Klammerregeln – Grundrechenarten
Erfahre, wie man Klammern effektiv bei Addition und Multiplikation einsetzt. Besondere Beachtung ist bei der Subtraktion geboten, während die Division eigenen Regeln folgt. Lerne die Klammergesetze und mache Übungen! Interessiert? Finde alles im folgenden Text und in den Übungen auf unserer Website.
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Grundlagen zum Thema Klammerregeln – Grundrechenarten
Klammerregeln – Grundrechenarten – Mathematik
Klammern sind ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik, deswegen werden im folgenden Text die Klammerregeln, oder auch Klammergesetze, für die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division einfach erklärt.
Klammerregeln bei der Addition
Als Erstes schauen wir uns an, wie man bei der Addition mit Klammern rechnet. Wir betrachten als Beispiel den Term $3 + (5+2+7)$ und wollen diesen berechnen. Um die Klammer aufzulösen, wird der Ausdruck in der Klammer immer zuerst berechnet, es ist $5+2+7 = 14$, also ergibt sich insgesamt:
$3 + (5+2+7) = 3+14=17$
Was passiert, wenn wir die Klammern hier einfach weglassen? Dann berechnen wir die Summe, indem wir von links nach rechts rechnen, und erhalten:
$3+5+2+7 = 17$
Das Ergebnis ist das Gleiche wie in der Berechnung mit Klammern.
Wir schauen uns noch ein zweites Beispiel an:
$8+1+(2+6+2) = 8+1+10 = 19$
Wenn wir ohne Klammern von links nach rechts rechnen, erhalten wir: $8+1+2+6+2 = 19$. Bei Summen können wir die Klammern also einfach weglassen.
In allgemeiner Schreibweise können wir festhalten:
$a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c$
Diese Regel nennt man das Assoziativgesetz der Addition.
Klammerregeln bei der Multiplikation
Gilt das Assoziativgesetz auch für die Multiplikation? Um dies herauszufinden, möchten wir das Produkt $4\cdot (11\cdot 3)$ einmal mit Klammern und einmal ohne Klammern ausrechnen. Wir berechnen wieder zuerst den Ausdruck in der Klammer:
$4\cdot (11\cdot 3 ) = 4\cdot 33 = 132$
Auch wenn wir ohne Klammern von links nach rechts rechnen, erhalten wir:
$4\cdot 11\cdot 3 = 44\cdot 3 = 132$
Für diese Rechnung haben die Klammern also keine Rolle gespielt. Wir schauen uns ein zweites Beispiel an:
$2\cdot 6 \cdot (2\cdot 6) = 2\cdot 6 \cdot 12 = 144$
Rechnen wir ohne Klammern von links nach rechts, ergibt sich ebenfalls:
$2\cdot 6 \cdot 2 \cdot 6 = 144$
Man nennt dies das Assoziativgesetz der Multiplikation. Wir schreiben dafür allgemein:
$a\cdot (b\cdot c) = a\cdot b \cdot c = (a\cdot b) \cdot c$
Das Assoziativgesetz gilt sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation.
Klammerregeln bei der Subtraktion
Für die Addition und die Multiplikation haben wir nun gesehen, dass wir die Klammern einfach weglassen können. Aber wie sieht es bei der Subtraktion aus? Was macht man, wenn ein Minus vor der Klammer steht? Dafür schauen wir uns wieder ein Beispiel an: $9-(4-1-2)$.
Wir berechnen zuerst den Ausdruck in der Klammer und erhalten:
$9-(4-1-2) = 9 – 1 = 8$.
Was kommt hier raus, wenn wir die Klammern einfach weglassen?
$9-4-1-2=5-1-2=4-2=2$
Es kommt etwas anderes heraus als bei der Rechnung mit Klammern. Bei der Subtraktion können wir also die Klammer nicht einfach weglassen! Das Assoziativgesetz gilt hier nicht.
