekannte Größe einsetzen ($A=200 ~\text{cm}^{2}$) und ausrechnen:
$\sqrt{\dfrac{200~\text{cm}^{2}}{\pi}} = r$
Als Ergebnis erhältst du dann $7{,}9788... ~\text{cm}$.
Der Radius $r$ eines Kreises mit dem Flächeninhalt von $A= 200 ~\text{cm}^{2}$ ist somit gerundet $\underline{\underline{r=~ 7{,}98~ \text{cm}}}$.
-
Entscheide, welche Formel umgestellt wurde.
TippsVersuche zuerst, die Zahl auf die andere Seite zu bringen.
Die Gleichung $2 \cdot x = 10$ stellst du nach $x$ um, indem du $:2$ rechnest.
Somit lautet das Ergebnis:
$x = 5$
LösungWir stellen die Formeln jeweils nach $b$ und $c$ um.
Erste Formel:
$\begin{array}{ccll} a &=& 2 \cdot b \cdot c & \vert :2 \\ \\ \dfrac{a}{2} &=& b \cdot c & \vert :c \\ \\ \dfrac{a}{2 \cdot c} &=& b \end{array}$
Die Umstellung nach $c$ verläuft ebenfalls in diesen Schritten. Wir erhalten:
$\quad \color{#00CCBE}{b = \dfrac{a}{2c}} ~$ und $~\color{#00CCBE}{c = \dfrac{a}{2b}}$
Zweite Formel:
$\begin{array}{ccll} a &=& \dfrac {1}{2} \cdot b \cdot c & \vert \cdot 2 \\ \\ 2a&=& b \cdot c & \vert :c \\ \\ \dfrac{2 \cdot a}{c} &=& b \end{array}$
Die Umstellung nach $c$ verläuft ebenfalls in diesen Schritten. Wir erhalten:
$\quad \color{#EFDB43}{b = \dfrac{2 \cdot a}{c}} ~$ und $~\color{#EFDB43}{c = \dfrac{2 \cdot a}{b}}$
Dritte Formel:
$\begin{array}{ccll} 2 \cdot a &=& 2 \cdot b \cdot c & \vert : 2 \\ \\ a &=& b \cdot c & \vert :c \\ \\ \dfrac{a}{c} &=& b \end{array}$
Die Umstellung nach $c$ verläuft ebenfalls in diesen Schritten. Wir erhalten:
$\quad \color{#B989FF}{b = \dfrac{a}{c}}~$ und $~\color{#B989FF}{c = \dfrac {a}{b}}$
-
Beschreibe die dargestellte Situation durch eine Gleichung.
TippsZähle die $x$ und die Gewichte.
Beispiel:
$x + 2 = 5$
LösungUm die Waagen den Gleichungen zuzuordnen, musst du die $x$ und die Gewichte zählen.
Danach kannst du sie noch zusammenfassen, wenn möglich.Bild 1:
Im obigen Bild liegen auf der linken Seite der Waage $x$ und $x$. Diese kannst du zusammenfassen zu $2x$.
Auf der rechten Seite der Waage liegen $6$ Gewichte.Somit lautet die Gleichung:
${2x = 6}$
Bild 2:
Auf der linken Seite der Waage liegen $2x$ und $5$ Gewichte.
Auf der rechten Seite der Waage liegen $7$ Gewichte.Somit lautet die Gleichung:
${2x + 5 = 7}$
BIld 3:
Auf der linken Seite der Waage liegen $3x$ und $2$ Gewichte.
Auf der rechten Seite der Waage liegen $11$ Gewichte.Somit lautet die Gleichung:
${3x + 2 = 11}$
Bild 4:
Auf der linken Seite der Waage liegen $3x$ und $3$ Gewichte.
Auf der rechten Seite der Waage liegen $10$ Gewichte.Somit lautet die Gleichung:
${3x + 3 = 10}$
-
Ermittle die fehlenden Größen der Pizza.
TippsDie Formel für den Umfang eines Kreises lautet:
$u= 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$
Die Formel für die Fläche des Trapezes lautet:
$A = \dfrac{a + c}{2} \cdot h$
Beispiel:
Formel nach $a$ auflösen:
$\begin{array}{cccl} A &=& \dfrac{a + c}{2} \cdot h &\vert :h \\ \\ \dfrac{A}{h} &=& \dfrac{a+c}{2} & \vert \cdot 2 \\ \\ \dfrac{2A}{h} &=& a + c & \vert -c \\ \\ \dfrac{2A}{h} - c &=& a \end{array}$
LösungAufgabe 1:
- gegeben: $u = 44~\text{cm}$
- gesucht: $d$
- Formel Kreisumfang: $u = 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$
$\begin{array}{cccl} u &=& \pi \cdot d & \vert : \pi \\ \\ \dfrac{u}{\pi} &=& d \end{array}$$d = \dfrac{44\text{cm}}{\pi} = \underline{\underline{14~\text{cm}}}$
Aufgabe 2:
- gegeben: $A = 154~\text{cm}^2$ , $a= 13~\text{cm}$ , $h= 15,\!4 \text{cm}$
- gesucht: $c$
- Formel Flächeninhalt Trapez: $A = \dfrac {a+c}{2} \cdot h$
$\begin{array}{cccl} A &=& \dfrac{a + c}{2} \cdot h &\vert :h \\ \\ \dfrac{A}{h} &=& \dfrac{a+c}{2} & \vert \cdot 2 \\ \\ \dfrac{2A}{h} &=& a + c & \vert -a \\ \\ \dfrac{2A}{h} - a &=& c \end{array}$$c = \dfrac{2 \cdot 154~\text{cm}^2}{15,\!4~\text{cm}} - 13~\text{cm} = \underline{\underline{7\text{cm}}}$
Formeln in der Mathematik
Formeln umstellen
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Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen
Gleichungsumformungen mit Potenzen und Wurzeln
Gleichungsumformungen in Exponential- und Logarithmusgleichungen
Weg, Zeit, Geschwindigkeit – gleiche Richtung
Weg, Geschwindigkeit, Zeit – unterschiedliche Richtungen
8.431
sofaheld-Level
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