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Größter gemeinsamer Teiler

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Team Digital
Größter gemeinsamer Teiler
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Größter gemeinsamer Teiler

Inhalt

Größter gemeinsamer Teiler – Mathe

Lena Lagerfeuer plant einen Campingplatz und möchte dafür Plätze für Wohnmobile und Plätze für Zelte anlegen. Da sie pro Reihe dieselbe Anzahl an Stellplätzen haben möchte, muss sie sich mit dem größten gemeinsamen Teiler auskennen. Was der größte gemeinsame Teiler ist, wird im Folgenden genauer erklärt.


Größter gemeinsamer Teiler – Erklärung

Lena hat $16$ Plätze für Wohnmobile und $24$ Plätze für Zelte. Um herauszufinden, wie viele Plätze sie in eine Reihe bekommt, berechnen wir den größten gemeinsamen Teiler dieser Zahlen. Schauen wir uns dafür zunächst an, welche Teiler diese beiden Zahlen besitzen. Diese Teiler bilden die Teilermengen.

  • Die Teilermenge einer gegebenen Zahl ist die Menge aller Zahlen, durch die man die gegebene Zahl ohne Rest teilen kann.

Die Teilermenge der $16$ schreiben wir als $T_{16}$. Sie enthält die Zahlen:

$T_{16} = \lbrace 1, 2, 4, 8, 16 \rbrace$

Die Teilermenge der $24$ schreiben wir als $T_{24}$. Sie enthält die Zahlen:

$T_{24} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \rbrace$

Gemeinsame Teiler der beiden Zahlen sind alle Teiler, die in beiden Mengen vorkommen. Die gemeinsamen Teiler der Zahlen $16$ und $24$ sind $1$, $2$, $4$ und $8$.

Der größte gemeinsame Teiler wird mit $ggT$ abgekürzt und ist in diesem Fall die $8$. Wir schreiben das als:

$ggT(16, 24) = 8$

Wir sagen: Der größte gemeinsame Teiler von $16$ und $24$ ist $8$. Die Definition für den größten gemeinsamen Teiler lautet also:

  • Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch welche beide Zahlen ohne Rest teilbar sind. Ist der einzige gemeinsame Teiler die $1$, so nennt man die Zahlen teilerfremd.


Größten gemeinsamen Teiler bestimmen

Lena könnte also $8$ Plätze pro Reihe anlegen. Stellen wir uns jetzt vor, dass ihr Zeltplatz größer wäre und sie Platz für $36$ Wohnmobile und $42$ Zelte hätte. Wir schauen uns eine zweite Möglichkeit zur Bestimmung des $ggT$ an. Dafür notieren wir zunächst nur die Teilermenge der kleineren Zahl.

$T_{36} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \rbrace $

Nun wird überprüft, welche dieser Zahlen auch Teiler der $42$ sind. Da wir den größten gemeinsamen Teiler suchen, beginnen wir mit dem größten Teiler der $36$. Zur Überprüfung können uns die Multiplikationsreihen der jeweiligen Teiler helfen. Ist die $42$ Teil dieser Reihe, dann ist die Zahl auch ein Teiler der $42$. Wir betrachten dazu Vielfachenmengen der jeweiligen Teiler. Diese bezeichnen wir mit $V$.

$V_{36} = \lbrace 36, 72, … \rbrace $

Das erste Vielfache der $36$ ist die $72$. Diese ist bereits größer als die $42$. Daraus können wir schließen, dass die $36$ kein Teiler der $42$ ist. Fahren wir mit der $18$ fort.

$V_{18} = \lbrace 18, 36, 54, … \rbrace $

Dies zeigt uns, dass die $18$ kein Teiler der $42$ ist. Auch die $12$ ist kein Teiler der $42$, genauso wie die $9$, denn die Vielfachenmengen $V_{12}$ und $V_9$ enthalten beide nicht die $42$.

$V_{12} = \lbrace 12, 24, 36, 48, … \rbrace $

$V_{9} = \lbrace 9, 18, 27, 36, 45, … \rbrace $

Betrachten wir als Nächstes die Vielfachenmenge der $6$.

