Rechenregeln in Termen
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Grundlagen zum Thema Rechenregeln in Termen
Wie berechne ich Terme?
Terme sind mathematische Ausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen bestehen. Oft möchte man Terme ausrechnen oder zumindest so weit wie möglich vereinfachen, um auf einen Blick erfassen zu können, was der Term aussagt. In diesem Text beschäftigen wir uns mit der Frage: Was gibt es für Rechenregeln bei Termen?
Erklärung zu Rechenregeln für Terme
Bei den Regeln zum Rechnen mit Termen ist vor allem die Reihenfolge der einzelnen Rechenschritte wichtig. Diese Reihenfolge kannst du dir mit der KEMDAS-Regel merken. Wir gehen nun Schritt für Schritt durch, wofür die einzelnen Buchstaben stehen und wie du damit rechnen kannst.
- K wie Klammern: Alles, was in einer Klammer steht, muss zuerst berechnet werden.
- E wie Exponenten: Als Zweites werden die Exponenten mithilfe der Potenzgesetze verrechnet.
- M wie Multiplikation und D wie Division: Nun werden alle Multiplikationen und Divisionen ausgeführt.
- A wie Addition und S wie Subtraktion: Im letzten Schritt wird dann noch addiert und subtrahiert.
Es ist wichtig, immer in dieser Reihenfolge vorzugehen, denn sonst erhält man falsche Ergebnisse.
Beispiele zu Rechenregeln für Terme
Wir schauen uns nun einige Beispiele an, in denen wir die KEMDAS-Regel zum Rechnen mit Termen anwenden und üben können.
Beispiel 1
Wir berechnen zunächst den folgenden Term:
$8-2+5 = 6 + 5 = 11$
In diesem Term kommen nur Addition und Subtraktion vor und wir können einfach von links nach rechts rechnen.
Nun betrachten wir den sehr ähnlichen Term $8-(2+5)$. Der Unterschied zu dem Term eben sind die Klammern. Diese haben aber einen großen Einfluss auf das Ergebnis. Nach der KEMDAS-Regel müssen wir die Klammern zuerst ausrechnen:
$8-(2+5) = 8-(7) = 1$
Auch wenn die beiden Terme auf den ersten Blick sehr ähnlich aussehen, haben sie ganz unterschiedliche Ergebnisse.
Beispiel 2
Wir möchten nun den Term $(8-2)^{2}+ (5+2)$ berechnen. In diesem Term tauchen Klammern, Exponenten sowie Addition und Subtraktion auf. Nach der KEMDAS-Regel sieht die Berechnung wie folgt aus:
$(8-2)^{2}+ (5+2) = (6)^{2} + (7) = 36 + 7 = 43$
Beispiel 3
Der Term $\left(\dfrac{8}{2}-2\right)^{2}+ (5+2)$ hält noch eine Besonderheit bereit, auf die wir hier hinweisen möchten: Auch innerhalb von Klammern stehen wiederum Terme, für die die KEMDAS-Regel gilt. In den ersten beiden Beispielen waren das Terme, in denen nur Addition und Subtraktion auftauchten. In diesem Fall ist aber in der ersten Klammer eine Division und eine Subtraktion, also müssen wir als Erstes die Division berechnen. Insgesamt ergibt sich für diesen Term also folgende Rechnung:
$\left(\dfrac{8}{2}-2\right)^{2}+ (5+2) = (4-2)^{2} + (5+2) = (2)^{2} + 7 = 4 + 7 = 11$
Beispiel 4
Der Term $4\cdot \left(\dfrac{8}{2}-2\right)^{3}+\dfrac{\left(5^{2}+2\right)}{9}$ sieht schon um einiges komplizierter aus. Wir lassen uns davon aber nicht abschrecken, denn wir kennen ja eine Rechenregel, mit der wir diesen Term berechnen können. Wir gehen Schritt für Schritt vor: erst die Klammern (und die KEMDAS-Regel innerhalb der Klammer), dann die Exponenten, dann Multiplikation und Division und zu guter Letzt Addition und Subtraktion:
$4\cdot \left(\dfrac{8}{2}-2\right)^{3}+\dfrac{\left(5^{2}+2\right)}{9} $
$= 4\cdot \left(4-2\right)^{3}+\dfrac{\left(25+2\right)}{9}$
$= 4\cdot \left(2\right)^{3}+\dfrac{\left(27\right)}{9}$
$ = 4\cdot 8 + \dfrac{27}{9}$
$ = 32 + 3 $
$ = 35$
Rechenregeln für Terme – Zusammenfassung
Beim Berechnen oder Vereinfachen von mathematischen Termen gibt es ein paar wichtige Rechenregeln zu beachten. Diese lassen sich gut mit der KEMDAS-Regel merken. Bei dieser Regel folgt man der Reihenfolge der Buchstaben, die für folgende Elemente stehen:
| K | Klammern |
| E | Exponenten |
| M | Multiplikation |
| D | Division |
| A | Addition |
| S | Subtraktion |
Man berechnet also nacheinander erst die Klammern, dann die Exponenten usw. Dabei kann es auch zu Verschachtelung kommen: Innerhalb einer Klammer steht wiederum ein Term, auf den die KEMDAS-Regel angewendet wird.
Dazu gibt es auch noch einen schönen Merksatz: „Kekse essen macht dich auch satt!“
Mit diesem Merksatz kann nun mit Termen und Rechenregeln nichts mehr schiefgehen!
Du findest auf dieser Seite interaktive Übungen zu Rechenregeln für Terme, mit denen du das Gelernte festigen kannst.
Transkript Rechenregeln in Termen
Gestern hat meine Tante Sally alles in der falschen Reihenfolge gemacht. Schau dir das mal an, sie hat ihre Unterhose über ihrem Rock angezogen! Dann hat sie uns zur Schule geschickt und erst danach unser Frühstück gemacht! Später beim Kekse backen, hat sie die Eier erst nach dem Backen hinzugefügt. Meine Tante Sally hat alles in der falschen Reihenfolge gemacht, aber Ordnung ist doch so wichtig im Leben. Auch in der Mathematik ist eine bestimmte Reihenfolge wichtig. Terme zu lösen ist ungefähr so, wie einem Rezept zu folgen. Wir befolgen einfach die KEMDAS Regel. Der erste Schritt in der Reihenfolge bei der Berechnung von Termen sind die Klammern, hier also das K. Alles, was in einer Klammer steht muss zuerst berechnet werden. E steht für Exponenten. Diese kommen in der Reihenfolge als zweites. Im nächsten Schritt beachten wir das M und das D, welches für Multiplikation und Division steht. Nachdem du die Klammern und die Exponenten berechnet hast, multiplizierst und dividierst du. Zu guter Letzt haben wir noch A und S, welche für Addition und Subtraktion stehen. Diese sind unser letzter Schritt bei der Berechnung von Termen. Beachte dabei bitte auch immer die Regel der Berechnung von links nach rechts. Lass uns unser Wissen nun anwenden, um ein paar Terme zu berechnen. Du wirst sehen, dass dies ganz leicht ist, wenn wir KEMDAS verwenden. Lass uns zunächst zwei sehr ähnliche Terme betrachten: 8-2+5 und 8- in Klammern 2+5. Der einzige Unterschied hier sind die Klammern. Der erste Term beinhaltet nur Addition und Subtraktion, also müssen wir hier einfach nur von links nach rechts rechnen. 8 minus 2 ergibt 6. Und 6 plus 5 sind 11. Der zweite Term beinhaltet zusätzlich noch Klammern. In KEMDAS kommt das K zuerst. Die Rechenregeln zeigen dir also, dass du die Klammern zuerst berechnen musst. 