Termumformungen mit Variablen
Entdecke, wie du Summen zu Produkten umformst und wie gleichartige Terme zusammengefasst werden. Erfahre, wie du Klammern durch Ausmultiplizieren löst. All das und mehr zur Termumformung mit Variablen, anhand von leicht verständlichen Beispielen erklärt. Neugierig geworden? Tauche tiefer in die Welt der Mathematik ein!
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Grundlagen zum Thema Termumformungen mit Variablen
Termumformungen mit Variablen – Mathe
Im folgenden Text schauen wir uns an, wie man Summen als Produkte schreiben kann und wie gleichartige Terme zusammengefasst werden können. Außerdem können Terme auch vereinfacht werden, indem man Klammern durch ausmultiplizieren auflöst. Alle diese Termumformungen mit Variablen werden nun anhand von Beispielen einfach erklärt.
Wie funktioniert die Termumformung mit Variablen?
Beim Lösen mancher Aufgaben kann die Termumformung mit Variablen sehr hilfreich sein. Aber was bedeutet Termumformung eigentlich?
- Bei der Termumformung wird die Gestalt von Termen so verändert, dass sie sich leichter rechnen lassen, ihr Wert jedoch unverändert bleibt.
Als Grundlage für die Termumformung mit Variablen ist es wichtig, das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz zu kennen.
In den folgenden Abschnitten schauen wir uns an Beispielen genauer an, wie man mithilfe von verschiedenen Termumformungen vereinfachte Rechnungen erhält.
Summen als Produkt schreiben
Unter bestimmten Bedingungen können Summen auch als Produkt geschrieben werden. Schauen wir uns den folgenden Term an:
$r + r + 2\,r + r + 3\,r$
Alle Summanden besitzen die gleiche Variable. Somit können wir diesen Term zu einem Produkt zusammenfassen, sodass sich sein Wert nicht ändert.
- Besitzen mehrere Summanden einer Summe die gleiche Variable, so können diese als Produkt zusammengefasst werden. Besitzen alle Summanden die gleiche Variable, so kann die gesamte Summe als Produkt geschrieben werden.
Zwei einzeln stehende Variablen können wir folgendermaßen zusammenfassen:
$r + r = 2\,r$
Eine einzeln stehende Variable kann auch umgeschrieben werden als:
$r = 1\,r$
Der Term ganz oben lautet nach diesen Umformungen nun:
$2\,r + 2\,r + 1\,r + 3\,r$
Um den Term zusammenzufassen, addieren wir zunächst die Koeffizienten, in diesem Fall also $2+2+1+3$, setzen diese in Klammern und multiplizieren mit der Variablen.
Wir erhalten:
$2\,r + 2\,r + 1\,r + 3\,r$
$= \bigl(2+2+1+3\bigr) \cdot r$
$=8\,r$
Schauen wir uns einen weiteren Term an.
$3\,s + s + s + 2\,s$
Vor den einzeln stehenden Variablen kann wieder eine $1$ ergänzt werden. Auch diese Summe können wir in ein Produkt umwandeln, da alle Summanden die gleiche Variable besitzen.
$3\,s + 1\,s + 1\,s + 2\,s$
$= \bigl(3+1+1+2\bigr)\cdot s$
$=7\,s$
Zusammenfassen gleichartiger Terme
Wie sieht es nun aber bei Summen aus, welche mehr als eine Variable besitzen? Schauen wir uns dafür den folgenden Term an:
$8\,r + 7\,s + 12\,r + 15\,s$
- In Summen und Differenzen können gleichartige Terme zusammengefasst werden.
