30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Klammerregeln - Grundrechenarten 07:12 min

Textversion des Videos

Transkript Klammerregeln - Grundrechenarten

Oh, was sehen wir denn hier? So ein fröhliches Klammergesicht. Vielleicht ist es so glücklich, weil es die Klammerregeln verstanden hat. Damit wir auch so glücklich sind, lernen wir in diesem Video Klammerregeln der Grundrechenarten. Beginnen wir mit der Addition und betrachten dazu dieses Beispiel: 3 plus in Klammern 5 plus 2 plus 7. Ein Ausdruck, der IN einer Klammer steht, wird immer zuerst gerechnet. Berechnen wir die Klammern zuerst, so erhalten wir 3+14 und als Endergebnis 17. Schauen wir doch mal, ob wir das gleiche Ergebnis bekommen, wenn wir ohne Klammern rechnen, also 3+5+2+7. Rechnen wir hier von links nach rechts so ergibt sich ebenfalls 17. Sieht so aus, als würden wir die Klammern bei Summen gar nicht brauchen. Schauen wir uns doch noch ein zweites Beispiel dazu an. Kommt bei 8+1 plus in Klammern 2+6+2 denn das gleiche heraus wie bei 8+1+2+6+2? Berechnen wir bei der linken Rechnung zunächst die Klammern, so erhalten wir 8+1+10 und das sind 19. Rechnen wir die rechte Rechnung von links nach rechts, so ergibt sich als Ergebnis ebenfalls 19. Wir können also bei Summen die Klammern tatsächlich einfach weglassen! Andersherum kann man sie natürlich auch beliebig wieder setzen. Eine Summe a+ in Klammern b+c ist das gleiche wie a+b+c und das ist das gleiche wie in Klammern a+b+c. Das ist das Assoziativgesetz der Addition. Funktioniert das bei der Multiplikation wohl auch? Schauen wir uns auch dazu mal ein Beispiel an. Ist 4 mal in Klammern 11 mal 3 das gleiche wie 4 mal 11 mal 3? Berechnen wir hier zunächst die Rechnung in der Klammer, also 11 mal 3, so erhalten wir 4 mal 33 und das sind 132. Rechnen wir hier von links nach rechts, so haben wir 44 mal 3 und das sind ebenfalls 132. Sieht so aus, als machen auch bei Produkten die Klammern keinen Unterschied. Betrachten wir doch noch ein weiteres Beispiel: 2 mal 6 mal in Klammern 2 mal 6. Und die gleiche Rechnung nur ohne die Klammern. Rechnen wir hier zunächst die 2 mal 6, also 12, und rechnen dann wie gewohnt von links nach rechts, also 2 mal 6 mal 12, so erhalten wir als Ergebnis 144. Rechnen wir 2 mal 6 mal 2 mal 6 von links nach rechts, so ergibt sich ebenfalls 144. Das Assoziativgesetz gilt also auch für die Multiplikation. a mal in Klammern b mal c ist daher das gleiche wie a mal b mal c und das ist das gleiche wie in Klammern a mal b mal c. Wir können also sowohl bei Summen, als auch bei Produkten Klammern beliebig setzen oder auch weglassen. Wie sieht es denn bei der Subtraktion aus? Überprüfen wir das doch wieder an einem Beispiel: 9 minus in Klammern 4-1-2 und 9-4-1-2. Berechnen wir die Klammern zuerst, also 4-1-2 gleich 1 und ziehen DIES von der 9 ab, so erhalten wir 8. Rechnen wir 9-4 =5. 5-1 = 4 und 4-2, so erhalten wir als Endergebnis 2. Dies ist also nicht das gleiche Ergebnis! Aber warum ist das so? Da wir hier die Klammer zuerst rechnen, ziehen wir insgesamt nur 1 von der 9 ab. Würden wir aber die Rechnung einfach ohne Klammern durchführen, ziehen wir 4, 1 und 2 von der 9 ab. Sehen wir ein Minus vor der Klammer und wollen dieses auflösen, so verwenden wir die Gegenoperation. Wir rechnen also 9-4 plus 1+2 und erhalten 8. Dies kannst du dir mit folgendem Satz merken: Steht ein Minus vor der Klammer, dreht sich um der ganze Jammer. a minus in Klammern b-c, zum Beispiel, ist also das gleiche wie a-b+c. Jetzt fehlt uns nur noch die Division. Schauen wir uns dazu dieses Beispiel an: Rechnen wir zunächst 6 geteilt durch 2, also 3. Und dann 12 geteilt durch 3, so erhalten wir 4. Rechnen wir hier von links nach rechts, also 12 geteilt durch 6. Das ergibt 2. Teilen wir diese 2 durch 2, so erhalten wir 1. Wir können also bei der Division nicht einfach die Klammern auflösen und können wieder die Gegenoperation benutzen. 12 geteilt durch 6 mal 2 sind nämlich ebenfalls 4. a geteilt durch in Klammern b geteilt durch c ist also das gleiche wie a geteilt durch b mal c. Das Assoziativgesetz gilt also auch hier nicht. Fassen wir das noch einmal zusammen: Bei der Addition und Multiplikation können wir die Klammern einfach weglassen oder beliebig setzen. Dieses Gesetz wird Assoziativgesetz genannt. a plus in Klammern b+c ist also das gleiche wie a+b+c und das ist das gleiche wie in Klammern a+b +c. Genauso ist a mal in Klammern b mal c gleich a mal b mal c und in Klammern a mal b mal c. Bei der Subtraktion und Division sind die Klammern notwendig, wir können sie also nicht einfach weglassen. Wir haben dazu diese Gegenbeispiele gezeigt. Um die Klammern aufzulösen können wir die Gegenoperationen verwenden. Und manchmal machen die Klammern dann doch was sie wollen und halten sich nicht an die Regeln.

