Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen 05:41 min

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Transkript Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen

Chris und zwei seiner Freundinnen wollen eine Drohne für den Forschungswettbewerb ihrer Schule bauen. Es gibt nur einen Haken: In diesem Jahr müssen alle Schüler bei ihren Beiträgen gebrochenrationale Terme und vier unterschiedlichen Rechenoperationen verwenden. Die Beiträge werden danach bewertet, wie gut sie die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gebrochenrationaler Terme in ihre Projekte eingebaut haben. Dummerweise waren die drei zu sehr damit beschäftigt, rumzualbern. Als es Abend wird, gehen die Mädchen nach Hause und Chris wird klar, dass er das Projekt alleine fertigstellen muss. Sein Vater ist Ingenieur und er hat ihm beigebracht Probleme Schritt für Schritt anzugehen. Ein guter Rat. Darum will Chris sich sein Projekt ganz genau anschauen. Da müssen so viele Kabel verbunden werden. Was soll Chris tun? Er muss die gebrochenrationalen Gleichungen mit unterschiedlichen Rechenoperationen lösen und dann die Kabel mit den korrekten Lösungen verbinden. Dann wird die Drohne funktionieren. Er schaut sich die erste Aufgabe an und weiß sofort, was zu tun ist. Er muss die beiden gebrochenrationalen Terme addieren. Chris weiß, wenn er Brüche addieren will, muss er zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner von den Brüchen finden. Dazu listet Chris zuerst die Faktoren der beiden Nenner auf. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 2 mal 3 mal x mal x oder 6 mal x Quadrat. Als Nächstes erweitert er jeden Bruch mit dem Faktor, der im jeweiligen Nenner noch fehlt, um auf das kgV 6 x Quadrat zu kommen. Er erweitert 5 durch 6x mit x und 3 durch 2 mal x Quadrat mit 3. Dadurch haben beide Brüche nun den gleichen Nenner. Jetzt kann Chris die Zähler addieren und die Brüche falls nötig vereinfachen. Da 5, 6 und 9 keine gemeinsamen Teiler besitzen, kann Chris den Bruch aber nicht vereinfachen. Großartig. Eine erledigt, drei fehlen noch. Beim nächsten Kabel muss Chris die gebrochenrationalen Terme subtrahieren. Zum Glück geht das genau so wie bei der Addition. Zunächst muss Chris dafür sorgen, dass beide Brüche den gleichen Nenner haben. Er listet alle Faktoren von 4x und 3x plus 1 auf. Das bringt nichts. Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu erhalten, multipliziert Chris die beiden Nenner. Er muss den ersten Bruch mit 3x plus 1 erweitern. Den zweiten Bruch erweitert er mit 4x. Chris nutzt das Distributivgesetz und multipliziert die Terme in den Zählern und anschließend die Terme im Nenner, welche das kgV ergeben. Da beide Brüche nun den selben Nenner haben, kann er die Brüche zusammenfassen. Nachdem er die Zähler subtrahiert hat, ordnet Chris die Terme im Zähler entsprechend der Größe der Exponenten in absteigender Reihenfolge. Zwei erledigt, zwei fehlen noch. Chris kommt gut voran! Bei den nächsten Kabeln muss Chris multiplizieren. Er braucht sich also keine Gedanken mehr um kleine gemeinsame Vielfache zu machen. Er muss einfach nur die Zähler und die Nenner multiplizieren. Chris schreibt die Faktoren des Zählers und des Nenners getrennt voneinander auf. Den nächsten Schritt findet Chris am besten. Es ist an der Zeit, gleiche Faktoren zu kürzen, also solche, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen. Eine 2 und zwei x stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner. Chris kürzt sie und übrig bleibt 5x durch 12. Das ging ja flott. Oh oh, die Sonne linst schon über den Horizont. Chris muss sich ranhalten, wenn er die Verkabelung rechtzeitig erledigt haben will. Für die letzten Kabel gibt es zwei mögliche Lösungen. Soll er einfach ausprobieren, welche funktioniert? Chris beschließt, die Aufgabe zu lösen. Er darf sich jetzt keinen Fehler erlauben. Gebrochenrationale Terme zu dividieren funktioniert genau so wie die Division normaler Brüche. Chris wandelt die Aufgabe einfach in eine Multiplikation um und vertauscht beim zweiten Bruch Zähler und Nenner. Da der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Terme besitzen, kann Chris einfach alle Elemente im Zähler multiplizieren und die beiden Klammern im Nenner ausmultiplizieren. Schon fertig! Gerade als die Sonne aufgeht, verbindet Chris die letzten Kabel miteinander. Gerade rechtzeitig. Doch als er beim Wettbewerb ankommt, sieht er, dass Drohnen dieses Jahr offenbar sehr beliebt sind. Sogar der Gewinner ist erstaunt!

