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- Ausklammern und Ausmultiplizieren
- Was ist Ausklammern?
Was ist Ausklammern?
Ausklammern ist eine wichtige Methode in der Mathematik, um Terme zu vereinfachen. Beim Ausklammern teilst du eine Summe in ein Produkt auf, indem du den größten gemeinsamen Teiler ausklammerst. Lerne mehr über das Ausklammern und wie du es anwendest! Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Was ist Ausklammern?
Was ist das Ausklammern?
Eine nicht genau bekannte Größe gerecht aufzuteilen, sieht auf den ersten Blick unmöglich aus. Mit einem Mathetrick ist das aber gar nicht so schwierig. Der Trick heißt Ausklammern. Der Term $12x+66$ kann verschiedene Werte annehmen. Denn für die Variable $x$ kannst du verschiedene Werte einsetzen und erhältst dementsprechend verschiedene Zahlen als Ergebnis. Kannst du trotzdem jede dieser möglichen Zahlen gerecht aufteilen?
Das geht, indem du nach dem größten gemeinsamen Teiler von $12$ und $66$ suchst. Dann kannst du diesen Teiler ausklammern. Du erhältst so aus der Summe $12x+66$ ein Produkt, das du durch jeden seiner Faktoren teilen kannst.
Das Ausklammern ist also eine Methode, mit der du Terme umformen und vereinfachen kannst. Es ist dabei das Gegenstück zum Ausmultiplizieren von Produkten. Beim Ausklammern wandelst du eine Summe in ein Produkt (von Summen) um. Es wird deshalb auch Faktorisieren genannt. Beim Ausmultiplizieren wird ein Produkt von Summen in eine einzige Summe umgewandelt.
Ausklammern – Regeln
Beim Ausklammern schreibst du eine Summe von Termen in ein Produkt um.
Einer der beiden Faktoren ist ein gemeinsamer Teiler aller Summanden. Der andere Faktor ist eine Summe. Die einzelnen Summanden dieser Summe findest du, indem du die Summanden der ursprünglichen Summe durch den ausgeklammerten Faktor dividierst.
Um eine Summe zu vereinfachen, ist es nützlich, den größten gemeinsamen Teiler aller Summanden zu suchen und diesen auszuklammern.
Ausklammern – Beispiele
Die Summanden des Terms $12x+66$ haben als größten gemeinsamen Teiler die Zahl $6$. Du kannst also $6$ ausklammern, das heißt, du schreibst die Summe $12x+66$ als Produkt mit dem Faktor $6$. Der andere Faktor ist wieder eine Summe. Die Summanden findest du, indem du die ursprünglichen Summanden durch den größten gemeinsamen Teiler $6$ dividierst: $12x:6=2x$ und $66:6=11$. So erhältst du die Gleichung:
$12x+66 = 6 \cdot (2x+11)$
Zur Kontrolle kannst du das Produkt $6 \cdot (2x+11)$ ausmultiplizieren und erhältst wieder den ursprünglichen Term:
$6 \cdot (2x+11) = 6 \cdot 2x + 6 \cdot 11 = 12x+66$
Aus dem Term $6x+15$ kannst du den Faktor $3$ ausklammern, denn $3$ ist der größte gemeinsame Teiler von $6x$ und $15$:
$6x+15 = 3 \cdot 2x + 3 \cdot 5 = 3 \cdot (2x+5)$
Häufig gestellte Fragen zum Thema Ausklammern
Damit wir einen Faktor bei einer gegebenen Summe ausklammern können, suchen wir bei allen Summanden nach dem größten gemeinsamen Teiler. Diesen können wir dann anschließend ausklammern.
$8x+48=8 \cdot x + 8 \cdot 6 = 8 \cdot (x+6)$
Es kann immer dann sinnvoll sein auszuklammern, wenn die Summanden der betrachteten Summe einen gemeinsamen Teiler haben.
Das Ausklammern ist die Gegenoperation zum Ausmultiplizieren. Während man bei Ausmultiplizieren eine Klammer auflöst, indem man sie mit einem Faktor multipliziert, entsteht beim Ausklammern eines gemeinsamen Teilers aus einer Summe eine Klammer.