Steht ein Minus vor einer Klammer, so verwenden wir beim Auflösen dieser Minusklammer die Gegenoperation für die Operationen innerhalb der Klammer. Das bedeutet für das Beispiel von oben:
$9-(4-1-2) = 9-4+1+2 = 8$
Du kannst dir die Minusklammerregel mit folgendem Merksatz merken: „Steht ein Minus vor der Klammer, dreht sich um der ganze Jammer!“
In allgemeiner Schreibweise bedeutet das:
$a-(b-c)=a-b+c$
Nun können wir auch die Frage beantworten, wann sich das Vorzeichen in der Klammer ändert: bei einem Minuszeichen vor der Klammer.
Klammerregeln bei der Division
Es fehlt nun von den Grundrechenarten noch die Division. Auch hierfür schauen wir uns ein Beispiel an, das wir einmal mit Klammern und einmal ohne Klammern berechnen. Zunächst rechnen wir mit den gesetzten Klammern:
$12:(6:2) = 12:3=4$
Rechnen wir hier von links nach rechts ohne Klammern, erhalten wir:
$12:6:2 = 2:2 = 1$
Wir erhalten unterschiedliche Werte. Also können wir bei der Division die Klammern nicht einfach weglassen. Wir können aber wieder die Gegenoperation verwenden. Das bedeutet für dieses Beispiel:
$12:(6:2)=12:6\cdot 2 = 4$
In der allgemeinen Schreibweise lautet die Regel:
$a:(b:c)=a:b\cdot c$
Klammerregeln der Grundrechenarten – Zusammenfassung
Wir fassen nun die Rechenregeln zur Klammerrechnung noch einmal zusammen. Diese kannst du dir beim Bearbeiten von Übungen zu Klammerregeln immer wieder ins Gedächtnis rufen.
Bei der Addition und bei der Multiplikation können wir die Klammern einfach weglassen oder beliebig setzen. Diese Regel lautet Assoziativgesetz. Es gilt:
$a+(b+c) = a+b+c = (a+b)+c$
$a\cdot (b\cdot c) = a\cdot b \cdot c = (a\cdot b) \cdot c$
Bei der Subtraktion sind die Klammern notwendig. Um die Klammern aufzulösen, können wir die Gegenoperationen verwenden:
$a-(b-c)=a-b+c$
Bei der Division sind die Klammern ebenfalls notwendig. Um die Klammern aufzulösen, können wir die Gegenoperationen verwenden:
$a:(b:c)=a:b\cdot c$
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Übungen und Aufgaben zum Thema Klammerregeln.
Transkript Klammerregeln – Grundrechenarten
Oh, was sehen wir denn hier? So ein fröhliches Klammergesicht. Vielleicht ist es so glücklich, weil es die Klammerregeln verstanden hat. Damit wir auch so glücklich sind, lernen wir in diesem Video Klammerregeln der Grundrechenarten. Beginnen wir mit der Addition und betrachten dazu dieses Beispiel: 3 plus in Klammern 5 plus 2 plus 7. Ein Ausdruck, der IN einer Klammer steht, wird immer zuerst gerechnet. Berechnen wir die Klammern zuerst, so erhalten wir 3+14 und als Endergebnis 17. Schauen wir doch mal, ob wir das gleiche Ergebnis bekommen, wenn wir ohne Klammern rechnen, also 3+5+2+7. Rechnen wir hier von links nach rechts so ergibt sich ebenfalls 17. Sieht so aus, als würden wir die Klammern bei Summen gar nicht brauchen. Schauen wir uns doch noch ein zweites Beispiel dazu an. Kommt bei 8+1 plus in Klammern 2+6+2 denn das gleiche heraus wie bei 8+1+2+6+2? Berechnen wir bei der linken Rechnung zunächst die Klammern, so erhalten wir 8+1+10 und das sind 19. Rechnen wir die rechte Rechnung von links nach rechts, so ergibt sich als Ergebnis ebenfalls 19. Wir können also bei Summen die Klammern tatsächlich einfach weglassen! Andersherum kann man sie natürlich auch beliebig wieder setzen. Eine Summe a+ in Klammern b+c ist das gleiche wie a+b+c und das ist das