Termumformungen ohne Variablen
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Grundlagen zum Thema Termumformungen ohne Variablen
Was sind Terme und Termumformungen?
In der Mathematik spielen Terme und Termumformungen eine wichtige Rolle. Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen bestehen.
Da es sich bei Termen um Rechenausdrücke handelt, kann man auch mit ihnen rechnen – man spricht dann von Termumformungen oder davon, dass wir einen Term umformen.
In diesem Text beschäftigen wir uns damit, wie man Terme umformen kann. Dabei beschränken wir uns zunächst auf Terme ohne Variablen.
Termumformungen einfach erklärt
Meistens formst du einen Term um, damit er einfacher wird und du den Wert des Terms auf einen Blick erfassen kannst.
Termumformungen erzeugen gleichwertige Terme. Das bedeutet, dass der Wert bzw. das Ergebnis bei jeder Umformung gleich bleibt. Deswegen werden die umgeformten Terme mit einem Gleichheitszeichen verbunden. Man nennt diese Terme auch ergebnisgleich.
Welche Termumformungen gibt es?
- In jedem Term gilt Punktrechnung vor Strichrechnung. Das bedeutet, dass du mal und geteilt vor plus und minus rechnest. Hier siehst du ein Beispiel dazu:
$\quad17-7\cdot 2 = 17-14 = 3$
- Gibt es in einem Term keine Punktrechnung (mehr), so führst du die Strichrechnung von links nach rechts aus. Hier erhältst du ein Beispiel dazu:
$\quad25-15-2 = 10-2 = 8$
- Klammern werden zuerst ausgerechnet. Dabei muss zwischen den Klammern stets ein für sich betrachtet korrekter Term stehen. Du wendest also auf den Term innerhalb einer Klammer die zuvor beschriebenen Regeln an. Als Beispiel dazu kannst du dir die folgende Rechnung ansehen:
$\quad(2\cdot9-6)\cdot2 = (18-6)\cdot2 = 12\cdot2 = 24$
- Haben wir mehrere ineinander verschachtelte Klammern gegeben, so rechnen wir von innen nach außen, wir rechnen also erst die Klammer ganz innen aus und gehen dann Schritt für Schritt weiter nach außen. Das kann zum Beispiel so aussehen:
$\quad 3+\left( \left(4 -2\right)+2\right) = 3+(2+2) = 3+4 = 7$
Übungen zu Termumformungen
Um das Gelernte zu festigen, lösen wir noch eine weitere Aufgabe zu Termumformungen. Gegeben ist der folgende Term:
$4\cdot\left( 2-8 : \left(4\cdot 12 - 6\cdot 7 -4\right)\right)+8$.
Der Term sieht auf den ersten Blick ganz schön kompliziert aus, aber wenn wir uns an die Regeln halten, bekommen wir auch diesen Term vereinfacht. Wir beginnen damit, die Klammern auszurechnen. Da wir zwei ineinander verschachtelte Klammern haben, rechnen wir als Erstes die innere Klammer aus und beachten dabei Punkt- vor Strichrechnung:
$4\cdot\left( 2-8 : \textcolor{blue}{\left(4\cdot 12 - 6\cdot 7 -4\right)}\right)+8$
$ = 4\cdot\left( 2-8 : \textcolor{blue}{\left(48 - 42 -4\right)}\right)+8$
$ = 4\cdot\left( 2-8 : \textcolor{blue}{\left(6 -4\right)}\right)+8$
$ = 4\cdot\left( 2-8 : \textcolor{blue}{(2)}\right)+8$
Die innere Klammer enthält nun nur noch eine einzelne positive Zahl, deswegen können wir die Klammer auch weglassen. Jetzt nehmen wir uns die verbleibende äußere Klammer vor und rechnen diese aus – wieder unter Berücksichtigung der Punkt- vor Strichregel:
$4\cdot\textcolor{red}{\left( 2-8 : 2\right)}+8$
$=4\cdot\textcolor{red}{\left( 2-4\right)}+8$
$=4\cdot\textcolor{red}{\left( -2\right)}+8$
In der Klammer bleibt diesmal eine negative Zahl stehen. Das Minus ist hier Bestandteil der Zahl und kein Rechenzeichen. Deswegen bleiben die Klammern stehen.
