Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen

Alle Inhalte sind von Lehrkräften & Lernexperten erstellt
Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.9 / 147 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, umfangreiche Terme mit mehreren Variablen mithilfe des Kommutativgesetzes und des Distributivgesetzes zusammenzufassen.

Zunächst lernst du, wie man bei längeren Termen Summanden zusammenfassen kann. Anschließend schauen wir uns Terme an, in denen Variablen als Produkt vorkommen. Abschließend lernst du, in welcher Schrittfolge man Terme mit mehreren Variablen zusammenfassen kann.

Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Term, Variable, Gleichung, Summanden, Produkt, Faktoren, Potenzen, Koeffizienten, Kommutativ- und Distributivgesetz.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, welche Rechenregeln (Operatorrangfolge) zu beachten sind und wie du mit dem Distributivgesetz Terme ein- und ausklammerst.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, selbstständig Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenzufassen.

Transkript Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen

Freddy kocht für sein Leben gerne. Heute wird er ein aufwändiges Menü für einen ganz besonderen Menschen zubereiten. Mit Vorspeise, Hauptgericht und Dessert. Um die richtige Menge der Zutaten zu besorgen, wird er „Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen“. Freddy kocht nach dem Rezept seiner Oma. Als Vorspeise einen Salat und als Hauptgericht eine Suppe. Für den Salat braucht er zwei Tomaten und eine Viertel Zwiebel. In die Suppe kommen drei Tomaten und eine halbe Zwiebel. Um Herauszufinden, wie viele Zutaten er insgesamt braucht, notiert er sich die Lebensmittel als Term. Dabei nutzt er Variablen als Stellvertreter für die Gemüsesorten. T steht für Tomaten und z für Zwiebeln. Also zwei t plus ein Viertel z plus 3 t plus ein Halb z. Aber so richtig übersichtlich ist der Term noch nicht. Freddy fasst die Summanden noch weiter zusammen. Mit dem Kommutativgesetz kann er die Summanden neu ordnen. Mit dem Distributivgesetz klammert er die Variablen aus. Nun befinden sich die Koeffizienten, also die Faktoren, die vor den Variablen standen, innerhalb der Klammer. Dadurch kann er sie leichter zusammenfassen und erhält fünf t und drei Viertel z. Er braucht also fünf Tomaten und drei Viertel von einer Zwiebel. Ist doch gar nicht so schwierig. Bei längeren Termen funktioniert es genauso. Zum Beispiel bei diesem langen Term. Zuerst nutzen wir das Kommutativgesetz und ordnen die Summanden. Alle Terme mit der Variable x kommen nach vorne und die Terme mit der Variable y nach hinten. Danach werden mit dem Distributivgesetz die Koeffizienten in Klammern zusammengefasst. Nun können wir die Summen in den Klammern berechnen und erhalten neunzehn x plus zwölf y. Wenn Variablen als Produkt auftreten, darf man sie auch nur in genau dieser Kombination zusammenfassen. Das heißt drei ab und vier ab können zusammengefasst werden, aber 3 ab und vier ac nicht. Außerdem können wir mit dem Kommutativgesetz nicht nur Summanden, sondern auch Faktoren vertauschen. Schauen wir uns einmal diesen Term an. Wir fassen die Teile zusammen, die die gleichen Produkte aus Variablen enthalten. Dafür ordnen wir den Term zuerst. Nach welcher Reihenfolge wir ihn ordnen, können wir selbst entscheiden. Bei dem letzten Summanden können wir mit dem Kommutativgesetz die beiden Variablen vertauschen. Dann können wir die Koeffizienten in Klammern zusammenfassen. Dabei dürfen wir den Faktor eins nicht übersehen. Im letzten Schritt berechnen wir die Ausdrücke in den Klammern. Eine Eins als Koeffizienten brauchen wir nicht mitzuschreiben und mit dem Koeffizienten null fällt die Variable bc nun komplett weg. Deshalb halten wir als Ergebnis sieben ab minus xy fest. Genauso können Produkte aus gleichen Variablen vereinfacht werden. Wir erinnern uns: x mal x ergibt x Quadrat. und a mal a mal a ergibt a hoch drei. Wir wollen nun den Term drei x mal in Klammern x plus vier y minus x Quadrat plus fünf xy vereinfachen. Zuerst lösen wir die Klammern auf, indem wir den Faktor vor der Klammer mit den einzelnen Summanden in der Klammer multiplizieren. Auch hierfür verwenden wir das Distributivgesetz. Danach ordnen wir die Summanden nach den Variablen und können dann die Koeffizienten zusammenfassen. Dabei müssen wir wieder den Faktor eins berücksichtigen. Das ergibt zwei x Quadrat plus siebzehn xy. Auch wenn in beiden Summanden das x enthalten ist, dürfen sie nicht zusammengefasst werden. Freddy hat inzwischen alle seine Zutaten besorgt. Während er das Gericht zubereitet, verschaffen wir uns noch einmal einen Überblick. Wir können Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen, indem wir zunächst alle Klammern auflösen. Danach ordnen wir die Summanden nach den verschiedenen Variablen, damit wir anschließend die Variablen ausklammern und so die Koeffizienten zusammenfassen können. Dadurch können viele Terme vereinfacht werden. Mit etwas Übung kannst du später auch einige Zwischenschritte weggelassen. Das Mahl ist nun angerichtet und Freddy's Ehrengast ist eingetroffen. Wie werden seine Kochkünste beurteilt? Dann lasst es euch gut schmecken!

