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Klammerregeln – Grundrechenarten

Erfahre, wie man Klammern effektiv bei Addition und Multiplikation einsetzt. Besondere Beachtung ist bei der Subtraktion geboten, während die Division eigenen Regeln folgt. Lerne die Klammergesetze und mache Übungen! Interessiert? Finde alles im folgenden Text und in den Übungen auf unserer Website.

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Team Digital
Klammerregeln – Grundrechenarten
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Klammerregeln – Grundrechenarten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Klammerregeln – Grundrechenarten kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu den Klammerregeln von Grundrechenarten.

    Tipps

    Grundsätzlich gilt die Regel, dass Klammern immer zuerst berechnet werden müssen. Es gibt allerdings Ausnahmen von dieser Regel, zum Beispiel das Assoziativgesetz.

    Das Assoziativgesetz besagt, dass du bei bestimmten Ausdrücken die Klammern beliebig setzen kannst.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Ein Ausdruck, der in einer Klammer steht, wird immer als letztes berechnet.“

    • Grundsätzlich gilt die Regel, dass Klammern immer zuerst berechnet werden müssen. Es gibt allerdings Ausnahmen von dieser Regel, zum Beispiel das Assoziativgesetz.
    „Auch bei Divisionen gilt das Assoziativgesetz.“

    • Das Assoziativgesetz gilt nur bei Multiplikation und Addition. Es besagt, dass du bei Ausdrücken, die nur aus diesen Rechenarten bestehen, Klammern beliebig setzen kannst. Beachte aber, dass dies nur für Ausdrücke gilt, die ausschließlich aus einer dieser Rechenarten bestehen. Das Gesetz gilt nicht für die Kombination der Rechenarten. Also ist beispielsweise $a \cdot (b+c) \neq (a \cdot b)+c$.
    Diese Aussagen sind korrekt:

    „Kommen in deinem Ausdruck nur Summanden vor, kannst du die Klammern einfach weglassen.“

    • Das besagt das Assoziativgesetz der Addition. So ist beispielsweise $1 +(2+3)$ dasselbe wie $1+2+3$.
    „Das Assoziativgesetz der Multiplikation besagt, dass du in Ausdrücken, in denen ausschließlich multipliziert wird, die Klammern beliebig setzen kannst.“

    „Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, kannst du die Klammer auflösen, indem du alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umdrehst.“

    • Hier gilt das Assoziativgesetz nicht. In diesem Fall wendest du die Gegenoperation an.
  • Beschreibe die Klammerregeln der Grundrechenarten.

    Tipps

    Bei Subtraktion und Division kannst du das Assoziativgesetz nicht anwenden.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    „Bei Ausdrücken, in denen ausschließlich addiert wird, kannst du die Klammern beliebig setzen. Also gilt:

    $3+(5+2+7)=3+5+2+7=17$.

    Bei reinen Multiplikationsausdrücken kannst du die Klammern ebenfalls beliebig setzen. Also gilt:

    $4\cdot (11\cdot 3)=(4\cdot 11) \cdot 3= 132$.“

    • Bei Ausdrücken, die ausschließlich aus Addition oder Multiplikation bestehen, kannst du das Assoziativgesetz anwenden. Das bedeutet, dass du die Klammern beliebig setzen kannst. Das gilt nicht für die Kombination der Rechenarten. Also ist beispielsweise $a \cdot (b+c) \neq (a \cdot b)+c$.
    „Bei Ausdrücken der Subtraktion musst du mit dem Auflösen der Klammern die Gegenoperation anwenden. Also:

    $9-(-4-1-2)=9 -4+1+2=8. $

    Bei der Division musst du ebenfalls die Gegenoperation anwenden, wenn du die Klammern auflöst:

    $12: (6:2)=12 : 6 \cdot 2= 4$.“

    • Bei Subtraktion und Division kannst du das Assoziativgesetz nicht anwenden. Hier musst du die Klammern mithilfe der Gegenoperation auflösen. Das bedeutet, dass du die Rechenzeichen innerhalb der Klammer umdrehst.
  • Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen.

    Tipps

    Bei den Rechnungen der Multiplikation und Addition kannst du das Assoziativgesetz anwenden. Du kannst also die Klammern beliebig setzen oder weglassen.

    Die Subtraktionsaufgabe kannst du mit der Gegenoperation so vereinfachen:

    $32-(15-3+5-3)=32-15+3-5+3$.

