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Ausklammern bei Differenzen und Quotienten 07:09 min

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Transkript Ausklammern bei Differenzen und Quotienten

Ja, da brauchst du gar nicht so überrascht zu gucken! Ihr seid Raupen! Ihr verwandelt Euch alle irgendwann. Und bei manchen Termen ist das ganz ähnlich. Die können sich durch Anwendung des Distributivgesetzes verwandeln. Das Distributivgesetz verbindet Summen und Produkte miteinander, es kann aber auch beim Ausklammern in Termen mit Differenzen und Quotienten angewendet werden. Bevor wir uns aber solche Terme anschauen, wiederholen wir das Ausklammern in Termen mit Summen und Produkten: Dazu sucht man gleiche Faktoren in beiden Summanden. Offensichtlich gibt es in jedem Summanden genau einmal die Variable 'x'. Aber auch in den Zahlen sind gleiche Faktoren versteckt. Wenn du die 8 zu 2 mal 4 umschreibst, siehst du, dass auch die 4 in beiden Summanden vorkommt. Du kannst hier also '4 mal x' so ausklammern. Weil für Summen das Kommutativgesetz gilt, kannst du die Reihenfolge der Summanden in der Klammer auch vertauschen. Und weil auch für Produkte das Kommutativgesetz gilt, kann der ausgeklammerte Faktor auch hinter der Klammer auftauchen. Jetzt können wir uns diese Differenz anschauen: Sie unterscheidet sich von der zuvor betrachteten Summe nur durch dieses Minuszeichen. Du kannst also auch hier die 8 zu 2 mal 4 umschreiben. Dann findest du wiederum die gleichen Faktoren '4 mal x'. Aber was machen wir jetzt mit diesem Minus? Du kannst hier eine 'minus 1' rausziehen. Du siehst, dass sich die Differenz in eine Summe verwandelt hat. Dann darfst du die '4 mal x' so ausklammern. Die 'minus 1' kannst du dann wieder mit dem z verrechnen. So hast du in der Klammer aus der Summe wieder eine Differenz gemacht. Du kannst also eigentlich auch ohne die 'minus 1' rechnen. Wir merken uns: So wie man in einer Summe gleiche Faktoren ausklammert, kann man auch in einer Differenz gleiche Faktoren ausklammern. Dabei musst du nur eine Sache bedenken: Im Gegensatz zur Addition gilt für die Subtraktion das Kommutativgesetz nicht! Du musst also die Reihenfolge von Minuend und Subtrahend bei der Rechnung einhalten. Hier haben wir einen Term mit Quotienten statt Produkten gegeben. Wir erinnern uns: Im Quotienten heißt die Zahl, die geteilt wird, Dividend und die Zahl, durch die wir teilen, Divisor. Wir können Quotienten immer in Brüche umwandeln, dabei entspricht der Dividend dem Zähler und der Divisor dem Nenner des Bruches. Den Zähler dürfen wir als Faktor hinter den Bruch ziehen. So haben wir die Quotienten in Produkte verwandelt. Auch Brüche können Teiler haben: 'Ein Achtel' kannst du zum Beispiel zu 'ein Halb mal ein Viertel' umschreiben. Jetzt siehst du, dass 'ein Viertel' als Faktor in beiden Summanden auftaucht. Du kannst also 'ein Viertel' so ausklammern. Die Brüche kannst du wieder in Quotienten umwandeln. So siehst du, dass man gleiche Divisoren auch einfach ausklammern kann, ohne sie vorher in Brüche umzuwandeln. Dabei kommt nämlich das gleiche Ergebnis raus, wie bei der Rechnung mit Brüchen. Weil wir durch jede beliebige Zahl, außer durch Null, teilen dürfen, können wir sogar ausklammern, in denen Variablen enthalten sind. Wir müssen dabei nur den Fall ausschließen, dass die Divisoren Null werden. In diesem Term kommt zweimal die Variable 'z' im Divisor vor. Du kannst 'z' also so ausklammern. Beachte aber auch hier: Im Gegensatz zur Multiplikation gilt für die Division das Kommutativgesetz nicht! Du musst also die Reihenfolge von Dividend und Divisor in der Rechnung einhalten. Bei gleichen Dividenden ist das nicht ganz so einfach. Die dürfen wir nämlich nicht einfach ausklammern. Wir müssen die Quotienten in Produkte umwandeln. Dann dürfen wir 'y' so ausklammern. Fassen wir das noch einmal zusammen: Hast du eine Summe aus zwei Produkte gegeben und enthalten beide Produkte gleiche Faktoren dann darfst du diese Faktoren so ausklammern. Für Summen und Produkte gilt das Kommutativgesetz. Du kannst also sowohl die Summanden in der Klammer vertauschen, als auch den ausgeklammerten Faktor hinter die Klammer schreiben. Auch Differenzen darfst du so umformen. Für Differenzen gilt aber das Kommutativgesetz nicht. Deshalb musst du die Reihenfolge von Minuend und Subtrahend beim Ausklammern einhalten. Hast du eine Summe aus zwei Quotienten gegeben und enthalten beide Quotienten gleiche Divisoren, dann darfst du auch diese ausklammern. Aber auch für Quotienten gilt das Kommutativgesetz nicht. Du musst also die Reihenfolge von Dividend und Divisor beim Ausklammern einhalten. Gleiche Dividenden darfst du nicht einfach ausklammern! Wandle die Quotienten in Brüche um und schreibe sie als Produkte, dann kannst du sie ganz normal ausklammern. So! Und damit musst du dich nicht mehr im Cocon verstecken, wenn du kompliziert aussehende Terme siehst. Na, der Tee ist mittlerweile kalt geworden.

