Das Distributivgesetz

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Grundlagen zum Thema Das Distributivgesetz
Distributivgesetz – Einführung
Das Distributivgesetz ist eine Rechenregel und wird auch Verteilungsgesetz genannt. Das Distributivgesetz ist im Grunde ein Gesetz zum Ausklammern bzw. Ausmultiplizieren und dient zum Vereinfachen von Termen und Gleichungen.
Distributivgesetz – Definition
Das Distributivgesetz besagt: Das Produkt aus einer Zahl und einer Summe ergibt das Gleiche wie die Summe aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden.
Mathematisch formuliert man das wie folgt:
$c\cdot (a + b)=c\cdot a+c\cdot b $
Für $a$, $b$ und $c$ können beliebige Zahlen eingesetzt werden.
Das bedeutet: Durch Ausmultiplizieren kann ein Produkt in eine Summe umgewandelt werden. Umgekehrt kann durch Ausklammern eine Summe in ein Produkt umgewandelt werden.
Das Distributivgesetz kann nicht angewendet werden, wenn sich in der Klammer eine Punktrechnung, also eine Multiplikation oder Division, befindet.
Distributivgesetz – Beispiel
$3\cdot(4+5)=3\cdot4+3\cdot5$
Die beiden Seiten der Gleichung werden im Folgenden einzeln betrachtet:
- linke Seite: $~3\cdot(4+5)=3\cdot9=27$
- rechte Seite: $~3\cdot4+3\cdot5=12+15=27$
Also gilt:
$3\cdot(4+5)=3\cdot4+3\cdot5=27$
Distributivgesetz – Anwendung
An einem sonnigen Tag möchten sich Anton und Bella ein Eis kaufen. Zuerst kauft Anton ein Eis. Er bestellt $3$ Kugeln. Danach kauft Bella eine Eistüte und wählt ebenfalls $3$ Kugeln. Mathematisch kann man das wie folgt formulieren:
$3\cdot1+3\cdot1=6$
Das sind insgesamt $6$ Kugeln Eis.
Am nächsten Tag treffen sich die beiden jedoch zuerst ohne Eis. Später kaufen sie gemeinsam für jeden wieder $3$ Kugeln Eis. Mathematisch heißt das:
$3\cdot(1+1)=6$
Das sind wieder $6$ Kugeln Eis.
Das Ergebnis der letzten zwei Tage ist gleich. Es ist also egal, ob sich Anton und Bella zuerst ein Eis kaufen und sich dann treffen oder ob sie sich erst treffen und dann gemeinsam ein Eis kaufen.
$3\cdot1+3\cdot1=3\cdot(1+1)=6$
Distributivgesetz – Zusammenfassung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, das Distributivgesetz zum Vereinfachen von Termen und Gleichungen anzuwenden.
Zunächst lernst du, wie das Distributivgesetz allgemein definiert ist. Anschließend übst du es an unterschiedlichen Beispielen ein, indem du Klammerausdrücke auflöst oder aufstellt. Abschließend lernst du, wie du das Distributivgesetz in Worten erklären kannst.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie die Grundrechenarten durchgeführt werden und wie die Rechenreihenfolge von Klammern, Punkt- und Strichrechnungen festgelegt ist.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das Vereinfachen von Termen unter Anwendung mathematischer Regeln zu lernen.
