Rechenregeln in Termen

Rechenregeln in Termen Übung

• Berechne mit den Rechenregeln in Termen.

  Tipps

  Diesen Satz solltest du dir merken: Kekse essen macht dich auch satt.

  Es ist wichtig, dass du zunächst die Klammern betrachtest, denn:

  $8-2+5=6+5=11$

  $8-(2+5)=8-7=1$

  Lösung

  Es ist wichtig, dass du zunächst die Klammern betrachtest. Im folgenden Beispiel erkennst du, dass Klammern das Ergebnis eines Terms vollkommen ändern können:

  • $8-2+5=6+5=11$
  • $8-(2+5)=8-7=1$

  Daher merkst du dir die KEMDAS-Regel am besten mit diesem Merksatz:

  • Kekse essen macht dich auch satt.

  Diese Regel steht für:

  Klammern, Exponent, Multiplikation/Division, Addition/ Subtraktion

  Wir rechnen also wie folgt:

  $\begin{align} (8-2)^2+(5+2) &= 6^2+(5+2) &~\vert~ \text{Klammern} \\ &= 6^2+7 &~\vert~ \text{Exponent} \\ &= 36+7 &~\vert~ \text{Addition} \\ &= 43\\ \end{align}$

• Beschreibe dein Vorgehen bei der Berechnung von komplizierten Termen.

  Tipps

  Bei der KEMDAS-Regel steht das K für Klammern und das E für Exponenten.

  $3\cdot (5+2)^2$

  Hier rechnest du zunächst $5+2=7$ in der Klammer und erhältst:

  $3\cdot 7^2$

  Exponenten werden vor der Multiplikation betrachtet, daher gilt:

  $3\cdot 7^2=3 \cdot 49 = 147$

  Lösung

  Bei der Lösung von komplizierten Termen nutzt du die KEMDAS-Regel. Das steht für:

  • Wir lösen zunächst die Ausdrücke in den Klammern.
  • Im zweiten Schritt betrachten wir die Exponenten.
  • Danach lösen wir alle Multiplikationen und Divisionen.
  • Abschließend werden alle Additionen und Subtraktionen durchgeführt.

  Wichtig ist hierbei zu beachten, dass du auch innerhalb der Klammern zunächst die Potenzen berechnest, dann multiplizierst / dividierst und am Ende addierst und subtrahierst.

  Im ersten Schritt berechnest du den Exponenten in der hinteren Klammer.

  $\begin{array}{rcll} 4 \cdot \left( \frac8 2 -2\right)^3+\frac{(5^2+2)}{9} &=& 4 \cdot \left( \frac8 2 -2\right)^3+\frac{(\color{#669900}{25}+2)}{9} &\vert~\text{Division}\\ &=& 4 \cdot \left(\color{#669900}{4} -2\right)^3+\frac{(25+2)}{9} &\vert~\text{Subtraktion}\\ &=& 4 \cdot \color{#669900}{2}^3+\frac{(25+2)}{9} &\vert~\text{Addition}\\ &=& 4 \cdot 2^3+\frac{\color{#669900}{27}}{9} &\vert~\text{Exponent}\\ &=& 4 \cdot \color{#669900}{8} +\frac{27}{9} &\vert~\text{Multiplikation}\\ &=& \color{#669900}{32} +\frac{27}{9} &\vert~\text{Division}\\ &=& 32 +\color{#669900}{3} &\vert~\text{Addition}\\ &=& 35 & \\ \end{array}$

• Bestimme die Lösung der Terme.

  Tipps

  Bevor wir multiplizieren oder dividieren können, müssen erst alle Exponenten ausgerechnet werden.

  $1-7-3\cdot(2)^2= 1-7-3\cdot 4$

  Lösung

  Erste Rechnung

  • $2^2+(3+14)\cdot(-2)+30$

  Zuerst berechnen wir den Ausdruck in der Klammer:

  • $2^2+(3+14)\cdot(-2)+30= 2^2+17\cdot(-2)+30$

  Danach betrachten wir den Exponenten:

  • $2^2+17\cdot(-2)+30=4+17\cdot(-2)+30$

  Nun folgt die Multiplikation:

  • $4+17\cdot(-2)+30=4-34+30$

  Abschließend wird addiert:

  • $4-34+30=0$

  Zweite Rechnung

  $\begin{array}{rcl} 5 \cdot (4+8-2)^2 &=& 5 \cdot (12-2)^2 \\ &=& 5 \cdot 10^2 \\ &=& 5 \cdot 100 \\ &=& 500 \\ \end{array}$

