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Gleichungen mit Brüchen vereinfachen 04:06 min

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Transkript Gleichungen mit Brüchen vereinfachen

Im südostasiatischen Land Kambodscha besuchen wir unsere Freundin Laura. Laura arbeitet als Archäologin und sie gräbt gerade an einem Ort, der seit Jahrhunderten von Menschen unberührt geblieben war. Bei ihrer Ausgrabung hat Laura schon viele interessante Artefakte entdeckt. Die sind aber leider alle zerbrochen. Sie muss die Teile also wieder zusammensetzen. So wie man die Teile zerbrochener Artefakte zusammensetzt, kann man in einem Ausdruck auch gleichartige Terme zusammensetzen, oder besser gesagt zusammenfassen, und sie so vereinfachen. Hier ist der erste Ausdruck, den wir vereinfachen wollen. Zuerst suchen wir gleichartige Terme. Dann nutzen wir das Kommutativgesetz, um den Ausdruck neu zu ordnen. Wir schreiben die x-Variablen nebeneinander; und die y-Variablen auch. Dann fassen wir gleichartige Terme zusammen. So erhalten wir 15x + 2y. Probieren wir noch eine Aufgabe mit rationalen Zahlen. Weil es sich bei den Koeffizienten in dieser Aufgabe um Brüche handelt, müssen wir ein paar zusätzliche Schritte durchführen. Das grundsätzliche Vorgehen bei der Vereinfachung bleibt aber gleich. Mit dem Kommutativgesetz ordnest du die Terme neu an. Und jetzt wollen wir die gleichartigen Terme zusammenfassen. Wir können die Koeffizienten von h aber nicht so einfach addieren. Vorher müssen wir den gemeinsamen Nenner finden und den Ausdruck anpassen. Die 9 würde passen. Um auch im ersten Term 9 als Nenner zu bekommen, erweitern wir den Bruch mit 3. Also rechnen wir im Zähler '2 mal 3' und im Nenner '3 mal 3' und wir erhalten 6/9. Jetzt haben die beiden Koeffizienten von h den gleichen Nenner also können wir die gleichartigen Terme zusammenfassen und die Brüche vereinfachen. Schau, der Ausdruck enthält Terme ohne Variable. Diese Terme nennt man Konstanten. Konstanten sind Zahlen, die mit einer Variablen multipliziert werden, deren Exponent 0 ist. Eine Potenz mit dem Exponenten 0 ergibt stets 1. Darum schreibt man eine Variable mit dem Exponenten 0 zwar nicht auf, sie ist aber immer da. Anders gesagt: Eine Konstante ist einfach eine Zahl ohne Variable. Wir haben noch genug Zeit, um eine weitere Aufgabe anzugehen. Um diese Aufgabe leichter lösen zu können, formst du zuerst den gemischten Bruch in einen unechten Bruch um. Mit dem Distributivgesetz entfernst du die Klammern. Nun können wir zusammenfassen. Und mit dem Kommutativgesetz bringst du den Ausdruck in die Standardform. Wenn wir gleichartige Terme zusammenfassen wollen, müssen wir zuerst einen gemeinsamen Nenner für die Konstanten finden. Der Hauptnenner ist in diesem Fall das Produkt der beiden Nenner, also 18. Das heißt, wir müssen diesen Bruch mit 9 erweitern und diesen mit 2. Also bleibt 9/18 minus 8/18 stehen, und das ist 1/18. Nun können wir die gleichartigen Terme zusammenfassen. Zuletzt gehst du wie immer sicher, dass alle Brüche so weit wie möglich gekürzt sind, und dass der Ausdruck in der Standardform steht. Wie's aussieht, sind wir fertig! Und wie weit ist Laura mit ihrer Puzzlearbeit? Ach wie schön! Sie hat genug Teile zusammengesetzt, um mit ihrem neuen Freund ein Kaffeekränzchen veranstalten zu können.

3 Kommentare
  1. gestern im Vorbereitungskurs Bruch mit Klammern gerechnet und Fehler bei dem Distributivgesetzt angewandt

    Von Heinzbuser3, vor 4 Tagen
  2. Meiner Meinung nach auch :)

    Von Pink Fluffy Unicorn Dancing On Rainbow, vor 6 Monaten
  3. Ihr seit meiner Meinung nach, das beste Tutoren-Team in Mathe.

    Von Yiren Y., vor 8 Monaten

Gleichungen mit Brüchen vereinfachen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen mit Brüchen vereinfachen kannst du es wiederholen und üben.

  • Vereinfache den Term durch die Anwendung des Kommutativgesetzes.

    Tipps

    Gleichartige Terme sind Terme, die die gleiche Variable in derselben Potenz enthalten. Beispielsweise sind die Terme $2x$ und $-8x$ gleichartig.

