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Was ist Ausklammern? 04:17 min

Textversion des Videos

Transkript Was ist Ausklammern?

Der Planet X ist dieses Jahr Gastgeber für die jährliche Konföderation der vereinten Planeten. Die Einladungen wurden per Raumschiff verschickt und bald werden jede Menge Raumkreuzer erwartet – vollgepackt mit Besuchern von vielen verschiedenen Planeten. Es ist schon fast alles vorbereitet, aber Ralf Kakerlake muss noch ein paar letzte Details regeln. Er muss sich noch ein paar Aktivitäten überlegen, mit denen sich die außerirdischen Besucher in ihrer Freizeit beschäftigen können. Um das fair zu regeln, will er ausklammern. Aber was ist Ausklammern eigentlich? Zuerst will Ralf die interplanetarischen Beziehungen verbessern, indem er ein Turnier veranstaltet, bei dem jedes Team aus Außerirdischen von verschiedenen Planeten besteht. Ralf will sicherstellen, dass in jeder Mannschaft gleich viele Spieler sind. Die Anzahl der Spieler in jedem Team wird schon festlegen, welche Sportart angeboten werden soll. Ralf weiß, dass sich in jedem Raumschiff 12 Außerirdische befinden. Leider weiß er nicht, wie viele Planeten der Einladung folgen werden. Da er nicht weiß, wie viele Planeten Raumschiffe schicken werden, beschreiben wir mit der Variablen x die Anzahl der Schiffe, die ankommen werden. Ralf muss außerdem die 66 Botschafter des Gastgeberplaneten beachten. Die Anzahl der Teilnehmer wird also 12x + 66 betragen. Da Ralf jetzt einen Ausdruck hat, der die Anzahl der Teilnehmer beschreibt, will er diese Personen in Gruppen gleicher Größe aufteilen. So wird er herausfinden, welche Sportart denn am besten ist. Um die Teilnehmer in Gruppen gleicher Größe aufzuteilen, muss Ralf ausklammern. Zuerst sucht Ralf den größten gemeinsamen Teiler, oder GGT, von 12x und 66. Der lautet in diesem Fall 6. Das ist die größte Zahl, die sowohl 12 als auch 66 als Vielfache hat. Wir können also eine 6 aus dem Ausdruck ausklammern. Der Ausdruck lautet nun: 6 mal (2x + 11). Du kannst das als die Gegenoperation zum Ausmultiplizieren von Klammern verstehen. Denn wenn du 6 mal (2x + 11) ausmultiplizieren würdest, würdest du wieder 12x + 66 erhalten. Dass man 6 aus dem Ausdruck ausklammern kann, bedeutet, dass es ganz egal ist, wie viele Planeten an dem Turnier teilnehmen. Man wird sie immer in Mannschaften von 6 Personen aufteilen können. Eine perfekte Mannschaftsstärke, um Slamball zu spielen. Slamball erinnert ein bisschen an das Basketball auf der Erde. Nach dem regulären Slamball-Turnier möchte Ralf noch ein besonderes Turnier im "3 gegen 3 Slamball" veranstalten. Aber wie groß sollten die einzelnen Mannschaften dann werden?Ralf beschließt, dass nur die erfahrensten Botschafter in diesem exklusiven Turnier mitspielen sollen. Das bedeutet, dass es 6 Teilnehmer von jedem Planet geben wird, der die Einladung annimmt. Dazu kommen die 15 Teammitglieder des Gastgeberplaneten. Ralf kann das mit dem Ausdruck 6x+15 darstellen, bei dem x wieder die Anzahl der teilnehmenden Planeten bedeutet. Ralf möchte die Teilnehmer in gleichgroße Mannschaften aufteilen. Er bemerkt, dass er eine 3 aus dem Ausdruck 6x + 15 ausklammern kann, weil 3 der größte gemeinsame Teiler von 6x und 15 ist. Durch das Ausklammern lautet der Ausdruck 3 mal (2x + 5). Also können die außerirdischen Besucher immer in Teams von 3 Spielern aufgeteilt werden, egal, wie viele Planeten die Einladung annehmen. Alle Raumschiffe sind auf Planet X gelandet, und offenbar hat jeder Planet seine 12 Vertreter geschickt. Ralf hat die richtige Rechnung parat, und er verteilt die Außerirdischen zufällig in Mannschaften mit 6 Spielern für Slamball und in Teams mit 3 Spielern für das Spezialturnier. Los geht es mit Slamball! Ralf stellt fest, dass obwohl seine Rechnungen richtig waren, die Mannschaften doch etwas unausgeglichen sind. Beim Planen hat Ralf wohl ausgeklammert, dass nicht alle Außerirdischen gleich sind.

