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Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

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Team Digital
Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

Rechengesetze in der Mathematik

In Mathe musst du beim Rechnen verschiedene Regeln beachten. Einige davon kennst du bestimmt, zum Beispiel:

  • Klammer zuerst“ und
  • Punkt vor Strich“.

Mit diesen Regeln wird das Rechnen manchmal ganz schön kompliziert. Wir wollen uns hier drei Rechengesetze anschauen, die dir erlauben, Zahlen zu vertauschen oder Klammern zu setzen oder aufzulösen. Damit kannst du geschickt rechnen.

  • Kommutativgesetz:
    Summanden bei der Addition und Faktoren bei der Multiplikation können beliebig vertauscht werden.
  • Assoziativgesetz:
    Bei einer Addition oder Multiplikation können Klammern beliebig gesetzt oder weggelassen werden.
  • Distributivgesetz:
    Das Produkt aus einer Zahl und einer Summe entspricht der Summe der Produkte der Zahl mit den einzelnen Summanden.

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt. Für die Addition besagt es, dass man Summanden vertauschen darf, ohne dass sich das Ergebnis ändert.

Das heißt, dass wir zum Beispiel $6 + 3$ auch als $3 + 6$ schreiben können und trotzdem dasselbe Ergebnis erhalten:
$6 + 3 = 3 + 6 $
Beide Seiten ergeben $9$.

Das Kommutativgesetz gilt auch für die Multiplikation. Wie bei der Addition die Summanden, kannst du bei der Multiplikation die Faktoren vertauschen:
$6 \cdot 3 = 3 \cdot 6$
Auf beiden Seiten erhalten wir das Ergebnis $18$.

Für die Subtraktion gilt das Kommutativgesetz nicht, denn:
$6 - 3 = 3~$ aber $~3 - 6 = -3$

Auch auf die Division kann das Vertauschungsgesetz nicht angewendet werden:
$6 : 3 = 2~$ aber $~3 : 6 = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$

Assoziativgesetz

Für die Addition besagt das Assoziativgesetz oder Verbindungsgesetz, dass man beim mehrfachen Addieren Klammern beliebig setzen, umsetzen oder auch weglassen kann. So ist zum Beispiel:
$(6 + 3) +2 = 6 + (3 + 2) = 6 + 3 + 2$
Berechnen wir die erste Summe und rechnen zuerst die Klammer, so erhalten wir $9 + 2$, das ergibt $11$. Dasselbe Ergebnis erhalten wir, wenn wir zunächst $3 + 2$ rechnen und dann $6$ addieren.

Das Assoziativgesetz gilt ebenso für die Multiplikation. Auch bei der Multiplikation können wir Klammern beliebig setzen und weglassen:
$(6 \cdot 3) \cdot 2 = 6 \cdot (3 \cdot 2) = 6 \cdot 3 \cdot 2$
Rechnen wir alle drei Terme aus, so erhalten wir immer $36$.

Für die Subtraktion gilt das Assoziativgesetz nicht. So ist:
$(6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1~$ aber $~6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5$
Die beiden Ergebnisse stimmen nicht überein.

Auch für die Division gilt das Assoziativgesetz nicht:
$(6 : 3) : 2 = 2 : 2 = 1~$ aber $~6 : (3 : 2) = 6 : \dfrac{3}{2} = 4$
Diese beiden Ergebnisse stimmen ebenfalls nicht überein.

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz erklärt, wie wir mit Klammern in Rechnungen umgehen, wenn verschiedene Rechenoperationen auftreten.

Dazu schauen wir uns zunächst ein Beispiel an:
$(8 - 2) \cdot 3$
Hierbei haben wir innerhalb der Klammer eine Subtraktion und außerhalb der Klammer eine Multiplikation. Berechnen wir zuerst die Klammer und multiplizieren dann mit $3$, so erhalten wir $18$ als Ergebnis:
$(8 - 2) \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$

Das Distributivgesetz besagt nun, dass wir die Zahlen in der Klammer zunächst einzeln mit dem Faktor, in diesem Fall $3$, multiplizieren können. Nachdem wir dann die Produkte ausgerechnet haben, subtrahieren wir und erhalten als Endergebnis ebenfalls $18$:
$(8 - 2) \cdot 3 = 8 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 24 - 6 = 18$

Wir können manche Rechnungen mithilfe des Distributivgesetzes vereinfachen und dann leichter im Kopf rechnen.