Für den Rest des Terms gilt nun wieder Punkt- vor Strichrechnung:
$4\cdot(-2) + 8 = (-8) + 8 = 0$
Nun kennst du die wichtigsten Regeln für Termumformungen ohne Variablen – bist du bereit für den nächsten Schritt? Dann gehe gleich weiter zu Termumformungen mit Variablen.
Transkript Termumformungen ohne Variablen
Termann ist Terminator im Außendienst und kennt sich schon gut aus mit Termen. Er weiß zum Beispiel, welche Rechenausdrücke Terme sind und welche nicht. Nun winkt eine Beförderung in den Innendienst. Termann will Intermist werden, denn dann kriegt er einen schönen Schreibtisch. Aber dazu muss er Terme auch umformen können. Also beschäftigt er sich mit den Grundregeln der Termumformung. Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen. Hier beschränken wir uns aber auf Terme ohne Variablen. Weil es sich bei Termen um Rechenausdrücke handelt, kann man auch mit ihnen rechnen. Das heißt, dass man Terme umformt und vereinfacht. Aber da gibt es ein paar Grundregeln: In jedem Term gilt: Punktrechnung vor Strichrechnung. Das heißt, dass du Mal und Geteilt vor Plus und Minus rechnest. Termumformungen erzeugen gleichwertige Terme, die alle dasselbe Ergebnis haben. Diese Terme heißen deshalb auch Ergebnisgleich. Sie werden durch Gleichheitszeichen miteinander verbunden. Gibt es in einem Term keine Punktrechnung mehr, führst du die Strichrechnungen von links nach rechts aus. Hier rechnen wir also erst 25 minus 15 und dann minus 2. Was in Klammern steht, rechnest du zuerst! Klammern müssen etwas enthalten, das selbst als korrekter Term gelten würde. Deshalb wendest du innerhalb einer Klammer dieselben Regeln an: Zunächst führen wir die Punktrechnung aus und dann die Strichrechnung. Schließlich können wir den Term vollständig ausrechnen. Haben wir mehrere ineinander verschachtelte Klammern gegeben, dann rechnen wir von innen nach außen. Wie fangen also bei der inneren Klammer an. Dann haben wir nur noch eine Klammer und können das Ergebnis wie zuvor ausrechnen. Mal sehen, wie sich Termann so macht. Das sieht ganz schön kompliziert aus! Aber Termann muss sich nur genau an die Regeln halten. Der Term enthält zwei Klammern. Termann beginnt also mit der inneren. Hier führt er zunächst die Punktrechnung aus. Dann folgt die Strichrechnung, wobei er von links nach rechts rechnet. Die Klammer enthält nun nur noch eine einzelne positive Zahl. Dann können wir die Klammer auch weglassen. Das sieht ja schon sehr viel einfacher aus. Termann geht nun zur äußeren Klammer über. Auch hier führt er zunächst die Punktrechnung aus und dann die Strichrechnung. Diesmal bleibt in der Klammer eine negative Zahl übrig. Das Minus ist also Bestandteil der Zahl und kein Rechenzeichen. Damit aber nicht der Eindruck entsteht, dass hier zwei Rechenzeichen direkt nebeneinander stehen, lässt Termann die Klammern stehen. Für den Rest des Terms gilt wieder Punktrechnung vor Strichrechnung. Das Ergebnis ist Null? Irgendwie hat Termann das Gefühl, dass er dieses Ergebnis nicht zum letzten Mal gesehen haben wird. Und während er weiter fleißig Terme umformt, fassen wir zusammen: Zunächst einmal gilt immer: Punktrechnung wird vor der Strichrechnung ausgeführt. Danach rechnest du von links nach rechts. Ansonsten wird jede Klammer einzeln gerechnet: Du fängst immer bei der innersten Klammer an. Die rechnest du aus, indem du erst die Punktrechnung ausführst und dann von links nach rechts die Strichrechnung. Dann gehst du zur nächstäußeren Klammer über. Auch diese rechnest du aus, indem du erst die Punktrechnung ausführst und dann die Strichrechnung von links nach rechts. Sind alle Klammern aufgelöst, führst Du auch im verbliebenen Term die Punktrechnung zuerst aus. Bleibt dann immer noch etwas übrig, rechnest du von links nach rechts. Und Termann? Der hat den Karrieresprung geschafft und darf sich Intermist nennen! Was für ein schöner Schreibtisch!