4 Kommentare
  1. Hi Madl Biedermann, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor 10 Tagen
  2. Ich habe es nicht so gut verstanden... Aber viel Mühe gemacht!

    Von Madl Biedermann, vor 14 Tagen
  3. jetzt hab ich es verstanden super :)

    Von Jonadsmiley, vor 15 Tagen
  4. 👍🏼

    Von Lin Sitta, vor 9 Monaten

Was ist Ausklammern? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist Ausklammern? kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Methode des Ausklammerns wieder.

    Tipps

    Der größte gemeinsame Teiler von $12$ und $66$ ist die größte Zahl, die sowohl $12$ als auch $66$ als Vielfache hat. Diesen kannst du mit Hilfe der Teilermengen der Zahlen $12$ und $66$ wie folgt bestimmen:

    • $T_{12}=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
    • $T_{66}=\{1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66\}$
    Damit ist der $\text{ggT}(12; 66)=6$.

    Nachdem der $\text{ggT}$ bestimmt worden ist, kannst du diesen ausklammern.

    Lösung

    Ralf Kakerlake hat die Anzahl der Turnierteilnehmer mit dem Ausdruck $12x+66$ berechnet.
    Da Ralf Kakerlake so viele Teams wie möglich für das Turnier bilden möchte, möchte er nun den größten gemeinsamen Teiler der beiden Summanden ausklammern. Um diesen zu bestimmen, notiert er die beiden Teilermengen:

    • $T_{12}=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
    • $T_{66}=\{1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66\}$
    Damit ist der $\text{ggT}(12; 66)=6$ und Ralf kann den Ausdruck wie folgt zerlegen:
    • $6 \cdot 2x+6 \cdot 11$
    Nun kann er die $6$ ausklammern, da dieser Faktor in beiden Summanden enthalten ist. Dafür stellt er sie nach vorne und setzt Klammern:
    • $6(2x+11)$
    Dieses Produkt ist immer durch $6$ teilbar, weil ein Faktor $6$ ist. Daher weiß Ralf, dass unabhängig von der Variablen $x$, also der Anzahl an ankommenden Raumschiffen, immer $6$ Teams mit einer ausgeglichenen Anzahl an Mitspielern gebildet werden können.

  • Bestimme die richtigen Aussagen zur Methodik des Ausklammerns.

    Tipps

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    • $4x+12=4(x+3)$

    Um einen Term aus einer Summe auszuklammern, muss dieser ein Teiler beider Summanden sein.

    Lösung

    Um die Aussagen besser bewerten zu können, soll das Vorgehen beim Ausklammern eines Terms an einem einfachen Beispiel verdeutlicht werden. Hierzu betrachten wir den Term $5x+15$ und bestimmen zunächst den größten gemeinsamen Teiler von $5$ und $15$, indem wir wie folgt die jeweiligen Teilermengen aufstellen:

    • $T_{5}=\{1; 5\}$
    • $T_{15}=\{1; 3; 5; 15\}$
    Also ist der $\text{ggT}(5; 15)=5$ und damit erhalten wir folgenden ausgeklammerten Term:
    • $5(x+3)$
    Demnach können wir die Aussagen wie folgt bewerten:
    • „Beim Ausklammern eines Terms musst du zunächst das kleinste gemeinsame Vielfache der Summanden bestimmen.“
    Diese Aussage ist falsch. Du musst nicht das kleinste gemeinsame Vielfache, sondern den größten gemeinsamen Teiler bestimmen. Ein Faktor, der ausgeklammert wird, ist immer ein Teiler eines jeden Terms und kein Vielfaches.
    • „Die Methode des Ausklammerns kann als Gegenoperation zum Ausmultiplizieren von Klammern gesehen werden.“
    Die Aussage ist richtig. Schauen wir uns zum Beispiel das Beispiel $6x+15$ aus dem Video an. Nach Ausklammern erhalten wir hier $3(2x+5)$. Multiplizieren wir nun die Klammern wieder aus, so erhalten wir den Ausgangsterm $6x+15$.
    • „Der größte gemeinsame Teiler von $12x$ und $66$ ist $12$.“
    Diese Aussage ist falsch, da $12$ kein Teiler von $66$ ist. Der größte gemeinsame Teiler von $12x$ und $66$ ist $6$.
    • „Ralf Kakerlake erhält durch Ausklammern eines Terms den Ausdruck $6(2x+11)$. Also kann man unabhängig von der Anzahl teilnehmender Planeten $x$ immer $6$ gleich große Teams bilden.“
    Diese Aussage ist richtig. Da $6$ ein Teiler des Terms $6(2x+11)$ ist, ist dieser Term unabhängig von der Variablen $x$ immer durch $6$ teilbar. Dies bedeutet, dass sich immer $6$ gleich große Teams bilden lassen.