Beispiel:
$54 \cdot 7 = (50 + 4) \cdot 7$
Dann rechnen wir:
$(50 + 4) \cdot 7 = 50 \cdot 7 + 4 \cdot 7 = 350 + 28 = 378$

Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz – Beispiel

Oft kannst du eine Rechnung durch geschickten Einsatz der drei Rechengesetze vereinfachen. Wir betrachten dazu folgende Aufgabe:

$63 \cdot 7 + 73 + (12 + 7) + 3 \cdot (5 - 2)$

Das Assoziativgesetz besagt, dass Klammern in Summen beliebig gesetzt oder weggelassen werden können. Wir dürfen also die Klammern um die Summe $12 + 7$ einfach weglassen:
$63 \cdot 7 + 73 + \color{blue}{12 + 7} \color{#666666}{~+~ 3 \cdot (5 - 2)}$

Den letzten Teil des Terms können wir mithilfe des Distributivgesetzes auflösen und erhalten:
$3 \cdot (5 - 2) = 3 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 15 - 6 = 9$

Damit sieht die Aufgabe folgendermaßen aus:
$63 \cdot 7 + 73 + 12 + 7 + \color{blue}{9}$

$63 \cdot 7$ können wir mithilfe des umgekehrten Distributivgesetzes umschreiben und erhalten:
$63 \cdot 7 = (60 + 3) \cdot 7 = 60 \cdot 7 + 3 \cdot 7 = 420 + 21 = 441$

Die Aufgabe lautet nun:
$\color{blue}{441} \color{#666666}{~+~ 73 + 12 + 7 + 9}$

Wir können nun die Summanden mithilfe des Kommutativgesetzes vertauschen und so ordnen, dass es uns das Rechnen vereinfacht.
So können wir $441$ und $9$ zusammenschreiben und mithilfe des Assoziativgesetzes Klammern setzen. Dies wird zu $450$ addiert.
Ebenso können $73$ und $7$ zusammengeschrieben und Klammern gesetzt werden. Dies ergibt $80$:
$441 + 73 + 12 + 7 + 9 = $
$\color{blue}{(}\color{#666666}{441 + 9}\color{blue}{)} \color{#666666}{~+~} \color{blue}{(}\color{#666666}{73 + 7}\color{blue}{)} \color{#666666}{~+~} 12 = 450 + 80 + 12$

Anschließend können wir von links nach rechts addieren und erhalten:
$450 + 80 + 12 = 542$

Übersicht – Geschickt rechnen mit Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz

Wenn du die drei Rechengesetze sicher beherrschst, kannst du damit komplizierte Rechnungen vereinfachen oder sogar im Kopf rechnen. Je nach Art der Rechnung kannst du dazu nur eines oder auch mehrere Rechengesetze verwenden.

Geschickt Addieren und Multiplizieren mit Assoziativ- und Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz $\left( \text{KG} \right)$ und das Assoziativgesetz $\left( \text{AG} \right)$ kannst du oft zusammen anwenden.
Dazu vertauschst du die Summanden oder Faktoren zunächst mit dem Kommutativgesetz und fasst sie dann mit dem Assoziativgesetz in passenden Paaren mit Klammern zusammen.

Geschicktes Addieren und Multiplizieren mit Kommutativgesetz und Assoziativgesetz

Hier siehst du Beispiele, bei denen die Rechnung durch das Vertauschen der Summanden (oder der Faktoren) und Setzen von Klammern vereinfacht wurde.

Bei der Multiplikation gibt es einige Faktorenpaare, die sich besonders für die Vereinfachung eignen, da ihr Produkt ein Vielfaches von $10$ ergibt. Sie sind in der folgenden Übersicht zusammengefasst.

Faktorenpaare für geschicktes Multiplizieren

Kopfrechnen mit dem Distributivgesetz

Die Zerlegung schwieriger Multiplikationsaufgaben in einfachere Rechnungen entspricht der umgekehrten Verwendung des Distributivgesetzes.

