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Terme vereinfachen

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Team Digital
Terme vereinfachen
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Beschreibung Terme vereinfachen

Terme vereinfachen – Definition

Terme vereinfachen kann man, indem alle gleichartigen Terme zusammengefasst werden. Dafür werden zunächst alle Klammern im Term aufgelöst. Hierfür wird das Distributivgesetz angewandt. Anschließend wird der Term so sortiert, dass die Summanden gleichartiger Terme nebeneinanderstehen. Dieser Schritt kann durchgeführt werden, da bei Addition das Kommutativgesetz gilt. Letztendlich können die gleichartigen Terme zusammengefasst werden, indem die Koeffizienten addiert werden. Unter Einhaltung dieser Reihenfolge lassen sich auch komplizierte Terme vereinfachen.

  • $1.$ Ausmultiplizieren mithilfe des Distributivgesetzes
    (Die Klammern im Term werden aufgelöst.)
  • $2.$ Umstellen des Terms mithilfe des Kommutativgesetzes
    (Der Term wird sortiert, indem gleichartige Terme nebeneinander geschrieben werden.)
  • $3.$ Zusammenfassen von gleichartigen Termen
    (Gleichartige Terme werden addiert bzw. subtrahiert und damit zusammengefasst.)

Gleichartige Terme
Terme sind dann gleichartig, wenn sie dieselben Variablen in derselben Potenz haben oder es sich ausschließlich um Konstanten handelt. Der Koeffizient, also der Wert vor der Variable, muss hierbei nicht derselbe sein. Die Koeffizienten gleichartiger Terme werden beim Zusammenfassen des Terms zusammengerechnet. Es ist dabei immer zu beachten, dass $x$ und $y$ verschiedene Variablen sind und somit nicht gleichartig sein können. Des Weiteren lässt sich $xy$ weder mit $x$ noch mit $y$ zusammenfassen.
Potenzen müssen ebenfalls beachtet werden. $x$ und $x^2$ sind nämlich keine gleichartigen Terme und können deshalb nicht zusammengefasst werden.

Beispiel – gleichartige Terme:

  • $3x$ und $7x$
  • $-4x^3$ und $5x^3$
  • $2xy$ und $90xy$
  • $3$ und $-21$

Terme mit einer Variablen
Gleichartige Terme lassen sich ganz einfach zusammenfassen, indem die jeweiligen Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert werden. Welche Rechnung durchgeführt wird, ist abhängig von dem jeweiligen Vorzeichen des Terms.

Beispiel – Terme mit einer Variablen vereinfachen:

  • $3x + 7x = (3+7)x = 10x$
  • $3x - 7x =(3-7)x= -4x$
  • $-3x +7x +2x = (-3 +7+2)x = 6x$

Es lassen sich auch Terme vereinfachen, die mehrere Variablen haben. Hier ist aber zu beachten, dass wieder nur gleichartige Terme zusammengefasst werden können. So lässt sich beispielsweise ein Term vereinfachen, der die Variablen $x$ und $y$ enthält, indem alle Koeffizienten von $x$ (die Werte vor dem $x$) zusammengerechnet werden und alle Koeffizienten von $y$ (die Werte vor dem $y$).
Aber Achtung: Es dürfen immer nur gleichartige Terme zusammengefasst werden. Sollten die gleichartigen Terme nicht nebeneinanderstehen, kann der Term zuerst sortiert werden, indem das Kommutativgesetz anwendet wird.

Beispiel – Terme mit mehreren Variablen vereinfachen:

  • $2y + 1 y + 6 x +4x = 3y +10 x$
  • $2x - 3y +x+4y = 2x + x -3y +4y = 3x +y$
  • $-4x^2 + x +x^2 +y +2x^2 -y \\ = x + y -y - 4x^2 + x^2 +2x^2 = x - x^2$
  • $2xy + 3x +1 - 2y +5xy +1 \\ = 2xy + 5xy +3x -2y +1 +1 = 7xy +3x-2y +2$

Manchmal ist das Vereinfachen von Termen gar nicht so leicht. Sobald im Term auch noch Klammern vorkommen, müssen diese zuerst aufgelöst werden. Dazu kann das Distributivgesetz angewendet werden. Anschließend kann der Term mithilfe des Kommutativgesetzes so umgestellt werden, dass gleichartige Terme direkt nebeneinanderstehen. Nun lassen sich die gleichartigen Terme ganz leicht zusammenfassen.
Schwierige und lange Terme lassen sich also vereinfachen, indem die oben genannte Reihenfolge von Rechenschritten eingehalten wird.

