Terme ausklammern und ausmultiplizieren

Terme ausklammern und ausmultiplizieren Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Distributivgesetz.

  Tipps

  Das Distributivgesetz gilt für alle reellen Zahlen.

  Je nachdem, in welche Richtung du das Distributivgesetz anwendest, bezeichnet man das rechnerische Vorgehen als Ausmultiplizieren oder Ausklammern.

  Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. Die Zahlen, die multipliziert werden, heißen Faktoren.

  Lösung

  Allgemein gilt:

  Ein Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. Die Zahlen, die multipliziert werden, heißen Faktoren.

  Folgende Aussagen sind inkorrekt:

  • Addierst du zwei Produkte, musst du zuerst die Addition durchführen, bevor du multiplizieren kannst.

  Generell gilt hier die Regel „Punkt vor Strich“. Die Multiplikation muss also zuerst durchgeführt werden. Enthalten die Produkte allerdings einen gemeinsamen Faktor, kannst du auch das Distributivgesetz anwenden und ausklammern.

  • Das Distributivgesetz gilt nur für natürliche Zahlen.*

  Das Distributivgesetz gilt für alle reellen Zahlen.

  • Das Distributivgesetz kann nicht auf Variablen angewandt werden.*

  Das Distributivgesetz gilt auch für Variablen.

  Folgende Aussagen sind korrekt:

  • Addierst du zwei Produkte, die einen gleichen Faktor enthalten, kannst du diesen Faktor ausklammern.
  • Ein Produkt, in dem ein Faktor eine Summe ist, kannst du ausmultiplizieren.

  Das Distributivgesetz lautet allgemein:

  $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$

  Wendest du es von links nach rechts an, nennt man den Vorgang Ausmultiplizieren. Von rechts nach links heißt er Ausklammern.

• Gib die Anwendung des Distributivgesetzes wieder.

  Tipps

  Das Distributivgesetz lautet allgemein:

  $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$

  Wendest du es von rechts nach links an, nennt man den Vorgang Ausklammern.

  Wendest du das Distributivgesetz von links nach rechts an, heißt das Ausmultiplizieren.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  Zwei seiner neuen Pralinenschachteln enthalten unterschiedliche Sorten. Die Anzahl der Sorten ist in beiden Schachteln gleich, aber nicht bekannt. Deshalb bezeichnet er diese mit der Variablen $x$. Er weiß, dass jede Sorte in einer Schachtel $4$ Male vorkommt und in der anderen Schachtel $6$ Male. Die Gesamtanzahl an Pralinen kann er also angeben durch:

  $4x + \mathbf{6x}$

  Er kann das Distributivgesetz anwenden und erhält:

  $\mathbf{x}\cdot (6+4)=10x$

  Hier hat er ausgeklammert.

  Merke:

  Das Distributivgesetz lautet allgemein:

  $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$.

  Wendest du es von rechts nach links an, nennt man den Vorgang Ausklammern.

  Zwei andere Schachteln enthalten jeweils $3$ unterschiedliche Pralinen. Hier ist die Anzahl der Pralinen jeder Schachtel nicht bekannt. Diese bezeichnet er mit den Variablen $y$ und $z$. In dem Fall gibt er die Gesamtzahl der Pralinen an durch:

  $\mathbf{3} \cdot (y+z)$

  Wieder wendet er das Distributivgesetz an:

  $3y + \mathbf{3z}$

  Hier hat er ausmultipliziert.

  Merke:

  Wendest du das Distributivgesetz von links nach rechts an, nennt man das Ausmultiplizieren.

• Wende das Distributivgesetz an.

  Tipps

  Vor dem Ausklammern musst du hier die Zahlen faktorisieren. Teile sie also in mehrere Faktoren auf, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben.

  Beim Ausmultiplizieren musst du jeden Term in der Klammer einzeln mit dem Faktor vor der Klammer multiplizieren.

  Lösung

  Vor dem Ausklammern musst du hier die Zahlen faktorisieren. Teile sie also in mehrere Faktoren auf, die multipliziert die ursprüngliche Zahl ergeben. Dann kannst du bei diesen Termen ausklammern:

  • $9ab+12a=3 a \cdot 3 b + 3 a\cdot 4 = 3a(3b+4)$

  • $16a-4b=4 \cdot 4a- 4 \cdot b= 4(4a-b)$

  Bei diesen Termen kannst du ausmultiplizieren. Multipliziere dabei jeden Term in der Klammer einzeln mit dem Faktor vor der Klammer:

  • $2c(4a-3b)=2c\cdot 4a +2c \cdot (-3b)= 8ca-6cb$

  • $9(a+b)=9a+9b$

• Entscheide, ob das Distributivgesetz korrekt angewendet wurde.

