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Größter gemeinsamer Teiler 07:18 min

Textversion des Videos

Transkript Größter gemeinsamer Teiler

Lena Lagerfeuer plant einen Campingplatz und möchte dazu Plätze für Wohnmobile und Plätze für Zelte anlegen. Da sie pro Reihe die gleiche Anzahl an Stellplätzen haben möchte, muss sie sich mit dem größten gemeinsamen Teiler auskennen. Lena hat 16 Plätze für Wohnmobile und 24 Plätze für Zelte. Um herauszufinden, wie viele Plätze sie in eine Reihe bekommt, berechnen wir den größten gemeinsamen Teiler dieser Zahlen. Schauen wir uns dazu doch zunächst einmal an, welche Teiler diese Zahlen besitzen und betrachten die Teilermengen. Die Teilermenge einer gegebenen Zahl ist die Menge, in der alle Zahlen enthalten sind, durch die man die gegebene Zahl ohne Rest teilen kann. Die Teilermenge der 16 enthält also die Zahlen 1, 2, 4, 8, und 16. Und die der 24 enthält die 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24. Gemeinsame Teiler sind dann alle Teiler, die in beiden Mengen vorkommen. Hier sind die gemeinsamen Teiler also 1, 2, 4, und 8. Der größte gemeinsame Teiler, den wir mit ggT abkürzen, ist hier also die 8. Kurz schreiben wir das so. Wir sagen: der ggT von 16 und 24 ist 8. Lenas Zeltplatz könnte also SO aussehen. Aber was wäre, wenn ihr Zeltplatz größer wäre? Stellen wir uns vor, auf ihren Zeltplatz passen 36 Wohnmobile und 42 Zelte. Diesmal verwenden wir eine andere Möglichkeit der Bestimmung des ggTs und schreiben uns dazu NUR die Teilermenge der kleineren Zahl, also der 36 auf. Diese besteht aus 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36. Nun können wir überprüfen, welche dieser Zahlen auch Teiler der 42 sind. Da wir den größten gemeinsamen Teiler suchen, beginnen wir hier rechts, also beim größten Teiler der 36. Zur Überprüfung können uns die Multiplikationsreihen der jeweiligen Teiler helfen. Ist die 42 Teil dieser Reihe, dann ist die Zahl auch ein Teiler der 42. Wir betrachten dazu Vielfachenmengen der jeweiligen Zahlen, die wir mit V bezeichnen. Das erste Vielfache der 36 ist die 72. Die 36 kann also kein Teiler der 42 sein. Machen wir weiter mit der 18. Hier betrachten wir die Vielfachen 18, 36, und 54. Auch dies zeigt und, dass die 18 kein Teiler der 42 ist. Machen wir nun weiter bei der Multiplikationsreihe der 12 und der 9 so sehen wir, dass auch diese kein Teiler der 42 sind. Machen wir weiter bei der 6. Hier haben wir 12, 18, 24, 30, 36 und 42. Die 6 ist also ein Teiler der 42. Weil die 6 der erste gemeinsame Teiler ist, auf den wir gestoßen sind, ist der größte gemeinsame Teiler von 36 und 42 also 6. Es gibt noch eine dritte Möglichkeit den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen. Diese bietet sich vor allem an, wenn man größere Zahlen hat. Stellen wir uns hierzu vor, dass Lena 216 Plätze für Wohnmobile und 176 Plätze für Zelte hat. Wir verwenden zur Bestimmung des ggTs die Primfaktorzerlegung beider Zahlen. 216 ist gleich 2 mal 108 und das ist gleich 2 mal 2 mal 54. Dies ist wiederum 2 mal 2 mal 2 mal 27 und das ist das gleiche wie 2 mal 2 mal 2 mal 3 mal 9. Als Primfaktorzerlegung ergibt sich dann 2 mal 2 mal 2 mal 3 mal 3 mal 3. Führt man die Primfaktorzerlegung der 176 durch, so erhält man 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 11. Um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, multiplizieren wir die Primfaktoren, die beide Zerlegungen gemeinsam haben hier also 2 mal 2 mal 2. Der ggT von 216 und 176 ist also 8. Bevor die ersten Gäste eintrudeln, fassen wir zusammen. Wir haben drei verschiedene Möglichkeiten gesehen, wie man den ggT zweier bestimmen kann. Diese kann man auch auf die Bestimmung des ggTs mehrerer Zahlen anwenden. Bei der ersten Möglichkeit haben wir die Teilermengen der Zahlen betrachtet, die gemeinsamen Teiler gefunden und mithilfe dieser den größten gemeinsamen Teiler bestimmt. Eine andere Möglichkeit war es, die Teilermenge der größten Zahl zu ermitteln. Anhand dieser konnten wir überprüfen, welche Teiler auch Teiler der anderen Zahlen sind. Dabei haben wir bei dem größten Teiler begonnen. Den ggT kann man außerdem mithilfe der Primfaktorzerlegung finden, indem man die gemeinsamen Primfaktoren multipliziert. Ist der erste gemeinsame Teiler, den man findet, 1, so nennt man die Zahlen teilerfremd. Sie haben dann keine gemeinsamen Primfaktoren. Schauen wir doch mal, wie es mit den ersten Gästen so läuft. Oh! Die hat sie ja gar nicht eingeplant!

