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Gleichungsumformungen in Exponential- und Logarithmusgleichungen

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Team Digital
Gleichungsumformungen in Exponential- und Logarithmusgleichungen
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Beschreibung Gleichungsumformungen in Exponential- und Logarithmusgleichungen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Lösungen von Exponential- und Logarithmusgleichungen zu finden.

Zunächst lernst du, was eine Exponentialgleichung ist und wie du diese lösen kannst. Anschließend siehst du, wie dir Potenzgesetze dabei helfen können, Exponentialgleichungen zu vereinfachen. Abschließend lernst du, wie du Logarithmusgleichungen lösen kannst.

Lerne etwas über Gleichungsumformungen in Exponential- und Logarithmusgleichungen.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Potenzen, Exponenten, Logarithmen, Exponentialgleichungen, Lograithmusgleichungen und Gleichungsumformungen.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was Potenzen, Exponenten und Logarithmen sind.

Transkript Gleichungsumformungen in Exponential- und Logarithmusgleichungen

Immer wieder Gleichungen! Und dann auch noch welche, bei denen die Variable im Exponenten oder im Logarithmus vorkommt? Zum Glück bist du jetzt auf DAS ultimative Video zu Gleichungsumformungen in Exponential- und Logarithmusgleichungen gestoßen. Um den Inhalten dieses Videos folgen zu können, solltest Du bereits wissen, wie man Gleichungen mit Hilfe der Grundrechenarten umformen kann, was Potenzen, Exponenten und Logarithmen sind und wie man mit ihnen rechnet. Schauen wir uns zunächst die Exponentialgleichungen an. In diesen Gleichungen taucht die Variable im EXPONENTEN auf. Nun gibt es aber für solche Fälle keine x-te Wurzel oder so etwas. Nein, die Umkehroperation solcher Gleichungen ist der LOGARITHMUS zur entsprechenden BASIS. Hier also zur Basis 2. Das, was auf der RECHTEN Seite steht, ist bloß eine ZAHL, auch wenn es im ersten Moment nicht so aussieht. Den Logarithmus kannst du mit dem Taschenrechner ausrechnen. In diesem speziellen Fall kann man die Lösung aber auch ohne Taschenrechner ermitteln. Das ist aber eher die Ausnahme. Rechnen wir mal: 2 hoch was ergibt 8? Die Lösung ist 3. Denn '2 hoch 3' ist '2 mal 2 mal 2'. Und das ist 8. Das Ganze geht natürlich auch in kompliziert und mit Parameter. Das e ist die Eulersche Zahl, die häufig in Exponentialgleichungen auftaucht. Und auch, wenn sie irrational ist, hat sie doch einen ganz konkreten Zahlenwert und wir können ganz normal mit ihr rechnen. Exponentialausdrücke haben normalerweise keine Einschränkungen im Definitionsbereich. Für x können wir also beliebige reelle Zahlen einsetzen. Sie ergeben aber IMMER positive Ausdrücke. Auf der rechten Seite muss also ein Wert größer Null auftauchen. a muss hier also größer als Null sein. DIESE Summe im Exponenten sieht erst einmal schwierig aus. So etwas kann man aber oft mit Hilfe von Potenzgesetzen, wie DIESEM, vereinfachen. Hier kann man den Ausdruck in e Quadrat mal e hoch x umformen. e Quadrat ist einfach eine Zahl... durch die wir teilen können. Die verbleibende Gleichung können wir nach x auflösen, indem wir den Logarithmus zur Basis e anwenden. Den schreibt man auch SO und so findest du ihn auch auf Taschenrechnern. Das Ergebnis sieht schrecklich aus, ist aber letztlich einfach nur eine Zahl, je nachdem, welcher Wert für a gegeben ist. Aber hier gilt: Diese Lösung existiert nur für a größer Null. Zum Schluss noch ein kurzer Blick auf die Logarithmusgleichungen. In denen taucht die Variable im LOGARITHMUS auf. In den Logarithmus darf man aber NICHT BELIEBIGE Zahlen einsetzen, denn für Zahlen kleiner gleich Null ist er NICHT definiert. x muss also größer Null sein. Dafür kann beim Logarithmieren JEDE reelle Zahl herauskommen. Den Parameter a müssen wir also NICHT einschränken. Die BASIS des Logarithmus ist hier 2. Also setzen wir zum Umformen beide Seiten jeweils in den Exponenten von 2. So lösen wir den Logarithmus auf. Dann müssen wir nur noch die fünfte Wurzel ziehen und erhalten die Lösung. Weil 2 hoch a IMMER positiv ist, erhalten wir für JEDES a positive Lösungen. Die Lösungen sind also in jedem Fall im Definitionsbereich enthalten. Fassen wir das nochmal zusammen: Um einen Exponentialausdruck aufzulösen, musst du den Logarithmus zur SELBEN Basis anwenden. Um einen Logarithmus aufzulösen, setzt man beide Seiten in den Exponenten derjenigen Zahl, die der Logarithmusbasis entspricht. Während der Definitionsbereich von Exponentialausdrücken normalerweise KEINE Beschränkungen aufweist, können NUR POSITIVE Zahlen logarithmiert werden. Während aber beim Logarithmieren BELIEBIGE REELLE Zahlen herauskommen können, ergibt ein Exponentialausdruck STETS POSITIVE Zahlen. Manchmal kannst du Potenz- oder Logarithmengesetze anwenden, um die Ausdrücke zu vereinfachen. Puuuh! Das wars fürs Erste… fürs Erste!

