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Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers

Erfahre, wie du den größten gemeinsamen Teiler zur Vereinfachung von Termen ausklammerst. Anhand von Beispielen wird erklärt, wie dieser Prozess mit dem Distributivgesetz funktioniert. Interessiert? Das und vieles mehr findest du in unserem Artikel!

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Wie kann man den größten gemeinsamen Teiler ausklammern?

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Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers
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Grundlagen zum Thema Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers

Einführung: Wie kann man den ggT ausklammern?

Mathematische Ausdrücke, sogenannte Terme, können vereinfacht werden, indem der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT\text{ggT}, ausgeklammert wird. Wie man den ggT\text{ggT} ausklammern kann, wird in diesem Text einfach erklärt.

ggT ausklammern – Erklärung

Um den ggT\text{ggT} auszuklammern, nutzen wir die Umkehrung des Distributivgesetzes. Dieses besagt:

a(b+c)=ab+aca\,\left(b + c \right) = a\,b + a\,c

Die Umkehrung lautet entsprechend:

ab+ac=a(b+c)a\,b + a\,c = a\,\left(b + c \right)

Schauen wir uns das Beispiel 4x+284\,x + 28 an. Die 2828 können wir auch schreiben als 77 mal 44. Somit ist die 44 der ggT\text{ggT} beider Terme, da die 44 als Faktor in beiden Termen vorkommt und der größte Divisor ist, durch den wir beide Terme teilen können. Es gibt keine größere Zahl, durch die wir beide Terme ohne Rest teilen können.
Wir klammern aus:

4x+28=4x+74=4(x+7)\begin{array}{rl} &4\,x + 28\\ =&\textcolor{orange}{4}\,x + 7 \cdot \textcolor{orange}{4}\\ =&4\,\left(x + 7 \right) \end{array}

Der ggT\text{ggT}, also die 44, steht vor der Klammer. Das, was beim Teilen der Terme durch den ggT\text{ggT} übrig bleibt, steht in der Klammer.

Betrachten wir nun: 4x2+28x4\,x^{2} + 28\,x. Die Terme können wir auch folgendermaßen schreiben:

4x2+28x=4xx+74x\begin{array}{rl} &4\,x^{2} + 28\,x\\ =&4 \cdot x \cdot x + 7 \cdot 4 \cdot x\\ \end{array}

In beiden Termen kommt der Faktor 44 und mindestens ein xx als Faktor vor. Wir können also zunächst die 44 und dann auch noch ein xx ausklammern:

4xx+74x=4(xx+7x)=4x(x+7)\begin{array}{rl} &\textcolor{orange}{4} \cdot x \cdot x + 7 \cdot \textcolor{orange}{4} \cdot x\\ =&\textcolor{orange}{4}\,\left(\textcolor{blue}{x} \cdot x + 7 \cdot \textcolor{blue}{x} \right) \\ =&\textcolor{orange}{4}\, \textcolor{blue}{x} \left( x + 7 \right) \end{array}

Da es keine weiteren gemeinsamen Faktoren gibt, ist 4x4\,x der ggT\text{ggT} dieser beiden Terme. Dieser steht nach dem Ausklammern vor der Klammer.

Es ist immer wichtig, die berechneten Ergebnisse zu überprüfen. Das können wir beim Ausklammern des ggT\text{ggT} mithilfe des Distributivgesetzes tun. Dafür multiplizieren wir den Faktor vor der Klammer einzeln mit allen Summanden in der Klammer:

4x(x+7)4\,x \left( x + 7 \right)

4xx=4x2\rightarrow 4\,x \cdot x = 4\,x^{2}
4x7=28x\rightarrow 4\,x \cdot 7 = 28\,x

Herauskommen müssen die Summanden, die vor dem Ausklammern gegeben waren. In unserem Beispiel stimmen sie überein. Wir haben also richtig ausgeklammert.

ggT ausklammern – Übung

Schauen wir uns nun eine etwas komplexere Aufgabe an:

4x3y2+12x2y4x4\,x^{3}\,y^{2} + 12\,x^{2}\,y - 4\,x

Auch diese Terme können wir zunächst so aufschreiben, dass die gemeinsamen Faktoren der einzelnen Summanden leichter erkennbar sind. Der ggT\text{ggT} ist dann das Produkt dieser Faktoren.

22xxxyy+223xxy+22x\textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orange}{x} \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y + \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orange}{2} \cdot 3 \cdot \textcolor{orange}{x} \cdot x \cdot y + \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orange}{2} \cdot \textcolor{orange}{x}

Wir sehen, dass in allen Termen der Faktor 22 zweimal und der Faktor xx mindestens einmal vorkommt. Multiplizieren wir diese Faktoren, so erhalten wir 4x4\,x als ggT\text{ggT}.
Wir klammen aus:

4x3y2+12x2y4x=4x(x2y2+3xy1)\begin{array}{rl} &4\,x^{3}\,y^{2} + 12\,x^{2}\,y - 4\,x\\ =&4\,x\,\left(x^{2} \, y^{2} + 3\,x\,y -1 \right) \\ \end{array}

Nun ist erkennbar, warum man den ggT\text{ggT} ausklammert. Der Term mit ausgeklammertem ggT\text{ggT} ist deutlich übersichtlicher.
Mit etwas Übung findest du den ggT\text{ggT} auch, ohne alle Terme jedes Mal in ihre Einzelteile zu zerlegen. Aber es kann trotzdem hilfreich sein, diesen Schritt als Überprüfung zu nutzen.