Faktorisieren ist eine anderer Begriff dafür eine Summe in ein Produkt umzuwandeln. Da wir genau das beim Ausklammern tun, ist das Ausklammern eine Methode um Terme zu faktorisieren. Es gibt neben dem Ausklammern allerdings noch andere Möglichkeiten Terme zu Faktorisieren, z. B. durch Anwendung der binomischen Formeln.
Eine Variable (wie z. B. $x$) kann ausgeklammert werden, wenn sie in allen Summanden, aus denen ausgeklammert werden soll, vorkommt:
$13x-7xy=13 \cdot x - 7y \cdot x=(13-7y) \cdot x$
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Der Planet X ist dieses Jahr Gastgeber für die jährliche Konföderation der vereinten Planeten. Die Einladungen wurden per Raumschiff verschickt und bald werden jede Menge Raumkreuzer erwartet – vollgepackt mit Besuchern von vielen verschiedenen Planeten. Es ist schon fast alles vorbereitet, aber Ralf Kakerlake muss noch ein paar letzte Details regeln. Er muss sich noch ein paar Aktivitäten überlegen, mit denen sich die außerirdischen Besucher in ihrer Freizeit beschäftigen können. Um das fair zu regeln, will er ausklammern. Aber was ist Ausklammern eigentlich? Zuerst will Ralf die interplanetarischen Beziehungen verbessern, indem er ein Turnier veranstaltet, bei dem jedes Team aus Außerirdischen von verschiedenen Planeten besteht. Ralf will sicherstellen, dass in jeder Mannschaft gleich viele Spieler sind. Die Anzahl der Spieler in jedem Team wird schon festlegen, welche Sportart angeboten werden soll. Ralf weiß, dass sich in jedem Raumschiff 12 Außerirdische befinden. Leider weiß er nicht, wie viele Planeten der Einladung folgen werden. Da er nicht weiß, wie viele Planeten Raumschiffe schicken werden, beschreiben wir mit der Variablen x die Anzahl der Schiffe, die ankommen werden. Ralf muss außerdem die 66 Botschafter des Gastgeberplaneten beachten. Die Anzahl der Teilnehmer wird also 12x + 66 betragen. Da Ralf jetzt einen Ausdruck hat, der die Anzahl der Teilnehmer beschreibt, will er diese Personen in Gruppen gleicher Größe aufteilen. So wird er herausfinden, welche Sportart denn am besten ist. Um die Teilnehmer in Gruppen gleicher Größe aufzuteilen, muss Ralf ausklammern. Zuerst sucht Ralf den größten gemeinsamen Teiler, oder GGT, von 12x und 66. Der lautet in diesem Fall 6. Das ist die größte Zahl, die sowohl 12 als auch 66 als Vielfache hat. Wir können also eine 6 aus dem Ausdruck ausklammern. Der Ausdruck lautet nun: 6 mal (2x + 11). Du kannst das als die Gegenoperation zum Ausmultiplizieren von Klammern verstehen. Denn wenn du 6 mal (2x + 11) ausmultiplizieren würdest, würdest du wieder 12x + 66 erhalten. Dass man 6 aus dem Ausdruck ausklammern kann, bedeutet, dass es ganz egal ist, wie viele Planeten an dem Turnier teilnehmen. Man wird sie immer in Mannschaften von 6 Personen aufteilen können. Eine perfekte Mannschaftsstärke, um Slamball zu spielen. Slamball erinnert ein bisschen an das Basketball auf der Erde. Nach dem regulären Slamball-Turnier möchte Ralf noch ein besonderes Turnier im "3 gegen 3 Slamball" veranstalten. Aber wie groß sollten die einzelnen Mannschaften dann werden?Ralf beschließt, dass nur die erfahrensten Botschafter in diesem exklusiven Turnier mitspielen sollen. Das bedeutet, dass es 6 Teilnehmer von jedem Planet geben wird, der die Einladung annimmt. Dazu kommen die 15 Teammitglieder des Gastgeberplaneten. Ralf kann das