Beispiel – Terme vereinfachen unter Einhaltung der Reihenfolge

$\begin{array}{lll} && x +3 \cdot (10+y)-7x-y \\ && \\ &&\color{#669900}{1.~ \text{Ausmultiplizieren (Distributivgesetz)}} \\ &=& x + 30 +3y - 7x -y \\ && \\ && \color{#669900}{2. ~\text{Umstellen (Kommutativgesetz)}} \\ &=& x -7x +3y-y +30 \\ &&\\ && \color{#669900}{3. ~\text{Zusammenfassen}} \\ &=& -6x +2y +30 && \\ \end{array}$

Terme vereinfachen im Alltag

Im Alltag werden Terme oft unbewusst und ganz intuitiv vereinfacht. Möchte man beispielsweise das Geld aus einem Sparschwein zusammenzählen, so sortiert man die verschiedenen Münzen zunächst nach ihrem Wert. Anschließend werden alle Münzen einer Sorte zusammengefasst. Nach dieser Vereinfachung lässt sich der Wert der Münzen viel schneller berechnen.

Terme vereinfachen – Thematische Einordnung

Mit dem Wissen über das Vereinfachen von Termen lassen sich auch Gleichungen vereinfachen und auch Funktionen vereinfachen.

Transkript Terme vereinfachen

Terme vereinfachen

Terme mit mehr als einer Variablen sind sehr viel einfacher, als sie aussehen. Solche Monster kannst du oft schnell zähmen, indem du die Terme vereinfachst! Schauen wir uns das einmal zusammen an.

Herangehensweise an die Termvereinfachung

Dieser Term enthält zwei verschiedene Variablen. 3x plus 2y Hmm... Wie kannst du ihn vereinfachen..? Vielleicht, denkst du: drei x plus 2 y ist gleich 5 x y. STOP!!! Das ist falsch! Man kann diesen Term nicht weiter vereinfachen. Denn es ist nicht möglich, unterschiedliche Variablen zusammenzufassen. Genauso wenig wie Dr. Evil einen Hai mit einem Pinguin kombinieren darf, um einen "Haiguin" zu erschaffen! Genau wie Haie und Pinguine sind Variablen wie x und y eben nicht das Gleiche. Merke dir: Du kannst nur gleichartige Terme addieren oder subtrahieren! Verschiedenartige Terme dürfen nie addiert oder subtrahiert werden!

Beispiel der Termvereinfachung

Sehen wir uns einmal ein Beispiel Schritt für Schritt an. x plus 3 mal - Klammer auf - 10 plus y - Klammer zu - minus 7x minus y Als Erstes multiplizierst du aus. Siehst du die Klammern? Mithilfe des Distributivgesetzes kannst du die Summe innerhalb der Klammern mit 3 multiplizieren. Das ergibt: x plus 30 plus 3y minus 7x minus y Im zweiten Schritt stellst du um. Dabei kannst du das Kommutativgesetz nutzen. Schreibe alle x-Terme hintereinander, und alle y-Terme. Das macht den nächsten Schritt leichter. x minus 7x plus 3y minus y plus 30 Und nun, in Schritt 3, fasst du alle gleichartigen Terme zusammen. Bei Termen, die aus Zahlen und Variablen bestehen, verrät dir der Koeffizient die Anzahl der jeweiligen Variable. minus 6x plus 2y plus 30

Wiederholung der Vorgehensweise

Gehen wir die einzelnen Schritte nochmal durch. Schritt 1: Ausmultiplizieren. Gibt es Klammern, nimm das Distributivgesetz zur Hilfe. Schritt 2: Umstellen. Nutze das Kommutativgesetz, um gleichartige Terme hintereinander zu schreiben. Schritt 3: Zusammenfassen. Fasse alle gleichartigen Terme zusammen. Aber vor allem: Fasse niemals verschiedenartige Terme zusammen! Als Erinnerung: Erschaffe keine Haiguine! Begehe nicht denselben Fehler wie Dr. Evil...