Termumformungen ohne Variablen Übung
-
Gib die Grundregeln beim Rechnen mit Termen wieder.
TippsLöse bei Termen mit mehreren Klammern immer zuerst die innere Klammer:
- $100:(3\cdot(3+4))=100:(3\cdot7)$
Multiplikationen führst du immer vor Additionen aus:
$3+7\cdot2=3+14$
Bei gleichwertigen Operationen beginnst du mit dem Rechnen wie beim Lesen auf der linken Seite.
LösungBeim Rechnen mit Termen musst du Folgendes beachten:
Für alle Schritte gilt:
- Punktrechnung vor Strichrechnung
- Von links nach rechts
Bei komplizierteren Termen musst du außerdem auf Folgendes achten:
- Innere Klammer zuerst: $2\cdot(3\cdot9-(9:3+4))+8$
- Nächstäußere Klammer: $2\cdot(3\cdot9-7)+8$
- Term ohne Klammern: $2\cdot20+8$
-
Beschreibe, wie du den folgenden Term vereinfachen kannst.
TippsBedenke, dass immer Punkt- vor Strichrechnung gilt.
Bei mehreren Klammern beginnst du immer bei der ganz inneren.
LösungFolgender Term ist gegeben:
- $4\cdot (2-8:(4\cdot12-6\cdot7-4))+8$
- $4\cdot (2-8:(48-42-4))+8$
- $4\cdot (2-8:2)+8$
Zunächst die Division ($8:2=4$):
- $4\cdot (2-4)+8$
- $4\cdot (-2)+8$
- $-8+8$
-
Vereinfache die Terme so weit wie möglich.
TippsSchaue dir dieses Beispiel an:
$3\cdot (4+5\cdot 2)$
$=3\cdot (4+10)$
$=3\cdot (14)$
$=42$
Löse erst alle Multiplikationen und Divisionen in einer Klammer, dann die Additionen und Subtraktionen.
LösungBeispiel 1: $~3\cdot (2+3\cdot(12:6-3\cdot7+20))-8$
Zuerst betrachten wir die innere Klammer und multiplizieren dort:
$=3\cdot (2+3\cdot(2-21+20))-8$
Schließlich lösen wir die innere Klammer auf:
$= 3\cdot (2+3\cdot 1)-8$
Wir multiplizieren in der äußeren Klammer:
$= 3\cdot (2+3)-8$
Nun lösen wir die äußere Klammer auf:
$=3\cdot 5-8$
Nun im Term Punkt- vor Strichrechnung
$=15-8$
Zuletzt die Subtraktion:
$=7$
Beispiel 2: $~(16+2\cdot(4:2-1\cdot7-10)):6$
Zuerst betrachten wir die innere Klammer und multiplizieren und dividieren dort:
$=(12+2\cdot(2-7-10)):6$
Schließlich lösen wir die innere Klammer auf:
$= (12+2\cdot(-15)):6$
Wir multiplizieren in der äußeren Klammer:
$= (12-30):6$
Nun lösen wir die äußere Klammer auf:
$=(-18):6$
Zuletzt eine Division:
$=-3$
-
Gib an, ob und wenn ja, welche Regel zur Termumformung hier verletzt wurde.
TippsZuerst Divisionen, dann Subtraktionen:
$4-2:2=4-1=3$
aber $4-2:2\neq2:2=1$.
Du liest von links nach rechts, genauso gehst du in der Mathematik vor.
