Terme ausklammern und ausmultiplizieren 07:24 min
Transkript Terme ausklammern und ausmultiplizieren
Herr Praliné ist Schokoladen-Enthusiast. Aber nicht so, wie man vielleicht denken würde. Er isst die Pralinen nicht, er stellt sie original verpackt in seinem kleinen Privatmuseum aus. Und heute bekommt er Neuzugänge: Die exklusive, belgische Schokoladenmanufaktur Schoki-licieux hat ihm vier begehrte Pralinenschachteln zugesandt, die zu ganz besonderen Sammlereditionen gehören. Aber sein Neffe Pip, interessiert sich viel mehr dafür, wie viele Pralinen in den Schachteln drin sind. Um das herauszufinden, ist es hilfreich, sich mit Ausklammern und Ausmultiplizieren zu befassen. Bevor wir uns aber mit den Sondereditionen beschäftigen, betrachten wir zwei gewöhnliche Pralinenschachteln der Firma Schoki-licieux: Es gibt sie in zwei Größen: klein und groß. Dürfen wir die denn aufmachen? Dürfen wir. Und wir finden in beiden Schachteln die drei gleichen Pralinensorten. In der kleinen Packung gibt es von jeder Sorte vier Pralinen, in der großen sechs. Wie viele Pralinen sind das in beiden Packungen? Das können wir auf zwei verschiedene Weisen ausrechnen: Einmal kann man die Pralinenzahl für beide Schachteln einzeln ausrechnen und dann addieren: Für die kleine Packung ergibt sich 3 mal 4 und für die große 3 mal 6. Für die Gesamtzahl müssen wir also '3 mal 4' und '3 mal 6' addieren. Das sind 12 plus 18, also 30 Pralinen oder wir schieben beide Schachteln zusammen: Dann haben wir ein Rechteck, in dem immer noch drei Sorten enthalten sind. Aber von jeder Sorte gibt es nun 4 plus 6 Pralinen. Also haben wir insgesamt 3 mal 'in Klammern' 4 plus 6 Pralinen. Das sind 3 mal 10 Pralinen, also auch 30. Natürlich kommt dabei dieselbe Anzahl heraus wie bei '3 mal 4' plus '3 mal 6'. Dieser Zusammenhang heißt Distributivgesetz und er gilt für alle Zahlen. Wir können also allgemein schreiben: 'a mal b' plus 'a mal c' ist gleich a mal 'in Klammern' b plus c. Dieses Gesetz kannst du anwenden, um Terme umzuformen. Haben wir eine Summe aus zwei Produkten gegeben und enthalten beide Produkte den gleichen Faktor, dann können wir diesen Faktor so ausklammern. Die beiden anderen Faktoren tauchen dann in der Klammer wieder auf. Haben wir umgekehrt ein Produkt, wovon ein Faktor eine Summe ist, dann können wir die Klammer der Summe so ausmultiplizieren. Der andere Faktor des ursprünglichen Produktes taucht dann als Faktor vor beiden Summanden wieder auf. Das Distributivgesetz kann also in beide Richtungen angewendet werden, wenn man Terme umformen möchte. In diese Richtung heißt das dann ausklammern und in diese ausmultiplizieren. Und weil das Distributivgesetz für alle Zahlen gilt, können wir es auch auf Variablen anwenden: Damit können wir uns der ersten Sonderedition der Firma Schoki-licieux zuwenden: Der Sonderedition Mehr. Auch von dieser Sonderedition gibt es eine kleine und eine große Pralinenschachtel. Im Gegensatz zu den gewöhnlichen enthalten sie mehr Sorten. Wir wissen aber nicht genau, wie viele Sorten. Vielleicht dürfen wir ja mal in die Schachteln reinschauen? Nein, dürfen wir nicht. Also müssen wir die Anzahl der Sorten mit der Variablen 'x' bezeichnen. Auch in der Sonderedition Mehr gibt es in der kleinen Schachtel von jeder Sorte 4 und in der großen Schachtel 6 Pralinen. Dann beinhalten beide Schachteln zusammen 'x mal 4' plus 'x mal 6' Pralinen. Schieben wir die Schachteln wieder zu einem Rechteck zusammen, haben wir stattdessen x mal 'in Klammern' 4 plus 6 Pralinen. Insgesamt ist die Pralinenzahl natürlich gleich geblieben. Also dürfen wir beide Ausdrücke gleichsetzen. Wir können also Variablen ausklammern. Schieben wir die Schachteln wieder auseinander, sehen wir, dass wir auch einen Term mit Variablen ausmultiplizieren dürfen. Kommen wir nun zur anderen Sonderedition noch mehr. Hier gibt es wieder eine kleine und eine große Schachtel. In beiden sind genau drei Sorten enthalten, aber diesmal gibt es von jeder Sorte noch mehr Pralinen. Wir wissen aber nicht genau, wie viele es von jeder Sorte gibt. Vielleicht dürfen wir diesmal? Nein, natürlich nicht. Dann können wir die Anzahlen der Pralinen pro Sorte mit den Variablen 'y' und 'z' bezeichnen. In beiden Schachteln sind dann '3 mal y' plus '3 mal z' Pralinen enthalten. Schieben wir die Schachteln wieder zusammen, haben wir 3 mal 'in Klammern' y plus z Pralinen. Wir dürfen also gleiche Zahlen in einem Term mit Variablen ausklammern. Schieben wir die Schachteln wieder auseinander, sehen wir, dass auch das ausmultiplizieren funktioniert. Allgemein gilt: Hast du eine Summe aus zwei Produkten gegeben und enthalten beide Produkte gleiche Faktoren dann darfst du diese Faktoren so ausklammern, egal, ob es sich dabei um Zahlen, Variablen oder eine Kombination aus beidem handelt. Achte beim Ausklammern von Zahlen darauf, dass man Zahlen auch selbst als Produkt auffassen kann. Auch wenn die Zahlen unterschiedlich aussehen, kannst du manchmal gleiche Teiler ausklammern. Hast Du umgekehrt ein Produkt gegeben, wovon ein Faktor eine Summe ist, dann darfst du die Klammern so ausmultiplizieren, egal, ob es sich dabei um Zahlen, Variablen oder eine Kombination aus beidem handelt. Mh! Aber eigentlich wissen wir jetzt immer noch nicht, wie viele Pralinen in den Schachteln drin sind. Ah! Pip hat das schon auf anderem Wege herausbekommen.