Ausklammern bei Differenzen und Quotienten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ausklammern bei Differenzen und Quotienten kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige die Terme.

    Tipps

    Teile den Koeffizienten $8$ in zwei Faktoren auf.

    Du kannst $-z$ auch als $(-1) \cdot z$ schreiben.

    Den Term $3 \cdot x \cdot z - 6 \cdot y \cdot z$ kannst du so umformen:

    \begin{align} 3 \cdot x \cdot z - 6 \cdot y \cdot z &= 3 \cdot x \cdot z - 3 \cdot 2 \cdot z \cdot y \\ &= 3 \cdot z \cdot (x - 2 \cdot y) \end{align}

    Lösung

    Um Terme auszuklammern, kannst du zuerst die Koeffizienten in Faktoren zerlegen. Der Koeffizient $8$ z. B. ist darstellbar als $8 = 2 \cdot 4$. In den Termen $2 \cdot 4 \cdot x \cdot y$ und $4 \cdot x \cdot z$ kommt nun jeweils der Faktor $4 \cdot x$ vor. Diesen kannst du ausklammern und erhältst:

    $8 \cdot x \cdot y + 4 \cdot x \cdot z = 4 \cdot x \cdot (2 \cdot y + z)$

    Aus einer Differenz kannst du ähnlich ausklammern: Den Term $8 \cdot x \cdot y$ schreibst du wieder als $2 \cdot 4 \cdot x \cdot y$. Aus dem Term $-4 \cdot x \cdot z$ kannst du nun noch $(-1)$ ausklammern und erhältst $-4 \cdot x \cdot z = (-1) \cdot 4 \cdot x \cdot z$. Du findest jetzt wieder in beiden Termen den Faktor $4 \cdot x$, den du ausklammern kannst:

    $8 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x \cdot z = 2 \cdot 4 \cdot x \cdot y + (-1) \cdot 4 \cdot x \cdot z = 4 \cdot x \cdot (2 \cdot y + (-1) \cdot z)$.

    Den Term in der Klammer auf der rechten Seite kannst du noch zusammenfassen zu $(2 \cdot y - z)$.

