sofatutor 30 Tage kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Gebrochenrationale Terme vereinfachen 04:09 min

Textversion des Videos

Transkript Gebrochenrationale Terme vereinfachen

Auf dem Jahresabschlussball der Main North Middle School grassieren einige schwere Fälle akuter Schüchternheit. Alle Jungen stehen auf der einen Seite der Cafeteria, während die Mädchen auf der anderen Seite herumsitzen. Das ist Molly. Sie ist etwas kompliziert und hofft, dass Bender sie zum Tanz auffordern wird. Bender ist der Bursche hier. Er steht total auf Molly. Aber er meint, dass Mädchen zu kompliziert und schwer zu verstehen sind. Glücklicherweise hat sein Freund Brian Erfahrung damit, gebrochenrationale Terme zu vereinfachen. Er hilft ihm als Wingman. Schauen wir uns mal an, was Bender an Molly so verwirrt. Es ist ein gebrochenrationaler Term. Er sieht aus wie ein Bruch, aber nicht vergessen, ein Bruchstrich steht auch für ein Geteiltzeichen. 32x2 geteilt durch 24x. Es hilft, den größten gemeinsamen Teiler für den Zähler und für den Nenner zu bestimmen. Für den Zähler gilt: 8 mal 4 ist 32 und x mal x ist x Quadrat. Die 24 im Nenner können wir als 8 mal 3 schreiben. Jetzt kommt der spaßige Teil. Um zu vereinfachen, müssen wir einfach die Faktoren kürzen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen. Wenn du einen Punkt erreichst, an dem du nichts mehr kürzen kannst, bist du fertig. Du kannst Terme auch vereinfachen, indem du sie in passende Binome zerlegst. Der Zähler lässt sich nicht vereinfachen. Können wir den Term im Nenner vielleicht faktorisieren? Bender würde gerne die -5 ausklammern, aber er erinnert sich daran, dass man keine Zahlen ausklammern kann, die zu einer Variablen addiert oder von ihr subtrahiert werden. Man kann nur Faktoren ausklammern, die in jedem Term der Klammer vorkommen. Du kannst alle Terme kürzen, die sich sowohl im Zähler als auch im Nenner finden, denn jede Zahl ergibt geteilt durch sich selbst 1. Bender fühlt sich schon sicherer. Er will einen anderen Term ausprobieren. Mollys Term sieht schwierig aus, aber Bender ist davon überzeugt, alles zu wissen, was er braucht, um das Ding zu knacken also den Term natürlich. Im Zähler steht ein Binom, im Nenner ein Trinom. Bender geht wieder so vor, wie Brian es ihm gezeigt hat. Bender erkennt einen größten gemeinsamen Teiler im Zähler und einen anderen im Nenner. Als Erstes klammerst du den GGT im Zähler und den im Nenner aus. Der Zähler sieht für den Moment in Ordnung aus. Als Nächstes faktorisierst du den Term im Nenner. 6 kann man in die Faktoren 2 und 3 zerlegen. Bender kürzt alle Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen, denn jeder Faktor ergibt geteilt durch sich selbst 1. Das gilt auch für Polynome. Bender versteht jetzt, wie man gebrochenrationale Terme vereinfacht. Er fühlt sich super und das Selbstvertrauen tropft ihm aus jeder Pore. Jetzt, da Bender weiß, wie man gebrochenrationale Terme vereinfacht, glaubt er, dass er auch Mädchen verstehen kann. Also fordert er Molly auf. Es gibt nur ein Problem: Er kann gar nicht tanzen. Sorry, Bender. Damit können wir dir leider nicht helfen.

Gebrochenrationale Terme vereinfachen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gebrochenrationale Terme vereinfachen kannst du es wiederholen und üben.

  • Vereinfache den gebrochenrationalen Term.

    Tipps

    Faktorisieren bedeutet, dass ein Term in mehrere Faktoren zerlegt wird. $12$ kannst du unter anderem zu $4\cdot 3$ oder $2\cdot 2\cdot 3$ faktorisieren.

    Beim Faktorisieren ist es oft hilfreich, eine binomische Formel zu verwenden. Die zweite binomische Formel lautet:

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Lösung

    Die Rechnung kannst du so ordnen:

    Der Zähler des Terms $\frac{x-5}{x^2-10x+25}$ ist bereits vereinfacht.