gleiche wie in Klammern a+b+c. Das ist das Assoziativgesetz der Addition. Funktioniert das bei der Multiplikation wohl auch? Schauen wir uns auch dazu mal ein Beispiel an. Ist 4 mal in Klammern 11 mal 3 das gleiche wie 4 mal 11 mal 3? Berechnen wir hier zunächst die Rechnung in der Klammer, also 11 mal 3, so erhalten wir 4 mal 33 und das sind 132. Rechnen wir hier von links nach rechts, so haben wir 44 mal 3 und das sind ebenfalls 132. Sieht so aus, als machen auch bei Produkten die Klammern keinen Unterschied. Betrachten wir doch noch ein weiteres Beispiel: 2 mal 6 mal in Klammern 2 mal 6. Und die gleiche Rechnung nur ohne die Klammern. Rechnen wir hier zunächst die 2 mal 6, also 12, und rechnen dann wie gewohnt von links nach rechts, also 2 mal 6 mal 12, so erhalten wir als Ergebnis 144. Rechnen wir 2 mal 6 mal 2 mal 6 von links nach rechts, so ergibt sich ebenfalls 144. Das Assoziativgesetz gilt also auch für die Multiplikation. a mal in Klammern b mal c ist daher das gleiche wie a mal b mal c und das ist das gleiche wie in Klammern a mal b mal c. Wir können also sowohl bei Summen, als auch bei Produkten Klammern beliebig setzen oder auch weglassen. Wie sieht es denn bei der Subtraktion aus? Überprüfen wir das doch wieder an einem Beispiel: 9 minus in Klammern 4-1-2 und 9-4-1-2. Berechnen wir die Klammern zuerst, also 4-1-2 gleich 1 und ziehen DIES von der 9 ab, so erhalten wir 8. Rechnen wir 9-4 =5. 5-1 = 4 und 4-2, so erhalten wir als Endergebnis 2. Dies ist also nicht das gleiche Ergebnis! Aber warum ist das so? Da wir hier die Klammer zuerst rechnen, ziehen wir insgesamt nur 1 von der 9 ab. Würden wir aber die Rechnung einfach ohne Klammern durchführen, ziehen wir 4, 1 und 2 von der 9 ab. Sehen wir ein Minus vor der Klammer und wollen dieses auflösen, so verwenden wir die Gegenoperation. Wir rechnen also 9-4 plus 1+2 und erhalten 8. Dies kannst du dir mit folgendem Satz merken: Steht ein Minus vor der Klammer, dreht sich um der ganze Jammer. a minus in Klammern b-c, zum Beispiel, ist also das gleiche wie a-b+c. Jetzt fehlt uns nur noch die Division. Schauen wir uns dazu dieses Beispiel an: Rechnen wir zunächst 6 geteilt durch 2, also 3. Und dann 12 geteilt durch 3, so erhalten wir 4. Rechnen wir hier von links nach rechts, also 12 geteilt durch 6. Das ergibt 2. Teilen wir diese 2 durch 2, so erhalten wir 1. Wir können also bei der Division nicht einfach die Klammern auflösen und können wieder die Gegenoperation benutzen. 12 geteilt durch 6 mal 2 sind nämlich ebenfalls 4. a geteilt durch in Klammern b geteilt durch c ist also das gleiche wie a geteilt durch b mal c. Das Assoziativgesetz gilt also auch hier nicht. Fassen wir das noch einmal zusammen: Bei der Addition und Multiplikation können wir die Klammern einfach weglassen oder beliebig setzen. Dieses Gesetz wird Assoziativgesetz genannt. a plus in Klammern b+c ist also das gleiche wie a+b+c und das ist das gleiche wie in Klammern a+b +c. Genauso ist a mal in Klammern b mal c gleich a mal b mal c und in Klammern a mal b mal c. Bei der Subtraktion und Division sind die Klammern notwendig, wir können sie also nicht einfach weglassen. Wir haben dazu diese Gegenbeispiele gezeigt. Um die Klammern aufzulösen können wir die Gegenoperationen verwenden. Und manchmal machen die Klammern dann doch was sie wollen und halten sich nicht an die Regeln.