1 Kommentar
  1. Default

    Gut Erklärt

    Von Jens Roennefahrt, vor 12 Tagen

Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie du beim Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren gebrochenrationaler Terme vorgehst.

    Tipps

    Das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}$ und der größte gemeinsame Teiler $\text{ggT}$ sind wie folgt definiert:

    • Das $\text{kgV}$ zweier ganzer Zahlen ist die kleinste ganze Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist.
    • Der $\text{ggT}$ zweier ganzer Zahlen ist die größte ganze Zahl, die beide Zahlen teilt.

    Sieh dir folgende Beispiele an:

    • $\dfrac 12+\dfrac 13=\dfrac 36+\dfrac 26=\dfrac 56$,
    • $\dfrac 12\cdot\dfrac 13=\dfrac 16$ und
    • $\dfrac 12 :\dfrac 14=\dfrac 12\cdot\dfrac 41=\dfrac 42=2$.
    Lösung

    Im Folgenden betrachten wir das Vorgehen beim Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren gebrochenrationaler Terme.

    Addition und Subtraktion gebrochenrationaler Terme

    Möchten wir Bruchterme addieren oder subtrahieren, so müssen wir diese zunächst gleichnamig machen – das heißt, wir bringen die Brüche auf den gleichen Nenner. Hierfür bestimmen wir erst einmal das $\text{kgV}$ der Nenner der Bruchterme. Anschließend erweitern wir alle Bruchterme so, dass ihre Nenner dem gefundenen $\text{kgV}$ entsprechen. Nun können wir die Bruchterme addieren, indem wir die Zähler addieren und die Nenner beibehalten. Bei der Subtraktion der Bruchterme müssen wir die Zähler subtrahieren und die Nenner wieder beibehalten.

    Multiplikation gebrochenrationaler Terme

    Wenn wir Bruchterme multiplizieren möchten, müssen wir alle Zähler und alle Nenner jeweils miteinander multiplizieren. Anschließend können wir den resultierenden Bruchterm, wenn möglich, kürzen.

    Division gebrochenrationaler Terme

    Möchten wir Bruchterme dividieren, müssen wir den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren. Anschließend kürzen wir den resultierenden Bruchterm, wenn möglich.

  • Beschreibe, wie du beim Kürzen und Erweitern von Bruchtermen vorgehst.

    Tipps

    Den Bruch $\frac 6{12}$ kannst du wie folgt kürzen.

    • $\dfrac{6:2}{12:2}=\dfrac 36$
    • $\dfrac{6:3}{12:3}=\dfrac 24$
    • $\dfrac{6:6}{12:6}=\dfrac 12$
    Möchtest du den Bruch $\frac 6{12}$ also so weit wie möglich kürzen, so musst du Zähler und Nenner durch $6$ teilen.

    Es gilt:

    • $\text{ggT}(6;12)=6$ und
    • $\text{kgV}(6;12)=12$.
    Lösung

    Wenn wir Brüche oder Bruchterme addieren oder subtrahieren möchten, so müssen wir diese gleichnamig machen. Hierzu müssen wir wissen, wie man Brüche erweitert.

    Manchmal erhalten wir beim Rechnen mit Brüchen oder Bruchtermen auch Ergebnisse, die man noch kürzen kann. Hierzu müssen wir wissen, wie man Brüche so weit wie möglich kürzen kann.

    Es gilt:

    Brüche oder Bruchterme erweitern

    • Möchte man Brüche oder Bruchterme erweitern, so muss man Zähler und Nenner mit der gleichen ganzen Zahl multiplizieren.
    Brüche oder Bruchterme kürzen

    • Möchte man Brüche oder Bruchterme kürzen, so muss man Zähler und Nenner durch die gleiche ganze Zahl dividieren.
    • Möchte man Brüche oder Bruchterme so weit wie möglich kürzen, so muss man Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ teilen.
  • Berechne die gesuchten gebrochenrationalen Terme.

    Tipps

    Um Bruchterme addieren oder subtrahieren zu können, musst du sie zunächst gleichnamig machen.

    Du machst Bruchterme gleichnamig, indem du sie auf einen Hauptnenner erweiterst. Der Hauptnenner entspricht dem $\text{kgV}$ der Nenner der Bruchterme.

    Du erweiterst einen Bruchterm, indem du Zähler und Nenner mit der gleichen ganzen Zahl multiplizierst.