    Lösung

    Bei den Rechnungen der Multiplikation und Addition kannst du das Assoziativgesetz anwenden. Du kannst also die Klammern beliebig setzen oder weglassen. Bei der Subtraktion und Division musst du die Klammern mithilfe der Gegenoperation auflösen. Damit kannst du die Ergebnisse der Rechnungen bestimmen:

    • $3+4+4+1+5= (3+4) + ((4+1)+5) = 7 + (5+5) =7+10=17$.
    Hier ist es sinnvoll, Klammern zu setzen. Da $4+1=5$ ist und $5+5=10$, kannst du diesen Teil zuerst berechnen. Das Assoziativgesetz ermöglicht dir das.
    • $32-(15-3+5-3)=32-15+3-5+3= 17 +3 -5 +3 =20-5+3 = 15 +3 =18$
    Es ist auch möglich, zunächst den Teil in der Klammer zu berechnen oder neue Klammern nach dem Auflösen wieder zu setzen. Bei Subtraktionen ist jedoch immer die Umkehroperation notwendig. Eine weitere Möglichkeit der Klammersetzung wäre auch: $32-15+3-5+3 = 32 - (15-3) - (5-3) = 32 - 12 - 2 =20-2 = 18$.

    • $2 \cdot (3 \cdot 4)=2 \cdot 3 \cdot 4= 6 \cdot 4 = 24$
    Das Assoziativgesetz kann hier angewandt werden. Klammern können also ohne Berücksichtigung der Rechenoperationen gesetzt oder entfernt werden.
    • $32:(8:3)=32:8 \cdot 3=4 \cdot 3=12$
    Da $32:8$ leichter zu berechnen ist als $8:3$, können hier zunächst die Klammern aufgelöst werden. Nun kehrt sich die Rechenoperation um, so dass die gesamte Rechnung leichter durchzuführen ist.
  • Wende die Klammerregeln der Grundrechenarten an.

    Tipps

    Auch hier kannst du bei Multiplikation und Addition das Assoziativgesetz anwenden. Bei Subtraktion und Division musst du die Klammer mit der Gegenoperation auflösen.

    Lösung

    Auch hier kannst du bei Multiplikation und Addition das Assoziativgesetz anwenden. Bei Subtraktion und Division musst du die Klammer mit der Gegenoperation auflösen. Dann erhältst du:

    • $(1+4)+((3+6)+7)=1+4+3+6+7=21$
    • $ 4 \cdot ( (3 \cdot 2) \cdot 3)= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 72$
    • $3+5-(1+5-3)=3+5-1-5+3=5$
    • $36:(12:2)=36:12 \cdot 2=6$
  • Gib an, wo das Assoziativgesetz angewandt wurde.

    Tipps

    Das Assoziativgesetz kannst du nur bei reinen Additionen oder Multiplikationen anwenden.

    Haben sich die Rechenzeichen innerhalb der Klammer umgedreht, wurde die Gegenoperation angewandt.

    Lösung

    Das Assoziativgesetz kannst du nur bei reinen Additionen oder Multiplikationen anwenden. Deshalb kann es bei folgenden Ausdrücken nicht angewandt worden sein. Hier wurde die Gegenoperation angewandt, die Rechenzeichen innerhalb der Klammer also umdreht:

    • $9-(4-1-2)=9-4+1+2$
    • $12: (6:2)=12:6 \cdot 2$
    Bei diesen Ausdrücken wurde das Assoziativgesetz angewandt:

    • $8+1+(2+6+2)=8+1+2+6+2$
    • $2 \cdot 6 \cdot (2 \cdot 6) = 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 6$
  • Erschließe die Klammerregeln der Kombination der Grundrechenarten.

    Tipps

    Merke dir:

    • Klammern werden zuerst berechnet,
    • anschließend Punktrechnungen
    • und dann Strichrechnungen.
    • Grundsätzlich wird von links nach rechts gerechnet.
    Lösung

    Einige der Klammern kannst du mithilfe des Assoziativgesetzes oder der Gegenoperation auflösen. Anschließend musst du die Reihenfolge der Rechnungen beachten. Merke dir:

    • Klammern werden zuerst berechnet.
    • Anschließend folgen Punktrechnungen.
    • Dann erst betrachtet man die Strichrechnungen.
    • Grundsätzlich wird von links nach rechts gerechnet.
    Demnach sind diese Rechnungen falsch:

    „$3 \cdot 5 + (5-10:5) \neq 14$.“ Hier erhältst du:

    • $3 \cdot 5 + (5-10:5) = 3 \cdot 5 + (5-2)= 15 + 3= 18$.
    „$14:(14:2)-(3+2) \neq 3$“ Hier ergibt sich:

    • $14:(14:2)-(3+2)=14: 7 - 5 = 2 - 5 = - 3$.
    Diese Rechnungen sind korrekt:

    • $4 \cdot (4+2-4\cdot 2)= 4 \cdot (6-8)=4 \cdot (-2)=-8$
    • $(3-(3-5))\cdot 2=(3-3+5)\cdot 2=5\cdot 2= 10$
    • $(3+5+7-(4-3)) \cdot 2=(3+5+7-4+3) \cdot 2=14 \cdot 2=28$