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Gleichungsumformungen mit Potenzen und Wurzeln

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Team Digital
Gleichungsumformungen mit Potenzen und Wurzeln
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Gleichungsumformungen mit Potenzen und Wurzeln

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Wurzelgleichungen umzuformen.

Zunächst lernst du, welchen Definitionsbereich Wurzelgleichungen haben können und welche Werte Wurzeln annehmen. Anschließend lernst du, wie man Wurzelgleichungen mit Hilfe von Potenzen umformt und löst. Abschließend betrachtest du eine Gegenüberstellung von Wurzeln und Potenzen.

Lerne etwas über den Zusammenhang von Wurzeln und Potenzen beim Umformen von Gleichungen.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Wurzel, Potenz, Wurzelgleichung, Potenzgleichung, Wurzelexponent, Exponent und Definitionsbereich.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man Gleichungen mit Hilfe der Grundrechenarten umformt und wie man Potenzgleichungen lösen kann.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, etwas über Exponential- und Logarithmusgleichungen zu lernen. Außerdem handelt es sich um eine Vorbereitung für die Behandlung von Wurzelfunktionen.

Transkript Gleichungsumformungen mit Potenzen und Wurzeln

Gleichungen kennst du schon! Auch quadratische oder kubische. Sogar mit Bruchgleichungen kannst du was anfangen, aber jetzt bist du auf Gleichungen gestoßen, die auch WURZELN enthalten? Zum Glück bist du jetzt auf DAS ultimative Video zu Gleichungsumformungen mit Potenzen und Wurzeln gestoßen. Dieses Video soll einen Überblick über die Lösungswege zu Gleichungen mit Wurzeln und Potenzen geben. Außerdem wird besprochen, was beim Umformen jeweils beachtet werden muss. Um den Inhalten dieses Videos folgen zu können, solltest Du bereits wissen, wie man Gleichungen mit Hilfe der Grundrechenarten umformen kann, was Potenzen und Wurzeln sind und wie man mit ihnen rechnet. Schauen wir uns zunächst DIESES Beispiel an. Die Zahl a wird hier nicht als Variable angesehen, sondern als PARAMETER. Der gilt als fester Wert in der Gleichung. Weil man aus negativen Zahlen KEINE Wurzeln ziehen kann, muss man bei Wurzelgleichungen IMMER ZUERST den Definitionsbereich angeben. HIER muss x also größer oder gleich Null sein. Weil im Bereich der reellen Zahlen Wurzeln stets als NICHTNEGATIVE Zahlen definiert sind, muss auch der Parameter a größer gleich Null sein. Dann können wir durch Quadrieren zur Lösung kommen. Die Lösung lautet a Quadrat. Wäre a bspw. gleich 3, dann hätten wir hier die Lösung 9. 9 ist auch in der Definitionsmenge von x enthalten. Wäre a aber gleich 'minus 3', dann gäbe es KEINE Lösung, denn wir hatten uns ja schon überlegt, dass a GRÖßER gleich Null sein muss. Man sagt dann auch, dass die Lösungsmenge leer ist. Schwieriger wird das Ganze, wenn Potenzen und Wurzelexponenten auftauchen. Hier gibt es eine vierte Wurzel und eine dritte Potenz. Auch für die vierte Wurzel gilt: Ihre Ergebnisse sind stets NICHTNEGATIV. Auf der RECHTEN Seite darf also keine negative Zahl herauskommen. Da negative Zahlen hoch 3 aber AUCH wieder negativ sind, müssen wir darauf achten, dass die Klammer insgesamt größer gleich Null ist. Damit gilt für a, dass es größer gleich 1 sein muss. Aber auch für x müssen wir den Definitionsbereich angeben: UNTER der Wurzel darf KEINE negative Zahl stehen. x muss also größer gleich 2 sein. Welche Potenz man zum Auflösen der Wurzel verwenden kann, erkennt man am Wurzelexponenten. Hier können wir die Lösung x ermitteln, indem wir beide Seiten hoch 4 rechnen und 2 addieren. Das ist die Lösung, die auch hier wieder in Abhängigkeit vom Parameter a angegeben wird. Diese Lösung gilt aber nur für ein a größer gleich 1. Das haben wir für die ursprüngliche Gleichung ermittelt und das gilt noch immer. Deshalb gibt es KEINE Lösung, wenn a kleiner als 1 ist. GERADZAHLIGE Potenzen beliebiger reeller Zahlen sind NIEMALS negativ. Weil aber DIESER Teil eine geradzahlige Potenz aufweist, wird er NIE kleiner als Null, egal was für a eingesetzt wird. Daher kann die Lösung insgesamt nicht kleiner werden als 2. Sie ist damit auf jeden Fall im Definitionsbereich enthalten. Fassen wir das noch einmal zusammen: Wurzeln kannst du durch ihre entsprechenden Potenzen auflösen, genau wie du Potenzen mit ihren entsprechenden Wurzeln auflösen kannst. In BEIDEN Fällen musst du auf die spezifischen Einschränkungen achten, vor allem, wenn du mit Parametern rechnest. Steht auf der EINEN Seite einer Gleichung eine Wurzel, kann auf der ANDEREN Seite nichts Negatives auftauchen. Das gilt auch, wenn HIER eine GERADZAHLIGE Potenz steht. Daher hat DIESE Gleichung, wo links nichts negatives und rechts nichts positives stehen darf, nur für EIN a eine Lösung, nämlich für a gleich 0. Von diesen Überlegungen ist der DEFINITIONSBEREICH der Wurzel zu unterscheiden. x muss so gewählt werden, dass der Wert UNTER der Wurzel größer gleich 0 ist. Sehr gut! Das war es für den Moment!