3 Kommentare
  1. Gut

    Von Sungsuncho7, vor 2 Monaten
  2. gut

    Von Max Hut, vor 3 Monaten
  3. Ich finde das Viedeo gut Erklärt,doch beim ggt könnte man doch einfach den 1Mal1 machen

    Von Nathaniel O., vor 3 Monaten

Größter gemeinsamer Teiler Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Größter gemeinsamer Teiler kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne den $\text{ggT}$ von $36$ und $42$.

    Tipps

    Du kannst den $\text{ggT}$ von $36$ und $42$ auf unterschiedliche Weisen bestimmen. Du kannst zum Beispiel die Teilermengen beider Zahlen aufschreiben. Der größte gemeinsame Teiler ist dann das größte Element der Schnittmenge der beiden Teilermengen.

    Du kannst den $\text{ggT}$ aber auch mittels Primfaktorzerlegung bestimmen. Schreibe dir dafür die Primfaktorzerlegungen von $36$ und $42$ auf. Der $\text{ggT}$ wird dann aus den gemeinsamen Primfaktoren gebildet.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • Die Teilermenge von $36$ ist die Menge $\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$, die Teilermenge von $42$ ist die Menge $\{1,2,3,6,7,14,21\}$. Das größte Element, das in beiden Mengen enthalten ist, ist die $6$. Also gilt $\text{ggT}(36,42)=6$.
    Der $\text{ggT}$ zweier Zahlen ist das größte Element, das in der Schnittmenge der Teilermengen enthalten ist.

    • Wir bilden die Primfaktorzerlegungen von $36$ und $42$ und erhalten $36 = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{3}$ und $42 = {2}\cdot{3}\cdot{7}$. Dann gilt $\text{ggT}(36,42)={2}\cdot{3}=6$.
    Da die gemeinsamen Primfaktoren von $36$ und $42$ die Zahlen $2$ und $3$ sind, gilt $\text{ggT}(36,42)={2}\cdot{3}=6$.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • Die Teilermenge von $36$ ist die Menge $\{1,2,3,6,8,12,18,36\}$, die Teilermenge von $42$ ist die Menge $\{1,2,3,6,7,8,14,21\}$. Das größte Element, das in beiden Mengen enthalten ist, ist die $8$. Also gilt $\text{ggT}(36,42)=8$.
    Die Teilermengen sind falsch. Da $8$ kein Teiler von $36$ und kein Teiler von $42$ ist, ist $8$ nicht in den Teilermengen enthalten. Das größte Element in der Schnittmenge der beiden Teilermengen ist $6$. Daher gilt $\text{ggT}(36,42)=6$.

    • Wir bilden die Primfaktorzerlegungen von $36$ und $42$ und erhalten $36={2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{3}\cdot{3}$ und $42 = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{7}$. Dann gilt $\text{ggT}(36,42)={2}\cdot{2}\cdot{3}=6$.
    Die Primfaktorzerlegungen sind falsch. Die Primfaktorzerlegung von $36$ ist $36 = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{3}$ und die von $42$ ist $42 = {2}\cdot{3}\cdot{7}$. Dann sind die gemeinsamen Primfaktoren $2$ und $3$ und wir erhalten $\text{ggT}(36,42)={2}\cdot{3}=6$.

  • Beschreibe das Vorgehen bei der Ermittlung des $\text{ggT}$.

    Tipps

    Eine Teilermenge enthält alle Zahlen, die die gegebene Zahl ohne Rest teilt.

    Beispielsweise ist die Teilermenge von $15$ die Menge $\{1,3,5,15\}$. Die Teilermenge von $5$ ist die Menge $\{1,5\}$.

    Der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist die größte Zahl, die die Teilermengen beider Zahlen gemeinsam haben.

    $\text{ggT}(5,15)=5$.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Damit Lena weiß, wie viele Reihen sie einplanen muss, muss sie den größten gemeinsamen Teiler, in Kurzform $\text{ggT}$, der Anzahl der Wohnmobile und der Anzahl der Zeltplätze bestimmen.“

    • Der $\text{ggT}$ zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt.
    „Lena schreibt sich zuerst die Teilermengen der beiden Zahlen auf. Die Teilermenge von $16$ ist die Menge $\{1, 2, 4, 8, 16\}$ und die Teilermenge von $24$ ist die Menge $\{1, 2, 3, 4, 8, 12, 24\}$.“

    • Die Teilermenge gibt alle Zahlen an, durch welche die ursprüngliche Zahl ohne Rest geteilt werden kann.
    „Der $\text{ggT}$ ist die größte Zahl, die in beiden Teilermengen enthalten ist. Der größte gemeinsame Teiler von $16$ und $24$ ist also $8$.“

    • Die Schnittmenge der beiden Teilermengen ist dabei die Menge $\{1, 2, 4, 8\}$ und das größte Element dieser Menge ist die $8$. Also ist $8$ der $\text{ggT}$ von $16$ und $24$.
  • Bestimme den $\text{ggT}(216,176)$ mittels Primfaktorzerlegung.

    Tipps

    Um die Primfaktorzerlegung zu bestimmen, betrachte zuerst die Hälfte der Zahl. Also beispielsweise $216 = {2}\cdot{108}$ und zerlege dann weiter $108$.

    Wir bestimmen die Primfaktorzerlegungen von $36$ und $42$. Wir erhalten $36 = {2}\cdot{18} = {2}\cdot{2}\cdot{9} = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{3}$ und $42 = {2}\cdot{21} = {2}\cdot{3}\cdot{7}$.

    Die gemeinsamen Primfaktoren sind $2$ und $3$. Somit ist der größte gemeinsamen Teiler von $36$ und $42$ die Zahl $6$, denn ${2}\cdot{3} = 6$.

    Lösung

    Zuerst berechnen wir die Primfaktorzerlegung von $216$. Wir erhalten:

    $\begin{array}{lll} \\ 216 &=& {2}\cdot{108} \\ &=& {2}\cdot{2}\cdot{54} \\ &=& {2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{27} \\ &=& {2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{9} \\ &=& {2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{3}\cdot{3} \\ \\ \end{array}$

    Da $2$ und $3$ Primzahlen sind, sind wir hier fertig. Nun berechnen wir die Primfaktorzerlegung von $176$. Wir erhalten:

    $\begin{array}{lll} \\ 176 &=& {2}\cdot{88} \\ &=& {2}\cdot{8}\cdot{11} \\ &=& {2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{11} \\ \\ \end{array}$

    Da $2$ und $11$ Primzahlen sind, sind wir hier ebenfalls fertig. Nun betrachten wir die gemeinsamen Primfaktoren der Zerlegungen. Diese lauten wie folgt:

    ${2}\cdot{2}\cdot{2} = 8$

    Also ist der größte gemeinsame Teiler von $216$ und $176$ die Zahl $8$. Das können wir wie folgt ausdrücken:

    $\text{ggT}(176, 216)=8$

  • Ermittle den größten gemeinsamen Teiler.

    Tipps

    Betrachten wir beispielsweise ein Blumenbeet, das $160\ \text{cm}$ lang und $80\ \text{cm}$ breit ist. Berechnen wir den $\text{ggT}(160,80)$, so gibt uns dieser den höchstmöglichen Abstand der Zaunpfosten voneinander an, sodass alle Pfosten im gleichen Abstand zueinander stehen. Wollen wir dann die Anzahl der Pfosten bestimmen, so müssen wir den Umfang des Beetes durch den Abstand teilen.