Dabei zerlegst du einen Faktor in Summanden, die einfacher zu multiplizieren sind:
$6 \cdot 27 = 6 \cdot (20 + 7)$

Dann kannst du die Produkte nach dem Distributivgesetz einzeln berechnen und addieren:
$6 \cdot (20 + 7) = 6 \cdot 20 + 6 \cdot 7 = 120 + 42 = 162$

Zusammenfassung – Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz

  • Das Kommutativgesetz besagt, dass du bei der Addition Summanden und bei der Multiplikation Faktoren vertauschen darfst.
    $2 \cdot 7 = 7 \cdot 2 = 14$
  • Das Assoziativgesetz besagt, dass du beim mehrfachen Addieren und Multiplizieren Klammern beliebig umsetzen oder weglassen darfst.
    $3 + 5 + 7 = (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7) = 15$
  • Das Distributivgesetz besagt, dass du eine Summe beziehungsweise Differenz mit einem Faktor multiplizieren kannst, indem du jeden Summanden (beziehungsweise den Minuenden und Subtrahenden) einzeln mit diesem Faktor multiplizierst und die Produktwerte addierst (beziehungsweise subtrahierst).
    $5 \cdot (4 - 1) = 5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 = 20 - 5 = 15$
  • Eine umgekehrte Anwendung des Distributivgesetzes kann helfen, leichter im Kopf zu rechnen.
    $7 \cdot 12 = 7 \cdot (10 + 2) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 2 = 70 + 14 = 84$

Zusammenfassung Kommutativgesetz und Assoziativgesetz

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

Was sind die drei Rechengesetze?
Was ist der Unterschied zwischen Assoziativgesetz und Kommutativgesetz?
Was sind die Rechengesetze?
Welche Rechengesetze gibt es bei der Division?
Was ist der Unterschied zwischen Rechenregeln und Rechengesetzen?
Was bedeuten die verschiedenen Rechengesetze?
Welche Rechengesetze gibt es bei der Multiplikation?
Welche Rechengesetze hast du zur Multiplikation gelernt? Gib je ein Beispiel dazu an.
Welche Rechengesetze gelten für die Subtraktion?
Für welche Rechenarten gilt das Assoziativgesetz?
Welche Rechengesetze gelten bei der Addition?
Wie viele Rechengesetze gibt es?

