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Das Distributivgesetz 03:38 min

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Transkript Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz ist ein wichtiges mathematisches Gesetz, das dir im Laufe deiner Schulzeit immer wieder begegnen wird. Und nach unserem Ausflug zum Eiswagen kannst du dir das Gesetz bestimmt merken und es selbst anwenden. Das sind Anton und Bella. Beide lieben Eis über alles. Heute ist es besonders sonnig und damit das perfekte Wetter für eine kalte Erfrischung. Zuerst kauft sich Anton ein Eis. Er hat 3 Kugeln in seiner Waffel. Dies kannst du mathematisch ausdrücken: Die drei Kugeln Eis stehen für die Zahl 3, Anton steht für die Zahl 1. Drei mal eins ist drei. Danach kauft sich Bella eine Eistüte. Auch sie wählt drei Kugeln Eis. Deshalb kannst du den Ausdruck drei mal eins auch in diesem Fall verwenden. Nun treffen sich Anton und Bella mit ihren Eistüten. Die Anzahl der Eiskugeln kannst du nun so ausdrücken: Drei mal eins plus drei mal eins, das sind sechs Kugeln Eis. Springen wir zum Anfang der Geschichte zurück. Das sind Anton und Bella. Dieses Mal treffen sie sich zuerst ohne Eis. Das ergibt die Summe Anton plus Bella. Zusammen kaufen sie für jeden drei Kugeln Eis. Mathematisch heißt das: 3 mal die Summe von eins plus eins. Zusammen haben die beiden also 6 Kugeln Eis. Aber...ist das nicht das gleiche Ergebnis wie vorhin? Ja: denn es ist egal, ob sich Anton und Bella zuerst ein Eis kaufen und dann treffen oder ob sie sich erst treffen und dann gemeinsam ein Eis kaufen. Das Ergebnis ist das Gleiche. Setzen wir einmal Variablen in die Gleichung ein: A für Anton, B für Bella und C für die Eiskugeln pro Waffel. Nun multiplizieren wir aus: C mal A plus C mal B. Das ist das Distributivgesetz. Lass uns das Gesetz einmal mit anderen Zahlen ausprobieren: 3 mal die Summe aus 4 und 5. Du kannst die 3 mit jedem Summanden einzeln multiplizieren und die Produkte dann addieren: drei mal vier [pause] plus drei mal fünf ist gleich 27. Oder du rechnest zuerst die Klammer aus und multiplizierst die Summe mit 3: drei mal die Summe aus 4 plus 5 ist gleich 3 mal 9. Auch hier kommst du auf 27. Setze verschiedene Zahlen A, B und C ein und probiere es selbst einmal aus. Merke: Das Distributivgesetz besagt: Das Produkt aus einer Zahl und einer Summe ergibt das Gleiche wie die Summe aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden. C mal die Summe von A und B ist das gleiche wie C mal A plus C mal B. Denke an Anton und Bella, wenn dir das Distributivgesetz das nächste Mal begegnet!

37 Kommentare
  1. Hallo Schwemler80, kannst du genauer sagen, worin der Fehler besteht?
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Monat
  2. bei der Bonusaufgabe ist ein Fehler aufgetauht

    Von Schwemler80, vor etwa einem Monat
  3. Danke, hat mir gut geholfen, war lustig

    Von Anouk H., vor etwa 2 Monaten
  4. Hallo Liebe Redaktion,

    Mir ist ein Fehler in Aufgabe 2 b) aufgefallen. Wenn man die 4 hinschreibt und dann korigiert wird die Zahl als Fehler makiert. Wenn man dann die Lösungen sieht wird gesagt das eigentlich eine 4 kommt.

    Von Jan L., vor 2 Monaten
  5. Hallo Eric Z., danke für dein Feedback! Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge. Du kannst die Geschwindigkeit unserer Videos jedoch auch immer selbst anpassen. Dafür klickst du einfach auf das kleine Tacho-Symbol unten rechts im Videofenster.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor 2 Monaten
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Das Distributivgesetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Das Distributivgesetz kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Anzahl der Eiskugeln auf zwei Weisen.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet:

    $c\cdot (a+b)=ca+cb$.