2 plus 5 sind 7. Und 8 minus 7 sind 1. Auch wenn diese beiden Terme sehr ähnlich waren, haben sie zwei ganz unterschiedliche Ergebnisse. Schauen wir uns doch ein anderes Beispiel dazu an, aber diesmal eins in dem Klammern, Exponenten, Addition und Subtraktion vorkommen. Klammern werden zuerst berechnet. 8 minus 2 sind 6 und 5 plus 2 sind 7. Nun die Exponenten. 6 zum Quadrat sind 36. Zu guter Letzt addieren wir noch. 36 plus 7 sind 43. Nun ist es an der Zeit für ein komplexeres Beispiel. Schau wie viele verschiedene Rechenzeichen wir hier haben. Dieser Term beinhaltet Klammern, Exponenten, Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion. Als erstes sollten wir die Klammern berechnen. In der Klammer steht hier 8 geteilt durch 2 minus 2. Auch innerhalb der Klammern musst du KEMDAS beachten! Division wird vor der Subtraktion durchgeführt, also musst du zunächst 8 geteilt durch 2 rechnen. Nun rechnen wir 4 minus 2 und erhalten 2. In den anderen Klammern musst du zunächst den Exponenten berechnen bevor du addierst. 5 hoch 2 sind 25, 25 plus 2 sind 27. Sieht doch schon besser aus, oder? Nachdem wir nun die Klammern berechnet haben, machen wir mit E für Exponenten weiter. 2 hoch 3 ergibt 8. Nun können wir von links nach rechts multiplizieren und dividieren. 4 mal 8 sind 32 und 27 geteilt durch 9 sind 3. Der letzte Schritt ist nun die Addition. 32 plus 3 sind 35. Geschafft! Wir haben mit einem langen Termen angefangen, aber es mit der KEMDAS Regel geschafft auf das richtige Ergebnis zu kommen. Auch wenn der Term kompliziert aussieht, mit KEMDAS schaffen wir das! Du kannst dir KEMDAS mit dem folgenden Satz merken: Kekse Essen Macht Dich Auch satt. Da muss Tante Sally an ihrer Ordnung wohl noch etwas arbeiten.
Rechenregeln in Termen Übung
-
Berechne mit den Rechenregeln in Termen.
TippsDiesen Satz solltest du dir merken: Kekse essen macht dich auch satt.
Es ist wichtig, dass du zunächst die Klammern betrachtest, denn:
$8-2+5=6+5=11$
$8-(2+5)=8-7=1$
LösungEs ist wichtig, dass du zunächst die Klammern betrachtest. Im folgenden Beispiel erkennst du, dass Klammern das Ergebnis eines Terms vollkommen ändern können:
- $8-2+5=6+5=11$
- $8-(2+5)=8-7=1$
- Kekse essen macht dich auch satt.
Klammern, Exponent, Multiplikation/Division, Addition/Subtraktion
Wir rechnen also wie folgt:
$\begin{array}{rcll} (8-2)^2+(5+2) &=& 6^2+(5+2) & \vert \text{Klammern} \\ &=& 6^2+7 & \vert \text{Exponent} \\ &=& 36+7 & \vert \text{Addition} \\ &=& 43\\ \end{array}$
-
Beschreibe dein Vorgehen bei der Berechnung von komplizierten Termen.
TippsBei der KEMDAS-Regel steht das K für Klammern und das E für Exponenten.
$3\cdot (5+2)^2$
Hier rechnest du zunächst $5+2=7$ in der Klammer und erhältst:
$3\cdot 7^2$
Exponenten werden vor der Multiplikation betrachtet, daher gilt:
$3\cdot 7^2=3 \cdot 49 = 147$
LösungBei der Lösung von komplizierten Termen nutzt du die KEMDAS-Regel. Das steht für:
- Wir lösen zunächst die Ausdrücke in den Klammern.
- Im zweiten Schritt betrachten wir die Exponenten.
- Danach lösen wir alle Multiplikationen und Divisionen.
- Abschließend werden alle Additionen und Subtraktionen durchgeführt.
Im ersten Schritt berechnest du den Exponenten in der hinteren Klammer.