mit dem Ausdruck 6x+15 darstellen, bei dem x wieder die Anzahl der teilnehmenden Planeten bedeutet. Ralf möchte die Teilnehmer in gleichgroße Mannschaften aufteilen. Er bemerkt, dass er eine 3 aus dem Ausdruck 6x + 15 ausklammern kann, weil 3 der größte gemeinsame Teiler von 6x und 15 ist. Durch das Ausklammern lautet der Ausdruck 3 mal (2x + 5). Also können die außerirdischen Besucher immer in Teams von 3 Spielern aufgeteilt werden, egal, wie viele Planeten die Einladung annehmen. Alle Raumschiffe sind auf Planet X gelandet, und offenbar hat jeder Planet seine 12 Vertreter geschickt. Ralf hat die richtige Rechnung parat, und er verteilt die Außerirdischen zufällig in Mannschaften mit 6 Spielern für Slamball und in Teams mit 3 Spielern für das Spezialturnier. Los geht es mit Slamball! Ralf stellt fest, dass obwohl seine Rechnungen richtig waren, die Mannschaften doch etwas unausgeglichen sind. Beim Planen hat Ralf wohl ausgeklammert, dass nicht alle Außerirdischen gleich sind.
Was ist Ausklammern? Übung
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Gib die Methode des Ausklammerns wieder.
TippsDer größte gemeinsame Teiler von $12$ und $66$ ist die größte Zahl, die sowohl $12$ als auch $66$ als Vielfache hat. Diesen kannst du mithilfe der Teilermengen der Zahlen $12$ und $66$ wie folgt bestimmen:
- $T_{12}=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
- $T_{66}=\{1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66\}$
Damit ist der $\text{ggT}(12; 66)=6$.
Nachdem der $\text{ggT}$ bestimmt worden ist, kannst du diesen ausklammern.
LösungRalf Kakerlake hat die Anzahl der Turnierteilnehmer*innen mit dem Ausdruck $12x+66$ berechnet.
Da Ralf Kakerlake so viele Teams wie möglich für das Turnier bilden möchte, möchte er nun den größten gemeinsamen Teiler der beiden Summanden ausklammern. Um diesen zu bestimmen, notiert er die beiden Teilermengen:- $T_{12}=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
- $T_{66}=\{1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66\}$
- $6 \cdot 2x+6 \cdot 11$
- $6(2x+11)$
-
Stelle die Methodik des Ausklammerns dar.
TippsBestimme zunächst den größten gemeinsamen Teiler der beiden Summanden des Ausdrucks. Dafür kannst du zum Beispiel die Teilermengen der beiden Summanden aufschreiben.
Versuche anschließend, jeden Summanden als Produkt aus dessen $\text{ggT}$ und eines weiteren Terms darzustellen. Anschließend kannst du den größten gemeinsamen Teiler ausklammern.
LösungIm Folgenden wird die Methodik des Ausklammerns an zwei Beispielen durchgeführt.
1. Beispiel
$~12x+66$
Um diesen Term auszuklammern, bestimmen wir zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $12$ und $66$. Dafür notieren wir uns wie folgt die Teilermengen beider Zahlen:
- $T_{12}=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
- $T_{66}=\{1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66\}$
- $6\cdot 2x+6\cdot 11$
- $6(2x+11)$
2. Beispiel
$~6x+15$
Wir klammern diesen Term aus, indem wir zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $6$ und $15$ bestimmen. Dafür notieren wir uns folgende Teilermengen:
- $T_{6}=\{1; 2; 3; 6;\}$
- $T_{15}=\{1; 3; 5; 15\}$
- $3 \cdot 2x+3 \cdot 5$
- $3(2x+5)$
-
Ermittle den größten gemeinsamen Teiler.
TippsDer größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist die größte Zahl, die beide Zahlen als Vielfache hat.