Gleichartig bedeutet, dass die Terme die gleiche Variable besitzen. In diesem Fall können wir also $8\,r$ und $12\,r$ zusammenfassen, da beide die gleiche Variable besitzen. Genauso können wir $7\,s$ und $15\,s$ zusammenfassen. Wir erhalten:
$8\,r + 7\,s + 12\,r + 15\,s = 20\,r + 22\,s$
Da diese Regel auch bei Differenzen gilt, können wir die folgende Differenz ebenfalls zusammenfassen:
$12\,r - 8\,r = 4\,r$
Ausmultiplizieren
Schauen wir uns einen weiteren Term an:
$2\cdot \bigl(3\,x + 7\,y \bigr)$
Die Summe in der Klammer kann nicht weiter zusammengefasst werden, da zwei verschiedene Variablen vorhanden sind. Wir können diesen Term jedoch durch das Ausmultiplizieren vereinfachen.
- Beim Ausmultiplizieren wird jeder Summand in der Klammer einzeln mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert.
Den oben stehenden Term können wir folgendermaßen zusammenfassen:
$2\cdot \bigl(3\,x + 7\,y \bigr) $
$= 2 \cdot 3\,x + 2\cdot 7\,y$
$= 6\,x + 14\,y$
Diese Umformung basiert auf dem Distributivgesetz. Dieses besagt:
- Das Produkt aus einer Zahl und einer Summe hat den gleichen Wert wie die Summe aus den Produkten dieser Zahl mit den einzelnen Summanden.
Steht wie im folgenden Beispiel ein negativer Faktor vor der Klammer, so muss beachtet werden, dass sich die Vorzeichen der Summanden in der Klammer beim Ausmultiplizieren ändern.
$\bigl(-2 \bigr)\cdot \bigl(3\,x + 7\,y \bigr)$
$= \bigl(-2\bigr) \cdot 3\,x + \bigl(-2\bigr)\cdot 7\,y$
$= \bigl(-6\,x\bigr) + \bigl(-14\,y\bigr)$
Auch der Faktor vor der Klammer kann ein Ausdruck in der Klammer sein. Ist das der Fall, so werden alle Summanden in der ersten Klammer mit allen Summanden in der zweiten Klammer multipliziert. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden. Schauen wir uns dafür das folgende Beispiel an:
$\bigl(3 + 4 \bigr) \cdot \bigl(x + y \bigr)$
$= 3\,x + 4\,x + 3\,y + 4\,y$
$= 7\,x + 7\,y$
Termumformung mit Variablen – Zusammenfassung
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal die Regeln zur Termumformung mit Variablen zusammen.
- Summen gleicher Summanden können als Produkte geschrieben werden:
$r + r + r = 3\,r$ - Gleichartige Terme können zusammengefasst werden:
$8\,r + 7\,s + 12\,r + 15\,s = 20\,r + 22\,s$ -
Ausmultiplizieren bezeichnet den Vorgang des Auflösens von Klammern. Gleichartige Terme können auch dort zusammengefasst werden:
$2\cdot \bigl(3\,x + 7\,y \bigr) = 2 \cdot 3\,x + 2\cdot 7\,y = 6\,x + 14\,y$
Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Übungen und Arbeitsblätter mit Aufgaben zum Thema Termumformung mit Variablen.