    Manchmal kannst du den resultierenden Bruchterm noch kürzen. Hierfür teilst du Zähler und Nenner durch die gleiche ganze Zahl, nämlich dem $\text{ggT}$ von Zähler und Nenner.

    Du dividierst zwei Bruchterme, indem du den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizierst. Bei einer Division werden die einzelnen Terme folgendermaßen bezeichnet:

    Dividend $:$ Divisor $=$ Quotient.

    Lösung

    Wir werden im Folgenden Bruchterme addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Bevor wir die Aufgaben allerdings lösen, sehen wir uns noch das Vorgehen bei den jeweiligen Rechenoperationen an.

    Aufgabe 1

    In dieser Aufgabe sollen zwei Bruchterme addiert werden. Möchten wir Bruchterme addieren, so müssen wir sie zunächst gleichnamig machen. Hierfür erweitern wir die Brüche auf den Hauptnenner, also auf ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ($\text{kgV}$). Das $\text{kgV}$ von $6x$ und $2x^2$ ist $6x^2$. Es folgt

    • $\dfrac{5}{6x} + \dfrac{3}{2x^2}=\dfrac{5\cdot x}{6x\cdot x} + \dfrac{3\cdot 3}{2x^2\cdot 3}=\dfrac{5x}{6x^2} + \dfrac{9}{6x^2}$.
    Nun addieren wir diese Bruchterme, indem wir ihre Zähler addieren und ihre Nenner beibehalten. So ergibt sich dann folgender Bruchterm:

    • $\dfrac{5x+9}{6x^2}$.
    Der Zähler und der Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler, sodass wir diesen Bruchterm nicht weiter kürzen können.

    Aufgabe 2

    In dieser Aufgabe sollen zwei Bruchterme subtrahiert werden. Wenn wir Bruchterme subtrahieren möchten, müssen wir diese zunächst gleichnamig machen. Das $\text{kgV}$ von $4x$ und $3x+1$ ist $12x^2+4x$. Es folgt:

    • $\dfrac{3}{4x} - \dfrac{x^2}{3x+1}=\dfrac{3\cdot (3x+1)}{4x\cdot (3x+1)} - \dfrac{x^2\cdot 4x}{(3x+1)\cdot 4x}=\dfrac{9x+3}{12x^2+4x} - \dfrac{4x^3}{12x^2+4x}$.
    Nun subtrahieren wir diese Bruchterme, indem wir ihre Zähler subtrahieren und ihre Nenner beibehalten. So ergibt sich folgender Bruchterm:

    • $\dfrac{-4x^3+9x+3}{12x^2+4x}$.
    Der Zähler und der Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler, sodass wir diesen Bruchterm nicht weiter kürzen können.

    Aufgabe 3

    In dieser Aufgabe sollen zwei Bruchterme miteinander multipliziert werden. Wenn wir Bruchterme multiplizieren möchten, müssen wir Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren. Es folgt dann:

    • $\dfrac{5}{8x^2} \cdot\dfrac{2x^3}{3}=\dfrac{5\cdot 2x^3}{8x^2\cdot 3}=\dfrac{10x^3}{24x^2}$.
    Der Zähler und der Nenner haben einen größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$), nämlich $2x^2$. Also können wir diesen Bruchterm mit $2x^2$ so weit wie möglich kürzen:

    • $\dfrac{10x^3 : 2x^2}{24x^2 : 2x^2}=\dfrac{5x}{12}$.
    Aufgabe 4

    In dieser Aufgabe sollen zwei Bruchterme dividiert werden. Wenn wir Bruchterme dividieren möchten, müssen wir den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren. Dabei multiplizieren wir wieder Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Es folgt dann:

    • $\dfrac{4x^3}{x+1} : \dfrac{x+2}{x}=\dfrac{4x^3}{x+1}\cdot\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{4x^3\cdot x}{(x+1)\cdot (x+2)}=\dfrac{4x^4}{x^2+3x+2}$.
    Der Zähler und der Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler, sodass wir diesen Bruchterm nicht weiter kürzen können.

  • Erschließe den resultierenden Bruchterm.

    Tipps

    Beachte die Vorrangregel Punkt- vor Strichrechnung!

    Dividiere zwei Bruchterme, indem du den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizierst.

    Bei der Addition und Subtraktion von Bruchtermen müssen diese gleichnamig sein.

    Lösung

    Wir betrachten folgende Rechenaufgabe:

    $\dfrac{2x}{5}-\dfrac{1}{x^2}:\dfrac{5}{x}+\dfrac{x-1}{x^2}\cdot\dfrac{x}{3}$.