    Das Kommutativgesetz der Addition erlaubt das beliebige Umordnen von Summanden in einer Summe.

    Lösung

    Wir wollen den Term

    $2x-7y+13x+9y$

    vereinfachen.
    Der gleichartige Term zu $2x$ ist $13x$, da beide Terme ein $x$ enthalten. Der gleichartige Term zu $-7y$ ist $9y$, da beide Terme ein $y$ enthalten.
    Als Nächstes können wir das Kommutativgesetz der Addition anwenden, um die Terme neu zu ordnen. Dieses Gesetz sagt aus, dass wir die Terme bzw. Summanden in einer Summe beliebig vertauschen können, ohne dass sich der Wert der Summe ändert (also zum Beispiel: $5+3$ ist das Gleiche wie $3+5$). Daher vertauschen wir die Terme so, dass gleichartige Terme nebeneinander stehen. Es ergibt sich:
    $2x+13x-7y+9y$.
    Nun fassen wir die gleichartigen Terme zusammen. Wir finden:

    $2x+13x=15x$,
    $-7y+9y=9y-7y=2y$.

    Also lautet unser fertig vereinfachter Term:
    $15x+2y$.

  • Vereinfache einen Term, in dem Brüche enthalten sind.

    Tipps

    Gleichartige Terme sind Terme, die die gleiche Variable in derselben Potenz enthalten. Beispielsweise sind die Terme $2x$ und $-8x$ gleichartig.

    Um zwei Brüche gleichnamig zu machen, bestimmst du das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.

    Lösung

    Diesmal ist der Term $\frac{2}{3}h+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}$ gegeben.
    Hier empfiehlt es sich ebenfalls, zunächst gleichartige Terme zu suchen. In diesem Fall sind $\frac{2}{3}h$ und $-\frac{1}{9}h$ sowie $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{4}$ gleichartig.
    Mithilfe des Kommutativgesetzes können wir die Terme so umsortieren, dass die gleichartigen Terme nebeneinander stehen. Es ergibt sich:

    $\frac{2}{3}h-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$.

    Bevor wir die ersten beiden Terme addieren können, müssen wir die Brüche gleichnamig machen. Dafür müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner $9$ und $3$ bestimmen. Das ist in diesem Fall $9$; also bringen wir den ersten Bruch auf den Nenner $9$, indem wir mit $3$ erweitern. Dann folgt:

    $\frac{6}{9}h-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$.

    Nun können wir gleichnamige Terme zusammenfassen. Es gilt

    $\frac{6}{9}h-\frac{1}{9}h=\frac{5}{9}h$ und
    $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}= \frac{2}{4}$, sodass insgesamt folgt:
    $\frac{5}{9}h+\frac{2}{4}$.

    Im Anschluss können wir den zweiten Term noch vereinfachen, indem wir mit $2$ kürzen:
    $\frac{5}{9}h+\frac{1}{2}$.

  • Zeige, wie man verschiedene Terme vereinfacht.

    Tipps

    Du musst den gemischten Bruch $1\frac{1}{3}$ zunächst in einen unechten Bruch umwandeln, bevor du die Klammer auflöst.

    Gleichartige Terme sind Terme, die die gleiche Variable in derselben Potenz enthalten. Zum Beispiel sind die Terme $2x$ und $-8x$ gleichartig.

    Versuche zunächst die einzelnen Terme zu finden, die zusammen gehören. Anschließend kannst du diese in die richtige Reihenfolge bringen und zuordnen.

    Lösung
    • 1. Term: $2x-7y+14x+10y$
    Der gleichartige Term zu $2x$ ist $14x$, da beide Terme ein $x$ enthalten. Der gleichartige Term zu $-7y$ ist $10y$, da beide Terme ein $y$ enthalten.
    Als Nächstes wenden wir das Kommutativgesetz der Addition an, um die Terme neu zu ordnen. Das Gesetz sagt aus, dass wir die Terme bzw. Summanden einer Summe beliebig vertauschen können, ohne dass sich der Wert der Summe ändert. Daher vertauschen wir die Terme so, dass gleichartige Terme nebeneinander stehen. Es ergibt sich:

    $2x+14x-7y+10y$.

    Nun fassen wir die gleichartigen Terme zusammen und erhalten:

    $\begin{array}{lll} 2x+14x&=&16x\\ -7y+10y&=&3y\\ \end{array}$

    Der fertig vereinfachte Term lautet also:

    $16x+3y$.

    • 2. Term: $\frac{2}{3}h+\frac{1}{4}-\frac{1}{18}h+\frac{1}{2}$
    Hier empfiehlt es sich ebenfalls, zunächst gleichartige Terme zu suchen. In diesem Fall sind $\frac{2}{3}h$ und $-\frac{1}{18}h$ bzw. $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{2}$ gleichartig. Mithilfe des Kommutativgesetzes können wir die Terme so umsortieren, dass die gleichartigen Terme nebeneinander stehen. Es ergibt sich:

    $\frac{2}{3}h-\frac{1}{18}h+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$.

    Die ersten beiden Terme müssen wir erst gleichnamig machen, um sie zu addieren. Dafür bestimmen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner $18$ und $3$, in diesem Fall also $18$. Somit bringen wir den ersten Bruch auf einen Nenner von $18$, indem wir mit $6$ erweitern. Dann folgt:

    $\frac{6}{9}h-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$.

    Ebenso gehen wir mit den beiden Brüchen $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{2}$ vor und erweitern den Bruch $\frac{1}{2}$ mit $2$ zu dem Bruch $\frac{3}{4}$.

    Nun können wir gleichnamige Terme zusammenfassen. Wir erhalten:

    $\begin{array}{lll} \frac{12}{18}h-\frac{1}{18}h&=&\frac{11}{18}h\\ \frac{1}{4}+\frac{2}{4}&=&\frac{3}{4}\\ \end{array}$

    Also folgt:

    $\frac{11}{18}h+\frac{3}{4}$.

    • 3. Term: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{4}x-1\frac{1}{3} \right)$
    Hier wandeln wir zunächst den gemischten Bruch $1\frac{1}{3}$ in den unechten Bruch $\frac{4}{3}$ um und wenden das Distributivgesetz auf die Klammer an. Wir erhalten:

    $\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}x- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3}$.

    Dies können wir zusammenfassen zu:

    $\frac{1}{2}+\frac{1}{16} x- \frac{4}{12}$.

    Hier sind der erste und letzte Term gleichartig, da in beiden keine Variable (bzw. die Variable in nullter Potenz, also $x^0=1$) steht. Nach Anwendung des Kommutativgesetzes erhalten wir:

    $\frac{1}{16} x +\frac{1}{2}- \frac{4}{12}$.

    Um die beiden letzten Terme zusammenzufassen, kürzen wir den letzten Term zunächst vollständig auf $\frac{1}{3}$. Nun müssen $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{3}$ auf den Hauptnenner gebracht werden. Dieser ist gegeben durch das kleinste gemeinsame Vielfache von $2$ und $3$, also $6$. Es folgt:

    $\begin{array}{l} \frac{1}{12} x +\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}- \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}&\\ =\frac{1}{12} x +\frac{3}{6}- \frac{2}{6}\\ =\frac{1}{12} x +\frac{1}{6}\\ \end{array}$

  • Erläutere das Umformen eines Terms mit Klammern und einem gemischten Bruch.

    Tipps

    Ein gemischter Bruch ist ein Ausdruck, der aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht. Ein unechter Bruch ist ein Bruch, der größer als $1$ ist und daher auch eine Darstellung als gemischter Bruch besitzt.

    Um Klammern aufzulösen, die einen Faktor eines Produktes bilden und in denen Summen oder Differenzen stehen, wird das Distributivgesetz genutzt.
    Ein Beispiel für dessen Anwendung ist das folgende:
    $2 \cdot (3x+4)= 2 \cdot 3x + 2 \cdot 4$.

    Lösung

    Ausgehend von dem Term

    $\frac{1}{2}+\frac{1}{5} \cdot \left( \frac{1}{4}x-3\frac{2}{3} \right)$

    können wir zunächst den gemischten Bruch $3\frac{2}{3}$ in einen unechten Bruch umwandeln. Hier gilt $3\frac{2}{3}=\frac{9}{3}+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$.
    Im Anschluss können wir das Distributivgesetz auf die Klammer anwenden. Es folgt:

    $\frac{1}{2}+\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4}x- \frac{1}{5} \cdot \frac{11}{3}$.

    Dies lässt sich zusammenfassen zu:

    $\frac{1}{2}+\frac{1}{20} x- \frac{11}{15}$.

    Hier ist der erste und letzte Term gleichnamig, da es beides Konstanten sind. Nach Anwendung des Kommutativgesetzes und Umsortierung erhalten wir:

    $\frac{1}{20} x +\frac{1}{2}- \frac{11}{15}$.

    Um die beiden letzten Terme zusammenzufassen, müssen diese auf den Hauptnenner gebracht werden. Dieser ist gegeben durch das kleinste gemeinsame Vielfache von $2$ und $15$, nämlich $30$. Es folgt:

    $\frac{1}{20} x +\frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 15}- \frac{11 \cdot 2}{15 \cdot 2}=\frac{1}{20} x +\frac{15}{30}- \frac{22}{30}=\frac{1}{20} x -\frac{7}{30}$.

  • Gib die richtige Reihenfolge für das Vereinfachen von Termen mit Brüchen wieder.

    Tipps

    Gleichartige Terme sind Terme, die die gleiche Variable in derselben Potenz enthalten. Zum Beispiel sind die Terme $2x$ und $-8x$ gleichartig.

