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Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen

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Team Digital
Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, quadratische Gleichungen, Potenzgleichungen und Bruchgleichungen umzuformen.

Zunächst lernst du, wie man quadratische Gleichungen auf Normalform bringt und mit Hilfe der pq-Formel löst. Anschließend wendest du die Polynomdivision an, um Potenzen mit höherem Exponenten als 2 auf quadratische Gleichungen zurückzuführen. Abschließend lernst du, wie man Bruchgleichungen durch Angabe des Definitionsbereiches und Bildung des Hauptnenners löst.

Lerne etwas über Gleichungen, deren Unbekannte in Potenzen oder im nenner von Brüchen auftreten.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie quadratische Gleichung, Normalform, pq-Formel, Potenz, Potenzgleichung, Polynomdivision, Bruch, Bruchgleichung, Hauptnenner und Definitionsbereich.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man Gleichungen mit Hilfe der Grundrechenarten umformt, was Potenzen und Brüche sind und wie man mit ihnen rechnet.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, etwas über das Umformen von Wurzelgleichungen, Exponentialgleichungen und Logarithmusgleichungen zu erfahren.

Transkript Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen

Ach Gleichungen! Die kommen ständig in der Mathematik. Und es wird immer komplizierter. Kaum hat man sich an eine Sorte gewöhnt, kommt die nächste. Und da tragen die Variablen plötzlich Exponenten oder tauchen im Nenner von Brüchen auf. Zum Glück bist du jetzt auf DAS ultimative Video zu Gleichungsumformungen in Potenzgleichungen und Bruchgleichungen gestoßen. Dieses Video soll einen Überblick über die Lösungswege zu Potenz- und Bruchgleichungen geben. Außerdem wird besprochen, was beim Umformen jeweils beachtet werden muss. Um den Inhalten dieses Videos folgen zu können, solltest Du bereits wissen, wie man Gleichungen mit Hilfe der Grundrechenarten umformen kann, was Potenzen, Brüche und Bruchgleichungen sind und wie man mit Potenzen und Brüchen rechnet. Beginnen wir mit dem Lösen von Potenzgleichungen. In Potenzgleichungen besitzt die Variable stets GANZzahlige Exponenten. Betrachten wir zunächst den Fall, dass der höchste Exponent 2 ist. Das sind dann quadratische Gleichungen. Schauen wir uns DIESES Beispiel an: Holen wir zunächst alle Glieder auf EINE Seite der Gleichung... und teilen wir nun durch den Vorfaktor des quadratischen Glieds, dann erhalten wir die NORMALFORM der quadratischen Gleichung. Auf quadratische Gleichungen in Normalform kannst du IMMER die pq-Formel anwenden. In unserem Beispiel ist p gleich 'minus 1' und q gleich 'minus 2'. Eingesetzt in die pq-Formel und ausgerechnet, ergibt das die beiden Lösungen 2 und 'minus 1'. Potenzgleichungen mit HÖHEREN Exponenten können gelöst werden, wenn einzelne Lösungen bekannt sind: Schauen wir uns dazu DIESES Beispiel einer kubischen Gleichung an. Kubisch bedeutet, dass der größte Exponent 3 ist. Durch Probieren erhalten wir schnell die erste Lösung, nämlich 1. Nun bringen wir die Gleichung in Normalform. DIESER kubische Term kann durch eine Polynomdivision auf einen quadratischen Term zurückgeführt werden. Dann taucht HIER die erste Lösung der kubischen Gleichung auf. Wir teilen 'x hoch 3' durch x und bekommen 'x Quadrat'. Indem wir DAS wieder mit 'x minus 1' multiplizieren, erhalten wir HIER 'x hoch 3 minus x Quadrat'. DIESE Glieder heben sich gegenseitig genau auf. minus 4 x' geteilt durch x ergibt 'minus 4'. Mit 'x minus 1' multipliziert bekommen wir 'minus 4 x plus 4', der Rest ist 0. Der resultierende Term ist QUADRATISCH. Hier muss man die pq-Formel NICHT anwenden, denn es geht auch einfacher. Die beiden anderen Lösungen sind also 2 und 'minus 2'. Bruchgleichungen sind wieder etwas anders zu behandeln. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Variable im NENNER eines Bruches vorkommt. In Bruchgleichungen muss daher immer gesondert überprüft werden, ob der Nenner Null werden kann. In diesem Fall ließe sich der Bruch nämlich nicht ausrechnen, die Gleichung besitzt an diesen Stellen daher Definitionslücken. Aber schauen wir uns das direkt am Beispiel an: Hier kommt die Variable x ZWEImal im Nenner vor. Wann können diese Nenner Null werden? Offenbar bei 'x gleich minus 2' und bei 'x gleich minus 1'. Diese Zahlen können also schon von vornherein keine Lösungen der Gleichung sein. Nun kann man den DEFINITIONSBEREICH der Gleichung angeben. Dieser umfasst HIER alle reellen Zahlen außer 'minus 1' und 'minus 2'. Um jetzt die Lösungen der Gleichung zu ermitteln, müssen wir zunächst den HAUPTNENNER bilden. Dazu multiplizieren wir HIER mit 'x plus 1 durch x plus 1' und HIER mit 'x plus 2 durch x plus 2'. Weil BEIDE Brüche nun den GLEICHEN Nenner haben, können wir sie als einen Bruch schreiben. Damit können wir den Nenner durch Multiplikation auf die andere Seite holen. Das können wir noch ausmultiplizieren und vereinfachen: Kubische Glieder gibt es nur eines. Die quadratischen ergeben 'minus x Quadrat'. Die linearen 'minus 4 x'. Und das Absolutglied ist 4. Die resultierende kubische Gleichung kennen wir bereits. Es ist die Gleichung aus dem vorhergehenden Beispiel. Dort hatten wir die 3 Lösungen 1, 2 und 'minus 2' ermittelt. Für die Bruchgleichung handelt es sich aber nur um POTENTIELLE Lösungen. Wir müssen sie nämlich noch mit dem eingangs ermittelten Definitionsbereich abgleichen. In diesem sind aber nur die 1 und die 2 enthalten, die 'minus 2' NICHT! Daher sind die einzigen Lösungen dieser Bruchgleichung die 1 und die 2. Zusammengefasst heißt das: Quadratische Gleichungen kannst du IMMER in Normalform überführen und mit der pq-Formel... lösen. Bei manchen geht es aber auch leichter. Potenzgleichungen mit HÖHEREM Exponenten kannst du mittels Polynomdivision in quadratische Gleichungen überführen. Jedenfalls, wenn du EINZELNE Nullstellen durch Probieren herausfinden kannst. Bruchgleichungen kannst du in Potenzgleichungen überführen, wobei du dazu manchmal noch den Hauptnenner bilden musst. Die ermittelten Lösungen musst Du dann aber noch mit dem Definitionsbereich der Gleichung abklären. So kommst du von Bruchgleichungen über Potenzgleichungen auf quadratische Gleichungen und von denen auf die Lösung. So! Und das wars fürs Erste!

Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungsumformungen in Potenz- und Bruchgleichungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die weiteren Lösungen der Gleichung mittels Polynomdivision.

    Tipps

    Im ersten Schritt teilst du $x^3$ durch $x$ und schreibst den Quotienten in die Ergebniszeile.

    Um die beiden Lösungen zu bestimmen, musst du die Wurzel ziehen.

    Lösung

    Die erste Lösung der kubischen Gleichung $x^3-4x=x^2-4$ ist gegeben durch $x_1=1$. Um die übrigen beiden Lösungen zu bestimmen, teilen wir die Gleichung durch $(x-x_1)$, also durch den Term $(x-1)$. Wir erhalten dann die hier abgebildete Polynomdivision.

    Das Ergebnis ist eine quadratische Gleichung, die wir durch einfaches Umstellen und Wurzelziehen lösen können. Es folgt:

    $\begin{array}{llll} x^2-4 &=& 0 & \vert +4 \\ x^2 &=& 4 & \vert \sqrt{\quad} \\ \\ x_2 &=& +2 & \\ x_3 &=& -2 & \end{array}$

    Die kubische Gleichung $x^3-4x=x^2-4$ hat damit die drei Lösungen $x_1=1$, $x_2 = 2$ und $x_3 = -2 $.

  • Bestimme den Definitionsbereich der Bruchgleichung und überführe sie in eine kubische Gleichung.

    Tipps

    Du kannst zwei Brüche nur addieren, wenn sie gleichnamig sind. Andernfalls musst du sie zuerst auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen.

    Es gilt:

    $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

    Lösung

    Bei Bruchgleichungen muss im ersten Schritt der Definitionsbereich bestimmt werden. Dieser wird nämlich durch den Term im Nenner eingeschränkt, denn dieser darf niemals Null werden. Den Definitionsbereich der hier betrachteten Bruchgleichung erhalten wir, indem wir die $x$-Werte bestimmen, für die die beiden Nenner Null werden

    $x+1=0$ für $x=-1$
    $x+2=0$ für $x=-2$

    Damit lautet der Definitionsbereich:

    $D=\mathbb{R}\backslash\lbrace -2;-1\rbrace$

    Nun wird die Bruchgleichung durch Umstellen in eine kubische Gleichung überführt. Um die Bruchgleichung zu vereinfachen, werden die beiden Brüche auf einen gemeinsamen Hauptnenner gebracht. Hierzu wird der erste Bruch mit $\dfrac {x+1}{x+1}$ und der zweite Bruch mit $\dfrac {x+2}{x+2}$ erweitert. Anschließend kann addiert werden. Dann ergibt sich folgende Rechnung:

    $\begin{array}{lll} \dfrac {(x^2+x-2)(x+1)}{(x+2)(x+1)}+\dfrac{6(x+2)}{(x+1)(x+2)} &=& 3 \\ \\ \dfrac {(x^2+x-2)(x+1)+6(x+2)}{(x+1)(x+2)} &=& 3 \end{array}$

    Als nächstes wird die Gleichung mit $(x+1)(x+2)$ multipliziert. Dann werden die Klammern ausmultipliziert und gleichartige Terme zusammengefasst. Die resultierende Gleichung lautet dann:

    $\begin{array}{llll} (x^2+x-2)(x+1)+6(x+2) &=& 3(x+1)(x+2) & \\ x^3+x^2+x^2+x-2x-2+6x+12 &=& 3x^2+6x+3x+6 & \\ x^3+2x^2+5x+10 &=& 3x^2+9x+6 & \vert -3x^2 \\ x^3-x^2+5x+10 &=& 9x+6 & \vert -9x \\ x^3-x^2-4x+10 &=& 6 & \vert -6 \\ x^3-x^2-4x+4 &=& 0 & \end{array}$

    Die Bruchgleichung wurde in eine kubische Gleichung überführt.

  • Ermittle die Definitionsbereiche der Bruchgleichungen und überführe sie in die Normalform quadratischer Gleichungen.

    Tipps

    Du musst alle Zahlen aus dem Definitionsbereich ausschließen, für die der Nenner einer Bruchgleichung Null wird.

    Um zwei Brüche zu addieren, musst du diese erst gleichnamig machen.

    Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:

    $x^2+px+q=0$

    Lösung

    Die Definitionsbereiche der Bruchgleichungen enthalten alle Werte, die $x$ annehmen darf. Wir müssen daher alle Zahlen aus dem Definitionsbereich ausschließen, für die ein Nenner der Bruchgleichung Null wird.

    Anschließend stellen wir alle Bruchgleichungen so um, dass wir jeweils eine quadratische Gleichung erhalten.

    Beispiel 1

    $\dfrac 1x+\dfrac2{x+2}=1$

    Der Nenner des ersten Bruches wird für $x=0$ Null. Der Nenner des zweiten Bruches ist Null für $x=-2$. Damit können wir den Definitionsbereich wie folgt angeben:

    $D=\mathbb{R}\backslash\lbrace-2;0\rbrace$

    Nun stellen wir die Gleichung wie folgt um:

    $\begin{array}{llll} \dfrac 1x+\dfrac2{x+2} &=& 1 & \\ \\ \dfrac {1\cdot (x+2)}{x\cdot (x+2)}+\dfrac{2\cdot x}{(x+2)\cdot x} &=& 1 & \\ \\ \dfrac {2+3x}{x^2+2x} &=& 1 & \vert \cdot (x^2+2x) \\ \\ 2+3x &=& x^2+2x & \vert -3x \\ \\ 2 &=& x^2-x & \vert -2 \\ \\ 0 &=& x^2-x-2 & \\ \end{array}$

    Beispiel 2

    $\dfrac {10}{x(x+1)}=5$

    Der Term $x(x+1)$ wird für $x=0$ und $x=-1$ Null. Der Definitionsbereich wird wie folgt angegeben:

    $D=\mathbb{R}\backslash\lbrace-1;0\rbrace$

    Die Gleichung können wir wie folgt umstellen:

    $\begin{array}{llll} \dfrac {10}{x(x+1)} &=& 5 & \vert \cdot x(x+1) \\ \\ 10 &=& 5x(x+1) & \\ \\ 10 &=& 5x^2+5x & \vert -10 \\ \\ 0 &=& 5x^2+5x-10 & \vert :5 \\ \\ 0 &=& x^2+x-2 & \\ \end{array}$

    Beispiel 3

    $\dfrac {9}{3x^2-12}=-1$

    Aus dem Definitionsbereich schließen wir alle Lösungen der Gleichung $3x^2-12=0$ aus. Diese sind $2$ und $-2$. Also gilt:

    $D=\mathbb{R}\backslash\lbrace-2;2\rbrace$

    Die Gleichung können wir wie folgt umstellen:

    $\begin{array}{llll} \dfrac {9}{3x^2-12} &=& -1 & \vert \cdot (3x^2-12) \\ \\ 9 &=& -3x^2+12 & \vert +3x^2 \\ \\ 3x^2 + 9 &=& 12 & \vert -12 \\ \\ 3x^2 -3 &=& 0 & \vert :3 \\ \\ x^2 -1 &=& 0 & \\ \end{array}$

  • Erschließe mittels Polynomdivision die übrigen beiden Lösungen der kubischen Gleichung.

    Tipps

    $ ~~~~\scriptsize{(5x^3+15x^2-40x+20):(x-1)=5x^2+20x-20} \\ -\scriptsize{(5x^3~-~5x^2)} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~\scriptsize{20x^2-40x} \\ ~~~~~~~~~~~~\scriptsize{-(20x^2-20x)} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-\scriptsize{20x+20} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\scriptsize{-(-20x+20)} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\scriptsize{0} $

    Teile im ersten Schritt $5x^3$ durch $x$ und schreibe den Quotienten in die Ergebniszeile.

    Nutze die $pq$-Formel:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    Lösung

    Die erste Lösung der kubischen Gleichung $5x^3 + 15x^2 - 40x + 20=0$ ist gegeben durch $x_1=1$. Um die übrigen beiden Lösungen zu bestimmen, teilen wir die Gleichung durch $(x-x_1)$, also durch den Term $(x-1)$. Wir erhalten dann die hier abgebildete Polynomdivision.

