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Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

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Team Digital
Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Lösen von Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten – Anleitung

Um Gleichungen mit Variablen lösen zu können, nutzen wir die Äquivalenzumformungen. Dabei wird eine Gleichung so umgeformt, dass sich ihr Wert nicht verändert. So können wir eine Gleichung nach der gesuchten Variablen umstellen und ihren Wert ermitteln. Dabei müssen wir beachten, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Veränderung vornehmen. Eine ausführliche Erklärung findest du im Video über die Äquivalenzumformung.

Im Folgenden schauen wir uns anhand von Beispielen an, wie man Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen kann.

Wie löst man Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten?

Schauen wir uns dafür zunächst die folgende Gleichung mit der Variablen $x$ auf beiden Seiten an:

$5\,x + 1 = 2\,x + 10$

Wir wollen diese Gleichung nun nach $x$ auflösen. Auch hier nutzen wir die Äquivalenzumformungen, um $x$ allein auf einer Seite stehen zu haben. Schrittweises Vorgehen hilft uns dabei, den Überblick zu behalten.

Zunächst subtrahieren wir auf beiden Seiten $1$:

$5\,x + 1 = 2\,x + 10 \quad \vert -1$
$\quad \, \, \, \, 5\,x = 2\,x + 9$

Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten $2\,x$:

$5\,x = 2\,x +9 \quad \vert -2\,x$
$3\,x = 9$

Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten durch $3$:

$3\,x = 9 \quad \vert :3$
$\, \, \, \, x = 3$

Für $x$ haben wir den Wert $3$ erhalten.

Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten – Aufgabe

Schauen wir uns nun ein etwas komplizierteres Beispiel an.

$3 \cdot \bigl(2\,x - 5 \bigr) + 10 = 4\,x + 9$

Auch hier hilft uns schrittweises Vorgehen, damit wir beim Lösen der Gleichung nicht durcheinanderkommen. Dafür vereinfachen wir die Gleichung zunächst einmal.

Schritt 1: vereinfachen
Mithilfe des Distributivgesetzes können wir die Klammern auflösen. Dafür multiplizieren wir die Zahl vor der Klammer, also die $3$, einzeln mit den Zahlen in der Klammer. Dieser Vorgang wird auch Ausmultiplizieren genannt. Eine ausführliche Erklärung findest du im Video über das Distributivgesetz.

$3 \cdot \bigl(2\,x - 5 \bigr) = 3 \cdot 2\,x + 3 \cdot \bigl(-5\bigr) = 6\,x -15$

Die Gleichung lautet nun:

$6\,x - 15 + 10 = 4\,x + 9$

Um die Gleichung übersichtlicher zu machen, können gleichartige Terme auf jeder Seite einzeln zusammengefasst werden. So können wir auf der linken Seite $-15$ und $10$ zu $-5$ zusammenfassen.

$6\,x - 5 = 4\,x + 9$

Schritt 2: umstellen
Mithilfe der Äquivalenzumformungen stellen wir die Gleichung so um, dass alle gleichartigen Terme auf jeweils einer Seite stehen. So wollen wir alle Terme mit einem $x$ auf der einen und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite stehen haben. Dafür addieren wir zunächst auf beiden Seiten $5$.

$6\,x - 5 = 4\,x + 9 \quad \vert +5$
$\quad \, \, \, \, 6\,x = 4\,x + 14$

Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten $4\,x$ und erhalten:

$6\,x = 4\,x + 14 \quad \vert -4\,x$
$2\,x = 14$

Schritt 3: nach $x$ auflösen
Um die Gleichung nun nach $x$ aufzulösen, müssen wir nur noch beide Seiten durch $2$ dividieren.

$2\,x = 14 \quad \vert :2$
$\, \, \, \, x = 7$

Für $x$ erhalten wir den Wert $7$.

Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten – Übungen

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen.

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Vorschaubild einer Übung

Transkript Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Erik und Johanna besuchen eine Zoohandlung, um neue schillernde Freunde für ihre Aquarien zu kaufen. Beide haben gleich viel Geld dabei.