11 Kommentare
11 Kommentare
  1. Endlich verstanden

    Von Florian, vor 6 Monaten
  2. 👍👍👍

    Von Nastasja, vor 6 Monaten
  3. Supa

    Von Wenzel, vor 7 Monaten
  4. Ein tolles Video

    Von Lenny Nentwig, vor mehr als einem Jahr
  5. Super

    Von Belle, vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Terme mit unterschiedlichen Variablen zusammenfassen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie man diesen Term mit unterschiedlichen Variablen zusammenfasst.

    Tipps

    Beispiel:

    ${2a+3b+7a+5b}$

    ${=2a+7a+3b+5b}$

    ${=(2+7)a+(3+5)b}$

    ${=9a+8b}$

    Ein Koeffizient ist eine zu einem Rechenausdruck beigefügte Zahl. Zum Beispiel bei ${2a}$ ist ${2}$ der Koeffizient.

    Lösung

    Terme mit unterschiedlichen Variablen lassen sich zusammenfassen, wenn sie innerhalb des Terms gleiche Variablen haben, beispielsweise ${2a+b+3a+4b}$.

    Achte darauf, ob die Rechnung aus Summanden oder Produkten besteht und welche Rechengesetze anzuwenden sind.

    Für das Beispiel dieser Aufgabe ergibt sich folgende Zusammenfassung:

    ${2t+{\frac{1}{4}}z+3t+{\frac{1}{2}}z}$

    Summanden neu ordnen (Kommutativgesetz):

    ${2t+3t+{\frac{1}{4}}z+{\frac{1}{2}}z}$

    Koeffizienten ausklammern (Distributivgesetz):

    ${=(2+3)t+(\frac{1}{4}+\frac{1}{2})z}$

    Klammern berechnen:

    ${=5t+(\frac{3}{4})z}$

  • Gib einen Term für die Tomaten und die Zwiebeln an.

    Tipps

    Im Salatrezept sind $2$ Tomaten und ${\frac{1}{4}}$ Zwiebel angegeben.

    Im Suppenrezept sind $3$ Tomaten und ${\frac{1}{2}}$ Zwiebel aufgeführt.

    Lösung

    Um Terme korrekt aufzustellen, muss man die Koeffizienten und die Variablen bestimmen:

    Im Salatrezept sind $2$ Tomaten und ${\frac{1}{4}}$ Zwiebel angegeben. Das wird zu ${2t}$ und ${\frac{1}{4}z}$ zusammengefasst.

    Im Suppenrezept sind $3$ Tomaten und ${\frac{1}{2}}$ Zwiebel aufgeführt. Das wird zu ${3t}$ und ${\frac{1}{2}z}$ zusammengefasst.

    Anschließend bildest du die Summe aus den vier Termen. Beachte, dass die Reihenfolge der Summanden beliebig ist:

    ${2t+\frac{1}{4}z+3t+\frac{1}{2}z=5t+\frac{3}{4}z}$

  • Entscheide, ob die Terme zusammengefasst werden können.

    Tipps

    Variablen können als Produkt zusammengefasst werden.

    Beispiel:

    ${{z}\cdot{z}=z^2}$

    Es gilt das Kommutativgesetz. Zum Beispiel kann ${2xy+3yx}$ zu $5xy$ zusammengefasst werden.

    Nicht zusammengefasst werden kann ${2xy+3yz}$.

    Lösung

    Terme mit unterschiedlichen Variablen lassen sich zusammenfassen, wenn sie innerhalb des Terms gleiche Variablen haben. Wenn Variablen als Produkt auftreten, darfst du sie nur in genau dieser Kombination zusammenfassen.

    Folgende Terme können wir zusammenfassen:

    ${3ab+4ab=(3+4)\cdot ab = 7ab} \rightarrow$ Distributivgesetz

    ${3bc+4cb = 3bc + 4bc = (3+4) \cdot bc=7bc} \rightarrow$ Kommutativgesetz und Distributivgestz

    ${{x}\cdot{x}=x^2} \rightarrow$ Produkt wird als Potenz geschrieben

    ${{a}\cdot{a}\cdot{a}=a^3} \rightarrow$ Produkt wird als Potenz geschrieben

    Folgende Terme können wir nicht zusammen:

    ${3ab+4ac}$

    ${1,5xy+1,5xz}$

    ${3ba+3bc}$

  • Ermittle, welche Terme gleich sind.

    Tipps

    Beachte, dass zum Beispiel ${x\cdot{y}=y\cdot{x}}$ ist. Ordne dann die Summanden so neu an, dass alle gleichen Variablen zusammenstehen (Kommutativgesetz).

