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Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen 03:57 min

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Transkript Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen

Erik und Johanna besuchen eine Zoohandlung, um neue schillernde Freunde für ihre Aquarien zu kaufen. Beide haben gleich viel Geld dabei.

Einleitung ins Thema

Erik kauft zwei Regenbogen-Blinkys und zehn graue Guppys. Johanna liebt Regenbogen-Blinkys, deshalb kauft sie 5 davon und nur einen Guppy. Beide haben nun ihr ganzes Geld ausgegeben. Als Erik Johannas buntes Aquarium sieht, ist er traurig, dass er nicht noch einen weiteren Regenbogen-Blinky gekauft hat. Er fragt sich: Wie viele graue Guppys muss er für einen weiteren Blinky eintauschen? Um das herauzufinden, kann Erik eine Gleichung mit derselben Variablen auf beiden Seiten aufstellen.

Rückblick: Was ist eine Gleichung?

Erinnerst du dich? Eine Gleichung ist wie eine Waage. Damit sie im Gleichgewicht bleibt, muss du alle Rechenoperationen, die du auf einen Seite ausführst, auch auf der anderen Seite durchführen. Johanna hat fünf Regenbogen-Blinkys und einen grauen Guppy gekauft. Für den gleichen Geldbetrag hat Erik zwei Blinkys und zehn Guppys gekauft. Die Waage ist also im Gleichgewicht.

Berechnung der Beispielaufgabe

Ein grauer Guppy kostet 1€. Deshalb können wir die Gleichung 5x + 1 = 2x + 10 aufstellen. x steht für den Betrag, den ein Regenbogen-Blinky kostet. Um herauszufinden, wie viele graue Guppys dem Preis von einem Regenbogen-Blinky entsprechen, musst du die Gleichung nach x auflösen, indem du mithilfe von Umkehroperationen alle x allein auf eine Seite der Gleichung bringst. 5x plus 1 ist gleich 2x plus 10. Zuerst subtrahieren wir von beiden Seiten 1: 5x ist gleich 2x plus 9. Als nächstes subtrahieren wir 2x von beiden Seiten der Gleichung. So bleibt die Waage im Gleichgewicht. 3x ist gleich 9. Um nach x aufzulösen, nutzen wir die Umkehroperation der Multiplikation: Wir dividieren beide Seiten durch 3. [entfällt!] x ist also gleich 3. Das heißt, ein Regenbogen-Blinky kostet genauso viel wie drei graue Guppys. Erik kann deshalb 3 Guppys gegen einen Blinky umtauschen. Das freut ihn!

Beispielaufgabe 2

Lass uns nun einen Blick auf ein etwas komplizierteres Beispiel werfen: 3 mal [...] Klammer auf [...] 2x minus 5 [...] Klammer zu [...] plus 10 [...] ist gleich 4x plus 9 Zum Auflösen der Klammern nutzt du das Distributitvgesetz und multiplizierst aus. 3 mal 2x ist gleich 6x und 3 mal -5 ist gleich -15. Das ergibt 6x - 15 + 10 ist gleich 4x + 9. Um das Ganze übersichtlicher zu machen, kannst du gleichartige Terme auf jeder Seite der Gleichung zusammenfassen. Das ergibt 6x minus 5 ist gleich 4x plus 9. Jetzt nutzt du Umkehroperationen, um alle gleichartigen Terme auf jeweils eine Seite zu bringen. Überlege, was du auf welche Seite bringen möchtest, um möglichst einfache Gleichungen zu haben. Hier addieren wir zuerst auf jeder Seite der Gleichung 5. Wir erhalten die Gleichung 6x ist gleich 4x plus 14. Jetzt subtrahieren wir noch 4x auf jeder Seite. Das ergibt die Gleichung 2x ist gleich 14. Danach nutzt du die Umkehroperation, um nach x aufzulösen. Dividiere beide Seiten der Gleichung durch 2. x ist gleich 7. Gehe bei Gleichungen wie diese immer Schritt für Schritt vor, um den Überblick zu behalten.

Ende

Wie es wohl den Fischen geht? Friedlich ziehen sie ihre Bahnen... Au Backe - noch ein Fan von Regenbogen Blinkeys...