LösungIm Folgenden wird das Vorgehen bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers an einigen Beispielen aufgezeigt:
1. Beispiel
Es gilt $\text{ggT}(11;10)=1$. Dies können wir sehen, wenn wir uns die Teilermengen von $11$ und $10$ genauer anschauen:
- $T_{11}=\{1; 11\}$
- $T_{10}=\{1; 2; 5; 10\}$
2. Beispiel
Es gilt $\text{ggT}(33;66)=33$. Da $33$ ein Teiler von $66$ ist, ist $33$ selbst der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen.
3. Beispiel
Es gilt $\text{ggT}(12;18)=6$. Beide Zahlen sind durch $6$ teilbar. Es gibt keinen größeren gemeinsam Teiler, da $18$ nicht durch $12$ teilbar ist.
4. Beispiel
Es gilt $\text{ggT}(20;20)=20$. Sind die beiden Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler gesucht ist, identisch, so ist der größte gemeinsame Teiler die Zahl selbst.
5. Beispiel
Es gilt $\text{ggT}(25;30)=5$. Beide Zahlen sind durch $5$ teilbar. Es gibt keinen größeren gemeinsamen Teiler, da $25$ nicht durch $10$ teilbar ist.
-
Bestimme den ausgeklammerten Term in drei Beispielen.
TippsUm die Methode des Ausklammerns zu nutzen, musst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler beider Summanden bestimmen.
In der zweiten Aufgabe steht eine Differenz statt einer Summe. Trotzdem ändert sich nichts an der Vorgehensweise beim Ausklammern.
Um zum Beispiel den Term $5x+15$ auszuklammern, bestimmen wir zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $5$ und $15$. Hierzu notieren wir uns wie folgt die Teilermengen beider Zahlen:
- $T_{5}=\{1; 5\}$
- $T_{15}=\{1; 3; 5; 15\}$
$5 \cdot x+5 \cdot 3$
Nun kannst du den $\text{ggT}$ ausklammern und erhältst:
$5(x+3)$
LösungHier wird der ausgeklammerte Term in den drei Beispielen bestimmt:
1. Beispiel
$~15x+35$
Um die Methodik des Ausklammerns zu nutzen, musst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler von $15$ und $35$ bestimmen. Dieser ist gegeben durch $5$. Es kommt kein größerer Teiler infrage, da beide Zahlen nicht durch $10$ teilbar sind und $35$ nicht durch $15$ teilbar ist. Der Ausdruck lässt sich wie folgt umschreiben und ausklammern:
$5 \cdot 3x + 5 \cdot 7=5(3x+7)$
2. Beispiel
$~16x-24$
Um die Methodik des Ausklammerns zu nutzen, musst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler von $16$ und $24$ bestimmen. Dieser ist gegeben durch $8$. Es kommt kein größerer Teiler infrage, da $24$ nicht durch $16$ teilbar ist. Der Ausdruck lässt sich wie folgt ausklammern:
$8 \cdot 2x – 8 \cdot 3=8(2x-3)$
3. Beispiel
$~21x+77$
Um die Methodik des Ausklammerns zu nutzen, musst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler von $21$ und $77$ bestimmen. Dieser ist gegeben durch $7$. Es kommt kein größerer Teiler infrage, da beide Zahlen nicht durch $14$ teilbar sind und $77$ nicht durch $21$ teilbar ist. Der Ausdruck lässt sich umschreiben und ausklammern zu:
$7 \cdot 3x + 7 \cdot 11=7(3x+11)$
-
Bestimme die richtigen Aussagen zur Methodik des Ausklammerns.
TippsSieh dir folgendes Beispiel an:
$4x+12=4(x+3)$
Um einen Term aus einer Summe auszuklammern, muss dieser ein Teiler beider Summanden sein.
LösungUm die Aussagen besser bewerten zu können, soll das Vorgehen beim Ausklammern eines Terms an einem einfachen Beispiel verdeutlicht werden. Hierzu betrachten wir den Term $5x+15$ und bestimmen zunächst den größten gemeinsamen Teiler von $5$ und $15$, indem wir wie folgt die jeweiligen Teilermengen aufstellen:
- $T_{5}=\{1; 5\}$
- $T_{15}=\{1; 3; 5; 15\}$
- $5(x+3)$
- Beim Ausklammern eines Terms musst du zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der Summanden bestimmen.