Transkript Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz

Da hat Bücherwurm Willi ja ein schönes Gesetzbuch gefunden. Was diese Gesetze besagen und wie du sie anwenden kannst, lernst du in diesem Video zusammen mit Willi. Beginnen wir dabei mit dem Kommutativgesetz, welches auch Vertauschungsgesetz genannt wird. Für die Addition besagt es, dass man Summanden vertauschen darf. Das heißt, dass wir zum Beispiel 6+3 auch als 3+6 schreiben können und trotzdem dasselbe Ergebnis erhalten. Sowohl 6+3 als auch 3+6 ergeben 9. Das Kommutativgesetzt gilt übrigens auch für die Multiplikation. Wie auch bei der Addition, kann man die Faktoren vertauschen. Auf beiden Seiten erhalten wir das Ergebnis 18. Für die Subtraktion gilt das Kommutativgesetz aber nicht, denn 6 - 3 ist 3 und 3 - 6 ist -3. Ebenso gilt es nicht für die Division. Rechnen wir zum Beispiel 6 geteilt durch 3, so erhalten wir 2. Teilen wir aber 3 durch 6, erhalten wir einen Bruch. Das nächste Gesetz, durch das Willi der Bücherwurm sich frisst, heißt Assoziativgesetz. Für die Addition besagt es, dass man beim mehrfachen Addieren Klammern beliebig setzen, umsetzen oder auch weglassen kann. So ist in Klammern (6 + 3) + 2. Dasselbe wie 6 + in Klammern (3+ 2) oder auch 6+3+2. Berechnen wir die erste Summe und rechnen zuerst die Klammern und addieren dann 2, so erhalten wir 11. Dasselbe Ergebnis erhalten wir, wenn wir zunächst 3+2 rechnen und dann 6 addieren und ebenso, wenn wir von links nach rechts rechnen. Das Assoziativgesetz gilt ebenso für die Multiplikation. Auch bei der Multiplikation können wir Klammern beliebig setzen oder weglassen. Rechnen wir alle drei Terme aus so sehen wir, dass sich bei jedem Term am Ende das Ergebnis 36 ergibt. Für die Subtraktion gilt dies nicht. Rechnen wir zunächst 6 - 3 und subtrahieren dann 2, erhalten wir 1. Berechnen wir aber zuerst 3-2 und subtrahieren das Ergebnis dann von 6, so erhalten wir 5 als Endergebnis. Auch für die Division gilt das Assoziativgesetz nicht. Teilen wir 6 durch 3 und teilen dann dieses Ergebnis durch 2, so erhalten wir 1. Teilen wir aber zunächst 3 durch 2 und das dann durch 6, so erhalten wir 4. Das letzte Gesetz, durch das sich Willie frisst, heißt Distributivgesetz. Schauen wir uns das doch einmal an einem Beispiel an: In Klammern 8-2 mal 3. Hier hast du also innerhalb der Klammer eine Subtraktion und außerhalb der Klammer eine Multiplikation. Berechnen wir die Klammern zuerst, so erhalten wir 6 mal 3 und das sind 18. Das Distributivgesetz besagt nun, dass wir zunächst die Zahlen in der Klammer mit dem Faktor 3 multiplizieren können. Nachdem wir dann die Produkte ausgerechnet haben, subtrahieren wir und erhalten als Endergebnis also auch 18. Andersherum kann man das Rechnen mithilfe des Distributivgesetzes vereinfachen und dann leichter im Kopf rechnen. So können wir 54 mal 7 umschreiben zu in Klammern (50 +4) mal 7. Wir rechnen dann 50 mal 7 und 4 mal 7 und erhalten so das Endergebnis 378. Wenden wir diese drei Gesetze doch nun einmal an diesem Term an. Da das Assoziativgesetz besagt, dass Klammern in Summen beliebig gesetzt oder weggelassen werden können, können wir die Klammern hier einfach weglassen. Diesen Teil des Terms können wir mithilfe des Distributivgesetzes auflösen und erhalten 15- 6. Das sind 9. 63 mal 7 können wir mithilfe des umgekehrten Distributivgesetzes umschreiben und haben so in Klammern 60+3 mal 7 also 420 + 21 und das sind 441. Wir können die Summanden nun mithilfe des Kommutativgesetzes vertauschen und so ordnen, dass es uns das Rechnen vereinfacht. So können wir 441 und 9 zusammenschreiben und mithilfe des Assoziativgesetzes Klammern setzen. Dies können wir nun einfach zu 450 addieren. Außerdem können wir 73 und 7 zusammenschreiben, Klammern setzen und zu 80 addieren. Rechnen wir nun abschließend von links nach rechts, so erhalten wir 542. Fassen wir zusammen. Das Kommutativgesetz besagt, dass man bei der Addition Summanden und bei der Multiplikation Faktoren vertauschen darf. Das Assoziativgesetz besagt, dass man beim mehrfachen Addieren und Multiplizieren Klammern beliebig umsetzen oder weglassen darf. Das Distributivgesetz besagt folgendes: Eine Summe bzw. Differenz wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summand bzw. Minuend und Subtrahend einzeln mit diesem Faktor multipliziert und die Produkte dann addiert bzw. subtrahiert. Anders herum kann man das Rechnen mithilfe des Distributivgesetzes vereinfachen und dann leichter im Kopf rechnen. Und Willi hat anscheinend alle Gesetze gut verinnerlicht.

107 Kommentare
107 Kommentare
  1. Einfach gut

    Von Linus, vor 20 Tagen
  2. Mega

    Von Linus, vor 20 Tagen
  3. Toll

    Von Linus, vor 20 Tagen
  4. Hat mir sehr gut gefallen 😎🤯😜😌

    Von Şüheda , vor 22 Tagen
  5. War nur Wiederholung für mich

    Von Sofatutorstern, vor etwa einem Monat
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Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz.

    Tipps

    Die Reihenfolge der Zahlen bei einer Addition ist nicht relevant.

