Potenzgesetze – Multiplikation und Division

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Potenzgesetze – Einführung

Multiplikation und Division von Potenzen

Division von Potenzen – Einführung

Potenzgesetze – Multiplikation und Division

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Multiplikation und Division von Potenzen – Herleitung

Division von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzgesetze – Übungen
Potenzgesetze – Multiplikation und Division Übung
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Bestimme die Potenzen.
TippsSchreibe die Potenzen in faktorisierter Form, um die Produkte zu berechnen.
Für die Multiplikation von Brüchen gilt die Regel:
Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner
Hier ist ein Beispiel:
$\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 4}{3\cdot 3} = \frac{4^2}{3^2}$
LösungDu kannst Potenzen von Brüchen oder Produkten sowie Potenzen von Potenzen berechnen, indem du die Potenzen jeweils in faktorisierter Form ausschreibst. Für die Potenz $(a^2)^3$ findest du:
$(a^2)^3 = (a \cdot a)^3 = (a \cdot a) \cdot (a \cdot a) \cdot (a \cdot a) = a^6 = a^{2 \cdot 3}$
Allgemein gilt ganz analog:
$(x^n)^m = x^{n \cdot m}$
Für Produkte von Potenzen findest du:
$(a \cdot b)^2 = (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) = a \cdot b \cdot a \cdot b = a^2 \cdot b^2$
Analog findest du für beliebige Potenzen:
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
Für Potenzen von Brüchen ergibt sich die analoge Formel aus der Regel für die Multiplikation von Brüchen:
$\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}$
Mit diesen Regeln kannst du die Gleichungen in der Aufgabe beurteilen:
Folgende Gleichungen sind richtig:
- $(g^3)^4 = g^3 \cdot g^3 \cdot g^3 \cdot g^3 = g^{12}$: Die rechte Gleichung findest du, wenn du auch noch die Terme $g^3 = g \cdot g \cdot g$ ausmultiplizierst.
- $(7 b)^4 = 7 \cdot b \cdot 7 \cdot b \cdot 7 \cdot b \cdot 7 \cdot b = 7^4 \cdot b^4$.
- $\left(\frac{2}{s}\right)^4 = \frac{2}{s} \cdot \frac{2}{s} \cdot \frac{2}{s} \cdot \frac{2}{s} = \frac{2^4}{s^4}$
- $g^7 \neq (g^4)^3$, denn $(g^4)^3 = (g \cdot g \cdot g \cdot g)^3 = g^{12}$.
- $7^2 \cdot b^2 \neq (7b)^4$, denn $7^2 \cdot b^2 = (7 \cdot b)^2$.
- $\left(\frac{2}{s}\right)^4 = 2^{4-s}$, denn $\left(\frac{2}{s}\right)^4 = \frac{2^4}{s^4}$
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Gib die Potenzgesetze wieder.
TippsSchreibe die Terme in faktorisierter Form, um die gefundenen Regeln zu überprüfen.
Die zweite Potenz eines Produktes kannst du so ausrechen:
$(a \cdot b)^2 = (a\cdot b) \cdot (a\cdot b) = (a \cdot a) \cdot (b\cdot b) = a^2 \cdot b^2$
Schreibe Quotienten als Brüche, um eine Regel für die Potenz von Quotienten zu finden.
LösungFolgende Sätze sind richtig:
„$a^n\cdot a^m$ $\rightarrow$ Man erhält eine Potenz, indem man die gemeinsame Basis übernimmt. Der neue Exponent entspricht der Summe der Exponenten.“
Du kannst die Potenzen in faktorisierter Form schreiben und dann zusammenfassen. So ist z. B.:
- $a^2 \cdot a^3 = (a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a) = a^5 = a^{2+3}$.
Schreibst du die Potenzen in faktorisierter Form und verwendest dann das Kommutativgesetz der Multiplikation, so kannst du die Faktoren sortieren und zu Potenzen zusammenfassen:
- $(a \cdot b)^3 = (a\cdot b) \cdot (a\cdot b) \cdot (a\cdot b) = (a \cdot a \cdot a) \cdot (b \cdot b \cdot b) = a^3 \cdot b^3$.
Summen von Potenzen kannst du nicht einfach umformen. Da musst du immer die spezielle Aufgabe betrachten. Manchmal helfen binomische Formeln zur Umformung, es gibt aber keinen allgemein gültigen Weg.
„$\left(\dfrac ab \right)^n$ $\rightarrow$ Man erhält einen Quotienten zweier Potenzen, deren Basen verschieden und Exponenten gleich sind.“
Einen Quotienten kannst du nämlich als Bruch schreiben und dann die Regel für die Multiplikation von Brüchen verwenden:
- $\left(\frac{x}{y}\right)^3 = \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} = \frac{x^3}{y^3}$.
Auch diese Regel kannst du durch die faktorisierte Schreibweise begründen:
- $(a^2)^3 = (a \cdot a)^3 = (a\cdot a) \cdot (a\cdot a) \cdot (a\cdot a) = a^6 = a^{2 \cdot 3}$.
-
Erschließe die Rechnungen.
TippsDer Exponent einer Potenz ist die Anzahl der Faktoren in der faktorisierten Schreibweise der Potenz.
Die $n$-te Potenz eines Bruchs ist der Bruch der $n$-ten Potenzen von Zähler und Nenner.
Hier ist ein Beispiel:
$\left(\frac{6}{5}\right)^4 = \frac{6^4}{5^4}$
LösungProdukte und Brüche kannst du potenzieren, indem du die Faktoren bzw. Zähler und Nenner einzeln potenzierst. Für die zweite Potenz kannst du das direkt nachrechnen:
$(a \cdot b)^2 = a \cdot b \cdot a \cdot b = a^2 \cdot b^2$
und
$\left(\frac{c}{d}\right)^2 = \frac{c}{d} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c \cdot c}{d \cdot d} = \frac{c^2}{d^2}$
Potenzierst du eine Potenz, so multiplizieren sich die Exponenten. Schreibst du die innere Potenz als Produkt aus, so erhältst du so viele Faktoren, wie der innere Exponent vorgibt:
$(a^3)^2 = (a \cdot a \cdot a)^2$
Faktorisierst du nun die äußere Potenz, so ergeben sich so viele Terme, wie die äußere Potenz vorgibt. Jeder dieser Terme ist die faktorisierte innere Potenz:
$(a \cdot a \cdot a)^2 = (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a)$
Du erhältst also ein wiederholtes Produkt der Basis, d. h. eine faktorisierte Potenz der Basis. Die Anzahl der Faktoren ist das Produkt der Exponenten:
$(a^3)^2 = (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a) = a^6 = a^{2 \cdot 3}$
So erhältst du folgende Rechnungen zu den vorgegebenen Potenzen:
Beispiel 1: Faktorisierungen von $2^{15}$:
- $(2^5)^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^{15}$
- $(2^3)^4 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2)^4 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^{3 \cdot 4} \cdot 2^3 = 2^{15}$
- $(2^2)^4=2^{2\cdot 4}=2^8$
- $\frac{(2^2)^5}{2^2}=\frac{2^{2\cdot 5}}{2^2}=\frac{2^{10}}{2^2}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{2\cdot 2}=2^8$
- $(2^2)^2\cdot 2^4=2^{2\cdot 2}\cdot 2^4=2^4\cdot 2^4=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^8$
- $(2^6)^2=2^{6\cdot 2}=2^{12}$
- $\frac{(2^3)^6}{(2^2)^3}=\frac{2^{3\cdot 6}}{2^{2\cdot 3}}=\frac{2^{18}}{2^6}=2^{18-6}=2^{12}$
- $(2^3)^3=2^{3\cdot 3}=2^9$
- $\left(\frac{2}{5}\right)^9 \cdot 5^9 = \frac{2^9}{5^9} \cdot 5^9 = \frac{2^9 \cdot 5^9}{5^9}= \frac{2^9 \cdot \not{5^9}}{\not{5^9}} = 2^9 $
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Bestimme die Potenzen.
TippsSetze für $n$ verschiedene natürliche Zahlen ein und rechne die Potenzen aus.
Hier ist ein Beispiel:
$(2 \cdot x^3)^4 = (2 \cdot x^3) \cdot (2 \cdot x^3) \cdot (2 \cdot x^3) \cdot (2 \cdot x^3) = 2^4 \cdot (x^3)^4 = 2^4 \cdot x^{12}$
LösungDie Potenz eines Produktes ist das Produkt der Potenzen der beiden Faktoren. Diese Regel kannst du nachprüfen, indem du die Potenzen in faktorisierter Form schreibst. Die Potenz einer Potenz hat als Exponent das Produkt der Exponenten. Diese Regel kannst du ebenfalls mit Potenzen in faktorisierter Form direkt überprüfen. So findest du folgende korrekten Formeln:
- $(x^n)^n = x^{n \cdot n} = x^{n^2}$
- $(nx)^n = n^n \cdot x^n$
- $(x^n)^2 = x^{n\cdot 2} = x^{2n}$
- $(x^2 \cdot n)^2 = (x^2)^2 \cdot n^2 = x^4 \cdot n^2 = x^{2\cdot 2} \cdot n^2$
- $\frac{(x^2)^n}{x^n} = \left(\frac{x^2}{x}\right)^n = \left(\frac{x\cdot \not{x}}{\not{x}}\right)^n = x^n$
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Beschreibe das Potenzgesetz.
TippsIn der Formel $a^2 = a \cdot a$ ist $2$ der Exponent.
Du kannst jede Potenz als Produkt ausschreiben. Die Zahl im Exponenten entspricht der Anzahl der Faktoren.
In der Gleichung $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ ist die rechte Seite die faktorisierte Schreibweise der Potenz $3^4$.
LösungDie Exponentialschreibweise ist eine Abkürzung für wiederholte Multiplikationen derselben Zahl. Ein solches Produkt mit lauter gleichen Faktoren nennt man Potenz. Die Zahl, die wiederholt multipliziert wird, heißt Basis der Potenz. Die hochgestellte Zahl, der Exponent, ist die Anzahl der Faktoren. Schreibst du die Potenz als Produkt aus, so erhältst du die Potenz in faktorisierter Form. Man sagt auch verkürzend: faktorisierte Potenz. In der faktorisierten Schreibweise kannst du ablesen, was passiert, wenn du zwei Potenzen derselben Basis multiplizierst: Du kannst das Produkt wieder als Potenz schreiben. Ihr Exponent ist die Summe der Exponenten der Faktoren des Produktes, denn diese Summe der Exponenten entspricht genau der Anzahl der Faktoren in der faktorisierten Schreibweise.
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Analysiere die Gleichungen.
TippsEs gilt:
- $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
Eine Potenz wird potenziert, indem ihre Basis übernommen wird und die Exponenten multipliziert werden.
LösungWir kennen folgende Potenzgesetze:
- $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
- $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$
- $(a^n)^m=a^{n\cdot m}$
$\big((a+b)\cdot (a+b)\big)^n=(a+b)^n\cdot(a+b)^n$
- Hier haben wir ein Produkt mit den Faktoren $a+b$ und $a+c$, das die Basis einer Potenz darstellt. Wir können die Faktoren also als eigenständige Potenzen mit dem Exponenten $n$ schreiben.
- Hier haben wir einen Quotienten mit dem Dividenden $a+b$ und den Divisor $a+c$, der die Basis einer Potenz darstellt. Wir können Zähler und Nenner also als eigenständige Potenzen mit dem Exponenten $n$ schreiben.
- Hier wird die Potenz $a^{(n+m)}$ mit $k$ potenziert. Wir müssen also die Basis $a$ übernehmen und die Exponenten multiplizieren zu $k\cdot (n+m)=kn+km$.
$\big((a\cdot b)+(a\cdot c)\big)^n=(a\cdot b)^n+(a\cdot c)^n$
- Für die Addition von Potenzen gibt es kein Potenzgesetz.
- Man kann hier $a$ nicht einfach kürzen, da $a$ kein Faktor, sondern ein Summand ist.
- Hier müssen die Exponenten $n+m$ und $k$ multipliziert werden.
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