29 Kommentare
  1. Hallo Alina Julie Nadeschda,

    wenn vor der Variablen, die du berechnen möchtest, ein Vorfaktor steht, dann dividierst du in der Regel im letzten Schritt durch diesen Faktor. Du möchtest ja gern den Wert für "einen" x kennen und nicht für zum Beispiel 7x.

    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor 4 Monaten
  2. Führt man am Ende der Gleichung dann immer die Division durch Bsp:
    2x = 14 /:2
    X = 7
    Dividiert man immer ?

    Von Alina Julie Nadeschda, vor 4 Monaten
  3. Hallo Irene, nein, das ist kein Fehler.
    -15+10=-5.
    Anders wäre es, wenn um die Zahlen Klammern stehen würden:
    -(15+10)=-(25)=-25.
    Das ist hier aber nicht der Fall. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 5 Monaten
  4. Ich glaube im Video ist ein Fehler:
    6x-15+10 ist doch nicht 6x-5 sondern 6x-25 oder?

    Von irene a., vor 5 Monaten
  5. Hilft in Mathe App

    Von JMcrafter M., vor 6 Monaten
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Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen kannst du es wiederholen und üben.

  • Stelle eine lineare Gleichung für Eriks Problem auf.

    Tipps

    Da Erik und Johanna für denselben Geldbetrag eingekauft haben, können wir ihre Ausgaben gleichsetzen.

    Ausgaben Johanna:

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

    Ausgaben Erik:

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

    Ausgaben Johanna $=$ Ausgaben Erik

    Hierbei fehlt uns nur eine Variable, nämlich „Preis Regenbogenblinky“. Jede andere Größe ist in der Aufgabe gegeben.

    Da ein Guppy nur $1$ € kostet, gilt Folgendes:

    Ausgaben Johanna:

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ 1

    also

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy

    Ausgaben Erik:

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ 1

    also

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy

    Lösung

    Uns ist bekannt, dass Johanna und Erik in der Zoohandlung das gleiche Geld ausgegeben haben. Davon hat sich Erik $10$ Guppys und $2$ Regenbogenblinkys gekauft, während Johanna $1$ Guppy und $5$ Regenbogenblinkys gekauft hat.

    Ihre Ausgaben setzen sich wie folgt zusammen:

    Ausgaben Johanna

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

    $\rightarrow ~$ $5\ \cdot$ Preis Regenbogenblinky $+\ 1\ \cdot\ 1$

    Ausgaben Erik

    Anzahl Regenbogenblinky $\cdot$ Preis Regenbogenblinky $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

    $\rightarrow ~$ $2\ \cdot$ Preis Regenbogenblinky $+\ 10\ \cdot\ 1$

    Der Preis für einen Regenbogenblinky ist unbekannt. Diesen möchte Erik berechnen. Also ersetzen wir „Preis Regenbogenblinky“ mit der Variablen $x$. Da beide denselben Geldbetrag ausgegeben haben, gilt:

    Ausgaben Johanna $=$ Ausgaben Erik.

    Es folgt somit die gesuchte lineare Gleichung:

    $5\cdot x+1=2\cdot x+10$.

  • Beschreibe das Vorgehen beim Umstellen einer linearen Gleichung mit Variablen auf beiden Seiten.

    Tipps

    Eine Gleichung dieser Art löst du in folgender Reihenfolge:

    1. Schritt: Vereinfache die Ausgangsgleichung durch das Anwenden von Rechengesetzen (z.B. Distributivgesetz) und das Zusammenfassen gleichartiger Terme auf beiden Seiten der Gleichung.
    2. & 3. Schritt: Bringe gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation und fasse gleichartige Terme zusammen.
    4. Schritt: Isoliere die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation.

    Schau dir das Vorgehen im folgenden Beispiel an.

    $ \begin{array}{llllll} &5\cdot(x+1)-2x & = & x+11 && \\ \Leftrightarrow&3x+5 & = & x+11 && \vert -5\\ \Leftrightarrow&3x & = & x+6 && \vert -x\\ \Leftrightarrow&2x & = & 6 && \vert :2\\ \Leftrightarrow&x & = & 3 && \end{array} $

    Lösung

    Betrachten wir die gegebene Ausgangsgleichung:

    $ 3\cdot (2x-5)+10 = 4x+9 \\ \\$

    Folgende Rechenschritte musst du zum Lösen der linearen Gleichung anwenden:

    1. Schritt: Vereinfache die Ausgangsgleichung durch das Anwenden von Rechengesetzen und das Zusammenfassen gleichartiger Terme auf beiden Seiten der Gleichung.
    2. & 3. Schritt: Bringe gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation und fasse gleichartige Terme zusammen.
    4. Schritt: Isoliere die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation.

    1. Schritt:
    Im ersten Schritt muss die linke Seite der Gleichung vereinfacht werden, indem die Klammern aufgelöst werden. Dazu wird das Distributivgesetz angewendet. Anschließend werden gleichartige Terme zusammengefasst.

    $ \begin{array}{llllll} &3\cdot (2x-5)+10 & = & 4x+9 && \\ \Leftrightarrow&6x-15+10 & = & 4x+9 && \\ \Leftrightarrow&6x-5 & = & 4x+9 && \end{array} $

    2. & 3. Schritt:
    Im zweiten Schritt müssen gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung gebracht werden. Dieser Schritt erfolgt mittels der jeweiligen Umkehroperation Addition oder Subtraktion. Zuerst wird auf beiden Seiten der Gleichung die $5$ addiert und $4x$ subtrahiert. Wieder werden gleichartige Terme zusammengefasst.

    $ \begin{array}{llllll} &6x-5 & = & 4x+9 && \vert +5 \\ \Leftrightarrow&6x-5+5 & = & 4x+9+5 && \\ \Leftrightarrow&6x & = & 4x+14 && \vert -4x \\ \Leftrightarrow&6x-4x & = & 4x+14-4x && \\ \Leftrightarrow&2x & = & 14 && \end{array} $

    4. Schritt:
    Im vierten Schritt muss die Gleichung nach der Variablen $x$ aufgelöst werden. Hierzu wird die Umkehroperation Division verwendet. Wir dividieren durch $2$.

    $ \begin{array}{llllll} &2x & = & 14 && \vert :2\\ \Leftrightarrow&2x:2 & = & 14:2 &&\\ \Leftrightarrow&x & = & 7 && \\ \end{array} $

  • Bestimme die Lösung der linearen Gleichung mit Variablen auf beiden Seiten.

    Tipps

    Da Erik und Johanna wieder für denselben Geldbetrag eingekauft haben, können wir ihre Ausgaben gleichsetzen.

    Ausgaben Johanna:

    Anzahl Qualle $\cdot$ Preis Qualle $+$ Anzahl Goldfisch $\cdot$ Preis Goldfisch

    Ausgaben Erik:

    Anzahl Qualle $\cdot$ Preis Qualle $+$ Anzahl Schlange $\cdot$ Preis Schlange $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy

    Bei den einzelnen Rechenschritten könnte dir ein Beispiel helfen.

    $ \begin{array}{lllll} 6x-2\cdot 5+5 & = & 4x+5+2\cdot 2 && \\ 6x-5 & = & 4x+9 && \vert +5 \\ 6x & = & 4x+14 && \vert -4x \\ 2x & = & 14 && \vert :2 \\ x & = & 7 && \end{array} $

    Lösung

    Für die Berechnung des Preises der Qualle sind folgende Angaben bezüglich Johannas und Eriks Einkauf bekannt:

    Einkauf Johanna:
    $2$ x Qualle
    $1$ x Goldfisch für je $10$ €

    Einkauf Erik:
    $1$ x Qualle
    $1$ x Schlange für je $15$ €
    $5$ x Guppy für je $1$ €

    Außerdem wissen wir, dass beide für ihren Einkauf gleich viel ausgegeben haben. Es gilt also:

    Ausgaben Johanna $=$ Ausgaben Erik.

    Die Ausgaben werden folgendermaßen berechnet:

    Ausgaben Johanna:
    Anzahl Qualle $\cdot$ Preis Qualle $+$ Anzahl Goldfisch $\cdot$ Preis Goldfisch
    $\rightarrow ~$ $2\cdot x+1\cdot 10$

    Ausgaben Erik:
    Anzahl Qualle $\cdot$ Preis Qualle $+$ Anzahl Schlange $\cdot$ Preis Schlange $+$ Anzahl Guppy $\cdot$ Preis Guppy
    $\rightarrow ~$ $1\cdot x+1\cdot 15+5\cdot 1 \\ \\$

    Somit resultiert folgende lineare Gleichung:

    $2\cdot x+1\cdot 10 = 1\cdot x+1\cdot 15+5\cdot 1$.