    Es gilt zum Beispiel:

    $\begin{array}{ll} 6+3&=3+6 \\ 9&=9 \end{array}$

    Hier wurde das Distributivgesetz angewandt:

    $3 \cdot (4-2)=3 \cdot 4 + 3 \cdot (-2)= 12-6=6$

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • „Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass man die Summanden bei einer Addition durch andere, beliebige Zahlen austauschen kann.“
    Dieses Gesetz besagt, dass du die Summanden untereinander vertauschen kannst. Die Reihenfolge ist also nicht relevant. Hier siehst du ein Beispiel:

    $\begin{array}{ll} 5+2&=2+5 \\ 7&=7 \end{array}$

    • „Das Distributivgesetz gilt nicht für eine Subtraktion oder Division in der Klammer.“
    Das Distributivgesetz gilt immer, wenn ein Faktor mit einem Ausdruck in einer Klammer multipliziert wird. Ob es sich hier um eine Subtraktion oder Addition handelt, ist irrelevant. Hier siehst du die Anwendung des Distributivgesetzes:

    $5 \cdot (6-3)=5 \cdot 6 - 5 \cdot 3= 30-15=15$

    Ebenso könntest du rechnen:

    $5 \cdot (6-3)=5 \cdot 3= 15$

    $~$

    Diese Aussagen sind richtig:

    • „Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion und Division.“
    • „Bei einer reinen Multiplikation können Klammern beliebig gesetzt werden.“
    Das besagt das Assoziativgesetz. Es gilt auch für die Addition.

    $\begin{array}{ll} 5 \cdot (2 \cdot 3)&=(2 \cdot 5) \cdot 3\\ 5 \cdot 6&=10 \cdot 3\\ 30&= 30 \end{array}$

    • „Das Assoziativgesetz gilt nur für Addition und Multiplikation.“
  • Beschreibe die Verwendung des Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetzes.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz gilt nicht für Subtraktion und Division.

    Da:

    $6-3=3$

    aber:

    $3-6=-3$

    So funktioniert das Distributivgesetz, wenn eine Summe in der Klammer steht:

    $(8+3)\cdot 2 = 8\cdot 2 + 3\cdot 2 =16+6=22$

    Das Assoziativgesetz kann nicht bei der Division angewandt werden, da zum Beispiel:

    $(36:6):3=6:3=2$

    aber:

    $36:(6:3)=36:2=18$

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Das Kommutativgesetz gilt für die Addition und Multiplikation. Es besagt, dass du die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren vertauschen darfst. Also ist:

    $6+3=3+6$ und

    $6 \cdot 3=3 \cdot 6$“

    • Achtung: Das gilt nicht für die Subtraktion und Division!
    „Das Assoziativgesetz gilt für die Addition und Multiplikation. Wenn diese Rechenarten alleine vorkommen, darfst du Klammern beliebig setzen, oder weglassen. Also:

    $(6+3)+2=6+(3+2)=6+3+2$ und:

    $(6 \cdot 3) \cdot 2=6 \cdot( 3 \cdot 2)=6 \cdot 3 \cdot 2$“

    • Beachte, dass dies nicht für Mischformen gilt. Kommen also zum Beispiel Multiplikation und Addition in einem Ausdruck gemeinsam vor, kannst du hier die Klammern nicht beliebig setzen.
    „Das Distributivgesetz kannst du anwenden, wenn ein Faktor mit einem Ausdruck in einer Klammer multipliziert wird. In diesem Fall darfst du den Faktor auch zuerst einzeln mit den Zahlen in der Klammer multiplizieren. So erhältst du zum Beispiel:

    $(8-2)\cdot 2 = 8\cdot 2-2\cdot 2=16-4=12$“

    • Diesen Vorgang nennt man auch ausmultiplizieren.
  • Wende die Gesetze an.

    Tipps

    Die gelernten Gesetze können dir helfen zu erkennen, welche mathematischen Ausdrücke gleich sind. Mit dem Assoziativgesetz weißt du zum Beispiel, dass:

    • $1+(3+4)=(1+3)+4=8$
    Lösung

    Du kannst die Rechnungen zuordnen, indem du gelernten Gesetze anwendest.