    Da es sich jeweils um relativ große Zahlen handelt, empfiehlt es sich, den $\text{ggT}$ mittels Primfaktorzerlegung zu bestimmen.

    Lösung

    • Blumenbeet 1:
    Abstand der Pfosten:

    Wir bestimmen zuerst den $\text{ggT}$ von $140$ und $84$ mittels Primfaktorzerlegung. Wir erhalten

    • $140 = {2}\cdot{2}\cdot{5}\cdot{7}$ und
    • $84 = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{7}$.
    Das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren ist dann ${2}\cdot{2}\cdot{7} = 28=\text{ggT}(140,84)$.

    Der Abstand der Pfosten beträgt somit $28\ \text{cm}$.

    Anzahl der Pfosten:

    Um zu berechnen, wie viele Pfosten Lena benötigt, müssen wir den Umfang des Beetes durch $28\ \text{cm}$ teilen. Da das Beet rechteckig ist, wird der Umfang $\text{U}$ wie folgt berechnet: $\text{U} = {2}\cdot({\text{Länge+Breite}})$. Wir erhalten $\text{U} = {2}\cdot({140\ \text{cm} + 84\ \text{cm}}) = 448\ \text{cm}$ und $\frac{448\ \text{cm}}{28\ \text{cm}} = 16$.

    Somit benötigt Lena $16$ Zaunpfosten.

    • Blumenbeet 2:
    Abstand der Pfosten:

    Wie oben bestimmen wir $\text{ggT}(160,32)$ mittels Primfaktorzerlegung. Wir erhalten

    • $160={2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{5}$ und
    • $32={2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}$.
    Daher gilt $\text{ggT}(160,32)={2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}=32$.

    Der Abstand der Pfosten beträgt somit $32\ \text{cm}$.

    Zur Berechnung der Anzahl der Pfosten teilen wir den Umfang des Beetes durch $32\ \text{cm}$. Der Umfang des Beetes ist

    $\text{U} = {2}\cdot({160\ \text{cm} + 32\ \text{cm}}) = 384\ \text{cm}$.

    Wir erhalten daher $\frac{384\ \text{cm}}{32\ \text{cm}} = 12$. Somit benötigt Lena $12$ Zaunpfosten für das zweite Beet.

    • Blumenbeet 3:
    Abstand der Pfosten:

    Wir berechnen erneut $\text{ggT}(150,75)$. Wir erhalten die Primfaktorzerlegungen

    • $150={2}\cdot{3}\cdot{5}\cdot{5}$ und
    • $75={3}\cdot{5}\cdot{5}$.
    und es gilt $\text{ggT}(150,75)={3}\cdot{5}\cdot{5}=75$. Der Abstand der Pfosten beträgt somit $75\ \text{cm}$.

    Anzahl der Pfosten:

    Für die Berechnung der Anzahl der Pfosten ermitteln wir erneut den Umfang des Beetes. Wir erhalten

    $\text{U} = {2}\cdot({150\ \text{cm} + 75\ \text{cm}}) = 450\ \text{cm}$. Teilen wir den Umfang des Beetes durch $75$, so erhalten wir $\frac{450\ \text{cm}}{75\ \text{cm}} = 6$. Somit benötigt Lena $6$ Zaunpfosten.

  • Ordne den Zahlenpaaren den richtigen $\text{ggT}$ zu.

    Tipps

    Die Primfaktorzerlegung einer Primzahl ist immer die Zahl selbst.

    Der $\text{ggT}$ zweier Primzahlen ist $1$.

    Lösung

    Wir berechnen die größten gemeinsamen Teiler der Zahlenpaare mittels Primfaktorzerlegung.

    $\text{ggT}(13,11)=1$:

    • Da $13$ und $11$ Primzahlen sind, sind ihre Primfaktorzerlegungen die Zahlen selbst. Daher haben sie keine gemeinsamen Primfaktoren. Daher ist die einzige Zahl, die beide Zahlen teilt, die $1$.
    Also gilt $\text{ggT}(13,11)=1$.
    • Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler $1$ ist, nennt man außerdem teilerfremd. Würden wir hier den $\text{ggT}$ bestimmen, indem wir die Teilermengen der Zahlen betrachten, so würden wir feststellen, dass das einzige Element in der Schnittmenge der beiden Teilermengen die $1$ ist.

