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Terme durch Rechenbäume beschreiben 06:22 min

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Transkript Terme durch Rechenbäume beschreiben

Alarm! Ob er es schafft? Kann man es überhaupt schaffen? Er muss diesen Term ausrechnen! Aber wie? Wie? Da hilft nur eins. Wir müssen lernen, wie man Terme durch Rechenbäume beschreiben kann. Dieser Term sieht ganz schön kompliziert aus. Wo soll man denn da anfangen mit dem Ausrechnen? Da gibt es eine ganz klare Reihenfolge! Zuerst müssen die Klammern aufgelöst werden. Und zwar von innen nach außen. Außerdem gilt immer: Punktrechnung, also Mal oder geteilt, vor Strichrechnung, also Plus und Minus. Aber was ist denn nun ein Rechenbaum? In einem Rechenbaum schreiben wir einen Term so auf, dass man direkt ablesen kann, welche Rechnung man wann durchführen muss. Versuchen wir's einfach mit diesem Term! Zuerst brauchen wir für jede Zahl des Terms ein eigenes Kästchen. Die Kästchen werden in einer Reihe angeordnet. Dann gehen wir der Reihenfolge nach vor: Zuerst sollen wir Klammern auflösen. Welche Klammerpaare sind denn ganz innen? Das sind diese hier und diese. Es gibt noch diese Klammern hier, die liegen aber weiter außen. Um die beiden inneren Klammern aufzulösen, müssen wir jeweils zwei Zahlen miteinander addieren. Schauen wir uns zuerst diese Klammer an. Dort drin steht nur ein Rechenzeichen, nämlich das Plus. Also verbinden wir im Rechenbaum die beiden Boxen für diese 14 und diese 2 mit einem Kreis für das Plus. Und darunter zeichnen wir ein neues Kästchen. In das kommt dann später das Ergebnis dieser Rechnung, aber für den Moment lassen wir es frei. Weiter geht es mit der anderen Klammer. Dort steht auch ein Plus, also verbinden wir die Kästchen für diese 2 und diese 4 mit einem weiteren Plus-Kreis. Und darunter ein neues Kästchen für das Zwischenergebnis. Die beiden Kästchen sind auf der gleichen Höhe im Rechenbaum; das bedeutet, dass es ganz egal ist, in welcher Reihenfolge du diese beiden Kästchen ausrechnest. Jetzt haben wir die beiden inneren Klammern verarbeitet, wie geht es jetzt weiter? Es gibt noch die äußere Klammer! In der sind noch drei Rechenzeichen übrig. In welcher Reihenfolge müssen wir die durchgehen? Punkt vor Strich! Also erst das Geteiltzeichen und das Malzeichen. Hier ist es wieder egal, welche der beiden Rechnungen wir zuerst durchführen. Fangen wir doch einfach mit der Multiplikation an. Denk dran: die Klammer hier haben wir schon im Rechenbaum untergebracht nämlich in diesem Kästchen. Das Ergebnis soll also mit 3 malgenommen werden. Das heißt, wir verbinden die 3 und das Kästchen für dieses Zwischenergebnis mit einem Malzeichen. Darunter kommt wieder eine Box für das Zwischenergebnis. Auf der gleichen Ebene im Rechenbaum kümmern wir uns auch um das Geteiltzeichen. Wir verbinden das Zwischenergebnis aus der Ebene darüber mit der 8, durch die wir teilen