$V_6 = \lbrace 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, … \rbrace $

Die $6$ ist ein Teiler der $42$. Da die $6$ der erste gemeinsame Teiler ist, auf den wir gestoßen sind, ist sie der größte gemeinsame Teiler von $36$ und $42$.

$ggT(36,42) = 6$


Größten gemeinsamen Teiler mit Primfaktorzerlegung bestimmen

Es gibt noch eine dritte Möglichkeit, den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen. Diese bietet sich vor allem bei größeren Zahlen an. Stellen wir uns hierfür vor, dass Lena $216$ Plätze für Wohnmobile und $176$ Plätze für Zelte hat. Wir verwenden für die Bestimmung des $ggT$ die Primfaktorzerlegung beider Zahlen.

$216 = 2 \cdot 108 = 2 \cdot 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

$176 = 2 \cdot 88 = 2 \cdot 2 \cdot 44 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 22 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11$

Um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, multiplizieren wir die Primfaktoren, die beide Zerlegungen gemeinsam haben.

$ggT(216,176) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Der größte gemeinsame Teiler von $216$ und $176$ ist $8$.

Zusammenfassung – größter gemeinsamer Teiler

Die folgenden Stichpunkte fassen das Wichtigste zum Thema größter gemeinsamer Teiler noch einmal zusammen.

  • Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch welche beide Zahlen ohne Rest teilbar sind.
  • Die Abkürzung für den größten gemeinsamen Teiler lautet $ggT$.
  • Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den $ggT$ zweier Zahlen zu bestimmen.
  • Alle Möglichkeiten lassen sich auch für die Bestimmung des $ggT$ mehrerer Zahlen anwenden.
  • Möglichkeit $1$: Betrachte die Teilermengen beider Zahlen, suche gemeinsame Teiler heraus und bestimme den $ggT$.
  • Möglichkeit $2$: Notiere die Teilermenge der kleineren Zahl und finde mithilfe der Vielfachen der Teiler heraus, welche Zahlen auch Teiler der größeren Zahl sind. Beginne mit dem größten Teiler der kleineren Zahl. Der erste gemeinsame Teiler ist dann zugleich der $ggT$.
  • Möglichkeit $3$: Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren und multipliziere die gemeinsamen Primfaktoren, um den $ggT$ zu erhalten.
  • Ist der einzige gemeinsame Teiler die $1$, so nennt man die Zahlen teilerfremd.

Weitere Beispiele zum größten gemeinsamen Teiler findest du hier auf der Seite. Es sind Arbeitsblätter mit Aufgaben und Übungen zum Thema größter gemeinsamer Teiler vorhanden.