    Die beiden Fälle aus der Aufgabenstellung stellen je eine Seite des Distributivgesetzes dar.

    Laut dem Distributivgesetz liefern beide mathematischen Ausdrücke dasselbe Ergebnis.

    Lösung

    Wir betrachten zunächst den ersten Fall.

    Fall 1

    Zuerst kauft sich Anton ein Eis. Er hat drei Kugeln in seiner Waffel. Danach kauft sich Bella eine Eistüte. Auch sie wählt drei Kugeln Eis. Anschließend treffen sich Anton und Bella mit ihren Eistüten.

    Wir halten folgende mathematischen Ausdrücke fest:

    • Anzahl der Eiskugeln von Anton: $3\cdot 1$
    • Anzahl der Eiskugeln von Bella: $3\cdot 1$
    • Gesamtanzahl = Anzahl der Eiskugeln von Anton + Anzahl der Eiskugeln von Bella
    Somit erhalten wir: $~ 3\cdot 1+3\cdot 1 = 6$.

    Fall 2

    Anton und Bella treffen sich zuerst ohne Eis. Anschließend kaufen sie gemeinsam für jeden je drei Kugeln Eis.

    Wir halten folgende mathematischen Ausdrücke fest:

    • Anton und Bella treffen sich: $1+1$
    • Anzahl der Eiskugeln je Person: $3$
    • Gesamtanzahl = Anzahl der Eiskugeln je Person $\cdot$ Anzahl der Personen
    Somit erhalten wir: $~ 3\cdot (1+1)=6$.

  • Stelle das Distributivgesetz für die gegebenen Parameter auf.

    Tipps

    Es gilt:

    • Klammer- vor Punktrechnung sowie
    • Punkt- vor Strichrechnung.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $a=2,\ b=4,\ c=6$.

    Linke Seite:

    $6\cdot (2+3)=6\cdot 5=30$

    Rechte Seite:

    $6\cdot 2+6\cdot 3=12+18=30$

    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • $a=4$,
    • $b=5$ und
    • $c=3$.
    Diese Parameter werden in das Distributivgesetz $c\cdot (a+b)=ca+cb$ eingesetzt. Wir wollen zeigen, dass die linke und die rechte Seite der Gleichung dasselbe Ergebnis liefern.

    Linke Seite:

    Die linke Seite der Gleichung liefert folgende Rechnung:

    $3\cdot (4+ 5)=3\cdot 9=27$.

    Rechte Seite:

    Die rechte Seite der Gleichung liefert folgende Rechnung:

    $3\cdot 4+ 3\cdot 5= 12+ 15=27$.

  • Ermittle den jeweiligen Term nach Anwendung des Distributivgesetzes.

    Tipps

    Das Distributivgesetz lautet:

    $c\cdot (a+b)=ca+cb$.

    Die Parameter $a$, $b$ und $c$ kannst du durch Zahlen ersetzen.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $7\cdot (2+3)=7\cdot 2+7\cdot 3$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe wenden wir das Distributivgesetz $c\cdot (a+b)=ca+cb$ auf die gegebenen Beispiele an.

    Beispiel 1

    $4\cdot (5+6)=4\cdot 5+4\cdot 6$

    Zum Überprüfen werden wir für dieses Beispiel die linke und rechte Seite der Gleichung berechnen.

    linke Seite: $4\cdot (5+6)=4\cdot 11=44$

    rechte Seite: $4\cdot 5+4\cdot 6=20+24=44$

    Beispiel 2

    $5\cdot (4+6)=5\cdot 4+5\cdot 6$

    Beispiel 3

    $6\cdot (5+4)=6\cdot 5+6\cdot 4$

    Beispiel 4

    $4\cdot (4+5)=4\cdot 4+4\cdot 5$

  • Ermittle die Lösungen mit Hilfe des Distributivgesetzes.