sollen. Und zwar mit einem Kreis, in den das Geteiltzeichen kommt. Das Kästchen für das Zwischenergebnis nicht vergessen, und weiter gehts. Jetzt kümmern wir uns um das Plus, also um die Strichrechnung. Wir haben schon alles links des Pluszeichens und alles rechts des Pluszeichens in den Rechenbaum eingetragen. Jetzt müssen wir also nur diese beiden Zwischenergebnisse mit einem Pluszeichen verbinden — und zeichnen wieder ein neues Kästchen. Fast fertig: Die ganze äußere Klammer entspricht jetzt diesem Kästchen im Rechenbaum. Das wird noch durch 4 geteilt. Also verbinden wir diese 4 mit dem Kästchen von eben über ein Geteiltzeichen und das letzte Kästchen steht für das Ergebnis des ganzen Terms. Was haben wir jetzt davon? Schau mal: jedes Kästchen steht für eine ganz kleine Rechenaufgabe. Und die komplizierte Form des Terms haben wir im Rechenbaum nun viel einfacher aufgeschrieben. Jetzt müssen wir die einzelnen Kästchen nur noch ausrechnen! Um den Rechenbaum zu lösen, also das unterste Kästchen auszurechnen, gehen wir von oben nach unten vor. Fangen wir bei diesem Kästchen an. Wir sollen 14 plus 2 rechnen das ergibt 16. Also schreiben wir 16 in das Kästchen. Als nächstes berechnen wir dieses Kästchen. Hier müssen wir 2 plus 4 also 6 hineinschreiben. Weiter geht es mit der nächsten Ebene! Hier haben wir 16, also das Zwischenergebnis von der Ebene darüber, geteilt durch 8. Das ergibt 2. Und hier sollen wir 3 mal das Kästchen darüber mit der 6 ausrechnen. 3 mal 6 ergibt 18! Für dieses Kästchen müssen wir diese beiden Zwischenergebnisse addieren. Wir rechnen also 2 plus 18 und das sind 20! Bleibt nur das allerletzte Kästchen! 20 geteilt durch die 4 von ganz oben. Und damit lautet das Ergebnis des Terms 5! Phew! Das war knapp – fassen wir noch schnell zusammen. Um einen Term, also einen Rechenausdruck, zu lösen, musst du immer die richtige Reihenfolge berücksichtigen! Zuerst Klammern von innen nach außen berechnen, und dabei immer Punktrechnung vor Strichrechnung beachten. Wenn alle Klammern ausgerechnet sind, gilt auch für den resultierenden Term: Punktrechnung vor Strichrechnung. In einem Rechenbaum zerlegt man den Term in viele kleine Zwischenrechnungen, die alle viel einfacher zu lösen sind. Man muss dabei nur darauf achten, die einzelnen Kästchen des Rechenbaums so miteinander zu verbinden, dass die richtige Reihenfolge eingehalten wird. Dazu schreiben wir zuerst alle Zahlen des Terms in einzelne Kästchen und reihen sie auf. Dann verbinden wir die Kästchen von oben nach unten mit den passenden Rechenzeichen. Dabei beachten wir immer: erst Klammern von innen nach außen, dann Punktrechnung, dann Strichrechnung. Am Ende können wir die einzelnen Zwischenergebnisse ausrechnen und haben so den Rechenbaum gelöst! Was war das denn nun für ein Alarm? Seine Kaffeemaschine? "Ist gelöst der Rechenbaum, der lange Term geknackt, winkt Kaffee mit Milch und Schaum, und dann wird schön genossen."