Fazit

..denn wer nicht hören will, muss fühlen...

119 Kommentare

119 Kommentare
  1. Gutes Video! Hat mir geholfen für die Arbeit zu lernen
    Haiguin xD

    Von Finn, vor 2 Monaten
  2. ,, Denn wer nicht hören will, muss fühlen.."
    Ich hab eine Menge gelacht. Eine sehr tolle Erklärung die gut verständlich ist. Dazu noch ein gutes Beispiel - Hai + Pinguin ? Nein, das geht natürlich nicht!
    Wirklich vielen Dank, hat mir gut geholfen.

    Von Itslearning Nutzer 2535 36507, vor 3 Monaten
  3. War SUPER GUTI VIDEOOOO !!!!!

    Von Knasti, vor 3 Monaten
  4. SehrgutesVideohatmirsehrgeholfen.5SternemehralsverdientundichliebeVideosvonTeamDigitalmachtbittegenausoweiter

    Von Magnus Wiedemann08, vor 5 Monaten
  5. 5 Sterne verdient 🌟🌟🌟🌟🌟👍

    Von Fabian Rudigkeit, vor 5 Monaten
Mehr Kommentare

Terme vereinfachen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Terme vereinfachen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung, ob die beiden Terme $3x$ und $2y$ zusammengefasst werden dürfen.

    Tipps

    Du kannst dir das so überlegen:

    • Die Variable $x$ entspricht dem Pinguin.
    • Die Variable $y$ entspricht dem Hai.
    Was sind zwei Pinguine und drei Haie?

    Ein anderes Beispiel: Wenn du zu zwei Handys fünf Handys dazutust, hast du sieben Handys.

    Wie sieht es aber aus, wenn du zu zwei Handys fünf Taschenrechner dazutust? Das kannst du nicht weiter zusammen fassen.

    $3x+2x$ kann vereinfacht werden, da die Terme $3x$ und $2x$ gleichartig sind:

    $3x+2x=5x$.

    Lösung

    Merke dir:

    Du kannst Terme nur dann zusammenfassen, also addieren oder subtrahieren, wenn sie gleichartig sind.

    Zum Beispiel ist $3x+2x=5x$.

    Das ist wie bei Pinguinen. Wenn du beispielsweise $3$ Pinguine auf einer Eisscholle und $2$ Pinguine unter Wasser siehst, sind das insgesamt $5$ Pinguine.

    Du kannst allerdings nicht Pinguine mit Haien kombinieren. Diese Erfahrung hat auch Dr. Evil gemacht. Was bedeutet das mathematisch?

    Fasse nur Terme zusammen, die gleichartig sind, also genau die gleichen Variablen enthalten.

  • Fasse den Term $x+3\cdot(10+y)-7x-y$ zusammen.

    Tipps

    Das Distributivgesetz verwendest du, um Klammerterme auszumultiplizieren:

    $a(b+c)=ab+ac$.

    Den Faktor vor einer Variablen nennt man Koeffizient. Der Koeffizient von $x$ bei dem Term $5x$ ist also $5$.

    Wenn du Terme addierst, in welchen die Variablen gleich sind, kannst du die Koeffizienten addieren. Das gilt natürlich auch, wenn du subtrahierst.

    Schaue dir hierfür ein Beispiel an:

    $2x+3x=(2+3)x=5x$.

    Wenn in einem Term nur noch verschiedenartige Terme vorkommen, dann kannst du nicht weiter vereinfachen.

    Lösung

    Hier kannst du die komplette Rechnung sehen.

    Du startest mit dem Ausmultiplizieren. Hierfür verwendest du das Distributivgesetz: Du multiplizierst die beiden Summanden $10$ und $y$ in der Klammer mit dem Faktor $3$. Du erhältst als Zwischenschritt:

    $x+3\cdot (10+y)-7x-y=$ $x+30+3y-7x-y$.

    Merke dir, dass du nur Terme zusammenfassen kannst, in denen die Variablen gleich sind. Stelle also den Term so um, dass die gleichen Terme mit den gleichen Variablen hintereinander stehen. Du verwendest hier das Kommutativgesetz. Vielleicht kennst du dieses auch unter dem Namen Vertauschungsgesetz. Dies ergibt folgenden Zwischenschritt:

    $x+30+3y-7x-y=x-7x+3y-y+30$.

