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Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen

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Team Digital
Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, quadratische Gleichungen, Potenzgleichungen und Bruchgleichungen umzuformen.

Zunächst lernst du, wie man quadratische Gleichungen auf Normalform bringt und mit Hilfe der pq-Formel löst. Anschließend wendest du die Polynomdivision an, um Potenzen mit höherem Exponenten als 2 auf quadratische Gleichungen zurückzuführen. Abschließend lernst du, wie man Bruchgleichungen durch Angabe des Definitionsbereiches und Bildung des Hauptnenners löst.

Lerne etwas über Gleichungen, deren Unbekannte in Potenzen oder im nenner von Brüchen auftreten.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie quadratische Gleichung, Normalform, pq-Formel, Potenz, Potenzgleichung, Polynomdivision, Bruch, Bruchgleichung, Hauptnenner und Definitionsbereich.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man Gleichungen mit Hilfe der Grundrechenarten umformt, was Potenzen und Brüche sind und wie man mit ihnen rechnet.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, etwas über das Umformen von Wurzelgleichungen, Exponentialgleichungen und Logarithmusgleichungen zu erfahren.

Transkript Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen

Ach Gleichungen! Die kommen ständig in der Mathematik. Und es wird immer komplizierter. Kaum hat man sich an eine Sorte gewöhnt, kommt die nächste. Und da tragen die Variablen plötzlich Exponenten oder tauchen im Nenner von Brüchen auf. Zum Glück bist du jetzt auf DAS ultimative Video zu Gleichungsumformungen in Potenzgleichungen und Bruchgleichungen gestoßen. Dieses Video soll einen Überblick über die Lösungswege zu Potenz- und Bruchgleichungen geben. Außerdem wird besprochen, was beim Umformen jeweils beachtet werden muss. Um den Inhalten dieses Videos folgen zu können, solltest Du bereits wissen, wie man Gleichungen mit Hilfe der Grundrechenarten umformen kann, was Potenzen, Brüche und Bruchgleichungen sind und wie man mit Potenzen und Brüchen rechnet. Beginnen wir mit dem Lösen von Potenzgleichungen. In Potenzgleichungen besitzt die Variable stets GANZzahlige Exponenten. Betrachten wir zunächst den Fall, dass der höchste Exponent 2 ist. Das sind dann quadratische Gleichungen. Schauen wir uns DIESES Beispiel an: Holen wir zunächst alle Glieder auf EINE Seite der Gleichung... und teilen wir nun durch den Vorfaktor des quadratischen Glieds, dann erhalten wir die NORMALFORM der quadratischen Gleichung. Auf quadratische Gleichungen in Normalform kannst du IMMER die pq-Formel anwenden. In unserem Beispiel ist p gleich 'minus 1' und q gleich 'minus 2'. Eingesetzt in die pq-Formel und ausgerechnet, ergibt das die beiden Lösungen 2 und 'minus 1'. Potenzgleichungen mit HÖHEREN Exponenten können gelöst werden, wenn einzelne Lösungen bekannt sind: Schauen wir uns dazu DIESES Beispiel einer kubischen Gleichung an. Kubisch bedeutet, dass der größte Exponent 3 ist. Durch Probieren erhalten wir schnell die erste Lösung, nämlich 1. Nun bringen wir die Gleichung in Normalform. DIESER kubische Term kann durch eine Polynomdivision auf einen quadratischen Term zurückgeführt werden. Dann taucht HIER die erste Lösung der kubischen Gleichung auf. Wir teilen 'x hoch 3' durch x und bekommen 'x Quadrat'. Indem wir DAS wieder mit 'x minus 1' multiplizieren, erhalten wir HIER 'x hoch 3 minus x Quadrat'. DIESE Glieder heben sich gegenseitig genau auf. minus 4 x' geteilt durch x ergibt 'minus 4'. Mit 'x minus 1' multipliziert bekommen wir 'minus 4 x plus 4', der Rest ist 0. Der resultierende Term ist QUADRATISCH. Hier muss man die pq-Formel NICHT anwenden, denn es geht auch einfacher. Die beiden anderen Lösungen sind also 2 und 'minus 2'. Bruchgleichungen sind wieder etwas anders zu behandeln. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Variable im NENNER eines Bruches vorkommt. In Bruchgleichungen muss daher immer gesondert überprüft werden, ob der Nenner Null werden kann. In diesem Fall ließe sich der Bruch nämlich nicht ausrechnen, die Gleichung besitzt an diesen Stellen daher Definitionslücken. Aber schauen wir uns das direkt am Beispiel an: Hier kommt die Variable x ZWEImal im Nenner vor. Wann können diese Nenner Null werden? Offenbar bei 'x gleich minus 2' und bei 'x gleich minus 1'. Diese Zahlen können also schon von vornherein keine Lösungen der Gleichung sein. Nun kann man den DEFINITIONSBEREICH der Gleichung angeben. Dieser umfasst HIER alle reellen Zahlen außer 'minus 1' und 'minus 2'. Um jetzt die Lösungen der Gleichung zu ermitteln, müssen wir zunächst den HAUPTNENNER bilden. Dazu multiplizieren wir HIER mit 'x plus 1 durch x plus 1' und HIER mit 'x plus 2 durch x plus 2'. Weil BEIDE Brüche nun den GLEICHEN Nenner haben, können wir sie als einen Bruch schreiben. Damit können wir den Nenner durch Multiplikation auf die andere Seite holen. Das können wir noch ausmultiplizieren und vereinfachen: Kubische Glieder gibt es nur eines. Die quadratischen ergeben 'minus x Quadrat'. Die linearen 'minus 4 x'. Und das Absolutglied ist 4. Die resultierende kubische Gleichung kennen wir bereits. Es ist die Gleichung aus dem vorhergehenden Beispiel. Dort hatten wir die 3 Lösungen 1, 2 und 'minus 2' ermittelt. Für die Bruchgleichung handelt es sich aber nur um POTENTIELLE Lösungen. Wir müssen sie nämlich noch mit dem eingangs ermittelten Definitionsbereich abgleichen. In diesem sind aber nur die 1 und die 2 enthalten, die 'minus 2' NICHT! Daher sind die einzigen Lösungen dieser Bruchgleichung die 1 und die 2. Zusammengefasst heißt das: Quadratische Gleichungen kannst du IMMER in Normalform überführen und mit der pq-Formel... lösen. Bei manchen geht es aber auch leichter. Potenzgleichungen mit HÖHEREM Exponenten kannst du mittels Polynomdivision in quadratische Gleichungen überführen. Jedenfalls, wenn du EINZELNE Nullstellen durch Probieren herausfinden kannst. Bruchgleichungen kannst du in Potenzgleichungen überführen, wobei du dazu manchmal noch den Hauptnenner bilden musst. Die ermittelten Lösungen musst Du dann aber noch mit dem Definitionsbereich der Gleichung abklären. So kommst du von Bruchgleichungen über Potenzgleichungen auf quadratische Gleichungen und von denen auf die Lösung. So! Und das wars fürs Erste!

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