    Diese soll nun nach der Variablen $x$ umgestellt werden.

    $ \begin{array}{lllll} 2x+10 & = & x+20 && \vert -10\\ 2x& = & x+10 && \vert -x\\ x& = & 10&& \end{array} $

    Eine Qualle kostet also $10$ €.

  • Bestimme die Unbekannte in den vorgegebenen linearen Gleichungen.

    Tipps

    Folgende Rechenschritte musst du zum Lösen der linearen Gleichungen anwenden:

    1. Schritt: Vereinfache die Ausgangsgleichung durch das Anwenden von Rechengesetzen durch das Zusammenfassen gleichartiger Terme auf beiden Seiten der Gleichung.
    2. & 3. Schritt: Bringe gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation und fasse gleichartige Terme zusammen.
    4. Schritt: Isoliere die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation.

    Zum Auflösen der Klammern, musst du das Distributivgesetz verwenden. Dieses lautet:

    $a\cdot (b+c) = ab+ac$.

    oder

    $a\cdot (b-c) = ab-ac$.

    Das folgende Beispiel zeigt die Anwendung:

    $2\cdot (x+4)=2x+8$

    oder

    $2\cdot (x-4)=2x-8$.

    Lösung

    Folgende Rechenschritte musst du zum Lösen der linearen Gleichungen anwenden:

    • 1. Schritt: Vereinfache die Ausgangsgleichung durch das Anwenden von Rechengesetzen und das Zusammenfassen gleichartiger Terme auf beiden Seiten der Gleichung.
    • 2. & 3. Schritt: Bringe gleichartige Terme je auf eine Seite der Gleichung. Nutze dafür die jeweilige Umkehroperation und fasse gleichartige Terme zusammen.
    • 4. Schritt: Isoliere die Unbekannte $x$ durch die jeweilige Umkehroperation.
    Dieses Vorgehen soll nun mittels der drei vorgegebenen Beispiele vorgeführt werden.

    Beispiel 1
    $ \begin{array}{lllll} \\ 2\cdot \left( 2x+4\right) & = & 2x+16 && \\ 4x+8 & = & 2x+16 && \vert -2x\\ 2x+8 & = & 16 && \vert -8\\ 2x & = & 8 && \vert :2\\ x & = & 4 \\ \end{array} $

    Beispiel 2
    $ \begin{array}{lllll} \\ 3\cdot \left( 4x-2\right) & = & 2\cdot (2x+5) && \\ 12x-6 & = & 4x+10 && \vert -4x\\ 8x-6 & = & 10 && \vert +6\\ 8x & = & 16 && \vert :8\\ x & = & 2 \\ \end{array} $

    Beispiel 3
    $ \begin{array}{lllll} \\ 6\cdot \left( 2x-2\right) & = & 2\cdot (2x+6) && \\ 12x-12 & = & 4x+12 && \vert -4x\\ 8x-12 & = & 12 && \vert +12\\ 8x & = & 24 && \vert :8\\ x & = & 2 \\ \end{array} $

  • Berechne die Variable $x$ durch Umstellen der Gleichung.

    Tipps

    Nutze zunächst die Umkehroperationen Addition oder Subtraktion, um die gleichartigen Terme auf jeweils eine Seite der Gleichung zu bringen.

    Isoliere anschließend die Variable $x$ durch Multiplikation oder Division.

    Ein Beispiel könnte dir helfen.
    $ \begin{array}{lllll} \\ 4x+5 & = & x+11 && \vert -5\\ 4x & = & x+6 && \vert -x\\ 3x & = & 6 && \vert :3\\ x & = & 2 && \end{array} $

    Lösung

    Um die Variable $x$ zu berechnen, muss die Gleichung nach $x$ umgestellt werden. Das bedeutet, dass die Variable $x$ allein stehen soll.