  • Berechne die Terme.

    Tipps

    Um die passenden Faktoren zum Ausklammern zu finden, kannst du die Koeffizienten in ihre Faktoren zerlegen.

    Um aus Quotienten auszuklammern, kannst du die Quotienten zuerst in Brüche umformen.

    Den Term $4:x - 3:x$ kannst du so umformen:

    $4:x - 3:x = \frac{4}{x} - \frac{3}{x} = 4 \cdot \frac{1}{x} - 3\cdot \frac{1}{x}$

    Lösung

    Um die Terme zu vereinfachen, klammerst du gemeinsame Faktoren aus. Um diese zu finden, ist es nützlich, Koeffizienten in Faktoren zu zerlegen. Für die Umrechnungen kannst du das Kommutativgesetz für die Addition und Multiplikation verwenden. Für die Subtraktion und Division gilt aber kein Kommutativgesetz!

    Um Terme mit Divisionen auszuklammern, ist es meistens nützlich, die Divisionen als Brüche zu schreiben. Dann kannst du die Zähler oder Nenner ggf. ausklammern.

    Hier ergeben sich die folgenden Gleichungen:

    • $8 \cdot x \cdot y + 4 \cdot x \cdot z = 2 \cdot 4 \cdot x \cdot y + 4 \cdot x \cdot z = 4 \cdot x \cdot (2 \cdot y + z)$
    • $8 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x \cdot z = 2 \cdot 4 \cdot x \cdot y + (-1) \cdot 4 \cdot x \cdot z = 4 \cdot x \cdot (2 \cdot y + (-1) \cdot z) = 4 \cdot x \cdot (2\cdot y -z )$
    • $a:8-b:4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot a - \frac{1}{4} \cdot b = \frac{1}{4} \cdot \big(\frac{1}{2} \cdot a - b\big) = (a:2-b):4$
    • $3:z + 5:z = 3 \cdot \frac{1}{z} + 5 \cdot \frac{1}{z} = (3+5) \cdot \frac{1}{z}=(3+5):z$
    • $y:a-y:b = \frac{y}{a} - \frac{y}{b} = \frac{1}{a} \cdot y - \frac{1}{b} \cdot y =\big(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\big)\cdot y$
  • Prüfe die Termumformungen.

    Tipps

    Um die Gleichungen zu überprüfen, kannst du die Klammern ausmultiplizieren.

    Aus Quotienten mit verschiedenen Nennern darfst du die Zähler nicht direkt ausklammern.

    Lösung

    Beim Ausklammern aus Differenzen und Quotienten musst du auf die Vorzeichen und die korrekten Faktoren achten: Ersetze das Minus-Vorzeichen durch den Faktor $(-1)$, so dass aus Differenzen Summen werden. Ersetze Divisionen durch Brüche und zerlege diese in Faktoren, sodass aus Quotienten Produkte werden. So kannst du Fehler beim Ausklammern aus Quotienten vermeiden.

    Folgende Gleichungen sind richtig:

    • $6 \cdot x \cdot z - 2 \cdot x = 2 \cdot x \cdot (3 \cdot z - 1)$, denn $6 \cdot x \cdot z = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot z$ und $- 2 \cdot x = (-1) \cdot 2 \cdot x$. Der Faktor $2 \cdot x$ kommt in beiden Summanden vor.
    • $5 \cdot a \cdot x + 4 \cdot b \cdot x = x \cdot (5 \cdot a + 4 \cdot b)$, denn $x$ ist der einzige Faktor, der in beiden Summanden vorkommt.
    • $7 \cdot a \cdot b - 3 \cdot b \cdot c - 4 \cdot b = b \cdot (7 \cdot a - 3 \cdot c - 4)$, denn in jedem der Terme kommt der Faktor $b$ vor. Die Zahlen lassen sich nicht sinnvoll faktorisieren, da $3$, $4$ und $7$ teilerfremd sind.
    • $8: (2\cdot x) + 7:(2 \cdot x) - 3:(2 \cdot x) = 6:x$, denn der gemeinsame Divisor $2 \cdot x$ lässt sich ausklammern. Du erhältst dadurch $8: (2\cdot x) + 7:(2 \cdot x) - 3:(2 \cdot x) = (8+7-3):(2 \cdot x) = 12:(2 \cdot x) = \frac{12}{2} \cdot \frac{1}{x} = 6:x$.
    Folgende Gleichungen sind falsch:

    • $x:7 - x:5 \neq x:2$, denn $x:7 - x:5 = \frac{x}{7} - \frac{x}{5} = x \cdot \big(\frac{1}{7} - \frac{1}{5} \big) = x \cdot \frac{5-7}{35} = -(2 \cdot x) : 35 \neq x:2$
    • $7:a - 21:a \neq 14:a$, denn $7:a - 21:a = \frac{7}{a} - \frac{21}{a} = (7-21) \cdot \frac{1}{a} = \frac{-14}{a} \neq 14:a$.
    • $5:a - 7:b \neq (5-7):(a \cdot b)$. Aus dem Term $5:a - 7:b$ kann man keinen gemeinsamen Faktor ausklammern, da $a$ und $b$ verschiedene Variablen und $5$ und $7$ teilerfremd sind.
  • Erschließe die Umformungen.

    Tipps

    Aus Divisionen kannst du ausklammern, indem du zuerst die Divisionen in Brüche verwandelst und die Brüche als Produkte darstellst.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    \begin{align*} 8:x- 12:(2 \cdot x) &= \frac{8}{x} - \frac{12}{2 \cdot x} \\ &= \frac{1}{x} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot 12 \\ &= \frac{1}{x} \cdot \big(8 - \frac{1}{2} \cdot 12\big) \\ &= (8 - 12 : 2):x \end{align*}

    Multipliziere im Zweifel die Klammern wieder aus, um die Umformung zu überprüfen.

    Lösung

    Beim Ausklammern aus Differenzen und Quotienten musst du beachten, dass für die Subtraktion und Division kein Kommutativgesetz gilt. Aus Quotienten kannst du ausklammern, indem du die Quotienten als Brüche schreibst und diese dann in Faktoren zerlegst. Hier findest du folgende Umformungen:

    \begin{align} 6 \cdot x \cdot y + 3 \cdot x \cdot z &= 3 \cdot 2 \cdot x \cdot y + 3 \cdot x \cdot z \\ &= 3 \cdot x \cdot (2 \cdot y + z) \\ &= x \cdot (6 \cdot y + 3 \cdot z) \\ &= 3 \cdot (2 \cdot x \cdot y + x \cdot z) \\ & \\ 6 \cdot x \cdot y - 4 \cdot y \cdot z &= 3 \cdot 2 \cdot x \cdot y - 2 \cdot 2 \cdot y \cdot z \\ &= 2 \cdot y \cdot (3 \cdot x - 2 \cdot z) \\ &= y \cdot (6 \cdot x - 4 \cdot z) \\ &= 2 \cdot (3 \cdot x \cdot y - 2 \cdot y \cdot z) \\ & \\ 7:x -4:(2 \cdot x) &= \frac{7}{x} -\frac{4}{2 \cdot x} \\ &= 7 \cdot \frac{1}{x} -\frac{4}{2} \cdot \frac{1}{x} \\ &= \big(7 -\frac{4}{2} \big) \cdot \frac{1}{x} \\ &= (7 - 4:2) : x \\ & \\ 14:(2 \cdot x)- 9:x &= \frac{14}{2 \cdot x} - \frac{9}{x} \\ &= \frac{14}{2} \cdot \frac{1}{x} - 9 \cdot \frac{1}{x} \\ &= \big(\frac{14}{2}- 9 \big)\cdot \frac{1}{x} \\ &= (14:2 - 9):x \end{align}

  • Benenne die Begriffe und Gesetze.