    Beispiel:

    ${3xy+4xy+5yz+6yz}$

    Fasse anschließend die Koeffizienten in einer Klammer zusammen (Distributivgesetz).

    Beispiel:

    ${(3+4)xy+(5+6)yz}$

    Berechnest du die Klammern, erhältst du das Endergebnis des Terms.

    Beispiel:

    ${7xy+11yz}$

    Lösung

    Wenn Variablen als Produkt auftreten, dann darfst du sie auch nur in dieser Kombination zusammenfassen, zum Beispiel ${2de+3ed=5ed}$.

    Außerdem kann man mit dem Kommutativgesetz nicht nur Summanden, sondern auch Faktoren vertauschen. Es gilt daher:

    ${x+y=y+x}$ und ${x\cdot{y}=y\cdot{x}}$

    Du kannst also alle Aufgaben nach folgendem Muster lösen:

    $1. ~\color{orange}{\text{Summanden neu ordnen mit dem KG}}$

    $2. ~ \color{blue}{\text{Koeffizienten zusammenfassen mit dem DG}}$

    $3. ~ \color{magenta}{\text{Klammern ausrechnen}}$

    Diese Terme gehören jeweils als Paar zusammen:

    $2ab+\frac{1}{2}cd+4ba+\frac{1}{3}dc=\color{orange}{2ab+4ab+\frac{1}{2}cd+\frac{1}{3}cd}\color{black}=\color{blue}{(2+4)ab+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})cd}\color{black}=\color{magenta}{6ab+\frac{5}{6}cd}$

    $2a\cdot3b\cdot\frac{1}{2}c=\color{blue}{(2\cdot3\cdot\frac{1}{2})abc}\color{black}=\color{magenta}{3abc}$

    $2a+4bc+2b+4a=\color{orange}{2a+4a+4bc+2b}\color{back}=\color{blue}{(2+4)a+4bc+2b}\color{black}=\color{magenta}{6a+4bc+2b}$

    $\frac{1}{2}b\cdot4a\cdot3c=\color{blue}{(\frac{1}{2}\cdot4\cdot3)abc}\color{black}=\color{magenta}{6abc}$

  • Fasse den Term zusammen.

    Tipps

    Ordne zuerst die Terme mithilfe des Kommutativgesetzes.

    Fasse die Koeffizienten zusammen mithilfe des Distributivgesetzes.

    Lösung

    $6x+9y+13x+5y+4x$

    Um diese Aufgabe zu lösen, musst du zunächst die Terme mithilfe des Kommutativgesetzes neu ordnen, sodass alle $x$ und $y$ zusammenstehen. Die Reihenfolge innerhalb der $x$-Terme und $y$-Terme ist dabei egal.

    Summanden neu ordnen:

    $+6x+4x+13x+9y+5y$

    Anschließend fasst du die Koeffizienten mithilfe des Distributivgesetzes zusammen.

    Koeffizienten ausklammern:

    $(6+4+13) \cdot x+(9+5)\cdot y$

    Dann rechnest du die Klammern aus und erhältst einen zusammengefassten Term.

    Klammern berechnen:

    $23\cdot x+14\cdot y$

  • Ermittle einen vollständig zusammengefassten Term für Tomaten und Zwiebeln.

    Tipps

    Tomaten: $3t$ und $4,\!5t$

    Zwiebeln: $0,\!75z$ und $1,\!5z$

    Du kannst zunächst den Term als Summe schreiben, die Summanden dann mithilfe des Kommutativgesetzes vertauschen und anschließend mit dem Distributivgesetz zusammenfassen.

    Lösung

    Du liest aus der Aufgabe heraus, dass man im ersten Rezept $3$ Tomaten und $0,\!75$ Zwiebeln und im zweiten Rezept $4$ Tomaten und $1,\!5$ Zwiebeln benötigt.

    Das sind für die Tomaten $3t$ und $4,\!5t$ sowie für die Zwiebeln $0,\!75z$ und $1,\!5z$.

    In der Aufgabe sind die Variablen $t$ und $z$ vorgegeben. Der Term wird somit wie folgt aufgestellt, wobei die Reihenfolge der einzelnen Summanden beliebig ist:

    ${4,\!5t+0,\!75z+3t+1,\!5z}$

    Zuerst ordnest du die Terme mithilfe des Kommutativgesetzes neu an, sodass alle gleichen Variablen zusammenstehen:

    $={4,\!5t+3t+0,\!75z+1,\!5z}$

    Anschließend fasst du die Koeffizienten zusammen, indem du die Variablen mithilfe des Distributivgesetzes ausklammerst:

    $= {(4,\!5+3)t+(0,\!75+1,\!5)z}$

    Dann rechnest du die Klammern aus:

    $={7,\!5t+2,\!25z}$

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

7.701

sofaheld-Level

6.601

vorgefertigte
Vokabeln

7.918

Lernvideos

37.080

Übungen

34.318

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden