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Terme aufstellen und berechnen

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Team Digital
Terme aufstellen und berechnen
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Beschreibung Terme aufstellen und berechnen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, aus gegebenen Informationen einen allgemeinen Term aufzustellen und diesen durch Einsetzen der Variablen auszurechnen.

Zunächst lernst du, wie du gegebene Informationen und Zusammenhänge zu einem Term zusammenfasst. Anschließend betrachtest du ein zweites Beispiel aus der Geometrie. Abschließend lernst du, wie du durch Einsetzen von konkreten Werten den Term ausrechnest.

Lerne, wie du die Dauer von Arbeiten ausrechnen kannst, wenn du über die nötigen Informationen verfügst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Term, Rechenausdruck, Zahl, Variable und Klammer.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was ein Term ist und wie man Terme umformt.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, verschiedene Sachaufgaben und geometrische Probleme zu lösen.

Transkript Terme aufstellen und berechnen

Termann hat einen tollen Job, er ist nämlich Intermist. Da hat er nicht nur eine hübsche Krawatte, sondern auch einen schicken Schreibtisch. Und eigentlich möchte er nur noch eine Kleinigkeit haben, dann will er in den Ruhestand. Aber davor liegt noch ein ganzer Stapel an Arbeit. Um den zu bewältigen, muss Termann Terme aufstellen und berechnen. Er hat noch 5 Akten aus der letzten Woche. Diese Woche kommen täglich 3 Akten hinzu, aber Termann schafft es auch, jeden Tag 4 Akten zu bearbeiten. Wie kann man dafür einen Term aufstellen? Konkrete Zahlen hat Termann nur für die Anzahl der Akten gegeben. Die Anzahl der Tage ist dagegen variabel. Also verwendet er dafür eine Variable - zum Beispiel x. Das wird multipliziert und zwar mit der Anzahl der Akten, die jeden Tag hinzukommen und der Anzahl der Akten, die Termann täglich abarbeitet, die also verschwinden. Der Anfangswert sind die 5 Akten der vergangenen Woche. Die addiert er einfach. Dieser Term beschreibt also, wie viele Akten am Ende eines Tages noch auf Termanns Schreibtisch liegen. 3 minus 4 sind 'minus 1', so können wir die Klammer vereinfachen. Weil jeden Tag 3 Akten dazukommen, Termann aber jeden Tag 4 schafft, schrumpft der Stapel täglich um eine Akte. Um ihre Anzahl für einen bestimmten Tag auszurechnen, ersetzen wir die Variable durch konkrete Werte. Nach einem Tag sind noch 4 Akten übrig. Nach zwei Tagen noch 3. Nach fünf Tagen, also am Freitag hat Termann alle Akten bearbeitet. Sehr gut! Man kann Terme auch verwenden, um geometrische Probleme zu bearbeiten. So eine Akte ist rechteckig. Termann möchte ihren Umfang bestimmen. Dafür muss er die Länge der einen Seite zweimal nehmen und die Länge der anderen Seite auch. Zusammen ergeben sie den Term, der den Umfang eines allgemeinen Rechtecks angibt. Er misst die eine Seite aus und kommt auf 35 cm. Die zweite Seite ist 25 cm lang. Also hat so eine Akte einen Umfang von 120 cm. Und während Termann noch fleißig seine Akten abarbeitet, fassen wir zusammen. Viele mathematische Probleme kannst du durch Terme beschreiben. Ein Term ist dabei ein sinnvoller Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen. Ein Problem kannst du folgendermaßen mit einem Term beschreiben: Hast du konkrete Werte gegeben, erscheinen diese im Term als Zahlen. Manchmal hast du aber von einer Größe keinen konkreten Wert gegeben oder du interessierst dich für mehrere unterschiedliche Werte dieser Größe. Dann kannst du sie durch eine Variable beschreiben. Die Beziehungen zwischen den Zahlen und Variablen werden dann durch Klammern und Rechenzeichen ausgedrückt. Der Term '2a plus 2b' steht zum Beispiel für den Umfang eines beliebigen Rechtecks. Er stellt also etwas Allgemeines dar. Indem du a und b durch konkrete Längen ersetzt, kannst du den Umfang für ein spezielles Rechteck ausrechnen. Und Termann? Da ist die Kleinigkeit, die er haben wollte: Ein Kaktus! Mehr braucht er nicht. Tschüss Bürojob!

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. Ich wünsche das Video wäre länger und Klammerrechnungen kämen mehr dran sonst war es gut

    Von Tigi Afewerki, vor 2 Monaten
  2. Es ist gut es erzählt was Mann wissen muss und soll

    Von Itslearning Nutzer 2535 1174593, vor 3 Monaten
  3. Hallo Anitchenp,
    kannst du genauer beschreiben, welche Stelle du meinst? Bei negativen Zahlen lässt man die Klammer zum Beispiel oft stehen, um zu zeigen, dass das Minuszeichen zu der Zahl zugehörig ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen konnten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 5 Monaten
  4. Kommt nicht wenn die Zahl alleine steht die Klammer weg? ❓

    Von Anitchenp, vor 5 Monaten
  5. Sehr gutes Video

    Von Samineh Noaparast, vor 6 Monaten
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Terme aufstellen und berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Terme aufstellen und berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Terme.