    Tipps

    Eine Division ist eine Aufteilung. Das Ergebnis der Aufteilung, bezogen auf das Ganze, nennt man manchmal Bruchteil.

    Der Quotient ist weder die Zahl, die geteilt wird noch die Zahl, durch die geteilt wird.

    Das Kommutativgesetz für die Multiplikation lautet: $a \cdot b = b \cdot a$.

    Lösung

    Für die Umformung von Termen verwendest du die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und ihre Gesetzmäßigkeiten. Die hier genannten Begriffe haben alle mit der Division zu tun. Für die Division gilt kein Kommutativgesetz: Die Rolle, die die Zahlen in einer Division spielen, sind verschieden und nicht austauschbar. Denn wenn du $8$ Birnen unter vier Kindern aufteilst, kommt ein anderer Bruchteil heraus als wenn du $4$ Birnen unter $8$ Kindern aufteilst. Um diese Unterschiede klar benennen zu können, haben die Zahl, die geteilt wird bzw. durch die geteilt wird und das Ergebnis spezielle Namen:

    • Der Divisor ... ist die Zahl, durch die geteilt wird.
    • Der Dividend ... ist die Zahl, die geteilt wird.
    • Der Quotient ... ist das Ergebnis des Teilens.
    • Das Kommutativgesetz ... gilt für die Division nicht.
    • Eine Division ... kannst du als Bruch darstellen.
  • Analysiere die Umformungen.

    Tipps

    Vergleiche die Variablen auf der rechten und linken Seite.

    Lösung

    Um die zusammengehörigen Terme zu finden, kannst du z. B. die Variablen auf beiden Seiten vergleichen. Dadurch findest du erste Zuordnungen. Diese kannst du dann nachrechnen. Alternativ kannst du auch direkt nach den passenden Umformungen suchen. Hier sind die Rechnungen:

    \begin{align} 6\cdot x \cdot y - 9\cdot x \cdot z + 3\cdot x \cdot y \cdot z &= 2 \cdot 3 \cdot x \cdot y - 3 \cdot 3 \cdot x \cdot z + 3 \cdot x \cdot y \cdot z \\ &= 3 \cdot x \cdot (2 \cdot y - 3 \cdot z + y \cdot z) \\ & \\ 6 \cdot x \cdot z - 3 \cdot y \cdot z - 3 \cdot z &= 3 \cdot 2 \cdot x \cdot z - 3 \cdot y \cdot z - 3 \cdot z \\ &= 3 \cdot z \cdot (2 \cdot x - y - 1) \\ & \\ 4 \cdot x \cdot y + 12 \cdot y \cdot z - 6 \cdot x \cdot y &= 2 \cdot 2 \cdot x \cdot y + 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot y \cdot z - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot y \\ &= 2 \cdot y \cdot (2 \cdot x + 6 \cdot z - 3 \cdot x) \\ &= 2 \cdot y \cdot (- x + 6 \cdot z) \\ & \\ 7 \cdot x \cdot y - 21 \cdot y \cdot z - 14 \cdot x \cdot z &= 7 \cdot x \cdot y + (-7) \cdot 3 \cdot y \cdot z + (-7) \cdot 2 \cdot x \cdot z \\ &= (-7) \cdot (3\cdot y \cdot z + 2 \cdot x \cdot z - x \cdot y) \\ &\\ 8\cdot a \cdot x \cdot y - 14 \cdot a \cdot b \cdot y + 18 \cdot a \cdot y \cdot z &= 2 \cdot 4 \cdot a \cdot x \cdot y - 2 \cdot 7 \cdot a \cdot b \cdot y + 2 \cdot 9 \cdot a \cdot y \cdot z \\ &= 2 \cdot a \cdot y \cdot (4 \cdot x -7 \cdot b + 9 \cdot z) \end{align}