Division von Potenzen mit gleicher Basis

Division von Potenzen mit gleicher Basis Übung

• Gib an, wie du Potenzen mit gleicher Basis dividieren kannst.

  Tipps

  Die wiederholte Multiplikation eines Faktors $a$ kannst du durch die Potenzschreibweise abkürzen:

  $\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n-\text{mal}}=a^n$.

  Dabei ist $a$ die Basis der Potenz und $n$ der Exponent.

  Für die Berechnung der Anzahl der Festplatten muss AA-RNO Folgendes berechnen:

  $\dfrac{10^{25}}{10^{15}}$.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $\dfrac{2^5}{2^2}=2^{5-2}=2^3$.

  Lösung

  Die wiederholte Multiplikation eines Faktors $a$ kannst du durch die Potenzschreibweise abkürzen:

  $\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n-\text{mal}}=a^n$.

  Dabei ist $a$ die Basis der Potenz und $n$ der Exponent. Um das Rechnen mit Potenzen zu erleichtern, gibt es die sogenannten Potenzgesetze.

  Um AA-RNO bei seinem Problem zu unterstützen, müssen wir folgende Division durchführen:

  $\dfrac{10^{25}}{10^{15}}$.

  Es handelt sich hierbei um die Division zweier Potenzen mit gleicher Basis, nämlich $10$. Hierfür verwenden wir folgendes Gesetz:

  $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

• Berechne die Anzahl der benötigten Festplatten.

  Tipps

  Zwei Potenzen mit gleicher Basis kannst du nach folgendem Gesetz dividieren:

  $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

  Die Anzahl der Festplatten erhältst du, indem du die Größe des Internets durch die Größe der jeweiligen Festplatte teilst.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $\dfrac{5^3}{5^1}=5^{3-1}=5^2$.

  Lösung

  SCHMICHA hat AA-RNO gezeigt, dass er zwei Potenzen mit gleicher Basis nach folgendem Gesetz dividieren kann:

  $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

  Nun möchte er bestimmen, wie viele Festplatten er für die Sicherungskopie des gesamten Internets mit $10^{25}$ Brontobytes benötigt.

  Zunächst berechnen wir, wie viele Festplatten nötig sind, wenn das gesamte Internet auf Festplatten mit einem Speicherplatz von $10^{15}$ Brontobytes gesichert werden soll. Hierfür lösen wir folgende Divisionsaufgabe:

  $\dfrac{10^{25}}{10^{15}}$.

  Wir verwenden nun das obige Gesetz:

  $\dfrac{10^{25}}{10^{15}}=10^{25-15}=10^{10}$.

  Das sind ganz schön viele Festplatten.

  Wie viele Festplatten würde man brauchen, wenn das gesamte Internet auf Festplatten mit einem Speicherplatz von $10^{18}$ Brontobytes gesichert werden würde? Wir gehen wie oben vor:

  $\dfrac{10^{25}}{10^{18}}=10^{25-18}=10^{7}$.

  Das sieht doch schon viel besser aus!

• Ermittle die Lösungen der gegebenen Divisionen.

  Tipps

  Die wiederholte Multiplikation eines Faktors $a$ kannst du durch die Potenzschreibweise abkürzen:

  $\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n-\text{mal}}=a^n$.

  Verwende das folgende Potenzgesetz:

  $\dfrac {a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

  Es ist zum Beispiel $4^2=4\cdot 4=16$.

  Es gilt:

  $a\cdot \frac 1b=\frac ab$.

  Lösung

  Die wiederholte Multiplikation eines Faktors $a$ kannst du durch die Potenzschreibweise abkürzen:

  $\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n-\text{mal}}=a^n$.

  Auf diese Weise kann man sich sehr viel Schreibarbeit sparen. Wenn du nun mit Potenzen rechnen möchtest, so ist es sehr hilfreich, die Potenzgesetze zu kennen.

  Hier möchten wir Potenzen mit gleicher Basis teilen. Mittels des Potenzgesetzes $\dfrac {a^m}{a^n}=a^{m-n}$ können wir die gegebenen Divisionsaufgaben lösen.

  Aufgabe 1: $~ \dfrac{4^7}{4^3}$

  $\dfrac{4^7}{4^3}=4^{7-3}=4^4$

  Aufgabe 2: $~ 3^5 :3^2$

  $3^5 :3^2=\dfrac{3^5}{3^2}=3^{5-2}=3^3$

  Aufgabe 3: $~ 8^6 \cdot \dfrac 1{8^4}$

  $8^6 \cdot \dfrac 1{8^4}=\dfrac{8^6}{8^4}=8^{6-4}=8^2=8\cdot 8=64$

  Aufgabe 4: $~ \dfrac{3^8}{3^4}$

  $\dfrac{3^8}{3^4}=3^{8-4}=3^4$

• Bestimme die gesuchte Größe durch Division von Potenzen mit gleicher Basis.