LösungBeim Rechnen mit Termen musst du Folgendes beachten:
Für alle Schritte gilt:
- Punktrechnung vor Strichrechnung
- Von links nach rechts
- Innere Klammer zuerst!
- Nächstäußere Klammer!
- Term ohne Klammern!
- $3\cdot (4+5\cdot 2)\neq 3\cdot (9 \cdot 2)$
$3\cdot (4+5\cdot 2)= 3\cdot (4+10)= 3\cdot 14= 42$
- $3\cdot (5\cdot 2+4)\neq15\cdot (2+4)$
$3\cdot (5\cdot 2+4)=3\cdot (10+4)=3\cdot 14=42$
- $12:3\cdot 0\neq 12:0$
$12:3\cdot 0=4\cdot 0= 0$
- $12\cdot5:(4+3)=12\cdot5:7$
$12\cdot5:(4+2)=12\cdot5:6=60:6=10$
-
Zeige auf, welche mathematischen Ausdrücke Terme sind.
TippsZahlen und Variablen dürfen sogar alleine stehen und gelten als Term.
Rechenzeichen müssen zwischen Variablen und/oder Zahlen stehen, alleine bilden sie keinen Term. Außerdem dürfen niemals zwei Rechenzeichen direkt hintereinanderstehen.
Klammern dürfen in einem Term vorkommen, müssen aber immer ein Paar sein.
LösungTerme sind Rechenausdrücke, die Folgendes beinhalten dürfen:
- Zahlen und Variablen, die sogar alleine stehen dürfen und als Term gelten.
- Rechenzeichen wie $+$, $-$, $\cdot$ und $:$, die aber zwischen Variablen und/oder Zahlen stehen müssen, alleine bilden sie keinen Term. Außerdem dürfen niemals zwei Rechenzeichen direkt hintereinander stehen.
- Klammern, die immer als Paar vorkommen müssen.
- $2x$
- $x+1$
- $390$
- $2\cdot(a+b)$
- $x=2$ und $1<4$
- $1~-:4$
- $+$
-
Vereinfache die Terme vollständig.
TippsHier siehst du eine korrekte Umformung:
$((2\cdot1)+3)\cdot 4=(2+3)\cdot4=5\cdot4=20$
Terme sind Rechenausdrücke, die Folgendes beinhalten dürfen:
- Zahlen und Variablen, die sogar alleine stehen dürfen und als Term gelten.
- Rechenzeichen wie $+$, $-$, $\cdot$ und $:$, die aber zwischen Variablen und/oder Zahlen stehen müssen, alleine bilden sie keinen Term. Außerdem dürfen niemals zwei Rechenzeichen direkt hintereinander stehen.
- Klammern, die immer als Paar vorkommen müssen.
LösungBeim Rechnen mit Termen musst du Folgendes beachten:
- Punktrechnung vor Strichrechnung
- Von links nach rechts
- Klammern zuerst
- Klammern von innen nach außen lösen
- $(5+3\cdot(8+9))\cdot0=(5+3\cdot17)\cdot0=(5+51)\cdot0=56\cdot0=0$
- $17-4\cdot5+18:6=17-20+3=0$
- $12:4\cdot (1-4+3)=12:4\cdot 0= 3\cdot 0=0$
- $3$
- $2\cdot(4+5):6+0=2\cdot9:6+0=18:6+0=3+0=3$
- $((3\cdot5)-10)\cdot 4:2=(15-10)\cdot4:2=5\cdot4:2=20:2=10$
- $(3\cdot5-10)\cdot 4:2=(15-10)\cdot4:2=5\cdot4:2=20:2=10$
- $5+:3\cdot(8+9)$ Zwei Rechenzeichen dürfen nicht direkt hintereinander stehen.
- $7+3\cdot 0>1$ Terme dürfen keine Relationszeichen enthalten.
- $34\cdot (3+6\cdot(1+1)$ Klammern müssen immer als Paar vorkommen.
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voll gut formuliert danke habs gechekt
👍kann ich entfehlen aber er macht zu lange pausen
Es ist gut und lustig zurgleich
ist ok
Ja geht