1 Kommentar

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    Von Hubert, vor 7 Tagen

Gleichungsumformungen in Exponential- und Logarithmusgleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungsumformungen in Exponential- und Logarithmusgleichungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Eigenschaften von Exponentialausdrücken und dem Logarithmus an.

    Tipps

    Kann die mehrfache Multiplikation der Zahl $2$ mit sich selbst ein negatives Produkt liefern?

    Lösung

    Exponentialausdruck: $~2^x=a$

    Um einen Exponentialausdruck aufzulösen, musst du den Logarithmus zur selben Basis anwenden. Der Definitionsbereich von Exponentialausdrücken weist keine Beschränkungen auf, es gibt hier also $x\in\mathbb{R}$. Ein Exponentialausdruck ergibt immer positive Zahlen, es gilt daher $a\in\mathbb{R}^+$.

    Logarithmus: $~\log_2(x)=a$

    Um einen Logarithmus aufzulösen, setzt man beide Seiten in den Exponenten derjenigen Zahl, die der Logarithmusbasis entspricht. Es können nur positive Zahlen logarithmiert werden, es gilt also $x\in\mathbb{R}^+$. Beim Logarithmieren können beliebige reelle Zahlen herauskommen, es gilt $a\in\mathbb{R}$.

  • Bestimme die Lösungen der Gleichungen.

    Tipps

    Nutze folgendes Potenzgesetz:

    $a^{x+y}=a^x \cdot a^y$

    Die Eulersche Zahl $e$, die häufig in Exponentialgleichungen auftaucht, ist eine irrationale Zahl. Sie hat also einen konkreten Zahlenwert, mit dem wir ganz normal rechnen können.

    Lösung

    Beispiel 1: $~e^{2+x}=a^3$

    Die Eulersche Zahl $e$, die häufig in Exponentialgleichungen auftaucht, ist eine irrationale Zahl. Sie hat also einen konkreten Zahlenwert und wir können ganz normal mit ihr rechnen.

    Exponentialausdrücke haben keine Einschränkungen im Definitionsbereich, sodass wir für $x$ jede beliebige reelle Zahl einsetzen können. Es gilt daher:

    $x\in\mathbb{R}$

    Sie ergeben aber immer nur positive Ausdrücke. Für den Parameter $a$ gilt daher:

    $a\in\mathbb{R}^+$

    Die Summe im Exponenten können wir mithilfe des folgenden Potenzgesetzes vereinfachen:

    $a^{x+y}=a^x \cdot a^y$

    Damit folgt:

    $\begin{array}{llll} e^2\cdot e^x &=& a^3 & \vert :e^2 \\ \\ e^x &=& \frac{a^3}{e^2} & \end{array}$

    Die verbleibende Gleichung können wir nach $x$ auflösen, indem wir den Logarithmus zur Basis $e$ anwenden. Den schreibt man als $\ln$.

    $\begin{array}{llll} \ln{(e^x)} &=& \ln{\left(\frac{a^3}{e^2}\right)} & \\ \\ x &=& \ln{\left(\frac{a^3}{e^2}\right)} & \end{array}$

    Das Ergebnis sieht recht kompliziert aus, ist aber einfach nur eine Zahl, die von dem Wert $a>0$ abhängt.

    Beispiel 2: $~\log_2(x^5)=a$

    In diesem Beispiel taucht die Variable im Logarithmus auf. Der Logarithmus ist für Zahlen größer Null definiert. $x$ muss also größer Null sein:

    $x\in$ {$\mathbb{R}^+$}

    Beim Logarithmieren kann jede reelle Zahl herauskommen. Den Parameter $a$ müssen wir also nicht einschränken. Es gilt:

    $a\in$ {$\mathbb{R}$}

    Die Basis des Logarithmus ist hier $2$. Also setzen wir zum Umformen beide Seiten jeweils in den Exponenten von $2$. So lösen wir den Logarithmus auf. Dann müssen wir nur noch die fünfte Wurzel ziehen und erhalten folgende Lösung:

    $\begin{array}{llll} 2^{\log_2(x^5)} &=& 2^a & \\ \\ x^5 &=& 2^a & \vert \sqrt[5]{~~} \\ \\ x &=& \sqrt[5]{2^a} & \end{array}$

    Weil $2^a$ immer positiv ist, erhalten wir für jedes $a$ positive Lösungen. Die Lösungen sind also in jedem Fall im Definitionsbereich enthalten.

  • Erschließe die jeweilige Umkehroperation.

    Tipps

    Die Umkehroperation einer Exponentialgleichung ist der Logarithmus zur entsprechenden Basis.