  Dritte Rechnung

  $\begin{array}{rcll} 5 \cdot \left( \frac{21} 7 -1\right)^3+\frac{(3^3-3)}{8} &=& 5 \cdot \left( \frac{21} 7 -1\right)^3+\frac{(\color{#669900}{3^3}-3)}{8} &~\vert~\text{Klammern: Division und Exponent}\\ &=& 5 \cdot \left(\color{#669900}{3} -1\right)^3+\frac{(\color{#669900}{27}-3)}{8} &~\vert~\text{Klammern: Subtraktion}\\ &=& 5 \cdot \color{#669900}{2^3}+\frac{24}{8} &~\vert~\text{Exponent}\\ &=& 5 \cdot \color{#669900}{8} +\frac{24}{8} &~\vert~\text{Multiplikation}\\ &=& \color{#669900}{40} +\frac{24}{8} &~\vert~\text{Division}\\ &=& 40 +\color{#669900}{3} &~\vert~\text{Addition}\\ &=& 43 \\ \end{array}$

  Vierte Rechnung

  Wir beginnen wieder mit den Additionen in den Klammern:

  $\begin{array}{rcll} 5-(3+4)-3\cdot(2+5)^2&=&5+1-7-3\cdot(7)^2 &~\vert~ \text{Exponent} \\ &=&5-7-3\cdot 49 &~\vert~ \text{Multiplikation} \\ &=&5-7-147 &~\vert~ \text{Add. und Sub.} \\ &=& -149 \\ \end{array}$

• Ermittle die Lösung durch Anwenden der Rechenregeln für Terme.

  Tipps

  Wir berechnen erst die Summe in der Klammer bevor wir multiplizieren:

  • $2^3+(81+15)\cdot(-1)+75= 2^3+96\cdot(-1)+75$

  Exponenten werden vor Produkten und Divisionen berechnet:

  $2\cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$

  Lösung

  Erste Rechnung

  Wir berechnen zunächst die Division in der Klammer:

  • $(\frac93+7)^2\cdot 6^2+1=(3+7)^2\cdot 6^2+1$

  Dann die Summe in der Klammer:

  • $(3+7)^2\cdot 6^2+1= 10^2\cdot6^2+1$

  Nun die beiden Exponenten:

  • $10^2\cdot6^2+1=100\cdot 36+1$

  Als Nächstes multiplizieren wir:

  • $100\cdot 36+1=3600+1$

  Zuletzt die Addition:

  • $3600+1=3601$

  Zweite Rechnung

  $\begin{array}{rcll} \left( \frac{14} 2 -3\right)^2\cdot 5+\frac{(3^3-3)}{3} &=& \left( \frac{14} 2 -3\right)^2\cdot 5+\frac{(\color{#669900}{27}-3)}{3} &~\vert~\text{Division}\\ &=& \left(\color{#669900}{7} -3\right)^2 \cdot 5+\frac{(27-3)}{3} &~\vert~\text{Subtraktion}\\ &=& \color{#669900}{4}^2\cdot 5+\frac{(27-3)}{3} &~\vert~\text{Addition}\\ &=&4^2\cdot 5+\frac{\color{#669900}{24}}{3} &~\vert~\text{Exponent}\\ &=& \color{#669900}{16}\cdot 5+\frac{24}{3} &~\vert~\text{Multiplikation}\\ &=& \color{#669900}{80} +\frac{24}{3} &~\vert~\text{Division}\\ &=& 80 +\color{#669900}{8} &~\vert~\text{Addition}\\ &=& 88 \\ \end{array}$

  Dritte Rechnung

  • $2^3+(3^4+15)\cdot(-1)+75$

  Zuerst rechnen wir den Ausdruck mit dem Exponenten in der Klammer:

  • $2^3+(3^4+15)\cdot(-1)+75=2^3+(81+15)\cdot(-1)+75$

  Nun berechnen wir die Summe in der Klammer:

  • $2^3+(81+15)\cdot(-1)+75= 2^3+96\cdot(-1)+75$

  Danach betrachten wir den Exponenten:

  • $2^3+96\cdot(-1)+75=8+96\cdot(-1)+75$

  Nun folgt die Multiplikation:

  • $8+96\cdot(-1)+75=8-96+75$

  Abschließend wir addiert:

  • $8-96+75=-13$

  Vierte Rechnung

  $\frac{(5-9^2)}{2}+6\cdot \left(\frac4 2-3\right)=-44$

• Gib den Merksatz für die Rechenregeln in Klammern an.