Häufige Fragen zum Thema Distributivgesetz
Transkript Das Distributivgesetz
Das Distributivgesetz ist ein wichtiges mathematisches Gesetz, das dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen wird. Und nach unserem Ausflug zum Eiswagen kannst du dir das Gesetz bestimmt merken und es selbst anwenden. Das sind Anton und Bella. Beide lieben Eis über alles. Heute ist es besonders sonnig und damit das perfekte Wetter für eine kalte Erfrischung. Zuerst kauft sich Anton ein Eis. Er hat 3 Kugeln in seiner Waffel. Dies kannst du mathematisch ausdrücken: Die drei Kugeln Eis stehen für die Zahl 3, Anton steht für die Zahl 1. Drei mal eins ist drei. Danach kauft sich Bella eine Eistüte. Auch sie wählt drei Kugeln Eis. Deshalb kannst du den Ausdruck drei mal eins auch in diesem Fall verwenden. Nun treffen sich Anton und Bella mit ihren Eistüten. Die Anzahl der Eiskugeln kannst du nun so ausdrücken: Drei mal eins plus drei mal eins, das sind sechs Kugeln Eis. Springen wir zum Anfang der Geschichte zurück. Das sind Anton und Bella. Dieses Mal treffen sie sich zuerst ohne Eis. Das ergibt die Summe Anton plus Bella. Zusammen kaufen sie für jeden drei Kugeln Eis. Mathematisch heißt das: 3 mal die Summe von eins plus eins. Zusammen haben die beiden also 6 Kugeln Eis. Aber...ist das nicht das gleiche Ergebnis wie vorhin? Ja: denn es ist egal, ob sich Anton und Bella zuerst ein Eis kaufen und dann treffen oder ob sie sich erst treffen und dann gemeinsam ein Eis kaufen. Das Ergebnis ist das Gleiche. Setzen wir einmal Variablen in die Gleichung ein: A für Anton, B für Bella und C für die Eiskugeln pro Waffel. Nun multiplizieren wir aus: C mal A plus C mal B. Das ist das Distributivgesetz. Lass uns das Gesetz einmal mit anderen Zahlen ausprobieren: 3 mal die Summe aus 4 und 5. Du kannst die 3 mit jedem Summanden einzeln multiplizieren und die Produkte dann addieren: drei mal vier [pause] plus drei mal fünf ist gleich 27. Oder du rechnest zuerst die Klammer aus und multiplizierst die Summe mit 3: drei mal die Summe aus 4 plus 5 ist gleich 3 mal 9. Auch hier kommst du auf 27. Setze verschiedene Zahlen A, B und C ein und probiere es selbst einmal aus. Merke: Das Distributivgesetz besagt: Das Produkt aus einer Zahl und einer Summe ergibt das Gleiche wie die Summe aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden. C mal die Summe von A und B ist das gleiche wie C mal A plus C mal B. Denke an Anton und Bella, wenn dir das Distributivgesetz das nächste Mal begegnet!
Das Distributivgesetz Übung
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Berechne die Anzahl der Eiskugeln auf zwei Weisen.
TippsDas Distributivgesetz lautet:
$c\cdot (a+b)=ca+cb$
Die beiden Fälle aus der Aufgabenstellung stellen je eine Seite des Distributivgesetzes dar.
Laut dem Distributivgesetz liefern beide mathematischen Ausdrücke dasselbe Ergebnis.
LösungFall 1
Zuerst kauft sich Anton ein Eis. Er hat drei Kugeln in seiner Waffel. Danach kauft sich Bella eine Eistüte. Auch sie wählt drei Kugeln Eis. Anschließend treffen sich Anton und Bella mit ihren Eistüten.
Wir halten folgende mathematischen Ausdrücke fest:
- Anzahl der Eiskugeln von Anton: $3\cdot 1$
- Anzahl der Eiskugeln von Bella: $3\cdot 1$
- Gesamtanzahl $=$ Anzahl der Eiskugeln von Anton $+$ Anzahl der Eiskugeln von Bella
$~ 3\cdot 1+3\cdot 1 = 6$
Fall 2
Anton und Bella treffen sich zuerst ohne Eis. Anschließend kaufen sie gemeinsam für jede*n je drei Kugeln Eis.
Wir halten folgende mathematischen Ausdrücke fest:
- Anton und Bella treffen sich: $1+1$
- Anzahl der Eiskugeln je Person: $3$
- Gesamtanzahl $=$ Anzahl der Eiskugeln je Person $\cdot$ Anzahl der Personen
$~ 3\cdot (1+1)=6$
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Stelle das Distributivgesetz für die gegebenen Parameter auf.
TippsEs gilt:
- Klammer- vor Punktrechnung
- Punkt- vor Strichrechnung
Sieh dir folgendes Beispiel an:
$a=2,\ b=4,\ c=6$
- linke Seite: $6\cdot (2+3)=6\cdot 5=30$
- rechte Seite: $6\cdot 2+6\cdot 3=12+18=30$
LösungFolgende Angaben sind uns bekannt:
- $a=4$
- $b=5$
- $c=3$
Linke Seite
Die linke Seite der Gleichung liefert folgende Rechnung:
$3\cdot (4+ 5)=3\cdot 9=27$
Rechte Seite
Die rechte Seite der Gleichung liefert folgende Rechnung:
$3\cdot 4+ 3\cdot 5= 12+ 15=27$
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Ermittle den jeweiligen Term nach Anwendung des Distributivgesetzes.
TippsDas Distributivgesetz lautet:
$c\cdot (a+b)=ca+cb$
Die Parameter $a$, $b$ und $c$ kannst du durch Zahlen ersetzen.