  • Stelle die Methodik des Ausklammerns da.

    Tipps

    Bestimme zunächst den größten gemeinsamen Teiler der beiden Summanden des Ausdrucks. Dafür kannst du zum Beispiel die Teilermengen der beiden Summanden aufschreiben.

    Versuche anschließend, jeden Summanden als Produkt aus dessen $\text{ggT}$ und eines weiteren Terms darzustellen.
    Anschließend kannst du den größten gemeinsamen Teiler ausklammern.

    Lösung

    Im Folgenden wird die Methodik des Ausklammerns an zwei Beispielen durchgeführt.

    Beispiel 1: $~12x+66$

    Um diesen Term auszuklammern, bestimmen wir zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $12$ und $66$. Hierzu notieren wir uns wie folgt die Teilermengen beider Zahlen:

    • $T_{12}=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
    • $T_{66}=\{1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66\}$
    Der größte gemeinsame Teiler ist der größte Teiler, der in beiden Mengen enthalten ist. Dieser ist somit gegeben durch $6$. Wir zerlegen den Term nun wie folgt:
    • $6\cdot 2x+6\cdot 11$
    Nun kannst du $6$ ausklammern und erhältst:
    • $6(2x+11)$
    Dieses Produkt ist immer durch $6$ teilbar, weil ein Faktor $6$ ist.

    Beispiel 2: $~6x+15$

    Wir klammern diesen Term aus, indem wir zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $6$ und $15$ bestimmen. Hierzu notieren wir uns folgende Teilermengen:

    • $T_{6}=\{1; 2; 3; 6;\}$
    • $T_{15}=\{1; 3; 5; 15\}$
    Der größte gemeinsame Teiler ist hier gegeben durch $3$. Den Term können wir nun wie folgt zerlegen:
    • $3 \cdot 2x+3 \cdot 5$
    Nun kannst du $3$ ausklammern:
    • $3(2x+5)$

  • Wende die Methode des Ausklammerns auf mehrere Summanden an.

    Tipps

    Gleichartige Terme sind Terme, in denen die Variable $x$ in der gleichen Potenz vorkommt.

    Ist in allen Summanden die Variable $x$ enthalten, so ist die Variable $x$ auch Bestandteil des größten gemeinsamen Teilers dieser Summanden.

    Lösung

    Im folgenden wird das Vorgehen für die drei verschiedenen Terme verdeutlicht.

    Term 1: $~ 3x^3-7+12x^2-3x^3+3x+28$

    Hier sind die Terme $3x^3$ und $-3x^3$ gleichartig und sie heben sich zusätzlich auf. Daher ergibt sich:

    • $12x^2+3x+21$
    Nun musst du den $\text{ggT}$ der drei Summanden bestimmen. Da im Summanden $21$ keine Variable enthalten ist, handelt es sich bei dem größten gemeinsamen Teiler um eine reelle Zahl, nämlich den $\text{ggT}$ der drei Zahlen $12$, $3$ und $21$. Um diesen zu bestimmen, notieren wir uns wie folgt die Teilermengen der drei Zahlen:
    • $T_{12}=\{1; 2; 3; 4; 6; 12\}$
    • $T_{3}=\{1; 3\}$
    • $T_{21}=\{1; 3; 7; 21\}$
    Daher gilt $ggT(12;3:21)=3$. Klammern wir nun $3$ aus, so ergibt sich:
    • $3(4x^2+x+7)$
    Term 2: $~ x^2+4x^3-22-x^2$

    Hier sind die Terme $x^2$ und $-x^2$ gleichartig und sie heben sich gegenseitig auf. Daher ergibt sich folgender vereinfachter Term:

    • $4x^3-22$
    Nun musst du den $\text{ggT}$ der beiden Summanden bestimmen. Da im zweiten Summanden $22$ keine Variable enthalten ist, handelt es sich bei dem größten gemeinsamen Teiler um eine reelle Zahl, nämlich den $\text{ggT}$ der beiden Zahlen $4$ und $22$. Dieser ist gegeben durch $2$. Klammern wir nun $2$ aus, so ergibt sich:
    • $2(2x^3-11)$
    Term 3: $~ -\frac{3}{2}x^2-91x^2-14x+x^2+\frac{1}{2}x^2+7x^3$

    Hier sind die Terme $-\frac{3}{2}x^2$, $x^2$ und $\frac{1}{2}x^2$ gleichartig. Für diese Terme gilt:

    • $-\frac{3}{2}x^2+x^2+\frac{1}{2}x^2=0$
    Sie heben sich also gegenseitig auf. Daher ergibt sich für den gesamten Term:
    • $7x^3-91x^2-14x$
    Nun musst du den $\text{ggT}$ der drei Summanden bestimmen. Da in jedem Summanden die Variable $x$ enthalten ist, ist jeder Summand schon mal durch $x$ teilbar. Daher ist die Variable $x$ auch im $\text{ggT}$ enthalten. Nun müssen wir uns noch die Vorfaktoren anschauen. Da alle durch $7$ teilbar sind, ist der größte gemeinsame Teiler gegeben durch $7x$. Klammern wir nun $7x$ aus, so ergibt sich:
    • $7x(x^2-13x-2)$

  • Ermittle den größten gemeinsamen Teiler.