    Bevor Terme, in denen Brüche enthalten sind, zusammengefasst werden können, müssen die jeweiligen Brüche den gleichen Nenner haben.

    Lösung

    Wir verdeutlichen die richtige Reihenfolge der Vorgehensweise am Term $\frac{2}{3}h+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}$.

    • Schritt 1: Suche gleichartige Terme.
    In diesem Fall sind $\frac{2}{3}h$ und $-\frac{1}{9}h$ sowie $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{4}$ gleichartig.
    • Schritt 2: Wende das Kommutativgesetz an, um gleichartige Terme umzusortieren.
    Mithilfe des Kommutativgesetzes können wir die Terme so umsortieren, dass gleichartige Terme nebeneinander stehen. Es ergibt sich:

    $\frac{2}{3}h-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$.

    • Schritt 3: Bringe die gleichartigen Brüche auf den jeweiligen Hauptnenner.
    Die ersten beiden Terme lassen sich nicht addieren, ohne dass die jeweiligen Brüche gleichnamig gemacht werden. Dafür müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner $9$ und $3$ bestimmen. Das ist hier $9$; also bringen wir den ersten Bruch auf einen Nenner von $9$, indem wir ihn mit $3$ erweitern. Es folgt:

    $\frac{6}{9}h-\frac{1}{9}h+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$.

    • Schritt 4: Fasse gleichartige Terme nun zusammen.
    Es gilt $\frac{6}{9}h-\frac{1}{9}h=\frac{5}{9}h$ und $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}= \frac{2}{4}$, sodass insgesamt folgt :

    $\frac{5}{9}h+\frac{2}{4}$.

    • Schritt 5: Vereinfache die jeweiligen Terme, falls möglich.
    Du kannst den zweiten Term noch einmal mit $2$ kürzen und erhältst:

    $\frac{5}{9}h+\frac{1}{2}$.

  • Ermittle die Darstellung des Terms in Standardform.

    Tipps

    Ein gemischter Bruch ist ein Ausdruck, der aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

    Ein unechter Bruch ist ein Bruch, der größer als $1$ ist und daher auch eine Darstellung als gemischter Bruch besitzt.

    Um Klammern aufzulösen, die einen Faktor eines Produktes bilden und in denen Summen oder Differenzen stehen, wird das Distributivgesetz genutzt.

    Lösung

    1.) Du hast den Term $x^2+\frac{1}{5}y-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}x^2-2\frac{1}{2}y+5z^3 \right)$ gegeben.
    2.) Du wandelst den gemischten Bruch $2\frac{1}{2}y$ in den unechten Bruch $\frac{5}{2}$ um.
    Dies gilt, da $2\frac{1}{2}y=\frac{4}{2}y+\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}y$ ist.
    3.) Du wendest das Distributivgesetz an: $x^2+\frac{1}{5}y-\frac{2}{6}x^2+\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}z^3$.
    Es gilt:
    $x^2+\frac{1}{5}y-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{2}y+5z^3 \right)$
    $= x^2+\frac{1}{5}y-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}y - \frac{1}{2} \cdot 5z^3$
    $= x^2+\frac{1}{5}y-\frac{2}{6}x^2+\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}z^3$
    4.) Du kürzt den Bruch $\frac{2}{6}$ mit $2$.
    Es gilt $\frac{2}{6}=\frac{2}{2 \cdot 3}=\frac{1}{3}$.
    5.) Du wendest das Kommutativgesetz an: $x^2-\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{5}y+\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}z^3$.
    Mit dem Kommutativgesetz kannst du Terme vertauschen, um gleichartige Terme nebeneinander zu stellen. Die gleichartigen Terme hier sind gegeben durch $x^2$ und $-\frac{1}{3}x^2$ sowie $\frac{1}{5}y$ und $\frac{5}{4}y$.
    6.) Du machst gleichartige Terme gleichnamig: $\frac{3}{3}x^2-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{20}y+\frac{25}{20}y-\frac{5}{2}z^3$.
    Die Terme, die ein $x^2$ enthalten, haben den Hauptnenner $3$ und es gilt $1=\frac{1}{1}=\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 3}=\frac{3}{3}$.
    Die Terme, die ein $y$ enthalten, haben den Hauptnenner $20$ und es gilt $\frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4}=\frac{4}{20}$ sowie $\frac{5}{4}=\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5}=\frac{25}{20}$.
    7.) Du fasst die gleichnamigen Terme zusammen: $\frac{2}{3}x^2+\frac{29}{20}y-\frac{5}{2}z^3$.
    Denn es gilt $\frac{3}{3}x^2-\frac{1}{3}x^2=\frac{2}{3}x^2$ und $\frac{4}{20}y+\frac{25}{20}y=\frac{29}{20}y$.