    Also muss nur noch der Nenner faktorisiert werden. Dann ergibt sich folgender gebrochenrationaler Term mit faktorisiertem Nenner:

    • $=\frac{x-5}{(x-5)(x-5)}$.
    Faktorisieren bedeutet, dass ein Term in mehrere Faktoren zerlegt wird. Hier wurde dafür die zweite binomische Formel angewandt. Diese lautet: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
    Diese Formel kannst du rückwärts auf den Nenner des gegebenen Terms anwenden. Dabei gilt $x=a$ und $5=b$ und es folgt:
    • $x^2-10x+25=(x-5)^2=(x-5)\cdot(x-5)$.
    Nun kann man den gebrochenrationalen Term mit faktorisiertem Nenner noch kürzen zu: $\frac{1}{x-5}$.

    Nach der Faktorisierung kannst du den Faktor $x-5$ kürzen, denn dieser Faktor kommt im Nenner und Zähler des Bruchs vor.

  • Vereinfache den gebrochenrationalen Term.

    Tipps

    Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl oder der größte Term, durch den zwei oder mehrere Zahlen oder Terme teilbar sind.

    Hast du den größten gemeinsamen Teiler in Nenner und Zähler eines Bruchs bestimmt und ausgeklammert, kannst du den Bruch durch ihn kürzen.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    „Um den Term zu vereinfachen, muss er zuerst einen größten gemeinsamen Teiler finden. Dazu faktorisiert er den Nenner und Zähler des Bruchs. (...)“

    • Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl oder der größte Term, durch den zwei oder mehrere Zahlen oder Terme teilbar sind. Hast du ihn in Nenner und Zähler eines Bruchs bestimmt und ausgeklammert, kannst du den Bruch durch ihn kürzen.
    „Den Faktor $x^2+13x+42$ kann er weiter faktorisieren. Dann erhält er: $=(x+6)\cdot (x+7)$.“

    • Multiplizierst du diesen Term aus, erhältst du wieder $x^2+13x+42$.
    „Für den gebrochenrationalen Term (...) kann er noch den Faktor $6$ in die Faktoren $2$ und $3$ zerlegen. Das ergibt: $\frac{3 \cdot 2 \cdot x^2 \cdot (x+7) }{2 \cdot (x+6)\cdot (x+7)}$.“

    • Der größte gemeinsame Teiler ist also $2(x+7)$.
    „Das Binom $(x+7)$ und den Faktor $2$ kann er kürzen und erhält: $\frac{3 \cdot x^2 }{ (x+6)}$.“

  • Erschließe den vereinfachten gebrochenrationalen Term.

    Tipps

    Zu Beginn ist es immer hilfreich, den größtmöglichen Faktor in Zähler und Nenner auszuklammern. Anschließend kannst du weiter faktorisieren.

    Nachdem Nenner und Zähler faktorisiert sind, kannst du gleiche Faktoren im Nenner und Zähler streichen.

    Lösung

    Die Rechnung wird in dieser Reihenfolge durchgeführt:

    Zuerst klammert sie die größtmöglichen Faktoren in Zähler und Nenner aus: $\frac{3(x^2-25)}{2x(x^2+10x+25)}$.

    Zu Beginn ist es immer hilfreich, den größtmöglichen Faktor in Zähler und Nenner auszuklammern. Anschließend kannst du weiter faktorisieren.

    Dann faktorisiert sie den Zähler weiter: $\frac{3(x-5)(x+5)}{2x(x^2+10x+25)}$.

    Nachdem der Zähler vollständig faktorisiert ist, muss sie noch den Nenner weiter faktorisieren: $\frac{3(x-5)(x+5)}{2x(x+5)(x+5)}$.

    Nach dem Faktorisieren kürzt sie den gebrochenrationalen Term zu: $\frac{3(x-5)}{2x(x+5)}$.

    Nachdem Nenner und Zähler faktorisiert sind, kannst du gleiche Faktoren im Nenner und Zähler streichen.

  • Ermittle die vereinfachte Form des gebrochenrationalen Terms.

    Tipps

    Um den Term zu vereinfachen, musst du zuerst den größtmöglichen Faktor im Nenner und Zähler ausklammern.

    Im Anschluss faktorisierst du Nenner und Zähler so weit wie möglich und kürzt gleiche Faktoren.