- Die Methode des Ausklammerns kann als Gegenoperation zum Ausmultiplizieren von Klammern gesehen werden.
- Der größte gemeinsame Teiler von $12x$ und $66$ ist $12$.
- Ralf Kakerlake erhält durch Ausklammern eines Terms den Ausdruck $6(2x+11)$. Also kann man unabhängig von der Anzahl teilnehmender Planeten $x$ immer $6$ gleich große Teams bilden.
-
Wende die Methode des Ausklammerns auf mehrere Summanden an.
TippsGleichartige Terme sind Terme, in denen die Variable $x$ in der gleichen Potenz vorkommt.
Ist in allen Summanden die Variable $x$ enthalten, so ist die Variable $x$ auch Bestandteil des größten gemeinsamen Teilers dieser Summanden.
LösungIm Folgenden wird das Vorgehen für die drei verschiedenen Terme verdeutlicht:
1. Term
$~ 3x^3-7+12x^2-3x^3+3x+28$
Hier sind die Terme $3x^3$ und $-3x^3$ gleichartig und sie heben sich zusätzlich auf. Daher ergibt sich:
$12x^2+3x+21$
Nun musst du den $\text{ggT}$ der drei Summanden bestimmen. Da im Summanden $21$ keine Variable enthalten ist, handelt es sich bei dem größten gemeinsamen Teiler um eine reelle Zahl, nämlich den $\text{ggT}$ der drei Zahlen $12$, $3$ und $21$. Um diesen zu bestimmen, notieren wir uns die Teilermengen der drei Zahlen:
- $T_{12}=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
- $T_{3}=\{1; 3\}$
- $T_{21}=\{1; 3; 7; 21\}$
$3(4x^2+x+7)$
2. Term
$~ x^2+4x^3-22-x^2$
Hier sind die Terme $x^2$ und $-x^2$ gleichartig und sie heben sich gegenseitig auf. Daher ergibt sich folgender vereinfachter Term:
$4x^3-22$
Nun musst du den $\text{ggT}$ der beiden Summanden bestimmen. Da im zweiten Summanden $22$ keine Variable enthalten ist, handelt es sich bei dem größten gemeinsamen Teiler um eine reelle Zahl, nämlich den $\text{ggT}$ der beiden Zahlen $4$ und $22$. Dieser ist gegeben durch $2$. Klammern wir jetzt $2$ aus, erhalten wir:
$2(2x^3-11)$
3. Term
$~ -\frac{3}{2}x^2-91x^2-14x+x^2+\frac{1}{2}x^2+7x^3$
Hier sind die Terme $-\frac{3}{2}x^2$, $x^2$ und $\frac{1}{2}x^2$ gleichartig. Für diese Terme gilt:
$-\frac{3}{2}x^2+x^2+\frac{1}{2}x^2=0$
Sie heben sich also gegenseitig auf. Daher ergibt sich für den gesamten Term:
$7x^3-91x^2-14x$
Nun musst du den $\text{ggT}$ der drei Summanden bestimmen. Da in jedem Summanden die Variable $x$ enthalten ist, ist jeder Summand schon einmal durch $x$ teilbar. Daher ist die Variable $x$ auch im $\text{ggT}$ enthalten. Jetzt müssen wir uns noch die Vorfaktoren anschauen: Da alle durch $7$ teilbar sind, ist der größte gemeinsame Teiler gegeben durch $7x$. Klammern wir nun $7x$ aus, erhalten:
$7x(x^2-13x-2)$
Was ist Ausklammern?
Ausklammern ganzer Summanden
Terme ausklammern und ausmultiplizieren
Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen
Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen
Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers
Ausklammern bei Differenzen und Quotienten
Ausmultiplizieren mehrerer Summen
Ausmultiplizieren mehrerer Differenzen
8.807
sofaheld-Level
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