  Tipps

  Hast du einen Term gegeben, in dem du einen Faktor komplett ausklammern kannst, musst du überlegen, was in der Klammer zurückbleibt. Folgenden Term kannst du so korrekt ausklammern:

  $ab+a=a \cdot b + a \cdot 1=a(b+1)$

  Lösung

  Bei diesen Rechnungen musst du entweder ausklammern oder ausmultiplizieren. Hast du einen Term gegeben, in dem du einen Faktor komplett ausklammern kannst, musst du überlegen, was in der Klammer zurückbleibt. Folgenden Term kannst du so korrekt ausklammern:

  $ab+a=a \cdot b + a \cdot 1=a(b+1)$

  Mit diesen Überlegungen kannst du die Terme wie folgt berechnen:

  Diese Rechnung ist falsch:

  $16xy+8x-4y\neq 4( xy+2x-y)$

  So kannst du den Term korrekt ausklammern:

  $16xy+8x-4y=4 \cdot 4xy+ 4 \cdot 2x- 4 \cdot y= 4( 4xy+2x-y)$

  Diese Rechnung ist ebenfalls falsch:

  $5xy+10x-15y \neq 5xy(1+2x-3y)$

  Dieser Term wird so richtig ausgeklammert:

  $5xy+10x-15y=5\cdot xy+5 \cdot 2x - 5 \cdot 3y= 5(xy+2x-3y)$

  Diese Terme wurden korrekt umgeformt:

  $4xy-2x=2x \cdot 2y- 2x \cdot 1=2x(2y-1)$

  $3(3x-y+4z)=3 \cdot 3x-3 \cdot y+3 \cdot 4z=9x-3y+12z$

  $3s+3t+3u=3(s+t+u)$

• Ergänze die Rechnung mithilfe des Distributivgesetzes.

  Tipps

  In der ersten Zeile kannst du ausklammern. Finde den Faktor, der in beiden Teilen der Summe vorkommt.

  Du kannst das Distributivgesetz auf Zahlen, Variablen oder beides auf einmal anwenden.

  Lösung

  So kannst du die Rechnung vervollständigen:

  In der ersten Zeile kannst du den Faktor $12$ ausklammern. Dieser kommt in beiden Teilen der Summe vor, denn:

  $12 \cdot 2=24$ und $12 \cdot 3 = 36$

  In der zweiten Rechnung kannst du ausmultiplizieren. Der Faktor $5k$ wird mit beiden Summanden multipliziert.

  Beachte, dass du hier das Distributivgesetz auf zwei Faktoren ($5$ und $k$) gleichzeitig anwendest.

• Erschließe die Größe der Fläche mithilfe des Distributivgesetzes.

  Tipps

  Den Flächeninhalt $A$ eines Rechtecks bestimmst du, indem du die beiden Seitenlängen $a$ und $b$ miteinander multiplizierst:

  $A=a \cdot b$

  Die Gesamtfläche erhältst du durch Addition der beiden einzelnen Flächen.

  Lösung

  Du kannst den Lückentext so vervollständigen:

  Zuerst stellt Mariana eine Formel für die obere Fläche auf. Einheiten lässt sie zur Vereinfachung weg. Die Formel lautet:

  $A_1= \mathbf{9} \cdot a$

  Merke:

  Den Flächeninhalt $A$ eines Rechtecks bestimmst du, indem du die beiden Seitenlängen $a$ und $b$ miteinander multiplizierst:

  $A=a \cdot b$

  Für die untere Fläche gibt sie ebenfalls eine Formel an:

  $A_2= \mathbf{3} \cdot (a+ \mathbf{4})$

  Merke:

  Auch hier verwendest du die Formel für den Flächeninhalt. Allerdings ist eine Länge $a+4~\text{m}$ lang.

  Diese Formeln fasst sie anschließend zusammen:

  $A=A_1+A_2=9 \mathbf{a} +3\cdot (\mathbf{a}+4)$

  Merke:

  Die Klammer kann Mariana durch Ausmultiplizieren auflösen:

  $A=9a+3a+ \mathbf{12} = \mathbf{12}a+12$

  Und schließlich kann sie ausklammern:

  $A= \mathbf{12} \cdot (a+1)$

  Damit hat sie eine Formel für den Flächeninhalt von $A$ aufgestellt.

  Merke:

  Mithilfe des Distributivgesetzes kannst du die Formel des Flächeninhalts vereinfachen.