Gleichungsumformungen mit Potenzen und Wurzeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungsumformungen mit Potenzen und Wurzeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Eigenschaften der Gleichung $\sqrt{x}=a$ an.

    Tipps

    Der Ausdruck unter einer Wurzel muss $0$ oder größer sein. Für negative Zahlen ist die Wurzel nicht definiert.

    Die Umkehroperation zum Quadratwurzelziehen ist das Quadrieren.

    Lösung

    Der Ausdruck unter einer Wurzel muss $0$ oder größer sein. Für negative Zahlen ist die Wurzel nicht definiert. Der Definitionsbereich wird hier also durch die Wurzel eingeschränkt und ist wie folgt definiert:

    $D=\lbrace x\in\mathbb{R}\vert x\geq 0\rbrace$

    Im Bereich der reellen Zahlen sind Wurzeln stets als nicht negative Zahlen definiert. Es gilt also:

    $\sqrt{x}\in\mathbb{R}^+_0$

    Für den Parameter $a$ folgt damit:

    $a\geq 0$

    Wenn wir in einer Gleichung eine Wurzel aufheben möchten, müssen wir die jeweilige Umkehroperation nutzen. Diese ist das Quadrieren. Die Gleichung sieht dann wie folgt aus:

    $\begin{array}{llll} \sqrt{x} &=& a & \vert (~~)^2 \\ x &=& a^2 & \end{array}$

    Für $a=3$ ist die Lösung:

    $~x=3^2=9$

  • Bestimme die Eigenschaften der Gleichung $\sqrt[4]{x-2}=(a-1)^3$.

    Tipps

    Für die Bestimmung des Definitionsbereiches musst du die Gleichung $x-2 \geq 0$ lösen.

    Es gilt $(a-1)^3 \geq 0$. Was folgt daraus für $a$?

    Lösung

    Der Ausdruck unter einer Wurzel muss $0$ oder größer sein. Für negative Zahlen ist die Wurzel nicht definiert. Der Definitionsbereich wird hier also durch die Wurzel eingeschränkt. Es muss Folgendes gelten:

    $\begin{array}{llll} x-2 &\geq& 0 & \vert +2 \\ x &\geq& 2 & \end{array}$

    Der Definitionsbereich lautet also:

    $D=\lbrace x\in\mathbb{R}\vert x\geq 2\rbrace$

    Im Bereich der reellen Zahlen sind Wurzeln stets als nicht negative Zahlen definiert. Es gilt also:

    $\sqrt{x}\in\mathbb{R}^+_0$

    Damit ergibt sich für den Parameter $a$:

    $\begin{array}{llll} (a-1)^3 &\geq& 0 & \vert \sqrt[3]{~~} \\ a-1 &\geq& 0 & \vert +1 \\ a &\geq& 1 & \end{array}$

    Die Gleichung stellen wir wie folgt nach $x$ um:

    $\begin{array}{llll} \sqrt[4]{x-2} &=& (a-1)^3 & \vert (~~)^4 \\ x-2 &=& (a-1)^{12} & \vert +2 \\ x &=& (a-1)^{12}+2 & \end{array}$

  • Erschließe die jeweilige Definitionsmenge und die Bedingung für den Parameter $a$.

    Tipps

    Der Definitionsbereich wird bei jeder Funktion durch die Wurzel eingeschränkt. Der Ausdruck unter einer Wurzel darf nicht negativ sein.

    Der Parameter $a$ muss so definiert sein, dass die Wurzel keinen negativen Wert liefert.

    Lösung

    In jedem Beispiel wird der Definitionsbereich durch die Wurzel eingeschränkt. Der Ausdruck unter einer Wurzel darf $0$ oder größer sein. Für negative Zahlen ist die Wurzel nicht definiert.