6 Kommentare
  1. Hallo Miriam, vielen Dank für dein positives Feedback. Das freut uns sehr. Zu den Gesetzen haben wir auch andere Videos, wie dieses hier:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/kommutativgesetz-assoziativgesetz-distributivgesetz-3?launchpad=video
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 24 Tagen
  2. Die Videos erklären es mir besser als unsere Lehrerin.
    Es macht Spaß bei dem zuschauen die Videos sind oft lustig und gut dargestellt das einzige wo mir nicht so gefällt wo ich ändern würde wäre dass ich (bei Mathe) die Gesetze einzelnt erklären würde aber die viedeos und aufgaben sind top

    Von Miriam 20, vor 27 Tagen
  3. Sehr gute Videos die helfen mir sehr für Schulaufgaben und exen

    Von Miriam 20, vor 27 Tagen
  4. SUPER!

    Von Karusuj, vor 2 Monaten
  5. Hilfreich :)

    Von 20joe07, vor 3 Monaten
  1. Krass

    Von Yiren Y., vor 3 Monaten
Mehr Kommentare

Klammerregeln - Grundrechenarten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Klammerregeln - Grundrechenarten kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu den Klammerregeln von Grundrechenarten.

    Tipps

    Grundsätzlich gilt die Regel, dass Klammern immer zuerst berechnet werden müssen. Es gibt allerdings Ausnahmen von dieser Regel, zum Beispiel das Assoziativgesetz.

    Das Assoziativgesetz besagt, dass du bei bestimmten Ausdrücken die Klammern beliebig setzen kannst.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Ein Ausdruck, der in einer Klammer steht, wird immer als letztes berechnet.“

    • Grundsätzlich gilt die Regel, dass Klammern immer zuerst berechnet werden müssen. Es gibt allerdings Ausnahmen von dieser Regel, zum Beispiel das Assoziativgesetz.
    „Auch bei Divisionen gilt das Assoziativgesetz.“