  Tipps

  Den Preis pro Keks erhältst du wie folgt:

  $\text{Preis pro Keks} = \frac{\text{Gesamtumsatz}}{\text{Anzahl verkaufter Kekse}}$.

  Verwende die Regel $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

  Steht im Exponenten eine $1$, so kannst du diesen auch weglassen. Es gilt nämlich $a^1=a$.

  Das Fassungsvermögen der Behälter erhältst du, indem du wie folgt rechnest:

  $\text{Fassungsverm}\ddot{\text{o}}\text{gen pro Beh}\ddot{\text{a}}\text{lter} = \frac{\text{Gesamtmenge von Saft}}{\text{Anzahl der Beh}\ddot{\text{a}}\text{lter}}$.

  Lösung

  Lass uns die Aufgaben gemeinsam betrachten.

  Aufgabe 1:

  Folgende Angaben sind uns bekannt:

  • Anzahl verkaufter Cookies: $3^4$,
  • Umsatz durch verkaufte Cookies: $3^5\ €$.

  Den Preis pro Keks erhalten wir wie folgt:

  $\text{Preis pro Keks} = \frac{\text{Gesamtumsatz}}{\text{Anzahl verkaufter Kekse}}$.

  Mit den jeweiligen Zahlenwerten und der Regel $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ erhalten wir nun folgende Rechnung:

  $\text{Preis pro Keks}=\dfrac{3^5}{3^4}=3^{5-4}=3^1=3$.

  Aufgabe 2:

  Folgende Angaben sind uns bekannt:

  • Gesamtmenge an Orangensaft: $2^7$ Liter,
  • Anzahl verwendeter Behälter: $2^4\$.

  Das Fassungsvermögen pro Behälter erhalten wir wie folgt:

  $\text{Fassungsverm}\ddot{\text{o}}\text{gen} = \frac{\text{Gesamtmenge von Saft}}{\text{Anzahl der Beh}\ddot{\text{a}}\text{lter}}$.

  Wieder setzen wir unsere Zahlenwerte ein und nutzen die Regel $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$:

  $\text{Fassungsverm}\ddot{\text{o}}\text{gen pro Beh}\ddot{\text{a}}\text{lter}=\frac{2^7}{2^4}=2^{7-4}=2^3=8$.

• Beschrifte die Größen der gegebenen Potenz.

  Tipps

  Eine Potenz setzt sich aus der Basis und deren Hochzahl zusammen.

  Den Exponenten nennt man auch Hochzahl.

  Lösung

  Eine Potenz setzt sich aus einer Basis und deren Exponenten zusammen. Den Exponenten nennt man auch Hochzahl.

  Wenn wir nun die Potenz $a^m$ betrachten, so ist $a$ die Basis und $m$ der Exponent dieser Potenz.

  Hier siehst du noch ein Zahlenbeispiel:

  $3^5$.

  Dabei ist $3$ die Basis und $5$ der Exponent.

  Es gilt $3^5 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$.

• Bilde den Quotienten durch Nutzung der Regel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis.

  Tipps

  Bestimme zuerst den Ausdruck in der jeweiligen Klammer.

  Wende die Regel $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ an.

  Es ist $a^1=a$. Das bedeutet, dass man einen Exponenten, welcher gleich $1$ ist, weglassen kann.

  Lösung

  Lass uns gemeinsam die gegebenen Quotienten vereinfachen und anschließend die Potenzregel $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ anwenden.

  Beispiel 1: $~ \frac{(4+5-2)^9}{(9+5-7)^5}$

  Zunächst fassen wir die Ausdrücke in den beiden Klammern zusammen und wenden dann die Potenzregel an:

  $\frac{(4+5-2)^9}{(9+5-7)^5}=\frac{7^9}{7^5}=7^{9-5}=7^4$.

  Beispiel 2: $~ \frac{7^5}{7}$

  Hier fällt auf, dass die $7$ im Nenner keinen Exponenten hat. Wenn der Exponent gleich $1$ ist, so kann dieser weggelassen werden. Wir können diesen Bruch also auch wie folgt aufschreiben:

  $\frac{7^5}{7}=\frac{7^5}{7^1}$.

  Jetzt können wir die Potenzregel anwenden:

  $\frac{7^5}{7^1}=7^{5-1}=7^4$.

  Beispiel 3: $~ (3\cdot 3)^3\cdot\frac{1}{(5+4)}$

  Auch hier fassen wir zunächst die Ausdrücke in den beiden Klammern zusammen und wenden dann die Potenzregel an:

  $(3\cdot 3)^3\cdot\frac{1}{(5+4)}=9^3\cdot\frac 19=\frac{9^3}{9^1}=9^{3-1}=9^2$.

  Beispiel 4: $~ (-7+11)^{11}:(8:2)^2$

  Wir bestimmen zuerst die Klammerausdrücke und rechnen dann mittels Potenzregel:

  $(-7+11)^{11}:(8:2)^2=4^{11}:4^2=\frac{4^{11}}{4^2}=4^{11-2}=4^9$.