    Hier kannst du das Assoziativgesetz anwenden (Klammern beliebig setzen):

    • $2+(4+2)=(2+4)+2=8$
    • $(2\cdot 2) \cdot 3=2\cdot (2 \cdot 3)=12$
    Hier kannst du das Distributivgesetz anwenden (Faktoren vor der Klammer mit allen Ausdrücken in der Klammer multiplizieren):

    • $2 \cdot (7-3)=2 \cdot 7- 3 \cdot 2=8$
    • $2 \cdot (9-2)=2 \cdot 9-2 \cdot 2=14$
    Hier kannst du das Kommutativgesetz anwenden (Vertauschen von Faktoren oder Summanden):

    • $8+1+3=1+8+3=12$
    • $7 \cdot 2=2\cdot 7=14$
  • Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen.

    Tipps

    Verändere die Reihenfolge von Summanden, um deine Rechnung zu erleichtern.

    Lösung

    Du kannst die Rechnungen lösen, indem du sie mit den gelernten Gesetzen vereinfachst und anschließend berechnest.

    In fast allen Rechnungen werden Klammern weggelassen (Assoziativgesetz), die Reihenfolge von Summanden vertauscht (Kommutativgesetz) und Faktoren vor einer Klammer einzeln mit den Ausdrücken in der Klammer multipliziert (Distributivgesetz). Rechts siehst du, welches Gesetz angewendet wurde. So erhältst du:

    $\begin{array}{llr} 1 \cdot 2 + (3+6)-3+ 2 \cdot (6-3)&= 2+3+6-3+2 \cdot (6-3) &\| ~ \text{Assoziativgesetz} \\ &= 2+3+6-3+12-6 &\| ~ \text{Distributivgesetz}\\ &= 2+12+3-3+6-6 &\| ~ \text{Kommutativgesetz}\\ &=14 & \end{array}$

    $\begin{array}{llr} 3 \cdot (2-3) + (3+9)+ 1 \cdot 2 \cdot 3&= 6-9+(3+9)+6&\| ~ \text{Distributivgesetz}\\ &= 6-9+3+9+6&\| ~ \text{Assoziativgesetz}\\ &= 6+6+9-9+3&\| ~ \text{Kommutativgesetz}\\ &=15 \end{array}$

    $\begin{array}{llr} (6 \cdot 5) \cdot 3+1+9 -3 \cdot (3+5) &= 6 \cdot 5 \cdot 3+1+9-3 \cdot (3+5)&\| ~ \text{Assoziativgesetz}\\ &= 6 \cdot 5 \cdot 3+1+9-9-15&\| ~ \text{Distributivgesetz}\\ &= 90-15+1&\| ~ \text{Kommutativgesetz}\\ &=76 \end{array}$

    $\begin{array}{llr} (1+2)+7+7 \cdot (3-1)&=1+2+7+7 \cdot (3-1) &\| ~ \text{Assoziativgesetz}\\ &=1+2+7+21-7 &\| ~ \text{Distributivgesetz}\\ &=1+21+2+7-7&\| ~ \text{Kommutativgesetz} \\ &=24 \end{array}$

  • Gib an, welches Gesetz angewandt werden kann.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz gilt für die Addition und Multiplikation. Kommen diese Rechenarten alleine vor, kannst du die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren vertauschen.

    $\begin{array}{ccc} 1+2+3 &=& 1+3+2 \\ 6 &=& 6 \\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ccc} 2+1+3 &=& 2+3+1 \\ 6 &=& 6 \\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ccc} 3+1+2 &=& 3+2+1\\ 6 &=& 6 \end{array}$

    Das Assoziativgesetz gilt ebenfalls für die Addition und Multiplikation. Wenn diese Rechenarten allein vorkommen, darfst du Klammern beliebig setzen oder weglassen.