Transkript Termumformungen mit Variablen
Der erfolglose Pirat Johnny Rotbart und sein treuer Begleiter Polly sind wieder auf Schatzsuche. Sie haben eine Landkarte mit mehreren Inseln, auf denen Schätze vergraben sein sollen. Davon steuern sie die erste dieser Inseln an und finden tatsächlich einen Schatz! Schauen wir doch mal, was sich in dieser Schatzkiste so befindet. Das ist ja nicht so eine große Ausbeute. Aber helfen wir Johnny doch einmal dabei, diesen Schatz zu ordnen, indem wir Summen als Produkte schreiben. Johnny Rotbart hat in der Schatzkiste zunächst einen Rubin, dann noch einen und dann zwei Rubine, die zusammen liegen, gefunden. Außerdem hat er noch drei weitere Rubine in der Truhe gefunden. Verwenden wir die Variable r für die Rubine, können wir das als Summe durch r + r + 2r + r + 3r schreiben. Summen aus gleichen Summanden, das heißt Summanden mit der gleichen Variablen, können wir noch weiter zusammenfassen. So können wir r + r, zu 2 mal r, also 2r schreiben. Dieses r können wir auch als 1r schreiben. Nun können wir den Term noch weiter zusammenfassen, und zwar mithilfe des Distributivgesetzes. Wir addieren die Koeffizienten, hier also 2 + 2 + 1 + 3 und behalten die Variable bei und erhalten insgesamt 8r. Für die Smaragde, für die wir die Variable s verwenden, können wir diesen Term aufstellen. Auch hier können wir die Summe wieder mithilfe des Distributivgesetzes in ein Produkt umwandeln. Wir haben dann, in Klammern 3 + 1 +1 + 2 mal s und das sind 7s. Naja, mit diesem Schatz wird Johnny wohl noch kein Ruhm erlangen, weiter gehts! Oh in dieser Schatzkiste ist ja schon ein bisschen mehr. Insgesamt sind in dieser Schatzkiste 12 Rubine und 15 Smaragde. Wollen wir dies mit den Rubinen und Smaragden zusammenrechnen, die Johnny und Polly auf der letzten Insel gefunden haben, so können wir 8 r plus 7s plus 12r plus 15s rechnen. Gleichartige Terme können zusammengefasst werden, wir können also 8 r mit 12 r , sowie 7s und 15s zusammenfassen und erhalten 20r + 22s. Das funktioniert übrigens genauso bei Differenzen. So könntest du 12r minus 8r zu 4r zusammenfassen. Man kann auch Terme wie diesen hier vereinfachen. Diesen Vorgang nennt man dann ausmultiplizieren. So wird jeder dieser Summanden in der Klammer einzeln mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert. Wir rechnen also 2 mal 3x und 2 mal 7y und erhalten 6x plus 14y. Haben wir einen negativen Faktor vor der Klammer, ist es wichtig darauf zu achten, dass sich die Vorzeichen der Summanden beim Ausmultiplizieren ändern. Minus 2 mal 3x, sind minus 6x und minus 2 mal 7y, sind minus 14y. Ist der Faktor vor der Klammer selbst auch ein Ausdruck in einer Klammer, gehen wir wie folgt vor: Wir multiplizieren alle Summanden in der ersten Klammer, mit allen Summanden in der zweiten Klammer. Wir rechnen also 3 mal x, plus 4 mal x und 3 mal y, plus 4 mal y. Dann können wir auch hier gleichartige Terme zusammenfassen. Bevor wir nochmal schauen, wie viele Schätze Johnny nun eigentlich gefunden hat, fassen wir zusammen. Summen gleicher Summanden können wir als Produkte schreiben. Außerdem können gleichartige Terme zusammengefasst werden. Der Vorgang des Ausmultiplizierens, ist das Auflösen von Klammern. Auch dann können gleichartige Terme zusammengefasst werden. Und Johnny? Hm, hat er denn gar nichts mit seinem Schatz gemacht?
Termumformungen mit Variablen Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu Termen und Termumformungen.
TippsDieser Term wurde korrekt ausmultipliziert:
$2(3x+7y)=2 \cdot 3x + 2 \cdot 7y=6x+14y$
Dieser Term kann nicht weiter zusammengefasst werden:
$6x+14y$
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Du kannst Terme, in denen die gleichen Variablen vorkommen, zwar addieren, aber niemals subtrahieren.“
- Gleichartige Terme kannst du zusammenfassen, indem du sie addierst oder subtrahierst. Beachte dabei die Vorzeichen der Terme.
- Beim Multiplizieren zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen wird das Ergebnis immer negativ.
„Du kannst nur gleichartige Terme (also Terme, die die gleiche Variable enthalten) zusammenfassen.“
„Mithilfe des Distributivgesetzes können Summanden mit gleichen Variablen oder Zahlen noch weiter zusammengefasst werden.“
- Du kannst das Distributivgesetz anwenden, um gemeinsame Zahlen oder Variablen von Summanden (aber auch von Subtrahenden und Minuenden) auszuklammern. Es ist zum Beispiel: $2r+2r+1r+3r=(2+2+1+3)\cdot r$
-
Beschreibe das Rechnen mit Termen und ihren Umformungen.
TippsMit dem Distributivgesetz kannst du Faktoren, die in allen Summanden vorkommen, ausklammern und anschließend die Zahlenwerte zusammenrechnen. Sieh dir folgendes Beispiel an:
$2a+3a=(2+3)\cdot a= 5 a$
Besteht ein Term aus Summanden mit unterschiedlichen Variablen, kannst du nur Terme zusammenfassen, die dieselbe Variable enthalten.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Auf der ersten Insel beschreibt er die Anzahl der Rubine durch folgenden Term:
$r+r+2r+r+3r$
Hier schreibt er zuerst $1r$ statt $r$.“
- Dies verändert den Wert des Terms nicht. Es wird so aber einfacher, die Summanden zu berechnen.
Dann wendet er das Distributivgesetz an, um die gemeinsame Variable der Summanden wie folgt auszuklammern:
$(1+1+2+1+3) \cdot r=8r$“
- Mit dem Distributivgesetz kannst du Faktoren, die in allen Summanden vorkommen, ausklammern und anschließend die Zahlenwerte zusammenrechnen.
$3s+1s+1s+2s$
Auch diesen klammert er mit dem Distributivgesetz wie folgt aus:
$(3+1+1+2)\cdot s=7s$
Dazu stellt er folgenden Term auf:
$8r+7s+12r+15s$
Und vereinfacht ihn:
$20r+22s$“
- Besteht ein Term aus Summanden mit unterschiedlichen Variablen, kannst du nur Terme zusammenfassen, die dieselbe Variable enthalten.
-
Ermittle die vereinfachte Form der Terme.
TippsUm die Lösung zu bestimmen, fasst du alle Summanden, die die gleiche Variable enthalten, mit dem Distributivgesetz zusammen.
Steht vor einer Variablen kein Faktor, kannst du eine $1$ davor schreiben.
LösungUm die Lösung zu bestimmen, fasst du alle Summanden, die die gleiche Variable enthalten, mit dem Distributivgesetz zusammen. Steht vor einer Variablen kein Faktor, kannst du eine $1$ davor schreiben. So erhältst du:
- $2t+c+5c+t=(2+1)t+ (5+1)c=3t+6c$
- $t+c+2c+4c+t=(1+1)t+ (1+2+4)c=2t+7c$
- $t+c+t+1c+2t+4c+t=(1+1+2+1)t+ (1+1+4)c=5t+6c$
- $4t+4c+t+3c=(4+1)t+ (4+3)c=5t+7c$
-
Ermittle die ausmultiplizierte Form der Terme.
TippsBei den ersten beiden Termen musst du alle Einträge in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multiplizieren.
Bei den letzten beiden Termen musst du jeweils beide Einträge der ersten Klammer mit dem Faktor hinter der Klammer multiplizieren. Anschließend kannst du gleichartige Terme zusammenfassen.
LösungDu kannst die Lücken füllen, indem du die Terme ausmultiplizierst und vereinfachst. Bei den ersten beiden Termen musst du alle Einträge in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multiplizieren. So erhältst du:
- $2x(3+x)=2x \cdot 3 + 2x \cdot x=2x^2+6x$
- $3x(1+x+2x^2)= 3x \cdot 2x^2 +3x \cdot x + 3x \cdot 1=6x^3+3x^2+3x$
$\begin{array}{ll} (x-2)\cdot 2x &=& x \cdot 2x - 2 \cdot 2x \\ &=& 2x^2 - 4x \\ \end{array}$
Und:
$\begin{array}{ll} (3x-1)\cdot(-3x^2) &=& 3x \cdot (-3x^2) -1 \cdot (-3x^2) \\ &=& -9x^3 + 3x^2 \\ \end{array}$
-
Bestimme die fehlenden Summanden.