Einleitung ins Thema

Erik kauft zwei Regenbogen-Blinkys und zehn graue Guppys. Johanna liebt Regenbogen-Blinkys, deshalb kauft sie 5 davon und nur einen Guppy. Beide haben nun ihr ganzes Geld ausgegeben. Als Erik Johannas buntes Aquarium sieht, ist er traurig, dass er nicht noch einen weiteren Regenbogen-Blinky gekauft hat. Er fragt sich: Wie viele graue Guppys muss er für einen weiteren Blinky eintauschen? Um das herauzufinden, kann Erik eine Gleichung mit derselben Variablen auf beiden Seiten aufstellen.

Rückblick: Was ist eine Gleichung?

Erinnerst du dich? Eine Gleichung ist wie eine Waage. Damit sie im Gleichgewicht bleibt, muss du alle Rechenoperationen, die du auf einen Seite ausführst, auch auf der anderen Seite durchführen. Johanna hat fünf Regenbogen-Blinkys und einen grauen Guppy gekauft. Für den gleichen Geldbetrag hat Erik zwei Blinkys und zehn Guppys gekauft. Die Waage ist also im Gleichgewicht.

Berechnung der Beispielaufgabe

Ein grauer Guppy kostet 1€. Deshalb können wir die Gleichung 5x + 1 = 2x + 10 aufstellen. x steht für den Betrag, den ein Regenbogen-Blinky kostet. Um herauszufinden, wie viele graue Guppys dem Preis von einem Regenbogen-Blinky entsprechen, musst du die Gleichung nach x auflösen, indem du mithilfe von Umkehroperationen alle x allein auf eine Seite der Gleichung bringst. 5x plus 1 ist gleich 2x plus 10. Zuerst subtrahieren wir von beiden Seiten 1: 5x ist gleich 2x plus 9. Als nächstes subtrahieren wir 2x von beiden Seiten der Gleichung. So bleibt die Waage im Gleichgewicht. 3x ist gleich 9. Um nach x aufzulösen, nutzen wir die Umkehroperation der Multiplikation: Wir dividieren beide Seiten durch 3. [entfällt!] x ist also gleich 3. Das heißt, ein Regenbogen-Blinky kostet genauso viel wie drei graue Guppys. Erik kann deshalb 3 Guppys gegen einen Blinky umtauschen. Das freut ihn!

Beispielaufgabe 2

Lass uns nun einen Blick auf ein etwas komplizierteres Beispiel werfen: 3 mal [...] Klammer auf [...] 2x minus 5 [...] Klammer zu [...] plus 10 [...] ist gleich 4x plus 9 Zum Auflösen der Klammern nutzt du das Distributitvgesetz und multiplizierst aus. 3 mal 2x ist gleich 6x und 3 mal -5 ist gleich -15. Das ergibt 6x - 15 + 10 ist gleich 4x + 9. Um das Ganze übersichtlicher zu machen, kannst du gleichartige Terme auf jeder Seite der Gleichung zusammenfassen. Das ergibt 6x minus 5 ist gleich 4x plus 9. Jetzt nutzt du Umkehroperationen, um alle gleichartigen Terme auf jeweils eine Seite zu bringen. Überlege, was du auf welche Seite bringen möchtest, um möglichst einfache Gleichungen zu haben. Hier addieren wir zuerst auf jeder Seite der Gleichung 5. Wir erhalten die Gleichung 6x ist gleich 4x plus 14. Jetzt subtrahieren wir noch 4x auf jeder Seite. Das ergibt die Gleichung 2x ist gleich 14. Danach nutzt du die Umkehroperation, um nach x aufzulösen. Dividiere beide Seiten der Gleichung durch 2. x ist gleich 7. Gehe bei Gleichungen wie diese immer Schritt für Schritt vor, um den Überblick zu behalten.

Ende

Wie es wohl den Fischen geht? Friedlich ziehen sie ihre Bahnen... Au Backe - noch ein Fan von Regenbogen Blinkeys...