    Tipps

    Setze in den Term für die Variable $x$ die vorgegebenen Werte ein.

    Für den Term $3 \cdot x + 4$ und den Wert $x=2$ erhältst du $3 \cdot 2 +4 = 6+4=10$.

    Beachte die Vorzeichen in der Rechnung.

    Lösung

    In einen Term mit einer Variablen kannst du verschiedene Werte für die Variable einsetzen, um den Term zu berechnen. Dazu setzt du an jede Stelle, an der eine Variable steht, denselben Wert ein. Enthält ein Term mehr als eine Variable, so kannst du so viele verschiedene konkrete Werte einsetzen, wie der Term verschiedene Variablen enthält. Nur für jede Stelle, an der dieselbe Variable vorkommt, musst du immer denselben Wert einsetzen. Z. B. kannst du in den Term $U = a+b+a+b$, der den Umfang eines Rechtecks beschreibt, für die Seitenlängen $a$ und $b$ verschiedene Werte einsetzen. Aber an jeder Stelle, an der die Variable $a$ vorkommt, musst du denselben Wert einsetzen.

    Hier findest du für den Term $x \cdot (-1) +5$ folgende Tabelle (mit Nebenrechnung):

    $\begin{array}{c|c} x=1 & 1 \cdot (-1) + 5 = -1 + 5 = 4 \\ \hline x=2 & 2 \cdot (-1) + 5 = -2+5 = 3 \\ \hline x=5 & 5 \cdot (-1) + 5 = -5 + 5 = 0 \end{array}$

  • Stelle den Term auf.

    Tipps

    Die unbestimmte Anzahl der Tage wird mit der Anzahl der täglich bearbeiteten Akten multipliziert.

    Die zusätzlichen $5$ Akten werden dazu gezählt.

    Bearbeitete Akten gehen mit Minuszeichen in den Term ein.

    Lösung

    Termann stellt einen Term auf, der die Akten auf seinem Schreibtisch nach einer unbestimmten Anzahl von $x$ Tagen beschreibt. Die Akten, die auf seinem Schreibtisch bereits liegen oder neu hinzukommen, zählt Termann mit positivem Vorzeichen, diejenigen Akten, die er bearbeitet hat, mit negativem Vorzeichen.

    Die $5$ Akten aus der vorigen Woche tragen zu dem gesuchten Term den Summanden $+5$ bei. Die täglich hinzukommenden Akten machen nach $x$ Tagen $+3 \cdot x$ Akten aus, die täglich bearbeiteten tragen $-4 \cdot x$ zu dem gesuchten Term bei. Dieser lautet daher:

    $(3-4) \cdot x + 5 = (-1) \cdot x + 5$

  • Erschließe die Werte.

    Tipps

    Finde zu jedem Term die passenden Variablen.

    Vereinfache den Term, wenn möglich.

    Dieser Term mit zwei Variablen lässt sich zu einem Term mit nur einer Variablen vereinfachen:

    $ x + 2 \cdot y + (3-x) = 2 \cdot y +3 $

    Lösung

    In einen Term mit Variablen kannst du verschiedene Werte für die Variablen einsetzen und so einen konkreten Wert für den Term ermitteln. Einsetzen kannst du jeweils nur Werte für diejenigen Variablen, die in dem Term vorkommen. In einen Term, der die Variable $z$ nicht enthält, kannst du z.B. $z=2$ nicht einsetzen. Manchmal kannst du einen Term so vereinfachen, dass eine Variable in der vereinfachten Umformung des Terms nicht mehr vorkommt.

    In der Aufgabe sind verschiedene Terme sowie Werte für die Variablen und konkrete Zahlen gegeben. Setzt du die Werte der Variablen in den jeweils passenden Term ein, so erhältst du eine konkrete Zahl als Ergebnis.

    Hier sind die Terme mit passenden Werten der Variablen und Ergebnissen:

    $2 \cdot (a+b) - 2 \cdot a$:

    • $b=1$ kannst du einsetzen, denn die Variable $b$ kommt in dem Term vor. Du kannst den Term so vereinfachen, dass $b$ die einzige Variable ist: $2 \cdot (a+b) - 2 \cdot a = 2 \cdot a + 2 \cdot b - 2 \cdot a = 2 \cdot b$.
    • $2$ ist der Wert des Terms nach Einsetzen von $b=1$, denn $ 2 \cdot 1 = 2$.
    $2 \cdot x + 3$:
    • $x=1$ kannst du einsetzen, denn $x$ ist die einzige Variable dieses Terms.
    • $5$ ist der zugehörige Wert, denn $2 \cdot 1 + 3 = 5$.
    $-(3 +y) + 2 + 4\cdot y$:
    • $y=-2$ kannst du hier einsetzen. Du musst dann den Wert $-2$ an beiden Stellen einsetzen, an denen in dem Term die Variable $y$ vorkommt.
    • $-7$ ist der zugehörige Wert, denn $-(3 -2) + 2 + 4\cdot (-2) = -1+2-8 = -7$.
    $3 \cdot z+2 -5 \cdot (2-z)$:
    • $z=0$ kannst du hier einsetzen.
    • $-8$ ist der resultierende Wert, denn $3 \cdot 0+2 -5 \cdot (2-0) = 2-10 = -8$.