    • Das Assoziativgesetz gilt nur bei Multiplikation und Addition. Es besagt, dass du bei Ausdrücken, die nur aus diesen Rechenarten bestehen, Klammern beliebig setzen kannst. Beachte aber, dass dies nur für Ausdrücke gilt, die ausschließlich aus einer dieser Rechenarten bestehen. Das Gesetz gilt nicht für die Kombination der Rechenarten. Also ist beispielsweise $a \cdot (b+c) \neq (a \cdot b)+c$ .
    Diese Aussagen sind korrekt:

    „Kommen in deinem Ausdruck nur Summanden vor, kannst du die Klammern einfach weglassen.“

    • Das besagt das Assoziativgesetz der Addition. So ist beispielsweise $1 +(2+3)$ dasselbe wie $1+2+3$.
    „Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass du in Ausdrücken, in denen ausschließlich multipliziert wird, die Klammern beliebig setzen kannst.“

    „Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, kannst du die Klammer auflösen, indem du alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umdrehst.“

    • Hier gilt das Assoziativgesetz nicht. In diesem Fall wendest du die Gegenoperation an.
  • Gib an, wo das Assoziativgesetz angewandt wurde.

    Tipps

    Das Assoziativgesetz kannst du nur bei reinen Additionen oder Multiplikationen anwenden.

    Haben sich die Rechenzeichen innerhalb der Klammer umgedreht, wurde die Gegenoperation angewandt.

    Lösung

    Das Assoziativgesetz kannst du nur bei reinen Additionen oder Multiplikationen anwenden. Deshalb kann es bei folgenden Ausdrücken nicht angewandt worden sein. Hier wurde die Gegenoperation angewandt, die Rechenzeichen innerhalb der Klammer also umgedreht:

    • $9-(4-1-2)=9-4+1+2$
    • $12: (6:2)=12:6 \cdot 2$
    Bei diesen Ausdrücken wurde das Assoziativgesetz angewandt:

    • $8+1+(2+6+2)=8+1+2+6+2$
    • $2 \cdot 6 \cdot (2 \cdot 6) = 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 6$
  • Beschreibe die Klammerregeln der Grundrechenarten.

    Tipps

    Bei Subtraktion und Division kannst du das Assoziativgesetz nicht anwenden.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    „Bei Ausdrücken, in denen ausschließlich addiert wird, kannst du die Klammern beliebig setzen. Also gilt:

    $3+(5+2+7)=3+5+2+7=17$

    Bei reinen Multiplikationsausdrücken kannst du die Klammern ebenfalls beliebig setzen. Also gilt:

    $4\cdot (11\cdot 3)=(4\cdot 11) \cdot 3= 132$“

    • Bei Ausdrücken, die ausschließlich aus Addition oder Multiplikation bestehen, kannst du das Assoziativgesetz anwenden. Das bedeutet, dass du die Klammern beliebig setzen kannst. Das gilt nicht für die Kombination der Rechenarten. Also ist beispielsweise $a \cdot (b+c) \neq (a \cdot b)+c$ .
    „Bei Ausdrücken der Subtraktion musst du mit dem Auflösen der Klammern die Gegenoperation anwenden. Also:

    $9-(-4-1-2)=9 -4+1+2=8 $

    Bei der Division musst du ebenfalls die Gegenoperation anwenden, wenn du die Klammern auflöst:

    $12: (6:2)=12 : 6 \cdot 2= 4$“

    • Bei Subtraktion und Division kannst du das Assoziativgesetz nicht anwenden. Hier musst du die Klammern mit Hilfe der Gegenoperation auflösen. Das bedeutet, dass du die Rechenzeichen innerhalb der Klammer umdrehst.
  • Erschließe die Klammerregeln der Kombination der Grundrechenarten.