Klammerregeln – Grundrechenarten Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zu den Klammerregeln von Grundrechenarten.
TippsGrundsätzlich gilt die Regel, dass Klammern immer zuerst berechnet werden müssen. Es gibt allerdings Ausnahmen von dieser Regel, zum Beispiel das Assoziativgesetz.
Das Assoziativgesetz besagt, dass du bei bestimmten Ausdrücken die Klammern beliebig setzen kannst.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Ein Ausdruck, der in einer Klammer steht, wird immer als letztes berechnet.“
- Grundsätzlich gilt die Regel, dass Klammern immer zuerst berechnet werden müssen. Es gibt allerdings Ausnahmen von dieser Regel, zum Beispiel das Assoziativgesetz.
- Das Assoziativgesetz gilt nur bei Multiplikation und Addition. Es besagt, dass du bei Ausdrücken, die nur aus diesen Rechenarten bestehen, Klammern beliebig setzen kannst. Beachte aber, dass dies nur für Ausdrücke gilt, die ausschließlich aus einer dieser Rechenarten bestehen. Das Gesetz gilt nicht für die Kombination der Rechenarten. Also ist beispielsweise $a \cdot (b+c) \neq (a \cdot b)+c$.
„Kommen in deinem Ausdruck nur Summanden vor, kannst du die Klammern einfach weglassen.“
- Das besagt das Assoziativgesetz der Addition. So ist beispielsweise $1 +(2+3)$ dasselbe wie $1+2+3$.
„Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, kannst du die Klammer auflösen, indem du alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umdrehst.“
- Hier gilt das Assoziativgesetz nicht. In diesem Fall wendest du die Gegenoperation an.
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Beschreibe die Klammerregeln der Grundrechenarten.
TippsBei Subtraktion und Division kannst du das Assoziativgesetz nicht anwenden.
LösungDen Lückentext kannst du so vervollständigen:
„Bei Ausdrücken, in denen ausschließlich addiert wird, kannst du die Klammern beliebig setzen. Also gilt:
$3+(5+2+7)=3+5+2+7=17$.
Bei reinen Multiplikationsausdrücken kannst du die Klammern ebenfalls beliebig setzen. Also gilt:
$4\cdot (11\cdot 3)=(4\cdot 11) \cdot 3= 132$.“
- Bei Ausdrücken, die ausschließlich aus Addition oder Multiplikation bestehen, kannst du das Assoziativgesetz anwenden. Das bedeutet, dass du die Klammern beliebig setzen kannst. Das gilt nicht für die Kombination der Rechenarten. Also ist beispielsweise $a \cdot (b+c) \neq (a \cdot b)+c$.
$9-(-4-1-2)=9 -4+1+2=8. $
Bei der Division musst du ebenfalls die Gegenoperation anwenden, wenn du die Klammern auflöst:
$12: (6:2)=12 : 6 \cdot 2= 4$.“
- Bei Subtraktion und Division kannst du das Assoziativgesetz nicht anwenden. Hier musst du die Klammern mithilfe der Gegenoperation auflösen. Das bedeutet, dass du die Rechenzeichen innerhalb der Klammer umdrehst.
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Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen.
TippsBei den Rechnungen der Multiplikation und Addition kannst du das Assoziativgesetz anwenden. Du kannst also die Klammern beliebig setzen oder weglassen.
Die Subtraktionsaufgabe kannst du mit der Gegenoperation so vereinfachen:
$32-(15-3+5-3)=32-15+3-5+3$.