    Ist $a$ die Basis eines Logarithmus, so ist die Umkehroperation $a^{(~~)}$.

    Lösung

    Um einen Exponentialausdruck aufzulösen, muss man den Logarithmus zur selben Basis anwenden. Um einen Logarithmus aufzulösen, setzt man beide Seiten in den Exponenten derjenigen Zahl, die der Logarithmusbasis entspricht.

    Damit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

    $\begin{array}{r|r} \text{Gleichung} & \text{Umkehroperation} \\ \hline \\ e^x=1 & \ln{(~~)} \\ \\ \ln{(x)}=1 & e^{(~~)} \\ \\ \log_{10}{(x)}=1& 10^{(~~)} \\ \\ 10^x=1 & \log_{10}{(~~)} \end{array}$

  • Ermittle die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Es gilt:

    $3e^{x+1}-2e^{x+1}=e^{x+1}$

    Hier sind zwei besondere Punkte für den Logarithmus zur Basis $e$:

    $\ln{(1)}=0$

    $\ln{(e)}=1$

    Lösung

    Wir betrachten die Gleichung: $~5e^{2x+1}+3 = 4e^{2x+1}+4$.

    Zunächst bringen wir gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung:

    $\begin{array}{llll} 5e^{2x+1}+3 &=& 4e^{2x+1}+4 & \vert -4e^{2x+1} \\ \\ e^{2x+1}+3 &=& 4 & \vert -3 \\ \\ e^{2x+1} &=& 1 &  \end{array}$

    Jetzt können wir mittels der Umkehroperation $\ln{(~~)}$ die Gleichung weiter vereinfachen:

    $\begin{array}{llll} e^{2x+1} &=& 1 & \vert \ln{(~~)} \\ \\ 2x+1 &=& \ln{(1)} & \\ \\ 2x+1 &=& 0 & \end{array}$

    Nun haben wir nur noch eine lineare Gleichung, die wir einfach nach $x$ umstellen können:

    $\begin{array}{llll} 2x+1 &=& 0 & \vert -1 \\ \\ 2x &=& -1 & \vert :2 \\ \\ x &=& -\dfrac 12 & \end{array}$

  • Bestimme die Lösung der Gleichung $2^x=8$.

    Tipps

    In Exponentialgleichungen taucht die Variable im Exponenten auf. Die Umkehroperation solcher Gleichungen ist der Logarithmus zur entsprechenden Basis.

    Es gilt:

    $2^n=\underbrace{2\cdot 2\cdot ... \cdot 2}_{n\text{-mal}}$

    Wie oft multiplizierst du den Faktor $2$, um das Produkt $8$ zu erhalten?

    Lösung

    In einer Exponentialgleichung taucht die Variable im Exponenten auf. In unserem Beispiel haben wir die Basis $2$ und den Exponenten $x$:

    $\qquad 2^x=8$

    Die Umkehroperation solcher Gleichungen ist der Logarithmus zur entsprechenden Basis. Hier also zur Basis $2$.

    $\qquad \log_2{2^x}=\log_2{8}$

    Wir können nun den Exponentialausdruck mit Hilfe des Logarithmus auflösen und erhalten:

    $\qquad x=\log_2{8}$

    Auf der rechten Seite steht bloß eine Zahl. Den Logarithmus kannst du mit dem Taschenrechner ausrechnen.

    In diesem Fall kann man die Lösung aber auch ohne Taschenrechner ermitteln. Wir überlegen hierzu: $2$ hoch was ergibt $8$?

    Die Lösung ist $3$, denn es gilt:

    $\qquad 2^3=2\cdot 2\cdot 2 = 8$

    Das Ergebnis beträgt:

    $\qquad x=3$

  • Erschließe die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Bringe zuerst gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung.

    Wenn alle gleichartigen Terme zusammengefasst wurden, solltest du die Gleichung durch den Vorfaktor von $\ln{(2x+2)}$ teilen.

    Lösung

    Wir lösen im Folgenden die Gleichung: $~6\ln{(2x+3)}-2=2\ln{(2x+3)}+2$.

    Wir bringen zunächst gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung und fassen sie zusammen:

    $\begin{array}{llll} 6\ln{(2x+3)}-2 &=& 2\ln{(2x+3)}+2 & \vert +2 \\ \\ 6\ln{(2x+3)} &=& 2\ln{(2x+3)}+4 & \vert -2\ln{(2x+3)} \\ \\ 4\ln{(2x+3)} &=& 4 & \end{array}$

    Nun teilen wir die Gleichung durch $4$ und wenden dann die Umkehroperation $e^{(~~)}$ an. Dann stellen wir noch nach $x$ um:

    $\begin{array}{llll} \ln{(2x+3)} &=& 1 & \vert e^{(~~)} \\ \\ 2x+3 &=& e^1 & \vert -3 \\ \\ 2x &=& e-3 & \vert :2 \\ \\ x &=& \dfrac{e-3}{2} & \end{array}$

    Der Taschenrechner liefert uns eine Zahl, die auf die zweite Nachkommastelle gerundet $-0,14$ ergibt.

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