2 Kommentare
  1. Hallo Max.Ko,
    vielen Dank für das positives Feedback.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor etwa 2 Monaten
  2. Das wahr ein sehr gutes Video, ich habe echt was Gelernt
    Danke

    Von Max.Ko, vor etwa 2 Monaten

Terme durch Rechenbäume beschreiben Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Terme durch Rechenbäume beschreiben kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Terme.

    Tipps

    Beachte die Regel: Punktrechnung vor Strichrechnung.

    Rechne zuerst die Terme in den Klammern aus.

    Den Term $2 \cdot 3 + 4$ rechnest du so aus: zuerst die Punktrechnung $2 \cdot 3 = 6$ und dann die Strichrechnung $6 + 4 = 10$.

    Lösung

    Beim Ausrechnen der Terme, sind zwei wichtige Regeln zu beachten:

    • Löse zuerst die Klammern auf, und zwar von innen nach außen.
    • Punktrechnung geht vor Strichrechnung.
    Wenn Du diese Regeln beachtest, findest du Folgendes heraus:

    Richtig sind diese Formeln:

    • $8 : 2 -1 = 3$. Du rechnest zuerst $8:2 = 4$ und dann $4-1=3$.
    • $(14+2):8=2$. Hier rechnest du zuerst $14+2=16$ und dann $16:8=2$.
    • $3 \cdot 5 - 2 = 13$. Hier geht die Punktrechnung $3 \cdot 5=15$ vor der Strichrechnung $15-2 =13$.
    • $(2+18):4=5$. Hier rechnest du zuerst $2+18=20$ und dann $20:4=5$.
    Falsch sind die folgenden Formeln:

    • $8+3 \cdot 6 = 66$. Tatsächlich ist nämlich $3 \cdot 6 = 18$ und $8 + 18 = 26$, also $8+3 \cdot 6 = 26$.
    • $3 \cdot (2+4) = 10$. Richtig wäre: $2+4=6$ und $3 \cdot 6 = 18$, also $3 \cdot (2+4) = 18$.
    • $3 \cdot 5 - 2 = 9$. Richtig rechnest du $3 \cdot 5 = 15$ und $15-2=13$, also $3 \cdot 5 - 2 = 13$.
  • Beschrifte den Rechenbaum.

    Tipps

    Berechne zuerst den Term in der Klammer.

    Rechne in der Klammer zuerst die Division aus.

    Lösung

    Der Rechenbaum hilft dir, den Term $(8:2-1) \cdot 5 -2$ auszurechnen. Die Rechnung beginnt in der Klammer. Nach der Regel „Punkt- vor Strichrechnung“ musst du zuerst $8:2$ rechnen. Das siehst du im Rechenbaum an der Verbindung in der oberen Zeile. Das Ergebnis schreibst du in das Kästchen unter dieser Verbindung. Die nächste Rechnung steht in der zweiten Zeile im Rechenbaum: Von dem Ergebnis der ersten Rechnung ziehst du $1$ ab und schreibst das neue Zwischenergebnis in das Kästchen unter der Verbindung. Wenn du so die einzelnen Rechnungen von oben nach unten durchgehst, findest du den hier abgebildeten vollständigen Rechenbaum.

  • Vervollständige den Rechenbaum.

    Tipps

    Suche die Zahlenpaare im Innern der Klammer. Trage das jeweilige Rechenzeichen in das Rechteck, das auf der Verbindung zwischen diesen beiden Zahlen liegt, ein.

    Beginne die Rechnung mit den Ausdrücken in den Klammern und rechne von innen nach außen.

    Trage das Ergebnis jeder einzelnen Rechnung in das Kästchen unter der zugehörigen Verbindung ein.

    Lösung

    Mit Hilfe des Rechenbaums kannst du den Term $((14+2):8 +3 \cdot (2+4)):4$ ausrechnen. Die Rechnung beginnt in den Klammern. Beide Klammern stehen auf derselben Ebene, sodass es also egal ist, welche du zuerst ausrechnest. Du erkennst das daran, dass die beiden Rechnungen im Rechenbaum in derselben Zeile stehen. Die Ergebnisse der Rechnungen $14+2$ und $2+4$ trägst du in die Kästchen unter der jeweiligen Verbindung ein. Mit diesen Ergebnissen rechnest du weiter. Auf der linken Seite teilst du das Zwischenergebnis durch $8$. So gehst du von oben nach unten durch den Rechenbaum, trägst jeweils die Zwischenergebnisse in die Kästchen ein und rechnest damit weiter.

    Wenn du dich nicht verrechnet hast, steht am Ende der hier abgebildete vollständige Rechenbaum da.

  • Erschließe und berechne den Term.

    Tipps

    Die inneren Klammern entsprechen den obersten Verbindungen im Rechenbaum.

    Vergleiche die Rechenzeichen in den inneren Klammern mit den Zeichen an den oberen Verbindungen in dem Rechenbaum.