37 Kommentare
37 Kommentare
  1. Mega gutes Video, hat mir echt geholfen :)

    Von Sophia, vor 8 Tagen
  2. Mega Video, super erklärt🤭 Könntet ihr das nächste mal nochmal mehr Beispiele machen? Ich habe nähmlich als erstes bei der 2 Aufgabe die Variablen zusammen „gepackt“ , aber es kam das gleiche Ergebnis raus. IST ABER NICHT SCHLIMM!! Nicht das ihr euch angegriffen fühlt😅❤️🤭

    Von Emma, vor 10 Monaten
  3. Mega gut wärn noch ein paar mehr Beispiele wäre es perfekt

    Von Sebastian, vor mehr als einem Jahr
  4. Super

    Von Raphael, vor mehr als einem Jahr
  5. es gibt auch sowas das nennt sich Preisschild

    Von Miya B., vor fast 3 Jahren
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Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle eine lineare Gleichung für Eriks Problem auf.

    Tipps

    Da Erik und Johanna für denselben Geldbetrag eingekauft haben, können wir ihre Ausgaben gleichsetzen.

    Ausgaben Johanna:

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

    Ausgaben Erik:

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

    Ausgaben Johanna $=$ Ausgaben Erik

    Hierbei fehlt uns nur eine Variable, nämlich „Preis Regenbogenblinky“. Jede andere Größe ist in der Aufgabe gegeben.

    Da ein Guppy nur $1$ € kostet, gilt Folgendes:

    Ausgaben Johanna:

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ 1

    also

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy

    Ausgaben Erik:

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ 1

    also

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy

    Lösung

    Uns ist bekannt, dass Johanna und Erik in der Zoohandlung das gleiche Geld ausgegeben haben. Davon hat sich Erik $10$ Guppys und $2$ Regenbogenblinkys gekauft, während Johanna $1$ Guppy und $5$ Regenbogenblinkys gekauft hat.

    Ihre Ausgaben setzen sich wie folgt zusammen:

    Ausgaben Johanna

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

    $\rightarrow ~$ $5\ \cdot$ Preis Regenbogenblinky $+\ 1\ \cdot\ 1$

    Ausgaben Erik

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

    $\rightarrow ~$ $2\ \cdot$ Preis Regenbogenblinky $+\ 10\ \cdot\ 1$

    Der Preis für einen Regenbogenblinky ist unbekannt. Diesen möchte Erik berechnen. Also ersetzen wir „Preis Regenbogenblinky“ mit der Variablen $x$. Da beide denselben Geldbetrag ausgegeben haben, gilt:

    Ausgaben Johanna $=$ Ausgaben Erik.

    Es folgt somit die gesuchte lineare Gleichung:

    $5\cdot x+1=2\cdot x+10$.

  • Beschreibe das Vorgehen beim Umstellen einer linearen Gleichung mit Variablen auf beiden Seiten.

    Tipps

    Eine Gleichung dieser Art löst du in folgender Reihenfolge:

    1. Schritt: Vereinfache die Ausgangsgleichung durch das Anwenden von Rechengesetzen (z.B. Distributivgesetz) und das Zusammenfassen gleichartiger Terme auf beiden Seiten der Gleichung.
    2. & 3. Schritt: Bringe gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation und fasse gleichartige Terme zusammen.
    4. Schritt: Isoliere die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation.

    Schau dir das Vorgehen im folgenden Beispiel an.

    $ \begin{array}{llllll} &5\cdot(x+1)-2x & = & x+11 && \\ \Leftrightarrow&3x+5 & = & x+11 && \vert -5\\ \Leftrightarrow&3x & = & x+6 && \vert -x\\ \Leftrightarrow&2x & = & 6 && \vert :2\\ \Leftrightarrow&x & = & 3 && \end{array} $

    Lösung

    Betrachten wir die gegebene Ausgangsgleichung:

    $ 3\cdot (2x-5)+10 = 4x+9 \\ \\$

    Folgende Rechenschritte musst du zum Lösen der linearen Gleichung anwenden:

    1. Schritt: Vereinfache die Ausgangsgleichung durch das Anwenden von Rechengesetzen und das Zusammenfassen gleichartiger Terme auf beiden Seiten der Gleichung.
    2. & 3. Schritt: Bringe gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation und fasse gleichartige Terme zusammen.
    4. Schritt: Isoliere die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation.