    Die Bedingungen für den Parameter $a$ ergeben sich daraus, dass im Bereich der reellen Zahlen Wurzeln stets als nicht negative Zahlen definiert sind.

    Demnach erhalten wir die folgenden Bedingungen:

    Beispiel 1: $~\sqrt{x-1}=a-2$

    Für den Definitionsbereich lösen wir folgende Gleichung:

    $\begin{array}{llll} x-1 &\geq & 0 & \vert +1 \\ x &\geq & 1 & \end{array}$

    Daraus folgt: $~D=\lbrace x\in\mathbb{R} \vert x\geq 1 \rbrace$

    Die Bedingung für $a$ erhalten wir aus folgender Gleichung:

    $\begin{array}{llll} a-2 &\geq & 0 & \vert +2 \\ a &\geq & 2 & \end{array}$

    Beispiel 2: $~\sqrt[6]{x+1}=a+2$

    Für den Definitionsbereich lösen wir folgende Gleichung:

    $\begin{array}{llll} x+1 &\geq & 0 & \vert -1 \\ x &\geq & -1 & \end{array}$

    Daraus folgt: $~D=\lbrace x\in\mathbb{R} \vert x\geq -1 \rbrace$

    Die Bedingung für $a$ erhalten wir aus folgender Gleichung:

    $\begin{array}{llll} a+2 &\geq & 0 & \vert -2 \\ a &\geq & -2 & \end{array}$

    Beispiel 3: $~\sqrt[4]{x+2}=a+1$

    Für den Definitionsbereich lösen wir folgende Gleichung:

    $\begin{array}{llll} x+2 &\geq & 0 & \vert -2 \\ x &\geq & -2 & \end{array}$

    Daraus folgt: $~D=\lbrace x\in\mathbb{R} \vert x\geq -2 \rbrace$

    Die Bedingung für $a$ erhalten wir aus folgender Gleichung:

    $\begin{array}{llll} a+1 &\geq & 0 & \vert -1 \\ a &\geq & -1 & \end{array}$

  • Erschließe den maximalen Definitionsbereich der Gleichung.

    Tipps

    Der Ausdruck unter der Quadratwurzel darf nicht negativ sein.

    Die Ungleichung $2x^2-18 \geq 0$ muss erfüllt sein. Diese kannst du nach $x^2$ umstellen und überlegen, für welche Zahlen die resultierende Ungleichung erfüllt ist.

    Lösung

    Der Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Es gilt also:

    $\begin{array}{llll} 2x^2-18 &\geq & 0 & \vert +18 \\ 2x^2 &\geq& 18 & \vert :2 \\ x^2 &\geq& 9 & \\ \end{array}$

    Für $x\geq 3$ und $x\leq -3$ ist diese Bedingung erfüllt. Demnach entsprechen diese Bereiche dem maximalen Definitionsbereich der Gleichung.

  • Gib an, wie du Gleichungen mit Potenzen und Wurzeln umformst und ihre Eigenschaften bestimmst.

    Tipps

    Möchtest du die Gleichung $\sqrt{x}=a$ nach $x$ auflösen, musst du die gesamte Gleichung quadrieren.

    Die Wurzel ist für $\mathbb{R}^+_0$ definiert.

    Lösung

    Wurzeln in Gleichungen kannst du durch ihre entsprechenden Potenzen auflösen. Ebenso kannst du Potenzen mit ihren entsprechenden Wurzeln auflösen.

    In beiden Fällen musst du auf die spezifischen Einschränkungen achten:

    • Steht auf der einen Seite einer Gleichung eine Wurzel, darf auf der anderen Seite nichts Negatives auftauchen.
    • Der Ausdruck unter einer Wurzel darf nicht negativ sein, er muss also $0$ oder größer sein.
  • Ermittle den Definitionsbereich und die Bedingung für $a$.

    Tipps

    Der gesamte Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ sein.

    Im Bereich der reellen Zahlen sind Wurzeln stets als nicht negative Zahlen definiert.

    Lösung

    Der gesamte Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Demnach erhalten wir den Definitionsbereich, indem wir folgende Ungleichung lösen:

    $\begin{array}{llll} 2x+6 &\geq & 0 & \vert -6 \\ 2x &\geq & -6 & \vert :2 \\ x &\geq & -3 & \end{array}$

    Der Definitionsbereich lautet: $~D=\lbrace x\in\mathbb{R}\vert x\geq -3 \rbrace$

    Die Wurzel darf im Bereich der reellen Zahlen nur Werte größer gleich Null ergeben. Daraus folgt:

    $\begin{array}{llll} 3a-9 &\geq & 0 & \vert +9 \\ 3a &\geq & 9 & \vert :3 \\ a &\geq & 3 & \end{array}$

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