Potenzgesetze – Multiplikation und Division 05:39 min

Es ist kurz vor Mitternacht in Dr. Em Kay's Labor... Aber was ist das? Medikamente? Eine gefährliche Chemikalie? Ein neues Experiment? Oh, ein Grumple! Ist es nicht süß? Dr. Em Kay nimmt ihn direkt bei sich auf. Aber ein Grumple wird schnell zu zwei und vier und noch mehr! Dr. Em Kay muss das unter Kontrolle bekommen, und zwar schnell. Um herauszufinden, wie viele Grumples morgens auf sie warten, werden wir Potenzgesetze verwenden. Nach ein paar Stunden hat Dr. Em Kay einen mathematischen Ausdruck gefunden, mit dem sie darstellen kann, wie viele Grumples sich in ihrem Labor befinden. In Klammern g hoch 3 hoch 4. g ist dabei die Anzahl der Grumples. Wir wollen dies nun so vereinfachen, dass wir nur noch einen Exponenten behalten, aber wie würde das funktionieren? Wir wissen bereits, dass g hoch 3 gleich g mal g mal g ist. Wie können wir dies nun als einen Ausdruck ganz ohne Exponenten schreiben? Der Exponent 4 bedeutet, dass wir die Klammer VIER mal mit sich selbst multiplizieren müssen. Wir multiplizieren also g 12 mal mit sich selber. Das kann man als g hoch 12 schreiben. Vergleichen wir dies mit unserem Ursprünglichen Ausdruck sehen wir, dass sich 12 durch die Multiplikation des inneren Exponenten 3 und des äußeren Exponentens 4 ergibt. Dies ist das Gesetz von der Potenzierung von Potenzen. Potenziert man eine beliebige Potenz x hoch m mit dem Exponenten n, so ist dies das gleiche wie x hoch m mal n. Oh nein! Einige der Grumples fressen Dr. Em Kays Sandwich! Jetzt vermehren sie sich ja ganz anders! Nach vier Stunden kann man die Sandwichessenden Grumples wie folgt ausdrücken: In Klammern 7 mal b hoch 4. b ist dabei die Anzahl an Stücke, die von dem Sandwich abgebissen wurden. Wie kann man dies denn vereinfachen, sodass man es ohne Klammern schreiben kann. Der Exponent 4 bedeutet, dass wir 7b vier mal mit sich selbst multiplizieren müssen. Verwenden wir das Kommutativgesetzt so können wir den Term SO umsortieren. Wie würdest du dies nun vereinfachen? Verwenden wir nun wieder Potenzen, so können wir dies als 7 hoch 4 mal b hoch 4 schreiben. Vergleichen wir das doch mal mit DIESEM Ausdruck. Fällt dir irgendetwas auf? Wir konnten die Exponenten auf die verschiedenen Glieder aufteilen. Dies kann man bei einem Produkt immer machen. Multiplizieren wir x mit y und rechnen dies hoch n, so ist dies gleich x hoch n mal y hoch n. Lass uns noch einen Blick auf einen weiteren Ausdruck werfen, auf den Dr. Em Kay während ihrer Recherche getroffen ist. In Klammern 2 durch s hoch 4. s ist die Anzahl der schlafenden Grumples. Welche ersten Schritte würdest du gehen, um diesen Ausdruck zu vereinfachen? Der Exponent 4 sagt, dass wir 2 durch s 4 mal mit sich selbst multiplizieren müssen. Schreiben wir dies auf einen Bruchstrich und formen es in Potenzen um, so erhalten wir 2 hoch 4 durch s hoch 4. Vergleichen wir dies doch wieder mit unserem Ausgansausdruck so sehen wir, die Regel für die Division von Potenzen. Wie auch bei der Multiplikation, können wir Exponenten bei der Division aufteilen. Allgemein ist also in Klammern x durch y hoch n gleich x hoch n durch y hoch n. Bevor wir uns anschauen, was die Grumples noch so alles anstellen, fassen wir zusammen. Die Potenzgesetze erlauben es uns, Ausdrücke mit Potenzen zu vereinfachen. Potenzen werden potenziert, indem alle Exponenten miteinander multipliziert werden. Produkte von Potenzen können wir SO vereinfachen. Ebenso können wir Quotienten so vereinfachen. Das Vereinfachen von zunächst komplizierten Termen kann uns dabei helfen, Ausdrücke zu vereinfachen. Zum Glück kann man nie zu viele Grumples haben.