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, das Distributivgesetz auf beliebige Terme ohne und mit Variablen anzuwenden.
Zunächst lernst du, das Distribituvgesetz anhand eines Zahlenbeispiels kennen. Anschließend lernst du, wie du das Distributivgesetz bei dem Ausklammern und Zusammenfassen von Termen mit einer Variablen anwenden kannst. Abschließend lernst du, wie du das Distributivgesetz bei dem Ausklammern und Zusammenfassen von Termen mit zwei Variablen anwenden kannst.
Lerne etwas über das Distributivgesetz mit Hilfe der Pralinenschachten von Herr Praliné.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Distributivgesetz, Ausklammern, Ausmultiplizieren, Variable und Term.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du mit Termen ohne und mit Variablen rechnest.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Termumformungen zu lernen.
Die Tutoren:
Terme ausklammern und ausmultiplizieren
Terme ausklammern und ausmultiplizieren Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Terme ausklammern und ausmultiplizieren kannst du es wiederholen und üben.
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Bestimme die korrekten Aussagen zum Distributivgesetz.
Tipps
Das Distributivgesetz gilt für alle reellen Zahlen.
Je nachdem in welche Richtung du das Distributivgesetz anwendest, bezeichnet man das rechnerische Vorgehen als ausmultiplizieren oder ausklammern.
Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. Die Zahlen, die multipliziert werden, heißen Faktoren.
Lösung
Allgemein gilt:
Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. Die Zahlen, die multipliziert werden, heißen Faktoren.
Folgende Aussagen sind falsch:
„Addierst du zwei Produkte, musst du zuerst die Addition durchführen, bevor du multiplizieren kannst.“
- Generell gilt hier die Regel „Punkt vor Strich“. Die Multiplikation muss also zuerst durchgeführt werden. Enthalten die Produkte allerdings einen gemeinsamen Faktor, kannst du auch das Distributivgesetz anwenden und ausklammern.
„Das Distributivgesetz kann nicht auf Variablen angewandt werden.“
- Das Distributivgesetz gilt für alle reellen Zahlen und auch für Variablen.
„Addierst du zwei Produkte, die einen gleichen Faktor enthalten, kannst du diesen Faktor ausklammern.“
„Ein Produkt, in dem ein Faktor eine Summe ist, kannst du ausmultiplizieren.“
- Das Distributivgesetz lautet allgemein: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$. Wendest du es von links nach rechts an, nennt man das ausmultiplizieren. Von rechts nach links heißt es ausklammern.
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Gib die Anwendung des Distributivgesetzes wieder.
Tipps
Das Distributivgesetz lautet allgemein: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$. Wendest du es von rechts nach links an, nennt man das ausklammern.
Wendest du das Distributivgesetz in die andere Richtung an, heißt das ausmultiplizieren.
Lösung
So kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Zwei seiner neuen Pralinenschachteln enthalten unterschiedliche Sorten. Die Anzahl der Sorten ist in beiden Schachteln gleich, aber nicht bekannt. Deshalb bezeichnet er diese mit der Variablen $x$. Er weiß, dass jede Sorte in einer Schachtel $4$ Mal vorkommt und in der anderen Schachtel $6$ Mal. Die Gesamtanzahl an Pralinen kann er also angeben durch:
$4x+6x$
Hier kann er das Distributivgesetz anwenden und erhält:
$x\cdot (6+4)=10x$
Hier hat er ausgeklammert.“
- Das Distributivgesetz lautet allgemein: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$. Wendest du es von rechts nach links an, nennt man das ausklammern.
$3\cdot (y+z)$
Wieder wendet er das Distributivgesetz an:
$3y+3z$
Hier hat er ausmultipliziert.“
- Wendest du das Distributivgesetz in die andere Richtung an, nennt man das ausmultiplizieren.