LösungBei den Rechnungen der Multiplikation und Addition kannst du das Assoziativgesetz anwenden. Du kannst also die Klammern beliebig setzen oder weglassen. Bei der Subtraktion und Division musst du die Klammern mithilfe der Gegenoperation auflösen. Damit kannst du die Ergebnisse der Rechnungen bestimmen:
- $3+4+4+1+5= (3+4) + ((4+1)+5) = 7 + (5+5) =7+10=17$.
- $32-(15-3+5-3)=32-15+3-5+3= 17 +3 -5 +3 =20-5+3 = 15 +3 =18$
- $2 \cdot (3 \cdot 4)=2 \cdot 3 \cdot 4= 6 \cdot 4 = 24$
- $32:(8:3)=32:8 \cdot 3=4 \cdot 3=12$
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Wende die Klammerregeln der Grundrechenarten an.
TippsAuch hier kannst du bei Multiplikation und Addition das Assoziativgesetz anwenden. Bei Subtraktion und Division musst du die Klammer mit der Gegenoperation auflösen.
LösungAuch hier kannst du bei Multiplikation und Addition das Assoziativgesetz anwenden. Bei Subtraktion und Division musst du die Klammer mit der Gegenoperation auflösen. Dann erhältst du:
- $(1+4)+((3+6)+7)=1+4+3+6+7=21$
- $ 4 \cdot ( (3 \cdot 2) \cdot 3)= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 72$
- $3+5-(1+5-3)=3+5-1-5+3=5$
- $36:(12:2)=36:12 \cdot 2=6$
-
Gib an, wo das Assoziativgesetz angewandt wurde.
TippsDas Assoziativgesetz kannst du nur bei reinen Additionen oder Multiplikationen anwenden.
Haben sich die Rechenzeichen innerhalb der Klammer umgedreht, wurde die Gegenoperation angewandt.
LösungDas Assoziativgesetz kannst du nur bei reinen Additionen oder Multiplikationen anwenden. Deshalb kann es bei folgenden Ausdrücken nicht angewandt worden sein. Hier wurde die Gegenoperation angewandt, die Rechenzeichen innerhalb der Klammer also umdreht:
- $9-(4-1-2)=9-4+1+2$
- $12: (6:2)=12:6 \cdot 2$
- $8+1+(2+6+2)=8+1+2+6+2$
- $2 \cdot 6 \cdot (2 \cdot 6) = 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 6$
-
Erschließe die Klammerregeln der Kombination der Grundrechenarten.
TippsMerke dir:
- Klammern werden zuerst berechnet,
- anschließend Punktrechnungen
- und dann Strichrechnungen.
- Grundsätzlich wird von links nach rechts gerechnet.
LösungEinige der Klammern kannst du mithilfe des Assoziativgesetzes oder der Gegenoperation auflösen. Anschließend musst du die Reihenfolge der Rechnungen beachten. Merke dir:
- Klammern werden zuerst berechnet.
- Anschließend folgen Punktrechnungen.
- Dann erst betrachtet man die Strichrechnungen.
- Grundsätzlich wird von links nach rechts gerechnet.
„$3 \cdot 5 + (5-10:5) \neq 14$.“ Hier erhältst du:
- $3 \cdot 5 + (5-10:5) = 3 \cdot 5 + (5-2)= 15 + 3= 18$.
- $14:(14:2)-(3+2)=14: 7 - 5 = 2 - 5 = - 3$.
- $4 \cdot (4+2-4\cdot 2)= 4 \cdot (6-8)=4 \cdot (-2)=-8$
- $(3-(3-5))\cdot 2=(3-3+5)\cdot 2=5\cdot 2= 10$
- $(3+5+7-(4-3)) \cdot 2=(3+5+7-4+3) \cdot 2=14 \cdot 2=28$
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hab eine 5 geschrieben...
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Ich finds ein wenig lang aber sonst..
Hab ich’s verstanden🤗
Steht ein Minus vor der Klammer dreht sich um der ganze Jammer