Zusammenfassung: ggT ausklammern

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Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal zusammen, wie man den größtmöglichen Faktor verschiedener Terme ausklammern kann.

  • Der ggT\text{ggT} ist das Produkt der Faktoren, die alle Terme gemeinsam haben.
  • Mithilfe der Umkehrung des Distributivgesetzes können wir den ggT\text{ggT} ausklammern.
  • Dafür schreiben wir den ggT\text{ggT} vor die Klammer. Das, was beim Teilen der Terme durch den ggT\text{ggT} übrig bleibt, steht in der Klammer.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Übungen und Arbeitsblätter mit weiteren Beispielen zum Thema ggT\it{ggT} ausklammern.

Transkript Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers

Das ist Gina. Sie liebt es, draußen in der Natur Flöte zu spielen. Ginas Freundin Gabrielle skatet am liebsten im Skaterpark in der Stadt. Wow, die geht ja ab! Das ist Tim. Er verbringt am liebsten seine Zeit mit seinem Chamäleon Oskar. Drei Freunde also mit drei sehr unterschiedlichen Hobbys. Gina mag aber auch noch viele andere Dinge. Zum Beispiel Kreuzworträtsel, Töpfern, Malerei, Origami, Karaoke – eine wirklich lange Liste. Gabrielle mag außer zu skaten unter anderem auch noch Fotografie, Musik, Snowboarden, Snakeboarden, Filme – Eine ganze Menge an Hobbies! Tadeo interessiert sich noch fürs Zeichnen, für Schauspielerei, für Sudokus, für seine Insektensammlung, fürs Kaffeerösten, und und und. Die drei wollen etwas zusammen unternehmen, und zwar etwas, dass sie alle mögen. Aber wie sollen wir dieses gemeinsame Hobby herausfinden? Es ist so, als müssten wir den größten gemeinsamen Teiler finden, den GGT. Wir können also diese alltägliche Fragestellung mithilfe der Mathematik lösen. Mathematische Ausdrücke wie Polynome können vereinfacht werden, indem man den größten gemeinsamen Teiler ausklammert. Dazu nutzt man einfach die Umkehrung des Distributivgesetzes. Schauen wir uns ein Beispiel an: 4x + 28. Die 4 ist der größte gemeinsame Teiler beider Terme. Wir kehren also das Distributivgesetz um und klammern sie aus. Vor der Klammer steht der GGT. In der Klammer steht, was vom Ausdruck übrigbleibt, nachdem man alle Terme durch den GGT geteilt hat. Hier noch ein Beispiel: 4x2 + 28x. Das kannst du auch so schreiben: 4 mal x mal x + 4 mal 7 mal x. Hm, in beiden Termen kommt der Faktor 4 vor und mindestens ein x als Faktor. Wir können also die 4 ausklammern und auch ein x. Wir klammern also den GGT 4x aus und schreiben dann in die Klammer das, was von unserem Ausdruck übrigbleibt, wenn wir alle Terme durch diesen GGT geteilt haben. Denk dran, dein Ergebnis zu überprüfen. Und zwar mit dem Distributivgesetz. Sieht gut aus! Manchmal stellen Mathelehrer Aufgaben, die zunächst unlösbar erscheinen, es mit dem richtigen Lösungsweg aber gar nicht sind. Zum Beispiel die hier. Oh je, was für ein Brocken: 4x3y2 + 12x2y - 4x. 2 mal 2, mal x mal x mal x, mal y mal y plus 2 mal 2 mal 3, mal x mal x, mal y minus 2 mal 2, mal x. 4x ist der GGT. Klammern wir ihn also aus. Okay, das ist das Ergebnis: 4x mal das Trinom x2y2 + 3xy - 1. Wow, das war eine Menge Arbeit! Musst du jedes Mal jeden Term in seine Einzelteile zerlegen? Nein, wahrscheinlich findest du den GGT meistens auch, ohne das zu tun. Fassen wir zusammen: Um den größten gemeinsamen Teiler eines Polynoms zu finden, suchst du die Faktoren, die alle Terme des Polynoms gemeinsam haben. Zurück zu unseren drei Freunden. Haben sie ihr gemeinsames Hobby, also ihren GGT, gefunden? Gina und Tim mögen Sudokus, Gabrielle aber nicht. Das ist er also nicht. Aber sie mögen alle Karaoke. Das ist ihr Hobby-GGT. Aber über Musikgeschmack kann man sich bekanntlich streiten.

5 Kommentare
  1. ich finde Gina Cool weil sie ein Instrument spielt und ich spiele auch ein Instrument und zwar Geige .Tim finde ich auch Cool weil er Tiere liebt ich liebe auch Tiere

    Von Lea, vor 3 Monaten
  2. Ich lije team digital🙃

    Von V Mishev, vor mehr als 4 Jahren
  3. Hallo Rusch67, wenn du die -1 bei Zeitindex 4:03 meinst, kann ich dir helfen: Der ursprüngliche Term hatte 3 Glieder, nämlich 4x³y², 12x²y und -4x. Aus allen dreien kann man 4x herausziehen, beim letzten Term bleibt dann -1 übrig. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor mehr als 5 Jahren
  4. woher kommt die -1 im Beispiel

    Von Rusch67, vor mehr als 5 Jahren
  5. tolles viedeo ;ICH HABE ALLES FERSANDEN; DANKE

    Von Afra 1, vor fast 6 Jahren

Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers Übung

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