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Division von Potenzen mit gleicher Basis 04:11 min

Textversion des Videos

Transkript Division von Potenzen mit gleicher Basis

Im Jahr 8008 sind Daten die neue Währung. Daten bedeuten Macht. Das ist die Firmenzentrale von Schmoogle und das ist Schmoogles Chef-Datenhändler, Modell AA-RN0, oder kurz Arn0. Er scheint ganz schön beschäftigt zu sein. Schauen wir mal, woran Arn0 gerade arbeitet. Er spricht mit seinem technischen Leiter Schmicha. Der soll berechnen, wie viele Festplatten nötig sind, um eine Sicherungskopie des Internets zu machen. AA-RN0 will nämlich das gesamte Internet mit seinen 10 hoch 25 Brontobytes sichern, um der reichste Roboter des Universums zu werden. Aber auf jede Festplatte von Schmicha passen nur 10 hoch 15 Brontobytes. AA-RN0 hat ein Problem: Sein Taschenrechner zeigt für eine genaue Berechnung nicht genug Stellen an. Völlig ratlos wendet er sich darum an Schmicha. Der kennt eine Methode, um mit sehr großen Zahlen umzugehen. Er weiß nämlich, wie man Potenzen mit gleicher Basis dividiert. Schmicha zeigt AA-RN0, dass am / an = am-n ist. Aber Vorsicht! Die Basen beider Potenzen müssen identisch sein. An einem Zahlenbeispiel kann Schmicha das viel besser erklären, damit AA-RNO es auch ganz sicher versteht. 25 / 23 = 25-3 = 22. Das ist das Gleiche wie 32/8, also 4, was man auch als 2² schreiben kann. AA-RN0 versucht, sein neues Wissen anzuwenden. Das Internet umfasst 1025 Brontobytes und jede Festplatte kann 1015 Brontobytes speichern. AA-RN0 sieht, dass die Basis beider Potenzen 10 ist, also schreibt er das auf. Er schreibt 1025 / 1015, was ja das Gleiche ist wie 1025-15, was 1010 ergibt. Sie bräuchten also 1010 Festplatten, um das gesamte Internet zu sichern. 10 MILLIARDEN?! Die Herstellung würde ewig dauern! Aber kein Problem. Schmicha hat einen ganz neuen Typ Festplatte entwickelt. Auf dieser kann man 1018 Brontobytes speichern. Die beiden wollen nun wissen, wie viele von den neuen Festplatten sie bräuchten, um das Internet zu sichern? Sie berechnen das mit 1025 / 1018. Das können sie, unter Nutzung der Regel, umformen zu 1025-18, was vereinfacht 107 ergibt. Sie müssten also nur 10 Millionen Festplatten herstellen. Das bekommen sie doch ratzfatz hin! Eine tolle Formel. Um sie immer parat zu haben, legt Schmicha sie sicherheitshalber in seinen Favoritenspeicher. am / an = am-n. Potenzen mit gleicher Basis kannst du dividieren, indem du die Exponenten von Zähler und Nenner subtrahierst und die Basis beibehältst. So, jetzt kann Schmicha also endlich beginnen, das Internet zu sichern. Was ist das denn jetzt? Hm, manche Dinge ändern sich wohl nie.

1 Kommentar
  1. Wie immer verständlich :)

    Von Lennard B., vor etwa 2 Monaten

Division von Potenzen mit gleicher Basis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Division von Potenzen mit gleicher Basis kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, wie du Potenzen mit gleicher Basis dividieren kannst.

    Tipps

    Die wiederholte Multiplikation eines Faktors $a$ kannst du durch die Potenzschreibweise abkürzen:

    $\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n-\text{mal}}=a^n$.

    Dabei ist $a$ die Basis der Potenz und $n$ der Exponent.

    Für die Berechnung der Anzahl der Festplatten muss AA-RNO Folgendes berechnen:

    $\dfrac{10^{25}}{10^{15}}$.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $\dfrac{2^5}{2^2}=2^{5-2}=2^3$.

    Lösung

    Die wiederholte Multiplikation eines Faktors $a$ kannst du durch die Potenzschreibweise abkürzen:

    $\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n-\text{mal}}=a^n$.

    Dabei ist $a$ die Basis der Potenz und $n$ der Exponent. Um das Rechnen mit Potenzen zu erleichtern, gibt es die sogenannten Potenzgesetze.