    1. Schritt:
    Im ersten Schritt muss die linke Seite der Gleichung vereinfacht werden, indem die Klammern aufgelöst werden. Dazu wird das Distributivgesetz angewendet. Anschließend werden gleichartige Terme zusammengefasst.

    $ \begin{array}{llllll} &3\cdot (2x-5)+10 & = & 4x+9 && \\ \Leftrightarrow&6x-15+10 & = & 4x+9 && \\ \Leftrightarrow&6x-5 & = & 4x+9 && \end{array} $

    2. & 3. Schritt:
    Im zweiten Schritt müssen gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung gebracht werden. Dieser Schritt erfolgt mittels der jeweiligen Umkehroperation Addition oder Subtraktion. Zuerst wird auf beiden Seiten der Gleichung die $5$ addiert und $4x$ subtrahiert. Wieder werden gleichartige Terme zusammengefasst.

    $ \begin{array}{llllll} &6x-5 & = & 4x+9 && \vert +5 \\ \Leftrightarrow&6x-5+5 & = & 4x+9+5 && \\ \Leftrightarrow&6x & = & 4x+14 && \vert -4x \\ \Leftrightarrow&6x-4x & = & 4x+14-4x && \\ \Leftrightarrow&2x & = & 14 && \end{array} $

    4. Schritt:
    Im vierten Schritt muss die Gleichung nach der Variablen $x$ aufgelöst werden. Hierzu wird die Umkehroperation Division verwendet. Wir dividieren durch $2$.

    $ \begin{array}{llllll} &2x & = & 14 && \vert :2\\ \Leftrightarrow&2x:2 & = & 14:2 &&\\ \Leftrightarrow&x & = & 7 && \\ \end{array} $

  • Bestimme die Lösung der linearen Gleichung mit Variablen auf beiden Seiten.

    Tipps

    Da Erik und Johanna wieder für denselben Geldbetrag eingekauft haben, können wir ihre Ausgaben gleichsetzen.

    Ausgaben Johanna:

    Anzahl Qualle $\cdot$ Preis Qualle $+$ Anzahl Goldfisch $\cdot$ Preis Goldfisch

    Ausgaben Erik:

    Anzahl Qualle $\cdot$ Preis Qualle $+$ Anzahl Schlange $\cdot$ Preis Schlange $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

    Bei den einzelnen Rechenschritten könnte dir ein Beispiel helfen.

    $ \begin{array}{lllll} 6x-2\cdot 5+5 & = & 4x+5+2\cdot 2 && \\ 6x-5 & = & 4x+9 && \vert +5 \\ 6x & = & 4x+14 && \vert -4x \\ 2x & = & 14 && \vert :2 \\ x & = & 7 && \end{array} $

    Lösung

    Für die Berechnung des Preises der Qualle sind folgende Angaben bezüglich Johannas und Eriks Einkauf bekannt:

    Einkauf Johanna:
    $2$ x Qualle
    $1$ x Goldfisch für je $10$ €

    Einkauf Erik:
    $1$ x Qualle
    $1$ x Schlange für je $15$ €
    $5$ x Guppy für je $1$ €

    Außerdem wissen wir, dass beide für ihren Einkauf gleich viel ausgegeben haben. Es gilt also:

    Ausgaben Johanna $=$ Ausgaben Erik.

    Die Ausgaben werden folgendermaßen berechnet:

    Ausgaben Johanna:
    Anzahl Qualle $\cdot$ Preis Qualle $+$ Anzahl Goldfisch $\cdot$ Preis Goldfisch
    $\rightarrow ~$ $2\cdot x+1\cdot 10$

    Ausgaben Erik:
    Anzahl Qualle $\cdot$ Preis Qualle $+$ Anzahl Schlange $\cdot$ Preis Schlange $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy
    $\rightarrow ~$ $1\cdot x+1\cdot 15+5\cdot 1 \\ \\$

    Somit resultiert folgende lineare Gleichung:

    $2\cdot x+1\cdot 10 = 1\cdot x+1\cdot 15+5\cdot 1$.