    Das Ergebnis ist eine quadratische Gleichung, die wir mithilfe der $pq$-Formel lösen:

    $\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ \\ x_{1,2} &=& -\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2-(-4)} \\ \\ x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{8} \\ \\ x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{4\cdot 2} \\ \\ x_{1,2} &=& -2\pm2\sqrt{2} \\ \end{array}$

    Die kubische Gleichung $5x^3 + 15x^2 - 40x + 20=0$ hat damit die drei Lösungen $x_1=1$, $x_2 = -2+2\sqrt{2}$ und $x_3 = -2-2\sqrt{2} $.

  • Gib die Lösungen der quadratischen Gleichung an.

    Tipps

    Bringe die Gleichung in die Normalform: $~x^2+px+q=0$.

    Ermittle die Lösungen mithilfe der $pq$-Formel:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    Lösung

    Wir überführen die Gleichung zunächst in die Normalform $x^2+px+q=0$. Wir erhalten folgende Rechnung:

    $\begin{array}{llll} 2x^2-2x &=& 4 & \vert -4 \\ 2x^2-2x-4 &=& 0 & \vert :2 \\ x^2-x-2 &=& 0 & \end{array}$

    Jetzt setzen wir $p=-1$ und $q=-2$ in die $pq$-Formel ein:

    $\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ \\ x_{1,2} &=& -\frac {-1}2\pm\sqrt{\left(\frac {-1}2\right)^2-(-2)} \\ \\ x_{1,2} &=& \frac 12\pm\sqrt{\frac 14+2} \\ \\ x_{1,2} &=& \frac 12\pm\sqrt{\frac 94} \\ \\ x_{1,2} &=& \frac 12\pm\frac 32 \\ \\ x_1 &=& \frac 12+\frac 32 = 2 \\ \\ x_2 &=& \frac 12-\frac 32 = -1 \end{array}$

    Die quadratische Gleichung besitzt also die Lösungen $x_1=2$ und $x_2=-1$.

  • Bestimme die Lösungen der Bruchgleichung.

    Tipps

    Beachte, welche Werte $x$ nicht annehmen darf. Diese dürfen nicht in der Lösungsmenge vorkommen.

    Durch Umstellen der Bruchgleichung erhältst du eine quadratische Gleichung, die du mittels $pq$-Formel lösen kannst.

    Lösung

    Wir betrachten folgende Bruchgleichung:

    $\dfrac{7}{x+2}=\dfrac{6x-8}{x(x+2)}$

    Zuerst bestimmen wir ihren Definitionsbereich. Es muss Folgendes gelten:

    $\begin{array}{lll} x+2\neq 0 & \rightarrow & x\neq -2\\ \\ x(x+2)\quad & \rightarrow & x\neq -2 \enspace\text{u.}\enspace x\neq 0\\ \end{array}$

    Der Definitionsbereich lautet dann: $~D=\mathbb{R}\backslash\lbrace -2;0\rbrace$

    Nun können wir die Gleichung umstellen:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{7}{x+2} &=& \dfrac{6x-8}{x(x+2)} & \vert \cdot (x+2) \quad \vert \cdot x(x+2)\\ \\ 7x(x+2) &=& (6x-8)(x+2) & \\ \\ 7x^2+14x &=& 6x^2+12x-8x-16 & \\ \\ 7x^2+14x &=& 6x^2+4x-16 & \vert -6x^2 \\ \\ x^2+14x &=& 4x-16 & \vert -4x \\ \\ x^2+10x &=& -16 & \vert +16 \\ \\ x^2+10x + 16 &=& 0 & \\ \end{array}$

    Mit der $pq$-Formel folgt:

    $\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& -5\pm\sqrt{25-16} \\ x_{1,2} &=& -5\pm\sqrt{9} \\ x_{1,2} &=& -5\pm 3 \\ \\ x_1 &=& -2 \\ x_2 &=& -8 \end{array}$

    Da $x_1=-2$ nicht im Definitionsbereich liegt, ist nur $x_2=-8$ die Lösung der Bruchgleichung: $\mathbb{L}=\lbrace-8\rbrace$

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