    Tipps

    Der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist die größte Zahl, die beide Zahlen als Vielfache hat.

    Lösung

    Im Folgenden wird das Vorgehen bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers an einigen Beispielen aufgezeigt.

    Beispiel 1

    Es gilt $\text{ggT}(11;10)=1$. Dies können wir sehen, wenn wir uns die Teilermengen von $11$ und $10$ genauer anschauen:

    • $T_{11}=\{1; 11\}$
    • $T_{10}=\{1; 2; 5; 10\}$
    Die Zahlen $11$ und $10$ haben keinen gemeinsamen Teiler außer die $1$. Daher kann nur $1$ der größte gemeinsame Teiler sein. Dies gilt immer für aufeinanderfolgende Zahlen.

    Beispiel 2

    Es gilt $\text{ggT}(33;66)=33$. Da $33$ ein Teiler von $66$ ist, ist $33$ selbst der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen.

    Beispiel 3

    Es gilt $\text{ggT}(12;18)=6$. Beide Zahlen sind durch $6$ teilbar. Es gibt keinen größeren gemeinsam Teiler, da $18$ nicht durch $12$ teilbar ist.

    Beispiel 4

    Es gilt $\text{ggT}(20;20)=20$. Sind die beiden Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler gesucht ist, identisch, so ist der größte gemeinsame Teiler die Zahl selbst.

    Beispiel 5

    Es gilt $\text{ggT}(25;30)=5$. Beide Zahlen sind durch $5$ teilbar. Es gibt keinen größeren gemeinsamen Teiler, da $25$ nicht durch $10$ teilbar ist.

  • Bestimme den ausgeklammerten Term in drei Beispielen.

    Tipps

    Um die Methode des Ausklammerns zu benutzen, musst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler beider Summanden bestimmen.

    In der zweiten Aufgabe steht eine Differenz statt einer Summe. Trotzdem ändert sich nichts an der Vorgehensweise beim Ausklammern.

    Um zum Beispiel den Term $5x+15$ auszuklammern, bestimmen wir zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $5$ und $15$. Hierzu notieren wir uns wie folgt die Teilermengen beider Zahlen:

    • $T_{5}=\{1; 5\}$
    • $T_{15}=\{1; 3; 5; 15\}$
    Der größte gemeinsame Teiler ist der größte Teiler, den beide gemeinsam haben, und ist daher gegeben durch $5$. Du kannst den Term wie folgt zerlegen:
    • $5 \cdot x+5 \cdot 3$
    Nun kannst du den $\text{ggT}$ ausklammern und erhältst:
    • $5(x+3)$

    Lösung

    Hier wird der ausgeklammerte Term in den drei Beispielen bestimmt:

    Beispiel 1: $~15x+35$
    Um die Methodik des Ausklammerns zu benutzen, musst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler von $15$ und $35$ bestimmen. Dieser ist gegeben durch $5$. Es kommt kein größerer Teiler in Frage, da beide Zahlen nicht durch $10$ teilbar sind und $35$ nicht durch $15$ teilbar ist. Der Ausdruck lässt sich wie folgt umschreiben und ausklammern:

    • $5 \cdot 3x + 5 \cdot 7=5(3x+7)$
    Beispiel 2: $~16x-24$
    Um die Methodik des Ausklammerns zu benutzen, musst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler von $16$ und $24$ bestimmen. Dieser ist gegeben durch $8$. Es kommt kein größerer Teiler in Frage, da $24$ nicht durch $16$ teilbar ist. Der Ausdruck lässt sich wie folgt ausklammern:
    • $8 \cdot 2x – 8 \cdot 3=8(2x-3)$
    Beispiel 3: $~21x+77$ Um die Methodik des Ausklammerns zu benutzen, musst du zunächst den größten gemeinsamen Teiler von $21$ und $77$ bestimmen. Dieser ist gegeben durch $7$. Es kommt kein größerer Teiler in Frage, da beide Zahlen nicht durch $14$ teilbar sind und $77$ nicht durch $21$ teilbar ist. Der Ausdruck lässt sich umschreiben und ausklammern zu:
    • $7 \cdot 3x + 7 \cdot 11=7(3x+11)$