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Wende das Distributivgesetz an.
Tipps
Vor dem Ausklammern musst du hier die Zahlen faktorisieren. Teile sie also in mehrere Faktoren auf, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben.
Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Term in der Klammer einzeln mit dem Faktor vor der Klammer multiplizieren.
Lösung
Vor dem Ausklammern musst du hier die Zahlen faktorisieren. Teile sie also in mehrere Faktoren auf, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben. Dann kannst du bei diesen Termen ausklammern:
- $9ab+12a=3 a \cdot 3 b + 3 a\cdot 4 = 3a(3b+4)$
- $16a-4b=4 \cdot 4a- 4 \cdot b= 4(4a-b)$
- $2c(4a-3b)=2c\cdot 4a +2c \cdot (-3b)= 8ca-6cb$
- $9(a+b)=9a+9b$
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Entscheide, ob das Distributivgesetz korrekt angewandt wurde.
Tipps
Hast du einen Term gegeben, in dem du einen Faktor komplett ausklammern kannst, musst du überlegen was in der Klammer zurückbleibt. Folgenden Term kannst du so korrekt ausklammern:
$ab+a=a \cdot b + a \cdot 1=a(b+1)$
Lösung
Bei diesen Rechnungen musst du entweder ausklammern oder ausmultiplizieren. Hast du einen Term gegeben, in dem du einen Faktor komplett ausklammern kannst, musst du überlegen, was in der Klammer zurückbleibt. Folgenden Term kannst du so korrekt ausklammern:
$ab+a=a \cdot b + a \cdot 1=a(b+1)$
Mit diesen Überlegungen kannst du die Terme wie folgt berechnen.
Diese Rechnungen sind falsch:
- $16xy+8x-4y\neq 4( xy+2x-y)$
$16xy+8x-4y=4 \cdot 4xy+ 4 \cdot 2x- 4 \cdot y= 4( 4xy+2x-y)$
- $5xy+10x-15y \neq 5xy(1+2x-3y)$
$5xy+10x-15y=5\cdot xy+5 \cdot 2x - 5 \cdot 3y= 5(xy+2x-3y)$
Diese Terme wurden korrekt umgeformt:
- $4xy-2x=2x \cdot 2y- 2x \cdot 1=2x(2y-1)$
- $3(3x-y+4z)=3 \cdot 3x-3 \cdot y+3 \cdot 4z=9x-3y+12z$
- $3s+3t+3u=3(s+t+u)$
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Ergänze die Rechnung mithilfe des Distributivgesetzes.
Tipps
In der ersten Zeile kannst du ausklammern. Finde den Faktor, der in beiden Teilen der Summe vorkommt.
Du kannst das Distributivgesetz auf Zahlen, Variablen oder beides auf einmal anwenden.
Lösung
So kannst du die Rechnung vervollständigen:
In der ersten Zeile kannst du den Faktor $12$ ausklammern. Dieser kommt in beiden Teilen der Summe vor, denn: $12 \cdot 2=24$ und $12 \cdot 3 = 36$.
In der zweiten Rechnung kannst du ausmultiplizieren. Der Faktor $5k$ wird mit beiden Summanden multipliziert.
Beachte, dass du hier das Distributivgesetz auf zwei Faktoren ($5$ und $k$) gleichzeitig angewandt hast.
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Erschließe die Größe der Fläche mithilfe des Distributivgesetzes.
Tipps
Den Flächeninhalt $A$ eines Rechtecks bestimmst du, indem du die beiden Seitenlängen $a$ und $b$ miteinander multiplizierst: $A=a \cdot b$
Die Gesamtfläche erhältst du durch Addition der beiden einzelnen Flächen.
Lösung
Du kannst den Lückentext so vervollständigen:
„Zuerst stellt sie eine Formel für die obere Fläche auf. Einheiten lässt sie zur Vereinfachung weg. Diese lautet:
$A_1=9\cdot a$“
- Den Flächeninhalt $A$ eines Rechtecks bestimmst du, indem du die beiden Seitenlängen $a$ und $b$ miteinander multiplizierst: $A=a \cdot b$
$A_2=3\cdot (a+4)$“
- Auch hier verwendest du die Formel für den Flächeninhalt. Allerdings ist eine Länge $a+4~\text{m}$ lang.
$A=A_1+A_2=9a+3\cdot (a+4)$“
- Die Gesamtfläche erhältst du durch Addition der beiden einzelnen Flächen
$A=9a+3a+12=12a+12$
Und schließlich ausklammern:
$A=12\cdot (a+1)$“
- Mithilfe des Distributivgesetzes kannst du die Formel des Flächeninhalts vereinfachen.
Hallo Paulinaermisch, steht ein Minus vor einer Klammer, kehren sich die Vorzeichen aller Summanden in der Klammer um:
-(x-7)=-x+7
Liebe Grüße aus der Redaktion
was ist wenn man
- mal x - 7
wie rechnet man das
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Und wie gehts?
Servus