$\begin{array}{rcll} 4 \cdot \left( \frac8 2 -2\right)^3+\frac{(5^2+2)}{9} &=& 4 \cdot \left( \frac8 2 -2\right)^3+\frac{(\color{#669900}{25}+2)}{9} &\vert~\text{Division}\\ &=& 4 \cdot \left(\color{#669900}{4} -2\right)^3+\frac{(25+2)}{9} &\vert~\text{Subtraktion}\\ &=& 4 \cdot \color{#669900}{2}^3+\frac{(25+2)}{9} &\vert~\text{Addition}\\ &=& 4 \cdot 2^3+\frac{\color{#669900}{27}}{9} &\vert~\text{Exponent}\\ &=& 4 \cdot \color{#669900}{8} +\frac{27}{9} &\vert~\text{Multiplikation}\\ &=& \color{#669900}{32} +\frac{27}{9} &\vert~\text{Division}\\ &=& 32 +\color{#669900}{3} &\vert~\text{Addition}\\ &=& 35 & \\ \end{array}$
-
Bestimme die Lösung der Terme.
TippsBevor wir multiplizieren oder dividieren können, müssen erst alle Exponenten ausgerechnet werden.
$1-7-3\cdot(2)^2= 1-7-3\cdot 4$
LösungErste Rechnung
- $2^2+(3+14)\cdot(-2)+30$
- $2^2+(3+14)\cdot(-2)+30= 2^2+17\cdot(-2)+30$
- $2^2+17\cdot(-2)+30=4+17\cdot(-2)+30$
- $4+17\cdot(-2)+30=4-34+30$
- $4-34+30=0$
$\begin{array}{rcl} 5 \cdot (4+8-2)^2 &=& 5 \cdot (12-2)^2 \\ &=& 5 \cdot 10^2 \\ &=& 5 \cdot 100 \\ &=& 500 \\ \end{array}$
Dritte Rechnung
$\begin{array}{rcll} 5 \cdot \left( \frac{21} 7 -1\right)^3+\frac{(3^3-3)}{8} &=& 5 \cdot \left( \frac{21} 7 -1\right)^3+\frac{(\color{#669900}{3^3}-3)}{8} &~\vert~\text{Klammern: Division und Exponent}\\ &=& 5 \cdot \left(\color{#669900}{3} -1\right)^3+\frac{(\color{#669900}{27}-3)}{8} &~\vert~\text{Klammern: Subtraktion}\\ &=& 5 \cdot \color{#669900}{2^3}+\frac{24}{8} &~\vert~\text{Exponent}\\ &=& 5 \cdot \color{#669900}{8} +\frac{24}{8} &~\vert~\text{Multiplikation}\\ &=& \color{#669900}{40} +\frac{24}{8} &~\vert~\text{Division}\\ &=& 40 +\color{#669900}{3} &~\vert~\text{Addition}\\ &=& 43 \\ \end{array}$
Vierte Rechnung
Wir beginnen wieder mit den Additionen in den Klammern:
$\begin{array}{rcll} 5-(3+4)-3\cdot(2+5)^2&=&5+1-7-3\cdot(7)^2 &~\vert~ \text{Exponent} \\ &=&5-7-3\cdot 49 &~\vert~ \text{Multiplikation} \\ &=&5-7-147 &~\vert~ \text{Add. und Sub.} \\ &=& -149 \\ \end{array}$
-
Ermittle die Lösung durch Anwenden der Rechenregeln für Terme.