    Lösung

    Der Rechenbaum zu einem Term zeigt an, in welcher Reihenfolge du die Zwischenrechnungen durchführen musst. Die Konstruktion des Rechenbaums beginnt im Innern der Klammern. Die oberste Zeile des Rechenbaums entspricht den ersten Zwischenrechnungen, die du im Innern der Klammern durchführen musst. Dann gehst du Schritt für Schritt in dem Term weiter nach außen bzw. in dem Rechenbaum weiter nach unten.

    Hier ist die schrittweise Berechnung der Terme:

    Erster Rechenbaum:

    $\begin{array}{lll} (5 \cdot 3 + 6):(3+4) + 4 &=& (15 + 6):7 + 4 \\ &=& 21:7 + 4 \\ &=& 3+4 \\ &=& 7 \end{array}$

    Zweiter Rechenbaum:

    $\begin{array}{lll} ((5 -3 ) \cdot (6:3)+4): 4 &=& (2 \cdot 2 + 4):4 \\ &=& (4+4):4 \\ &=& 8:4 \\ &=& 2 \end{array}$

    Dritter Rechenbaum:

    $\begin{array}{lll} ((5+3 ) : 4 + 6) : 4 +3 &=& (8:4+6):4+3 \\ &=& (2+6):4+3 \\ &=& 8:4+3 \\ &=& 2+3 \\ &=& 5 \end{array}$

  • Werte den Rechenbaum aus.

    Tipps

    Suche die inneren Klammern und beginne dort zu rechnen.

    Rechne im Rechenbaum von oben nach unten.

    Hier ist ein Beispiel für die Rechnung im Rechenbaum von oben nach unten.

    Lösung

    Der Rechenbaum hilft dir, den komplizierten Term $((12:4+7):(2 \cdot 7 - 9) + 23):5$ Schritt für Schritt auszurechnen. Die Reihenfolge der Zwischenrechnungen siehst du im Rechenbaum: Dort rechnest du von oben nach unten. Hier ist die richtige Reihenfolge:

    • $12 : 4 = 3$ und $2 \cdot 7 = 14$
    • $3 + 7 = 10$ und $14-9 = 5$
    • $10:5=2$
    • $2 + 23 = 25$
    • $25:5=5$
  • Ordne jedem Term den passenden Rechenbaum zu.

    Tipps

    Vergleiche die Rechenzeichen im Innern der Klammern mit den Rechenzeichen an den oberen Verbindungen.

    Die Regel „Punktrechnung vor Strichrechnung“ bedeutet im Rechenbaum: Bei drei benachbarten Boxen mit Zahlen steht die Verbindung der Punktrechnung weiter oben im Baum als die Verbindung der Strichrechnung.

    Lösung

    Du gehst beim Erstellen eines Rechenbaums wie folgt vor:

    • Um den Rechenbaum zu einem komplizierten Term aufzustellen, schreibst du zuerst für jede Zahl in dem Term ein eigenes Kästchen. Ordne dabei die Kästchen in derselben Reihenfolge an wie die Zahlen in dem Term.
    • Dann beginnst du mit den inneren Klammern.
    • Stehen dort nur zwei Zahlen mit einem Rechenzeichen, so kannst du direkt eine Verbindung mit diesem Rechenoperator zeichnen und darunter ein Kästchen für das Zwischenergebnis vorsehen.
    • Stehen in der inneren Klammer mehr als zwei Zahlen mit Rechenzeichen, so musst du die Regel „Punktrechnung vor Strichrechnung“ beachten.
    • Wenn du die Verbindungen für die inneren Klammern gezeichnet hast, gehe weiter nach außen und beachte jeweils die Regel „Punktrechnung vor Strichrechnung“ und die Reihenfolge der Klammern.
    Zeichne für jeden Term einen eigenen Rechenbaum und vergleiche ihn mit der hier abgebildeten Zuordnung.