    Diese soll nun nach der Variablen $x$ umgestellt werden.

    $ \begin{array}{lllll} 2x+10 & = & x+20 && \vert -10\\ 2x& = & x+10 && \vert -x\\ x& = & 10&& \end{array} $

    Eine Qualle kostet also $10$ €.

  • Bestimme die Unbekannte in den vorgegebenen linearen Gleichungen.

    Tipps

    Folgende Rechenschritte musst du zum Lösen der linearen Gleichungen anwenden:

    1. Schritt: Vereinfache die Ausgangsgleichung durch das Anwenden von Rechengesetzen durch das Zusammenfassen gleichartiger Terme auf beiden Seiten der Gleichung.
    2. & 3. Schritt: Bringe gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation und fasse gleichartige Terme zusammen.
    4. Schritt: Isoliere die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation.

    Zum Auflösen der Klammern, musst du das Distributivgesetz verwenden. Dieses lautet:

    $a\cdot (b+c) = ab+ac$.

    oder

    $a\cdot (b-c) = ab-ac$.

    Das folgende Beispiel zeigt die Anwendung:

    $2\cdot (x+4)=2x+8$

    oder

    $2\cdot (x-4)=2x-8$.

    Lösung

    Folgende Rechenschritte musst du zum Lösen der linearen Gleichungen anwenden:

    • 1. Schritt: Vereinfache die Ausgangsgleichung durch das Anwenden von Rechengesetzen und das Zusammenfassen gleichartiger Terme auf beiden Seiten der Gleichung.
    • 2. & 3. Schritt: Bringe gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation und fasse gleichartige Terme zusammen.
    • 4. Schritt: Isoliere die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation.
    Dieses Vorgehen soll nun mittels der drei vorgegebenen Beispiele vorgeführt werden.

    Beispiel 1
    $ \begin{array}{lllll} \\ 2\cdot \left( 2x+4\right) & = & 2x+16 && \\ 4x+8 & = & 2x+16 && \vert -2x\\ 2x+8 & = & 16 && \vert -8\\ 2x & = & 8 && \vert :2\\ x & = & 4 \\ \end{array} $

    Beispiel 2
    $ \begin{array}{lllll} \\ 3\cdot \left( 4x-2\right) & = & 2\cdot (2x+5) && \\ 12x-6 & = & 4x+10 && \vert -4x\\ 8x-6 & = & 10 && \vert +6\\ 8x & = & 16 && \vert :8\\ x & = & 2 \\ \end{array} $

    Beispiel 3
    $ \begin{array}{lllll} \\ 6\cdot \left( 2x-2\right) & = & 2\cdot (2x+6) && \\ 12x-12 & = & 4x+12 && \vert -4x\\ 8x-12 & = & 12 && \vert +12\\ 8x & = & 24 && \vert :8\\ x & = & 2 \\ \end{array} $

  • Berechne die Variable $x$ durch Umstellen der Gleichung.

    Tipps

    Nutze zunächst die Umkehroperationen Addition oder Subtraktion, um die gleichartigen Terme auf jeweils eine Seite der Gleichung zu bringen.

    Isoliere anschließend die Variable $x$ durch Multiplikation oder Division.

    Ein Beispiel könnte dir helfen.
    $ \begin{array}{lllll} \\ 4x+5 & = & x+11 && \vert -5\\ 4x & = & x+6 && \vert -x\\ 3x & = & 6 && \vert :3\\ x & = & 2 && \end{array} $

    Lösung

    Um die Variable $x$ zu berechnen, muss die Gleichung nach $x$ umgestellt werden. Das bedeutet, dass die Variable $x$ allein stehen soll.

    Dafür werden zunächst mittels der jeweiligen Umkehroperation Addition oder Subtraktion die gleichartigen Terme auf jeweils eine Seite der Gleichung gebracht. Anschließend wird die Variable $x$ mittels der jeweiligen Umkehroperation Division oder Multiplikation isoliert.