Schaue dir folgendes Beispiel an:
$7\cdot (2+3)=7\cdot 2+7\cdot 3$
LösungIn dieser Aufgabe wenden wir das Distributivgesetz $c\cdot (a+b)=ca+cb$ auf die gegebenen Beispiele an.
1. Beispiel
$4\cdot (5+6)=4\cdot 5+4\cdot 6$
Zum Überprüfen werden wir für dieses Beispiel die linke und rechte Seite der Gleichung berechnen.
- linke Seite: $4\cdot (5+6)=4\cdot 11=44$
- rechte Seite: $4\cdot 5+4\cdot 6=20+24=44$
$5\cdot (4+6)=5\cdot 4+5\cdot 6$
3. Beispiel
$6\cdot (5+4)=6\cdot 5+6\cdot 4$
4. Beispiel
$4\cdot (4+5)=4\cdot 4+4\cdot 5$
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Ermittle die Lösungen mithilfe des Distributivgesetzes.
TippsMultipliziere zunächst die Klammern aus. Wende dafür das Distributivgesetz an:
$c\cdot (a+b)=ca+cb$
Gehe wie folgt vor:
$3\cdot (7+8)=3\cdot 7+3\cdot 8$
Nach dem Auflösen der Klammern gilt für die weitere Rechnung Punkt- vor Strichrechnung.
LösungBeim Lösen der vorgegebenen Aufgaben werden wir zunächst die Klammern ausmultiplizieren. Dazu wenden wir das Distributivgesetz an. Anschließend rechnen wir den Term aus, indem wir die Punktrechnung vor der Strichrechnung durchführen.
Im Folgenden wird die Zwischenrechnung, die in der Aufgabe nicht gefordert ist, zum besseren Verständnis ebenfalls aufgeführt.Wir erhalten diese Rechnungen:
1. Beispiel
$6 \cdot (10 + 2)=6\cdot 10+6\cdot 2=60+12=72$
2. Beispiel
$8 \cdot (11 + 1)=8\cdot 11+8\cdot 1=88+8=96$
3. Beispiel
$3 \cdot (14 + 3)=3\cdot 14+3\cdot 3=42+9=51$
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Beschreibe das Distributivgesetz.
TippsSchaue dir folgendes Beispiel an:
$3\cdot (1+2)=3\cdot 3=9$
$3\cdot (1+2)=3\cdot 1+3\cdot 2=3+6=9$
Es spielt keine Rolle, ob man erst die Summe und dann das Produkt oder erst die Produkte und dann die Summe bildet.
Ein Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation von Faktoren.
Eine Summe ist das Ergebnis der Addition von Summanden.
LösungDas Distributivgesetz ist ein wichtiges mathematisches Gesetz, das dir in verschiedenen Bereichen der Mathematik begegnet.
Das Distributivgesetz lautet $c\cdot (a+b)=ca+cb$ und besagt:
Das Produkt aus einer Zahl und einer Summe ergibt das Gleiche wie die Summe aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden.
Etwas weniger mathematisch ausgedrückt:
Es ist egal, ob:
- du zuerst die Zahlen in der Klammer addierst und dann das Ergebnis mit der Zahl vor der Klammer multiplizierst oder ob
- du die Zahl vor der Klammer mit den Zahlen in der Klammer einzeln multiplizierst und die Ergebnisse addierst.
-
Bestimme die fehlende Seite des Distributivgesetzes.
TippsUm die linke Seite des Distributivgesetzes zu erhalten, musst du den Faktor, der auf der rechten Seite der Gleichung zweimal vorkommt, ausklammern.
Schaue dir die folgenden Beispiele an:
- $2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$
- $(3+4)\cdot 2=3\cdot 2+4\cdot 2$
LösungBisher haben wir uns an dem Distributivgesetz in der Form $c\cdot (a+b)=ca+cb$ orientiert.
Mithilfe des Kommutativgesetzes der Multiplikation (das sollst du hier in der Aufgabe nicht anwenden) können wir den Ausdruck auch anders darstellen. Es gilt:
$(a+b)\cdot c=ac+bc$
Für die vorgegebenen Aufgaben erhalten wir folgende Terme:
1. Aufgabe
$5\cdot (3+8)=5\cdot 3+5\cdot 8$
2. Aufgabe
$6\cdot (7+3)=6\cdot 7+6\cdot 3$
3. Aufgabe
$(2+1)\cdot 7=2\cdot 7+1\cdot 7$
4. Aufgabe
$3\cdot (5+3)=3\cdot 5+3\cdot 3$
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Cooles Video aber du redest so schnell
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Ich fand es lustig und man versteht es zur
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