    Tipps

    Multipliziere zunächst die Klammern aus. Wende dafür das Distributivgesetz an:

    $c\cdot (a+b)=ca+cb$.

    Gehe wie folgt vor:

    $3\cdot (7+8)=3\cdot 7+3\cdot 8$.

    Nach dem Auflösen der Klammern gilt für die weitere Rechnung Punkt- vor Strichrechnung.

    Lösung

    Beim Lösen der vorgegebenen Aufgaben werden wir zunächst die Klammern ausmultiplizieren. Dazu wenden wir das Distributivgesetz an. Anschließend rechnen wir den Term aus, indem wir die Punktrechnung vor der Strichrechnung durchführen. Im Folgenden wird die Zwischenrechnung, die in der Aufgabe nicht gefordert ist, zum besseren Verständnis ebenfalls vorgemacht.

    Wir erhalten folgende Rechnungen:

    Beispiel 1

    $6 \cdot (10 + 2)=6\cdot 10+6\cdot 2=60+12=72$

    Beispiel 2

    $8 \cdot (11 + 1)=8\cdot 11+8\cdot 1=88+8=96$

    Beispiel 3

    $3 \cdot (14 + 3)=3\cdot 14+3\cdot 3=42+9=51$

  • Beschreibe das Distributivgesetz.

    Tipps

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $3\cdot (1+2)=3\cdot 3=9$;

    $3\cdot (1+2)=3\cdot 1+3\cdot 2=3+6=9$.

    Es spielt keine Rolle, ob man erst die Summe und dann das Produkt oder erst die Produkte und dann die Summe bildet.

    Ein Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation von Faktoren.

    Eine Summe ist das Ergebnis der Addition von Summanden.

    Lösung

    Das Distributivgesetz ist ein wichtiges mathematisches Gesetz, das dir in verschiedenen Bereichen der Mathematik begegnet.

    Das Distributivgesetz lautet $c\cdot (a+b)=ca+cb$ und besagt:

    Das Produkt aus einer Zahl und einer Summe ergibt das Gleiche wie die Summe aus dem Produkt dieser Zahl mit den einzelnen Summanden.

    Etwas weniger mathematisch ausgedrückt:

    Es ist egal, ...

    • ...ob du zuerst die Zahlen in der Klammer addierst und dann das Ergebnis mit der Zahl vor der Klammer multiplizierst ODER
    • ...ob du die Zahl vor der Klammer mit den Zahlen in der Klammer einzeln multiplizierst und die Ergebnisse addierst.
  • Bestimme die fehlende Seite des Distributivgesetzes.

    Tipps

    Um die linke Seite des Distributivgesetzes zu erhalten, musst du den Faktor, der auf der rechten Seite der Gleichung zweimal vorkommt, ausklammern.

    Schau dir die folgenden Beispiele an:

    • $2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$;
    • $(3+4)\cdot 2=3\cdot 2+4\cdot 2$.
    Lösung

    Bisher haben wir uns an dem Distributivgesetz in der Form $c\cdot (a+b)=ca+cb$ orientiert.

    Mit Hilfe des Kommutativgesetzes der Multiplikation (das sollst du hier in der Aufgabe nicht selbst anwenden) können wir den Ausdruck auch anders darstellen. Es gilt $(a+b)\cdot c=ac+bc$.

    Für die vorgegebenen Aufgaben erhalten wir folgende Terme:

    Aufgabe 1

    $5\cdot (3+8)=5\cdot 3+5\cdot 8$

    Aufgabe 2

    $6\cdot (7+3)=6\cdot 7+6\cdot 3$

    Aufgabe 3

    $(2+1)\cdot 7=2\cdot 7+1\cdot 7$

    Aufgabe 4

    $3\cdot (5+3)=3\cdot 5+3\cdot 3$