    Es resultiert folgende Rechnung:
    $ \begin{array}{lllll} \\ 5x+1 & = & 2x+10 && \vert -1\\ 5x & = & 2x+9 && \vert -2x\\ 3x & = & 9 && \vert :3\\ x & = & 3 && \end{array} $

    Ein Regenbogenblinky kostet also $3$ €. Erik müsste $3$ Guppys gegen einen Regenbogenblinky eintauschen.

  • Bestimme die gesuchte lineare Gleichung und löse diese durch sinnvolles Umstellen.

    Tipps

    Beim Aufstellen der gesuchten linearen Gleichung mit Variablen auf beiden Seiten könntest du wie folgt vorgehen:

    Das Dreifache der gesuchten Menge um $3$ vermindert entspricht dem Zweifachen der gesuchten Menge um $6$ vermehrt.

    $ \begin{array}{l|l} \hline \text{Das Dreifache der gesuchten Menge...} & 3\cdot x \\ \text{...um } 3 \text{ vermindert ...} & 3\cdot x-3 \\ \text{...entspricht dem Zweifachen der gesuchten Menge...} & 3\cdot x-3=2\cdot x \\ \text{...um } 6 \text{ vermehrt.} & 3\cdot x-3=2\cdot x+6 \\ \hline \end{array} $

    Versuche, deine lineare Gleichung mithilfe von Rechengesetzen und Umkehroperationen so umzustellen, dass gleichartige Terme jeweils auf einer Seite der Gleichung stehen. Isoliere im letzten Rechenschritt die Unbekannte $x$.

    Lösung

    Im Folgenden wird das Vorgehen am Beispiel der ersten Aufgabe dargelegt. Dazu soll die Aufgabe zunächst so zerlegt werden, dass die einzelnen Glieder der Gleichung Schritt für Schritt aufgestellt werden.

    Beispiel 1

    Angabe für die Menge von Magnesium:

    Das Achtfache der gesuchten Menge um $2$ vermindert entspricht dem Vierfachen der gesuchten Menge um $10$ vermehrt.

    $ \begin{array}{l|l} \hline \text{Das Achtfache der gesuchten Menge...} & 8\cdot x \\ \text{...um } 2 \text{ vermindert...} & 8\cdot x-2 \\ \text{...entspricht dem Vierfachen der gesuchten Menge...} & 8\cdot x-2=4\cdot x \\ \text{...um } 10 \text{ vermehrt.} & 8\cdot x-2=4\cdot x+10 \\ \hline \end{array} $

    Die gesuchte lineare Gleichung und der dazugehörige Rechenweg lautet somit:

    $ \begin{array}{lllll} 8x-2 & = & 4x+10 && \vert -4x \\ 4x-2 & = & 10 && \vert +2 \\ 4x & = & 12 && \vert :4 \\ x & = & 3 \end{array} $

    Beispiel 2

    Angabe für die Menge von Kalium:

    Das Vierfache der gesuchten Menge um $6$ vermehrt entspricht dem Zweifachen der gesuchten Menge um $18$ vermehrt.

    Analog zum ersten Beispiel wird hier folgende lineare Gleichung aufgestellt:

    $ \begin{array}{lllll} 4x+6 & = & 2x+18 && \vert -2x \\ 2x+6 & = & 18 && \vert -6 \\ 2x & = & 12 && \vert :2 \\ x & = & 6 \end{array} $

    Beispiel 3

    Angabe für die Menge von Eisen:

    Das Fünffache der gesuchten Menge um $8$ vermindert entspricht dem Zweifachen der gesuchten Menge um $4$ vermehrt.

    Auch hier gilt dasselbe Vorgehen für die Herleitung der linearen Gleichung:

    $ \begin{array}{lllll} 5x-8 & = & 2x+4 && \vert -2x \\ 3x-8 & = & 4&& \vert +8 \\ 3x & = & 12 && \vert :3 \\ x & = & 4 \end{array} $