    Um AA-RNO bei seinem Problem zu unterstützen, müssen wir folgende Division durchführen:

    $\dfrac{10^{25}}{10^{15}}$.

    Es handelt sich hierbei um die Division zweier Potenzen mit gleicher Basis, nämlich $10$. Hierfür verwenden wir folgendes Gesetz:

    $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

  • Beschrifte die Größen der gegebenen Potenz.

    Tipps

    Eine Potenz setzt sich aus der Basis und deren Hochzahl zusammen.

    Den Exponenten nennt man auch Hochzahl.

    Lösung

    Eine Potenz setzt sich aus einer Basis und deren Exponenten zusammen. Den Exponenten nennt man auch Hochzahl.

    Wenn wir nun die Potenz $a^m$ betrachten, so ist $a$ die Basis und $m$ der Exponent dieser Potenz.

    Hier siehst du noch ein Zahlenbeispiel:

    $3^5$.

    Dabei ist $3$ die Basis und $5$ der Exponent.

    Es gilt $3^5 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$.

  • Berechne die Anzahl der benötigten Festplatten.

    Tipps

    Zwei Potenzen mit gleicher Basis kannst du nach folgendem Gesetz dividieren:

    $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

    Die Anzahl der Festplatten erhältst du, indem du die Größe des Internets durch die Größe der jeweiligen Festplatte teilst.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $\dfrac{5^3}{5^1}=5^{3-1}=5^2$.

    Lösung

    SCHMICHA hat AA-RNO gezeigt, dass er zwei Potenzen mit gleicher Basis nach folgendem Gesetz dividieren kann:

    $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

    Nun möchte er bestimmen, wie viele Festplatten er für die Sicherungskopie des gesamten Internets mit $10^{25}$ Brontobytes benötigt.

    Zunächst berechnen wir, wie viele Festplatten nötig sind, wenn das gesamte Internet auf Festplatten mit einem Speicherplatz von $10^{15}$ Brontobytes gesichert werden soll. Hierfür lösen wir folgende Divisionsaufgabe:

    $\dfrac{10^{25}}{10^{15}}$.

    Wir verwenden nun das obige Gesetz:

    $\dfrac{10^{25}}{10^{15}}=10^{25-15}=10^{10}$.

    Das sind ganz schön viele Festplatten.

    Wie viele Festplatten würde man brauchen, wenn das gesamte Internet auf Festplatten mit einem Speicherplatz von $10^{18}$ Brontobytes gesichert werden würde? Wir gehen wie oben vor:

    $\dfrac{10^{25}}{10^{18}}=10^{25-18}=10^{7}$.

    Das sieht doch schon viel besser aus!

  • Bilde den Quotienten durch Nutzung der Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis.

    Tipps

    Bestimme zuerst den Ausdruck in der jeweiligen Klammer.

    Wende die Regel $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ an.

    Es ist $a^1=a$. Das bedeutet, dass man einen Exponenten, welcher gleich $1$ ist, weglassen kann.

    Lösung

    Lass uns gemeinsam die gegebenen Quotienten vereinfachen und anschließend die Potenzregel $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ anwenden.

    Beispiel 1: $~ \frac{(4+5-2)^9}{(9+5-7)^5}$

    Zunächst fassen wir die Ausdrücke in den beiden Klammern zusammen und wenden dann die Potenzregel an:

    $\frac{(4+5-2)^9}{(9+5-7)^5}=\frac{7^9}{7^5}=7^{9-5}=7^4$.

    Beispiel 2: $~ \frac{7^5}{7}$

    Hier fällt auf, dass die $7$ im Nenner keinen Exponenten hat. Wenn der Exponent gleich $1$ ist, so kann dieser weggelassen werden. Wir können diesen Bruch also auch wie folgt aufschreiben:

    $\frac{7^5}{7}=\frac{7^5}{7^1}$.

    Jetzt können wir die Potenzregel anwenden:

    $\frac{7^5}{7^1}=7^{5-1}=7^4$.

    Beispiel 3: $~ (3\cdot 3)^3\cdot\frac{1}{(5+4)}$

    Auch hier fassen wir zunächst die Ausdrücke in den beiden Klammern zusammen und wenden dann die Potenzregel an:

    $(3\cdot 3)^3\cdot\frac{1}{(5+4)}=9^3\cdot\frac 19=\frac{9^3}{9^1}=9^{3-1}=9^2$.