    $\begin{array}{ccccc} 1 \cdot (2 \cdot 3) &=& (1 \cdot 2) \cdot 3 &=& 1 \cdot 2 \cdot 3 \\ 1 \cdot 6 &=& 2 \cdot 3 &=& 2 \cdot 3 \\ 6 &=& 6 &=& 6 \end{array}$

    Lösung

    Das Kommutativgesetz gilt für die Addition und Multiplikation. Kommen diese Rechenarten alleine vor, kannst du die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren vertauschen. Dieses Gesetz wurde hier angewandt:

    • $63 \cdot 7 =7 \cdot 63$
    • $6 \cdot 3 \cdot 2 =2 \cdot 3 \cdot 6$
    Das Assoziativgesetz gilt ebenfalls für die Addition und Multiplikation. Wenn diese Rechenarten alleine vorkommen, darfst du Klammern beliebig setzen oder weglassen. Hier wurde das Gesetz angewandt:

    • $73+(12+7)=73+12+7$
    • $6+(3+2)=(6+3)+2$
    Das Distributivgesetz kannst du anwenden, wenn ein Faktor mit einem Ausdruck in einer Klammer multipliziert wird. In diesem Fall darfst du den Faktor auch zuerst einzeln mit den Zahlen in der Klammer multiplizieren. Dieses Gesetz wurde hier angewandt:

    • $3 \cdot (5-2)=3 \cdot 5 + 3 \cdot (-2)$
    • $7 \cdot (60+3)=7 \cdot 60 + 7 \cdot 3$
    Hier wurde versucht das Kommutativgesetz auf die Division und Subtraktion anzuwenden. Das ist allerdings nicht möglich. Deshalb sind diese Rechnungen falsch:

    • $6-3=3-6$
    • $6 : 3=3 : 6$
  • Erschließe, wo die Gesetze richtig angewandt wurden.

    Tipps

    Mit den drei Gesetzen kannst du die Rechnungen vereinfachen und lösen. Allerdings ist es nicht immer sinnvoll die Gesetze anzuwenden. Überlege dir, welcher Rechenweg am effizientesten ist.

    Lösung

    Mit den drei Gesetzen kannst du die Rechnungen vereinfachen und lösen. Allerdings ist es nicht immer sinnvoll, die Gesetze anzuwenden. Überlege dir, welcher Rechenweg am effizientesten ist. Dann erhältst du, dass diese Rechnungen falsch sind:

    • $13-9+(15+5)+3 \cdot (3-5) = 16$
    So kannst du sie richtig lösen:

    $\begin{array}{llr} 13-9+(15+5)+3 \cdot (3-5) &=13-9+15+5+3 \cdot (3-5)&\| ~ \text{Assoziativgesetz} \\ &=13-9+15+5+9 -15 &\| ~ \text{Distributivgesetz} \\ &=13+5+15-15+9-9 &\| ~ \text{Kommutativgesetz} \\ &=18\\ \end{array}$

    • $(8 \cdot 2 ) \cdot 5 + 82 + 7 + 18 + 7 \cdot (10-1)=240$
    Diese Rechnung wird so richtig durchgeführt:

    $\begin{array}{llr} (8 \cdot 2 ) \cdot 5 + 82 + 7 + 18 + 7 \cdot (10-1) &=8 \cdot 2 \cdot 5+ 82 + 7 + 18 +7 \cdot (10-1)&\| ~ \text{Assoziativgesetz} \\ &=8 \cdot 2 \cdot 5+ 82 + 7 + 18 +70-7 &\| ~ \text{Distributivgesetz} \\ &=8 \cdot 10+ 82 +18 + 7-7 +70 &\| ~ \text{Kommutativgesetz} \\ &=80+100+70\\ &=250\\ \end{array}$

    Diese Rechnungen wurden korrekt gelöst:

    $\begin{array}{ll} 100-90+(3 \cdot 2) \cdot 5 + 10 \cdot (15-10)&= 100-90+3 \cdot 2 \cdot 5 + 150-100\\ &= 100-100+150-90+3 \cdot 10 \\ &=150- 90+30 \\ &=90 \end{array}$

    $\begin{array}{ll} 3 \cdot 3 \cdot 4 + 9 \cdot ( 4-2) + (18 + 1) +12&= 36 + 36-18 + 18 + 1 +12\\ &= 36 + 36+12+ 18-18 + 1 \\ &= 36 + 36+12 + 1 \\ &=85 \end{array}$

    $\begin{array}{ll} 5 \cdot 3 \cdot 2 - 3 \cdot 5 \cdot 2 + 100 -10 + 9 \cdot (12 -22)&=5 \cdot 2\cdot 3 - 5 \cdot 2 \cdot 3 + 100 -10 + 9 \cdot (-10)\\ &=100-10-90\\ &=0 \end{array}$