    Tipps

    Merke dir:

    • Klammern werden zuerst berechnet,
    • anschließend Punktrechnungen
    • und dann Strichrechnungen.
    • Grundsätzlich wird von links nach rechts gerechnet.
    Lösung

    Einige der Klammern kannst du mit Hilfe des Assoziativgesetzes oder der Gegenoperation auflösen. Anschließend musst du die Reihenfolge der Rechnungen beachten. Merke dir:

    • Klammern werden zuerst berechnet.
    • Anschließend folgen Punktrechnungen.
    • Dann erst betrachtet man die Strichrechnungen.
    • Grundsätzlich wird von links nach rechts gerechnet.
    Demnach sind diese Rechnungen falsch:

    „$3 \cdot 5 + (5-10:5) \neq 14$“ Hier erhältst du:

    • $3 \cdot 5 + (5-10:5) = 3 \cdot 5 + (5-2)= 15 + 3= 18$
    „$14:(14:2)-(3+2) \neq 3$“ Hier ergibt sich:

    • $14:(14:2)-(3+2)=14: 7 - 5 = 2 - 5 = - 3$
    Diese Rechnungen sind korrekt:

    • $4 \cdot (4+2-4\cdot 2)= 4 \cdot (6-8)=4 \cdot (-2)=-8$
    • $(3-(3-5))\cdot 2=(3-3+5)\cdot 2=5\cdot 2= 10$
    • $(3+5+7-(4-3)) \cdot 2=(3+5+7-4+3) \cdot 2=14 \cdot 2=28$
  • Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen.

    Tipps

    Bei den Rechnungen der Multiplikation und Addition kannst du das Assoziativgesetz anwenden. Du kannst also die Klammern beliebig setzen oder weglassen.

    Die Subtraktionsaufgabe kannst du mit der Gegenoperation so vereinfachen:

    $32-(15-3+5-3)=32-15+3-5+3$

    Lösung

    Bei den Rechnungen der Multiplikation und Addition kannst du das Assoziativgesetz anwenden. Du kannst also die Klammern beliebig setzen oder weglassen. Bei der Subtraktion und Division musst du die Klammern mit Hilfe der Gegenoperation auflösen. Damit kannst du die Ergebnisse der Rechnungen bestimmen:

    • $3+4+4+1+5= (3+4) + ((4+1)+5) = 7 + (5+5) =7+10=17$
    Hier ist es sinnvoll, Klammern zu setzen. Da $4+1=5$ ist und $5+5=10$, kannst du diesen Teil zuerst berechnen. Das Assoziativgesetz ermöglicht dir das.
    • $32-(15-3+5-3)=32-15+3-5+3= 17 +3 -5 +3 =20-5+3 = 15 +3 =18$
    Es ist auch möglich, zunächst den Teil in der Klammer zu berechnen oder neue Klammern nach dem Auflösen wieder zu setzen. Bei Subtraktionen ist jedoch immer die Umkehroperation notwendig. Eine weitere Möglichkeit der Klammersetzung wäre auch: $32-15+3-5+3 = 32 - (15-3) - (5-3) = 32 - 12 - 2 =20-2 = 18$

    • $2 \cdot (3 \cdot 4)=2 \cdot 3 \cdot 4= 6 \cdot 4 = 24$
    Das Assoziativgesetz kann hier angewandt werden. Klammern können also ohne Berücksichtigung der Rechenoperationen gesetzt oder entfernt werden.
    • $32:(8:3)=32:8 \cdot 3=4 \cdot 3=12$
    Da $32:8$ leichter zu berechnen ist als $8:3$, können hier zunächst die Klammern aufgelöst werden. Nun kehrt sich die Rechenoperation um, so dass die gesamte Rechnung leichter durchzuführen ist.
  • Wende die Klammerregeln der Grundrechenarten an.

    Tipps

    Auch hier kannst du bei Multiplikation und Addition das Assoziativgesetz anwenden. Bei Subtraktion und Division musst du die Klammer mit der Gegenoperation auflösen.

    Lösung

    Auch hier kannst du bei Multiplikation und Addition das Assoziativgesetz anwenden. Bei Subtraktion und Division musst du die Klammer mit der Gegenoperation auflösen. Dann erhältst du:

    • $(1+4)+((3+6)+7)=1+4+3+6+7=21$
    • $ 4 \cdot ( (3 \cdot 2) \cdot 3)= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 72$
    • $3+5-(1+5-3)=3+5-1-5+3=5$
    • $36:(12:2)=36:12 \cdot 2=6$