    Diese setzt sich aus unterschiedlichen Rechenoperationen zusammen. Eine Vorrangregel besagt, dass Punkt- vor Strichrechnung ausgeführt werden muss. Also berechnen wir zuerst die Division und die Multiplikation.

    Division
    Wir multiplizieren den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors. Den resultierenden Bruchterm können wir mit $x$ kürzen:

    • $\dfrac{1}{x^2}:\dfrac{5}{x}=\dfrac{1}{x^2}:\dfrac{x}{5}=\dfrac{x}{5x^2}=\dfrac{1}{5x}$.
    Multiplikation
    Wir multiplizieren Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Den resultierenden Bruchterm können wir mit $x$ kürzen:
    • $\dfrac{x-1}{x^2}\cdot\dfrac{x}{3}=\dfrac{(x-1)\cdot x}{x^2\cdot 3}=\dfrac{x^2-x}{3x^2}=\dfrac{x-1}{3x}$.
    Nun haben wir die Aufgabe ein wenig vereinfacht. Wir müssen nun von links nach rechts weiterrechnen mit folgender Aufgabe:

    $\dfrac{2x}{5}-\dfrac{1}{5x}+\dfrac{x-1}{3x}$.

    Subtraktion
    Wir machen die Bruchterme gleichnamig und subtrahieren:

    • $\dfrac{2x}{5}-\dfrac{1}{5x}=\dfrac{2x\cdot x}{5\cdot x}-\dfrac{1}{5x}=\dfrac{2x^2}{5x}-\dfrac{1}{5x}=\dfrac{2x^2-1}{5x}$.
    Addition
    Nun müssen wir nur noch die Addition durchführen. Wir machen wieder gleichnamig und addieren. Es folgt:
    • $\dfrac{2x^2-1}{5x}+\dfrac{x-1}{3x}=\dfrac{(2x^2-1)\cdot 3}{5x\cdot 3}+\dfrac{(x-1)\cdot 5}{3x\cdot 5}=\dfrac{6x^2-3}{15x}+\dfrac{5x-5}{15x}=\dfrac{6x^2+5x-8}{15x}$.

  • Ermittle die gesuchten $\text{kgV}$ und $\text{ggT}$.

    Tipps

    Um den $\text{ggT}\left(4x^4+8x^3\ ;\ 6x^4\right)$ zu bestimmen, solltest du den ersten Term wie folgt ausklammern:

    • $4x^4+8x^3=4x^3(x+2)$.
    Somit musst du nur noch den $\text{ggT}$ von $4x^3$ und $6x^4$ ermitteln.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    • $\text{ggT}\left(18x^3\ ;\ 12x^2\right)=6x^2$,
    • $\text{kgV}\left(18x^3\ ;\ 12x^2\right)=36x^3$.
    Lösung

    Wenn wir Bruchterme gleichnamig machen möchten, müssen wir zunächst den Hauptnenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache $\text{kgV}$ der Nenner, finden. Möchten wir Bruchterme so weit wie möglich kürzen, so müssen wir Zähler und Nenner durch deren größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}$ teilen.

    Im Folgenden sehen wir uns an, wie wir das $\text{kgV}$ und den $\text{ggT}$ einiger Terme bestimmen können.

    Beispiel 1

    Wir suchen das $\text{kgV}$ der Terme $2x$ und $x^2$. Wir haben hier die Faktoren $2$ und $1$ vor den Variablen. Das $\text{kgV}$ dieser Faktoren ist schon mal $2$. Wenn wir $x$ und $x^2$ vergleichen, erkennen wir, dass $x^2$ die größere Potenz und ein Vielfaches von $x$ ist. Somit erhalten wir insgesamt das folgende $\text{kgV}$:

    • $\text{kgV}\left(2x\ ;\ x^2\right)=2x^2$.
    Beispiel 2

    Wir suchen den $\text{ggT}$ der Terme $2x$ und $6x$. Wir haben hier die Faktoren $2$ und $6$ vor den Variablen. Deren Teilermengen sind $T_2=\{1;2\}$ und $T_6=\{1;2;3;6\}$. Somit ist der $\text{ggT}$ dieser beiden Zahlen die $2$. Da in beiden Termen die Größe $x$ in einfacher Potenz vorkommt, ist hier der $\text{ggT}$ gleich $x$. Somit erhalten wir insgesamt den folgenden $\text{ggT}$:

    • $\text{ggT}\left(2x\ ;\ 6x\right)=2x$.
    Beispiel 3

    Wir suchen den $\text{ggT}$ der Terme $4x^4+8x^3$ und $6x^4$. Wir können den ersten Term wie folgt ausklammern:

    • $4x^4+8x^3=4x^3(x+2)$.
    Somit müssen wir nur noch den $\text{ggT}$ der Terme $4x^3$ und $6x^4$ bestimmen. Wir betrachten zunächst die Teilermengen der Vorfaktoren:

    • $T_4=\{1;2;4\}$ und
    • $T_6=\{1;2;3;6\}$.
    Somit erhalten wir die folgenden $\text{ggT}$:

    • $\text{ggT}\left(4;6\right)=2$ und
    • $\text{ggT}\left(x^3;x^4\right)=x^3$.
    Der gesuchte $\text{ggT}$ lautet dann:

    • $\text{ggT}\left(4x^4+8x^3\ ;\ 6x^4\right)=2x^3$.
    Beispiel 4

    Wir suchen das $\text{kgV}$ der Terme $x+1$ und $2x+2$. Da der Term $2x+2$ ein Vielfaches von $x+1$ ist, lautet das gesuchte $\text{kgV}$

    • $\text{kgV}\left(x+1\ ;\ 2x+2\right)=2x+2$.
  • Bestimme die resultierenden Bruchterme.

    Tipps

    Du kannst nur gleichnamige Bruchterme addieren und subtrahieren. Erweitere also die Bruchterme zunächst auf den Hauptnenner, nämlich das $\text{kgV}$ der Nenner der Bruchterme.

    Beim Dividieren zweier Bruchterme musst du den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

    Lösung

    Im Folgenden werden wir Bruchterme addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Dabei gehen wir wie folgt vor.

    Addition von Bruchtermen

    1. Hauptnenner, also $\text{kgV}$ der Nenner, bestimmen
    2. Bruchterme gleichnamig machen, also auf den Hauptnenner erweitern
    3. Bruchterme addieren: Zähler addieren und Nenner beibehalten
    Subtraktion von Bruchtermen
    1. Hauptnenner, also $\text{kgV}$ der Nenner, bestimmen
    2. Bruchterme gleichnamig machen, also auf den Hauptnenner erweitern
    3. Bruchterme subtrahieren: Zähler subtrahieren und Nenner beibehalten
    Multiplikation von Bruchtermen
    1. Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren
    2. resultierenden Bruchterm gegebenenfalls mit dem $\text{ggT}$ so weit wie möglich kürzen
    Division von Bruchtermen
    1. Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren
    2. resultierenden Bruchterm gegebenenfalls mit dem $\text{ggT}$ so weit wie möglich kürzen
    Nun können wir uns den Aufgaben widmen.

    Aufgabe 1

    Es ist $\text{kgV}(2x\ ;\ x^2)=2x^2$ der Hauptnenner, auf den wir beide Bruchterme zunächst erweitern und diese anschließend addieren.

    $\dfrac{x+1}{2x}+\dfrac{3x+2}{x^2}=\dfrac{(x+1)\cdot x}{2x\cdot x}+\dfrac{(3x+2)\cdot 2}{x^2\cdot 2}=\dfrac{x^2+x}{2x^2}+\dfrac{6x+4}{2x^2}=\dfrac{x^2+7x+4}{2x^2}$

    Aufgabe 2

    Wir multiplizieren den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors.

    $\dfrac{2}{x}:\dfrac{6}{x}=\dfrac{2}{x}\cdot \dfrac{x}{6}=\dfrac{2x}{6x}$

    Diesen Bruchterm können wir noch mit dem $\text{ggT}(2x\ ;\ 6x)=2x$ kürzen zu

    $\dfrac{2x:2x}{6x:2x}=\dfrac{1}{3}$.

    Aufgabe 3

    Es ist $\text{kgV}(x+1\ ;\ 2x+2)=2x+2$ der Hauptnenner, auf den wir beide Bruchterme zunächst erweitern und diese anschließend subtrahieren.

    $\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{2x+2}=\dfrac{2\cdot 2}{(x+1)\cdot 2}-\dfrac{1}{2x+2}=\dfrac{4}{2x+2}-\dfrac{1}{2x+2}=\dfrac{3}{2x+2}$

    Aufgabe 4

    Wir multiplizieren Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner und erhalten

    $\dfrac{2}{x^4+2x^3}\cdot\dfrac{3x^4}{4}=\dfrac{2\cdot 3x^4}{(x^4+2x^3)\cdot 4}=\dfrac{6x^4}{4x^4+8x^3}=\dfrac{6x^4}{4x^3(x+2)}$.

    Diesen Bruchterm können wir noch mit dem $\text{ggT}(6x^4\ ;\ 4x^3)=2x^3$ kürzen zu

    $\dfrac{6x^4:2x^3}{4x^3(x+2):2x^3}=\dfrac{3x}{2x+4}$.