    Beispiel 4: $~ (-7+11)^{11}:(8:2)^2$

    Wir bestimmen zuerst die Klammerausdrücke und rechnen dann mittels Potenzregel:

    $(-7+11)^{11}:(8:2)^2=4^{11}:4^2=\frac{4^{11}}{4^2}=4^{11-2}=4^9$.

  • Ermittle die Lösungen der gegebenen Divisionen.

    Tipps

    Die wiederholte Multiplikation eines Faktors $a$ kannst du durch die Potenzschreibweise abkürzen:

    $\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n-\text{mal}}=a^n$.

    Verwende das folgende Potenzgesetz:

    $\dfrac {a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

    Es ist zum Beispiel $4^2=4\cdot 4=16$.

    Es gilt:

    $a\cdot \frac 1b=\frac ab$.

    Lösung

    Die wiederholte Multiplikation eines Faktors $a$ kannst du durch die Potenzschreibweise abkürzen:

    $\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n-\text{mal}}=a^n$.

    Auf diese Weise kann man sich sehr viel Schreibarbeit sparen. Wenn du nun mit Potenzen rechnen möchtest, so ist es sehr hilfreich, die Potenzgesetze zu kennen.

    Hier möchten wir Potenzen mit gleicher Basis teilen. Mittels des Potenzgesetzes $\dfrac {a^m}{a^n}=a^{m-n}$ können wir die gegebenen Divisionsaufgaben lösen.

    Aufgabe 1: $~ \dfrac{4^7}{4^3}$

    $\dfrac{4^7}{4^3}=4^{7-3}=4^4$

    Aufgabe 2: $~ 3^5 :3^2$

    $3^5 :3^2=\dfrac{3^5}{3^2}=3^{5-2}=3^3$

    Aufgabe 3: $~ 8^6 \cdot \dfrac 1{8^4}$

    $8^6 \cdot \dfrac 1{8^4}=\dfrac{8^6}{8^4}=8^{6-4}=8^2=8\cdot 8=64$

    Aufgabe 4: $~ \dfrac{3^8}{3^4}$

    $\dfrac{3^8}{3^4}=3^{8-4}=3^4$

  • Bestimme die gesuchte Größe durch Division von Potenzen mit gleicher Basis.

    Tipps

    Den Preis pro Keks erhältst du wie folgt:

    $\text{Preis pro Keks} = \frac{\text{Gesamtumsatz}}{\text{Anzahl verkaufter Kekse}}$.

    Verwende die Regel $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

    Steht im Exponenten eine $1$, so kannst du diesen auch weglassen. Es gilt nämlich $a^1=a$.

    Das Fassungsvermögen der Behälter erhältst du, indem du wie folgt rechnest:

    $\text{Fassungsverm}\ddot{\text{o}}\text{gen pro Beh}\ddot{\text{a}}\text{lter} = \frac{\text{Gesamtmenge von Saft}}{\text{Anzahl der Beh}\ddot{\text{a}}\text{lter}}$.

    Lösung

    Lass uns die Aufgaben gemeinsam betrachten.

    Aufgabe 1:

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • Anzahl verkaufter Cookies: $3^4$,
    • Umsatz durch verkaufte Cookies: $3^5\ €$.
    Den Preis pro Keks erhalten wir wie folgt:

    $\text{Preis pro Keks} = \frac{\text{Gesamtumsatz}}{\text{Anzahl verkaufter Kekse}}$.

    Mit den jeweiligen Zahlenwerten und der Regel $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ erhalten wir nun folgende Rechnung:

    $\text{Preis pro Keks}=\dfrac{3^5}{3^4}=3^{5-4}=3^1=3$.

    Aufgabe 2:

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • Gesamtmenge an Orangensaft: $2^7$ Liter,
    • Anzahl verwendeter Behälter: $2^4\$.
    Das Fassungsvermögen pro Behälter erhalten wir wie folgt:

    $\text{Fassungsverm}\ddot{\text{o}}\text{gen} = \frac{\text{Gesamtmenge von Saft}}{\text{Anzahl der Beh}\ddot{\text{a}}\text{lter}}$.

    Wieder setzen wir unsere Zahlenwerte ein und nutzen die Regel $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$:

    $\text{Fassungsverm}\ddot{\text{o}}\text{gen pro Beh}\ddot{\text{a}}\text{lter}=\frac{2^7}{2^4}=2^{7-4}=2^3=8$.