    Lösung

    Um den Term zu vereinfachen, musst du zuerst den größtmöglichen Faktor aus Nenner und Zähler ausklammern. Dann faktorisierst du Nenner und Zähler so weit wie möglich. Zuletzt kürzt du. Hierzu schauen wir uns folgenden gebrochenrationalen Term an:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{8x^2+32x}{2x^4+16x^3+32x^2}&=\dfrac{8x(x+4)}{2x^2(x^2+8x+16)} \\ &=\dfrac{8x(x+4)}{2x^2(x+4)(x+4)} \\ &=\dfrac{4}{x(x+4)} \\ &=\dfrac{4}{x^2+4x} \\ \end{array}$

    Hier wurde zum Faktorisieren des Terms $x^2+8x+16$ die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ mit $a=x$ und $b=4$ verwendet.

    Nun betrachten wir folgendes Beispiel:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{8x^3-72x}{8x^2-24x}&=\dfrac{8x(x^2-9)}{8x(x-3)}\\ &=\dfrac{8x(x-3)(x+3)}{8x(x-3)}\\ &=(x+3)\\ \end{array}$

    Hier wurde die dritte binomische Formel $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ mit $a=x$ und $b=3$ verwendet.

    Die anderen gebrochenrationalen Terme kannst du analog bestimmen. Dann ergibt sich:

    • $\dfrac{8x^2-32x}{12x^3-8x^2}=\dfrac{2x-8}{3x^2-2x}$
    • $\dfrac{9x^4-15x^2}{9x^4+32x^3-12x^2}=\dfrac{3x^2-5}{3x^2+8x-4}$
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu gebrochenrationalen Termen.

    Tipps

    Eine Variable ist nur ein Platzhalter für eine Zahl. Beim Rechnen kannst du Variablen wie eine Zahl behandeln.

    Zahlen, die im Nenner und Zähler eines Bruchs vorkommen, kannst du kürzen, weil du in diesem Fall eine Zahl durch sich selbst teilst. Das ergibt immer $1$.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    Zahlen, die zu einer Variablen addiert oder subtrahiert werden, kannst du ausklammern.

    • Du kannst nur Zahlen ausklammern, die als Faktor in allen Teilen einer Addition oder Subtraktion vorkommen. Zum Beispiel: $2x+6y=2x+2\cdot 3y=2(x+3y)$

    Auch wenn Variablen als Faktor im Nenner und Zähler des Bruchs vorkommen, können sie nicht gekürzt werden.

    • Wie Zahlen können Variablen oder Terme gekürzt werden, wenn sie als Faktor im Nenner und Zähler des Bruchs vorkommen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    Um gebrochenrationale Terme zu vereinfachen, musst du den Bruch kürzen.

    Um gebrochenrationale Terme vollständig zu vereinfachen, musst du den größten gemeinsamen Teiler des Nenners und Zählers finden.

    Du kannst Zahlen oder Terme kürzen, die als Faktor im Nenner und im Zähler des Bruchs vorkommen.

  • Ermittle, ob der Term korrekt vereinfacht wurde.

    Tipps

    Beim Faktorisieren ist es manchmal hilfreich, die dritte binomische Formel zu verwenden:

    $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

    Lösung

    Bei diesen Termen wurden Fehler gemacht:

    • $\frac{x^2-y^2}{8x^2-8xy}\neq\frac{1+x}{4}$
    So kannst du den Term korrekt vereinfachen:

    $\begin{array}{llll} \frac{x^2-y^2}{8x^2-8xy} &=\frac{(x+y)(x-y)}{8x(x-y)} \\ &=\frac{(x+y)}{8x} \end{array}$

    Hier wurde die dritte binomische Formel angewandt:

    $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

    • $\frac{9x(x^2-y^2)}{18xy(x^2-2xy+y^2)}\neq\frac{x-y}{2(x+y)}$
    Diesen Term kannst du so korrekt vereinfachen:

    $\begin{array}{llll} \frac{9x(x^2-y^2)}{18xy(x^2-2xy+y^2)} &=\frac{9x(x-y)(x+y)}{18xy(x-y)(x-y)} \\ &=\frac{(x+y)}{2y(x-y)} \\ \end{array}$

    Hier wurde außerdem die erste binomische Formel angewandt:

    $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$

    Diese Terme wurden korrekt vereinfacht:

    • $\frac{3x^2+3xy}{3xy^2+9x^2}=\frac{3x(x+y)}{3x(y^2+3x)}=\frac{x+y}{y^2+3x}$
    • $\frac{8xy}{4x}=\frac{4x\cdot 2y}{4x}=2y$