  Tipps

  Du kennst bereits die Regel: Punktrechnung geht vor Strichrechnung.

  Die Addition und Subtraktion sind sogenannte Strichrechnungen und die Division und Multiplikation nennen wir Punktrechnungen.

  Lösung

  Bei der Berechnung von langen und komplizierten Termen gehen wir nach der KEMDAS-Regel vor.

  • Wir lösen zunächst die Ausdrücke in den Klammern.
  • Im zweiten Schritt betrachten wir die Exponenten.
  • Danach lösen wir alle Multiplikationen und Divisionen.
  • Abschließend werden alle Additionen und Subtraktionen durchgeführt.

  Die KEMDAS-Regel kannst du dir mit dem folgenden Satz merken.

  • Kekse essen macht dich auch satt.

  Bedenke auch, dass wir weiterhin immer von links nach rechts rechnen.

• Vereinfache Terme mit Variablen.

  Tipps

  $x$ steht für eine beliebige Zahl. Bedenke, dass für die Multiplikation gilt:

  $2x\cdot 3=6x$

  Bei der Addition aber:

  $2x+3\neq 5x$

  Bei verschachtelten Klammern löst du zunächst die innere und dann die äußere Klammer auf:

  $\begin{array}{rcll} \\ x \cdot (4+(8-2)) &=& x \cdot (4+6)& \vert~\text{innere Klammer} \\ &=& x \cdot 10 & \\ &=& 10x & \\ \\ \end{array}$

  Lösung

  Korrekt gerechnet wurde hier:

  • $3^2+(2^4+5)\cdot(-2)+17=-16$

  Zuerst rechnen wir mit dem Exponenten im Ausdruck in der Klammer:

  • $3^2+(2^4+5)\cdot(-2)+17=3^2+(16+5)\cdot(-2)+17$

  Nun berechnen wir die Summe in der Klammer:

  • $3^2+(16+5)\cdot(-2)+17= 3^2+21\cdot(-2)+17$

  Danach betrachten wir den Exponenten:

  • $3^2+21\cdot(-2)+17=9+21\cdot(-2)+17$

  Nun folgt die Multiplikation:

  • $9+21\cdot(-2)+75=9-42+17$

  Abschließend wir addiert und subtrahiert:

  • $9-42+17=-16$

  Außerdem ist diese Rechnung korrekt:

  • $x \cdot ((4^3-4)\cdot 3-2) +24 = 178x+24$

  $\begin{array}{rcll} \\ x \cdot ((4^3-4)\cdot 3-2) +24 &=& x \cdot ((64-4)\cdot 3-2) +24& \vert~\text{innere Klammer} \\ &=&x \cdot (60\cdot 3-2) +24 & \vert~\text{Multiplikation} \\ &=&x \cdot (180-2) +24 & \vert~\text{Addition} \\ &=& x \cdot 178 +24 & \vert~\text{Multiplikation}\\ &=& 178x + 24 \\ \\ \end{array}$

  Hier wurde nicht richtig gerechnet:

  • $5x \cdot \left( \frac{21} 7 -1\right)^3+\frac{(3^3-3)}{8}\neq 43x$

  $\begin{array}{rcll} 5x \cdot \left( \frac{21} 7 -1\right)^3+\frac{(3^3-3)}{8} &=& 5x \cdot \left( \frac{21} 7 -1\right)^3+\frac{(27-3)}{8} &~\vert~\text{Division}\\ &=&5x \cdot \left(3 -1\right)^3+\frac{(27-3)}{8} &~\vert~\text{Subtraktionen}\\ &=&5x \cdot 2^3+\frac{24}{8}&~\vert~\text{Exponent}\\ &=&5x \cdot 8+\frac{24}{8}&~\vert~\text{Division}\\ &=& 5x \cdot 8+3&~\vert~\text{Multiplikation}\\ &=& 40x+3 \\ \end{array}$

  Ein Summand mit $x$ und einer ohne $x$ können nicht zusammengefasst werden.

  • $x \cdot (4+(8^2-4)\cdot 3) \neq 17+x$

  $\begin{array}{rcll} \\ x \cdot (4+(8^2-4)\cdot 3) &=& x \cdot (4+(64-4)\cdot 3)& \vert~\text{innere Klammer} \\ &=&x \cdot (4+60\cdot 3) & \vert~\text{Multiplikation} \\ &=&x \cdot (4+180) & \vert~\text{Addition} \\ &=& x \cdot 184 & \vert~\text{Multiplikation}\\ &=& 184x \\ \end{array}$