    $\text{ggT}(7,77)=7$:

    • Da $7$ eine Primzahl ist, lautet die Primfaktorzerlegung $7={7}\cdot{1}$. Außerdem gilt $77={7}\cdot{11}$ und damit ist der gemeinsame Primfaktor $7$.
    Also gilt $\text{ggT}(7,77)=7$.

    $\text{ggT}(824,24)=8$:

    • Die Primfaktorzerlegungen sind $824={2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{103}$ und $24={2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{3}$. Damit sind die gemeinsamen Primfaktoren ${2}\cdot{2}\cdot{2}=8$. Also gilt $\text{ggT}(824,24)=8$.

    $\text{ggT}(39,91)=13$:

    • Die Primfaktorzerlegungen sind $39={3}\cdot{13}$ und $91={7}\cdot{13}$. Der gemeinsame Primfaktor ist $13$ und daher gilt $\text{ggT}(39,91)=13$.

  • Ermittle den größten gemeinsamen Teiler.

    Tipps

    Du hast nun zwei Möglichkeiten:

    1. Bestimme von jeder einzelnen Zahl die Primfaktorzerlegung.
    2. Bestimme von jeder einzelnen Zahl die Teilermenge.

    Den $\text{ ggT}$ bestimmst du dann wie folgt:

    1. Der $\text{ggT}$ ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren.
    2. Der $\text{ggT}$ ist das größte gemeinsame Element der Schnittmenge aller Teilermengen.
    Lösung
    • Wir berechnen zuerst $\text{ggT}(54,18)$:
    Bilden wir die Primfaktorzerlegungen, so erhalten wir
    • $54={2}\cdot{3}\cdot{3}\cdot{3}$ und
    • $18={2}\cdot{3}\cdot{3}$.
    Die gemeinsamen Primfaktoren sind dann $2$ und $3$ und wir erhalten daher $\text{ggT}(54,18)={2}\cdot{3}\cdot{3}=18$.

    Wir können jedoch $\text{ggT}(54,18)$ auch bestimmen, indem wir die Teilermengen von $54$ und $18$ betrachten. Wir erhalten die Teilermengen

    • $\{1,2,3,6,9,18,27,54\}$ von $54$ und die Teilermenge
    • $\{1,2,3,6,9,18\}$ von $18$.
    Das größte Element in der Schnittmenge der beiden Teilermengen ist $18$, daher ist $\text{ggT}(54,18)=18$.

    • Wir berechnen $\text{ggT}(35,175)$:
    Wir bilden die Primfaktorzerlegungen und erhalten
    • $35={5}\cdot{7}$ und
    • $175={5}\cdot{5}\cdot{7}$.
    Die gemeinsamen Primfaktoren sind $5$ und $7$ und wir erhalten $\text{ggT}(35,175)={5}\cdot{7}=35$.

    Die Teilermengen von $35$ und $175$ sind die Mengen

    • $\{1,5,7,35\}$ und
    • $\{1,5,7,25,35,175\}$.
    Daher ist $\text{ggT}(35,175)={5}\cdot{7}=35$.

    • Wir berechnen $\text{ggT}(52,12)$:
    Die Primfaktorzerlegungen sind
    • $52={2}\cdot{2}\cdot{13}$,
    • $12={2}\cdot{2}\cdot{3}$
    und wir erhalten daher $\text{ggT}(52,12)={2}\cdot{2}$.

    Die Teilermengen von $52$ und $12$ sind die Mengen

    • $\{1,2,4,13,26,52\}$ und
    • $\{1,2,3,4,6,12\}$.
    Das größte Element in der Schnittmenge der Teilermengen ist $4$ und daher gilt $\text{ggT}(52,12)=4$.

    • Wir berechnen $\text{ggT}(40,36,84)$:
    Die Primfaktorzerlegungen sind
    • $40 = {2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{5}$
    • $36 = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{3}$
    • $84 = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{7}$.
    Daher gilt $\text{ggT}(40,36,84)=4$.

    Als Teilermengen erhalten wir

    • $\{1,2,4,5,8,10,20,40\}$ von $40$,
    • $\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$ von $36$ und
    • $\{1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84\}$ von $84$.
    Daher gilt $\text{ggT}(40,36,84)=4$.