    Nun kannst du zusammenfassen. Addiere oder subtrahiere hierfür die Koeffizienten, also die Faktoren vor den Variablen:

    $x-7x+3y-y+30=-6x+2y+30$.

    Nun bist du fertig. Du kannst diesen Term nicht weiter vereinfachen.

  • Prüfe, welche Terme gleichartig sind.

    Tipps

    Beachte: In dem Term $xy$ kommen sowohl $x$ als auch $y$ vor.

    Terme mit einem $xy$ können also weder mit Termen, die nur ein $x$, noch mit Termen, die nur ein $y$ enthalten, zusammengefasst werden.

    Sie können aber natürlich mit anderen Termen, die auch $xy$ enthalten, zusammengefasst werden.

    So gilt beispielsweise $8xy - 6xy = 2xy$.

    Schaue dir die folgenden Beispiele an:

    • $5x$ und $8x$ sind gleichartige Terme.
    • $5x$ und $8y$ sind nicht gleichartig.

    In gleichartigen Termen stimmen sowohl die Variablen als auch die Exponenten überein:

    • $3x$ und $4x^2$ sind nicht gleichartig.
    • $5xy$ und $7xy$ sind gleichartig.
    • $6y^2$ und $-3y^2$ sind gleichartig.
    Lösung

    Um Terme zu vereinfachen, musst du dir Folgendes merken: Du darfst nur Terme zusammenfassen, die gleichartig sind.

    Fasse niemals Terme zusammen, die verschiedenartig sind.

    Hier kannst du üben, welche Terme zusammengefasst werden können.

    Nachdem du die Terme, die zusammengefasst werden können, markiert hast, kannst du sie hintereinander schreiben und zusammenfassen.

    1. Wir starten mit dem Term $3x+4y-7xy+7+3y-x-5x^2-5$. Nun sortieren wir die Terme nach ihrer Gleichartigkeit. Das ergibt den Term $3x-x+4y+3y+7-5-7xy-5x^2$. Nun kannst du zusammenfassen zu $2x+7y+2-7xy-5x^2$.
    2. Wir starten mit dem Term $5xy+7x-7+7+3x-4y-5y^2+2y$. Umsortieren ergibt $7x+3x-4y+2y-7+7+5xy-5y^2$. Auch diesen Term kannst du vereinfachen zu $10x-2y+5xy-5y^2$.
    3. Wir beginnen mit $12-3x-5y^2+8x-6xy-7y+2y-8$. Umsortieren führt zu $-3x+8x-7y+2y+12-8-5y^2-6xy$. Fasse die gleichartigen Terme zusammen: $5x-5y+4-5y^2-6xy$.
    Du kannst an jedem der Beispiele erkennen, dass schließlich die Koeffizienten, also die Faktoren vor den Variablen, addiert oder subtrahiert werden.

    Du kannst beim Üben gleichartige Terme immer mit der gleichen Farbe markieren, dann fällt das Zusammenfassen etwas leichter.

  • Fasse die Terme zusammen.

    Tipps

    Du kannst Terme nur dann zusammenfassen, wenn sie gleichartig sind.

    Denke daran: Das Kombinieren von Pinguinen und Haien ist schiefgelaufen.

    Du kannst auch Zahlen zusammenfassen, wenn sie nicht gemeinsam mit einer Variablen als Produkt auftauchen.

    Betrachte zum Beispiel $2+x+7 = 9 + x$.

    Lösung

    Ganz wichtig: Erschaffe keine Haiguine. Das heißt, Du darfst Terme nur dann zusammenfassen, wenn sie gleichartig sind.

    Das bedeutet, dass nur die folgenden Terme zusammengefasst werden dürfen:

    • $3x-4x=(3-4)x=-1x=-x$: Du siehst, hier werden die Koeffizienten $3$ und $4$ subtrahiert.
    • So kann auch $3y-4y$ zusammengefasst werden zu $-y$.
    • Du kannst auch Zahlen ohne Variablen zusammenfassen: $3-4=-1$
    Du kannst $3x-4y$ nicht zusammenfassen, da hier $x$ und $y$ vorkommen, also verschiedenartige Terme.