  • Bestimme die Terme.

    Tipps

    Der Umfang einer Figur ist die Summe ihrer Kantenlängen.

    Der Term für den Umfang einer Figur enthält nur Variablen, die die Kanten der Figur bezeichnen.

    Lösung

    Terme mit Variablen beschreiben allgemeine Größen, die in einzelnen Werten unbestimmt sind und dennoch Rechenoperationen eindeutig festlegen. So ist z. B. der Umfang einer Figur die Summe seiner Kantenlängen – unabhängig davon, welche konkreten Werte die Kantenlängen annehmen. Verwendest du Variablen für die verschiedenen Kanten, so kannst du jeweils einen Term aufstellen, der den Umfang eindeutig beschreibt.

    Quadrat:

    • Bei einem Quadrat sind alle Kanten gleich lang. Nennst du die Kantenlänge $a$, so ist der Umfang des Quadrates $U=4 \cdot a$.
    Dreieck $\Delta_{ABC}$:
    • Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe seiner drei Kantenlängen $a$, $b$ und $c$, also $U = a+b+c$.
    • Die Seitenlängen des Dreiecks tragen die Bezeichnungen $a$, $b$ und $c$. Das Dreifache der längsten Seitenlänge ist $3 \cdot c$.
    Rechteck:
    • In einem Rechteck sind die einander gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich lang. Der Umfang ist daher $U = 2 \cdot (a+b)$. Das Doppelte des Umfangs ist dann $4 \cdot (a+b)$.
    Rechtwinkliges Dreieck:
    • Durch die Diagonale entsteht aus dem Quadrat ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses Dreieck ist auch gleichschenklig. Sein Umfang ist daher $U = d + 2\cdot a$.

  • Definiere die Begriffe.

    Tipps

    Terme dienen z. B. dazu, mit bestimmten und unbestimmten Werten zu rechnen.

    Eine Variable bezeichnet man z. B. durch Buchstaben wie $a$, $b$, $x$, $y$ usw.

    Setzt du für die Variablen in einem Term konkrete Werte ein, so kannst du den Term ausrechnen.

    Lösung

    Ein Term dient immer als sinnvolle Vorschrift zur Ausführung einer Rechnung. Mit „sinnvoll“ ist gemeint, dass die Vorschrift einen eindeutig bestimmten Sinn hat. Variablen dienen in einem Term als Platzhalter. Du kannst an Stelle der Variablen einen beliebigen konkreten Wert einsetzen und den Wert des Terms ausrechnen.

    So findest du folgende richtigen Sätze:

    • Ein konkreter Wert ... erscheint in einem Term als Zahl.
    • Ein Term ... ist ein sinnvoller Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen.
    • Eine Variable ... steht für eine unbestimmte Größe.
    • In einem Term kannst du für die Variable ... konkrete Werte einsetzen.
  • Prüfe die Aussagen.

    Tipps

    Die Terme $3\cdot x + 2$ und $2 \cdot (1+x+y) - (2y-x+2)$ nehmen die gleichen Werte an.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Ein Term kann mehr als eine Variable enthalten.“ Dies gilt z.B. für den Term $2 \cdot (a+b)$, der den Umfang eines Rechtecks beschreibt: Hier sind $a$ und $b$ Variablen, die für die beiden Seitenlängen des Rechtecks stehen. Die Werte der Variablen sind im Allgemeinen verschieden. Du darfst aber auch jeweils denselben Wert für $a$ und $b$ einsetzen.
    • „Aus jedem Term kannst du durch Einsetzen konkreter Werte in alle Variablen eine eindeutig festgelegte Zahl ausrechnen.“ Terme sind nur solche Ausdrücke, die eine Rechenoperation eindeutig festlegen. Setzt du für jede vorkommende Variable eine Zahl ein, so kannst du mit dem Term auch eine konkrete Zahl ausrechnen.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Jeder Term enthält mindestens eine Variable.“ Auch eine konkrete Zahl wie $528$ ist ein Term. Aber ein Operationssymbol allein wie $:$ oder eine Klammer $($ ist kein Term.
    • „In jeden Term kannst du verschiedene Werte einsetzen.“ Verschiedene Werte kannst du nur in Variablen einsetzen. Enthält ein Term keine Variablen, so kannst du auch keine Werte einsetzen.
    • „Wenn du in eine Variable eines Terms einen konkreten Wert einsetzt, ergibt sich aus dem Term eine Zahl.“ Um einen konkreten Wert zu erhalten, musst du für alle Variablen konkrete Werten einsetzen. Setzt du z. B. in den Term $2 \cdot (a+b)$ nur $a=4$ ein, so erhältst du keine konkrete Zahl als Ergebnis.
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