TippsWir berechnen erst die Summe in der Klammer bevor wir multiplizieren:
- $2^3+(81+15)\cdot(-1)+75= 2^3+96\cdot(-1)+75$
Exponenten werden vor Produkten und Divisionen berechnet:
$2\cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$
LösungErste Rechnung
Wir berechnen zunächst die Division in der Klammer:
- $(\frac93+7)^2\cdot 6^2+1=(3+7)^2\cdot 6^2+1$
- $(3+7)^2\cdot 6^2+1= 10^2\cdot6^2+1$
- $10^2\cdot6^2+1=100\cdot 36+1$
- $100\cdot 36+1=3600+1$
- $3600+1=3601$
$\begin{array}{rcll} \left( \frac{14} 2 -3\right)^2\cdot 5+\frac{(3^3-3)}{3} &=& \left( \frac{14} 2 -3\right)^2\cdot 5+\frac{(\color{#669900}{27}-3)}{3} &~\vert~\text{Division}\\ &=& \left(\color{#669900}{7} -3\right)^2 \cdot 5+\frac{(27-3)}{3} &~\vert~\text{Subtraktion}\\ &=& \color{#669900}{4}^2\cdot 5+\frac{(27-3)}{3} &~\vert~\text{Addition}\\ &=&4^2\cdot 5+\frac{\color{#669900}{24}}{3} &~\vert~\text{Exponent}\\ &=& \color{#669900}{16}\cdot 5+\frac{24}{3} &~\vert~\text{Multiplikation}\\ &=& \color{#669900}{80} +\frac{24}{3} &~\vert~\text{Division}\\ &=& 80 +\color{#669900}{8} &~\vert~\text{Addition}\\ &=& 88 \\ \end{array}$
Dritte Rechnung
- $2^3+(3^4+15)\cdot(-1)+75$
- $2^3+(3^4+15)\cdot(-1)+75=2^3+(81+15)\cdot(-1)+75$
- $2^3+(81+15)\cdot(-1)+75= 2^3+96\cdot(-1)+75$
- $2^3+96\cdot(-1)+75=8+96\cdot(-1)+75$
- $8+96\cdot(-1)+75=8-96+75$
- $8-96+75=-13$
Vierte Rechnung
$\frac{(5-9^2)}{2}+6\cdot \left(\frac4 2-3\right)=-44$
-
Gib den Merksatz für die Rechenregeln in Klammern an.
TippsDu kennst bereits die Regel: Punktrechnung geht vor Strichrechnung.
Die Addition und Subtraktion sind sogenannte Strichrechnungen und die Division und Multiplikation nennen wir Punktrechnungen.
LösungBei der Berechnung von langen und komplizierten Termen gehen wir nach der KEMDAS-Regel vor.
- Wir lösen zunächst die Ausdrücke in den Klammern.
- Im zweiten Schritt betrachten wir die Exponenten.
- Danach lösen wir alle Multiplikationen und Divisionen.
- Abschließend werden alle Additionen und Subtraktionen durchgeführt.
- Kekse essen macht dich auch satt.
-
Vereinfache Terme mit Variablen.
Tipps$x$ steht für eine beliebige Zahl. Bedenke, dass für die Multiplikation gilt:
$2x\cdot 3=6x$
Bei der Addition aber:
$2x+3\neq 5x$
Bei verschachtelten Klammern löst du zunächst die innere und dann die äußere Klammer auf:
$\begin{array}{rcll} \\ x \cdot (4+(8-2)) &=& x \cdot (4+6)& \vert~\text{innere Klammer} \\ &=& x \cdot 10 & \\ &=& 10x & \\ \\ \end{array}$
LösungKorrekt gerechnet wurde hier:
- $3^2+(2^4+5)\cdot(-2)+17=-16$
- $3^2+(2^4+5)\cdot(-2)+17=3^2+(16+5)\cdot(-2)+17$
- $3^2+(16+5)\cdot(-2)+17= 3^2+21\cdot(-2)+17$
- $3^2+21\cdot(-2)+17=9+21\cdot(-2)+17$
- $9+21\cdot(-2)+75=9-42+17$
- $9-42+17=-16$
- $x \cdot ((4^3-4)\cdot 3-2) +24 = 178x+24$
Hier wurde nicht richtig gerechnet:
- $5x \cdot \left( \frac{21} 7 -1\right)^3+\frac{(3^3-3)}{8}\neq 43x$
Ein Summand mit $x$ und einer ohne $x$ können nicht zusammengefasst werden.
- $x \cdot (4+(8^2-4)\cdot 3) \neq 17+x$
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Sehr gut beschrieben, dankeschön!
Ahhhh…so geht das also! Danke!