    Übrigens: $2x$ ist eine Schreibweise für $2\cdot x$. Das Malzeichen zwischen Koeffizienten (hier die $2$) und der Variablen (hier $x$) wird oft weggelassen. Man hat sich darauf geeinigt, dass das Hintereinanderschreiben von einer Zahl und einer Variablen als Multiplikation gewertet wird.

  • Beschreibe, wann du Terme zusammenfassen kannst.

    Tipps

    Die folgenden Terme kannst du nicht zusammenfassen (also addieren oder subtrahieren):

    • $2x$ und $3y$,
    • $2$ und $3y$ sowie
    • $3y$ und $5$.

    Diese Terme kannst du zusammenfassen:

    • $2x+3x=5x$,
    • $2-3=-1$ sowie
    • $3y+5y=8y$.

    Merke dir: Fasse niemals Terme zusammen, die verschiedenartig sind.

    Unter „Zusammenfassen“ versteht man hier Addieren oder Subtrahieren.

    Lösung

    Merke dir: Fasse niemals Terme zusammen, die verschiedenartig sind.

    Mache nicht den gleichen Fehler wie Dr. Evil und versuche, Haiguine zu erschaffen.

    Für die Mathematik bedeutet das, dass du nur Terme zusammenfassen darfst, die gleichartig sind.

    Das heißt: Du darfst Terme nur dann addieren oder subtrahieren, wenn sie gleichartig sind.

    Du darfst beispielsweise $4x + 7x$ zu $11x$ zusammenfassen.

    Der Term $3a + 2b$ lässt sich jedoch nicht weiter zusammenfassen.

    Zusatz: Du darfst Terme, die verschiedenartig sind, durchaus multiplizieren.

    $2x\cdot 3y=6xy$

  • Untersuche die folgenden Terme.

    Tipps

    Beachte: Fasse nur gleichartige Terme zusammen.

    Zwei Terme werden dabei als gleichartig betrachtet, wenn sie dieselbe(n) Variable(n) enthalten.

    Wichtig ist dabei auch der Exponent der Variable. Beispielsweise sind die Terme $4x$ und $3x^2$ nicht gleichartig.

    Hier siehst du zwei Beispiele für das Distributivgesetz:

    • $3(2x-y)=3\cdot 2x-3y=6x-3y$ und
    • $(x+y)\cdot(-2)=-2x-2y$.
    Du multiplizierst also den Faktor vor (oder hinter) der Klammer mit jedem Term in der Klammer.

    Wenn du Terme zusammenfasst, addierst oder subtrahierst du die Koeffizienten. Schaue dir hierfür ein Beispiel an:

    $7x+3x-8x=(7+3-8)x=2x$.

    Die Terme müssen dafür gleichartig sein, also dieselbe(n) Variable(n) beinhalten.

    Lösung

    Da haben sich die beiden Wissenschaftler ganz schön schwere Aufgaben einfallen lassen.

    Dr. Evil's Term: $3(x-6)+4x-4(x+y)+8y+12$

    • Er wendet das Distributivgesetz an:
    $\begin{array}{rcl} &3x-3\cdot6+4x-4x-4y+8y+12\\ =&3x-18+4x-4x-4y+8y+12\end{array}$

    • Nun sortiert er die Terme so, dass gleiche Terme hintereinander stehen: $3x+4x-4x-4y+8y-18+12$.
    • So kann er die Terme leichter zusammenfassen zu $3x-4y-6$.
    Prof. Knevels Term: $12x-3(x-y)+8+2y+4(2x+3y)-5$

    • Auch er wendet zunächst das Distributivgesetz an: $12x-3x+3y+8+2y+4\cdot 2x+4\cdot 3y-5=12x-3x+3y+8+2y+8x+12y-5$.
    • Nun ordnet er die Terme so an, dass gleiche Terme hintereinander stehen: $12x-3x+8x+3y+2y+12y+8-5$.
    • Zuletzt kann er die Terme zusammenfassen zu $17x+17y+3$.
    Puh, das war ganz schön viel Arbeit. Die beiden Wissenschaftler entscheiden sich, dass es vielleicht doch einfacher ist, Pinguine und Haie zu kombinieren. Sie starten einen neuen Versuch. Da sind wir mal gespannt, was dabei herauskommt.

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