TippsMultipliziere den Term aus und vereinfache ihn anschließend.
Beachte, dass du jeden Summanden der einen Klammer einzeln mit jedem Summanden der anderen Klammer multiplizieren musst.
LösungDu kannst die Lücken füllen, indem du den Term ausmultiplizierst und anschließend vereinfachst. Beachte, dass du jeden Summanden der einen Klammer einzeln mit jedem Summanden der anderen Klammer multiplizieren musst. So erhältst du:
$\begin{array}{ll} (3+4)(x+y) &= 3x + 4x + 3y+4y\\ &= 7x + 7y\\ \end{array}$
-
Leite den Term ab und vereinfache ihn.
TippsDie Fläche eines Rechtecks berechnest du, indem du die beiden Seitenlängen multiplizierst.
Da die Länge des ersten Feldes mit $x$ bezeichnet wird und das zweite Feld $10~\text{m}$ kürzer ist, können wir die Länge des zweiten Feldes durch $x-10$ ausdrücken.
Zwei Klammern multiplizierst du, indem du jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multiplizierst. Anschließend kannst du gleichnamige Terme zusammenfassen.
Beispiel:
$\begin{array}{lll} (2x + 3) \cdot (x + 1) &=& 2x \cdot x + 2x \cdot 1 + 3 \cdot x + 3 \cdot 1 \\ &=& 2x^2 + 2x +3x+3 \\ &=& 2x^2 + 5x +3 \\ \end{array}$
LösungSo kannst du die Rechnung vervollständigen:
„Die Länge des ersten Feldes beträgt: $x$
Die Breite des ersten Feldes beträgt: $y$
Die Fläche beträgt: $A_1=x \cdot y$“
- Die Fläche eines Rechtecks berechnest du, indem du die beiden Seitenlängen multiplizierst.
- Da die Länge des ersten Feldes mit $x$ bezeichnet wird und das zweite Feld $10~\text{m}$ kürzer ist, können wir es so ausdrücken.
Die Fläche beträgt: $A_2=(x -10) \cdot (y+20)$“
- Beachte hier die Klammern. Ohne sie wäre die Rechnung nicht korrekt.
$A_{Ges}=A_1+A_2=xy+(x -10) \cdot (y+20)$“
- Die Gesamtfläche bestimmen wir, indem wir die beiden Teilflächen addieren.
$=xy+ xy + 20x-10y-200=2xy+20x-10y-200$“
- Hier musst du den Term zuerst ausmultiplizieren und anschließend vereinfachen. Beachte die Vorzeichen der Ergebnisse.
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Hallo Sofatutorstern, vielen Dank für deine Frage. In der Aufgabe die du gerechnet hast, musst du das Plus tatsächlich mitschreiben. Du hast recht, dass man das Plus als Vorzeichen einfach weglassen kann. Hier brauchst du das Plus aber als Rechenzeichen, damit klar ist, dass addiert und nicht multipliziert wird. Ich hoffe die Antwort hilft dir weiter, liebe Grüße aus der Redaktion!
Den 4.Aufgabe beim den letzen Aufgabe den letzen Kästchen sagt, dass ich falsch sei, obwohl ich richtig bin. Dort habe ich 3 geschrieben und es sei falsch, obwohl in der Lösung +3 steht, obwohl das Gleiche ist. Bitte kontrollieren Sie es bitte, danke. Und ein erfolgreiches Video für meine Klassenarbeit nächste Woche Donnerstag.
Cool und gut erklärt aber ich wusste es davor schon
ich verstehe das ehr als bei meiner Lehrerin die antwortet auch nie auf fragen weil sie das nervt
Das Video ist sehr gut, aber ich finde es könnte ein bisschen langsamer erklärt werden😉