    Dafür werden zunächst mittels der jeweiligen Umkehroperation Addition oder Subtraktion die gleichartigen Terme auf jeweils eine Seite der Gleichung gebracht. Anschließend wird die Variable $x$ mittels der jeweiligen Umkehroperation Division oder Multiplikation isoliert.

    Es resultiert folgende Rechnung:
    $ \begin{array}{lllll} \\ 5x+1 & = & 2x+10 && \vert -1\\ 5x & = & 2x+9 && \vert -2x\\ 3x & = & 9 && \vert :3\\ x & = & 3 && \end{array} $

    Ein Regenbogenblinky kostet also $3$ €. Erik müsste $3$ Guppys gegen einen Regenbogenblinky eintauschen.

  • Bestimme die gesuchte lineare Gleichung und löse diese durch sinnvolles Umstellen.

    Tipps

    Beim Aufstellen der gesuchten linearen Gleichung mit Variablen auf beiden Seiten könntest du wie folgt vorgehen:

    Das Dreifache der gesuchten Menge um $3$ vermindert entspricht dem Zweifachen der gesuchten Menge um $6$ vermehrt.

    $ \begin{array}{l|l} \hline \text{Das Dreifache der gesuchten Menge...} & 3\cdot x \\ \text{...um } 3 \text{ vermindert ...} & 3\cdot x-3 \\ \text{...entspricht dem Zweifachen der gesuchten Menge...} & 3\cdot x-3=2\cdot x \\ \text{...um } 6 \text{ vermehrt.} & 3\cdot x-3=2\cdot x+6 \\ \hline \end{array} $

    Versuche, deine lineare Gleichung mithilfe von Rechengesetzen und Umkehroperationen so umzustellen, dass gleichartige Terme jeweils auf einer Seite der Gleichung stehen. Isoliere im letzten Rechenschritt die Unbekannte $x$.

    Lösung

    Im Folgenden wird das Vorgehen am Beispiel der ersten Aufgabe dargelegt. Dazu soll die Aufgabe zunächst so zerlegt werden, dass die einzelnen Glieder der Gleichung Schritt für Schritt aufgestellt werden.

    Beispiel 1

    Angabe für die Menge von Magnesium:

    Das Achtfache der gesuchten Menge um $2$ vermindert entspricht dem Vierfachen der gesuchten Menge um $10$ vermehrt.

    $ \begin{array}{l|l} \hline \text{Das Achtfache der gesuchten Menge...} & 8\cdot x \\ \text{...um } 2 \text{ vermindert...} & 8\cdot x-2 \\ \text{...entspricht dem Vierfachen der gesuchten Menge...} & 8\cdot x-2=4\cdot x \\ \text{...um } 10 \text{ vermehrt.} & 8\cdot x-2=4\cdot x+10 \\ \hline \end{array} $

    Die gesuchte lineare Gleichung und der dazugehörige Rechenweg lautet somit:

    $ \begin{array}{lllll} 8x-2 & = & 4x+10 && \vert -4x \\ 4x-2 & = & 10 && \vert +2 \\ 4x & = & 12 && \vert :4 \\ x & = & 3 \end{array} $

    Beispiel 2

    Angabe für die Menge von Kalium:

    Das Vierfache der gesuchten Menge um $6$ vermehrt entspricht dem Zweifachen der gesuchten Menge um $18$ vermehrt.

    Analog zum ersten Beispiel wird hier folgende lineare Gleichung aufgestellt:

    $ \begin{array}{lllll} 4x+6 & = & 2x+18 && \vert -2x \\ 2x+6 & = & 18 && \vert -6 \\ 2x & = & 12 && \vert :2 \\ x & = & 6 \end{array} $

    Beispiel 3

    Angabe für die Menge von Eisen:

    Das Fünffache der gesuchten Menge um $8$ vermindert entspricht dem Zweifachen der gesuchten Menge um $4$ vermehrt.

    Auch hier gilt dasselbe Vorgehen für die Herleitung der linearen Gleichung:

    $ \begin{array}{lllll} 5x-8 & = & 2x+4 && \vert -2x \\ 3x-8 & = & 4&& \vert +8 \\ 3x & = & 12 && \vert :3 \\ x & = & 4 \end{array} $