Transkript Größter gemeinsamer Teiler

Lena Lagerfeuer plant einen Campingplatz und möchte dazu Plätze für Wohnmobile und Plätze für Zelte anlegen. Da sie pro Reihe die gleiche Anzahl an Stellplätzen haben möchte, muss sie sich mit dem größten gemeinsamen Teiler auskennen. Lena hat 16 Plätze für Wohnmobile und 24 Plätze für Zelte. Um herauszufinden, wie viele Plätze sie in eine Reihe bekommt, berechnen wir den größten gemeinsamen Teiler dieser Zahlen. Schauen wir uns dazu doch zunächst einmal an, welche Teiler diese Zahlen besitzen und betrachten die Teilermengen. Die Teilermenge einer gegebenen Zahl ist die Menge, in der alle Zahlen enthalten sind, durch die man die gegebene Zahl ohne Rest teilen kann. Die Teilermenge der 16 enthält also die Zahlen 1, 2, 4, 8, und 16. Und die der 24 enthält die 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24. Gemeinsame Teiler sind dann alle Teiler, die in beiden Mengen vorkommen. Hier sind die gemeinsamen Teiler also 1, 2, 4, und 8. Der größte gemeinsame Teiler, den wir mit ggT abkürzen, ist hier also die 8. Kurz schreiben wir das so. Wir sagen: der ggT von 16 und 24 ist 8. Lenas Zeltplatz könnte also SO aussehen. Aber was wäre, wenn ihr Zeltplatz größer wäre? Stellen wir uns vor, auf ihren Zeltplatz passen 36 Wohnmobile und 42 Zelte. Diesmal verwenden wir eine andere Möglichkeit der Bestimmung des ggTs und schreiben uns dazu NUR die Teilermenge der kleineren Zahl, also der 36 auf. Diese besteht aus 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36. Nun können wir überprüfen, welche dieser Zahlen auch Teiler der 42 sind. Da wir den größten gemeinsamen Teiler suchen, beginnen wir hier rechts, also beim größten Teiler der 36. Zur Überprüfung können uns die Multiplikationsreihen der jeweiligen Teiler helfen. Ist die 42 Teil dieser Reihe, dann ist die Zahl auch ein Teiler der 42. Wir betrachten dazu Vielfachenmengen der jeweiligen Zahlen, die wir mit V bezeichnen. Das erste Vielfache der 36 ist die 72. Die 36 kann also kein Teiler der 42 sein. Machen wir weiter mit der 18. Hier betrachten wir die Vielfachen 18, 36, und 54. Auch dies zeigt und, dass die 18 kein Teiler der 42 ist. Machen wir nun weiter bei der Multiplikationsreihe der 12 und der 9 so sehen wir, dass auch diese kein Teiler der 42 sind. Machen wir weiter bei der 6. Hier haben wir 12, 18, 24, 30, 36 und 42. Die 6 ist also ein Teiler der 42. Weil die 6 der erste gemeinsame Teiler ist, auf den wir gestoßen sind, ist der größte gemeinsame Teiler von 36 und 42 also 6. Es gibt noch eine dritte Möglichkeit den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen. Diese bietet sich vor allem an, wenn man größere Zahlen hat. Stellen wir uns hierzu vor, dass Lena 216 Plätze für Wohnmobile und 176 Plätze für Zelte hat. Wir verwenden zur Bestimmung des ggTs die Primfaktorzerlegung beider Zahlen. 216 ist gleich 2 mal 108 und das ist gleich 2 mal 2 mal 54. Dies ist wiederum 2 mal 2 mal 2 mal 27 und das ist das gleiche wie 2 mal 2 mal 2 mal 3 mal 9. Als Primfaktorzerlegung ergibt sich dann 2 mal 2 mal 2 mal 3 mal 3 mal 3. Führt man die Primfaktorzerlegung der 176 durch, so erhält man 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 11. Um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, multiplizieren wir die Primfaktoren, die beide Zerlegungen gemeinsam haben hier also 2 mal 2 mal 2. Der ggT von 216 und 176 ist also 8. Bevor die ersten Gäste eintrudeln, fassen wir zusammen. Wir haben drei verschiedene Möglichkeiten gesehen, wie man den ggT zweier bestimmen kann. Diese kann man auch auf die Bestimmung des ggTs mehrerer Zahlen anwenden. Bei der ersten Möglichkeit haben wir die Teilermengen der Zahlen betrachtet, die gemeinsamen Teiler gefunden und mithilfe dieser den größten gemeinsamen Teiler bestimmt. Eine andere Möglichkeit war es, die Teilermenge der größten Zahl zu ermitteln. Anhand dieser konnten wir überprüfen, welche Teiler auch Teiler der anderen Zahlen sind. Dabei haben wir bei dem größten Teiler begonnen. Den ggT kann man außerdem mithilfe der Primfaktorzerlegung finden, indem man die gemeinsamen Primfaktoren multipliziert. Ist der erste gemeinsame Teiler, den man findet, 1, so nennt man die Zahlen teilerfremd. Sie haben dann keine gemeinsamen Primfaktoren. Schauen wir doch mal, wie es mit den ersten Gästen so läuft. Oh! Die hat sie ja gar nicht eingeplant!

28 Kommentare

28 Kommentare
  1. Ich versteh nicht was das mit den Wohnmobile und Zelte auf sich hat, und mir persönlich ist das Tempo auch etwas zu schnell. Aber ansonsten ist es ganz ok.

    Von F. Jeon, vor etwa 10 Stunden
  2. Super Erklärung tolle Beispiele werde ich auf jedem fall meinen Mitschülern weiter empfehlen :-)

    Von Hannah, vor 2 Monaten
  3. Sehr gut👌👌

    Von Paul, vor 3 Monaten
  4. Sehr hilfreich danke

    Von Maus, vor 3 Monaten
  5. und sehr hilfreich danke :)

    Von Sarah, vor 3 Monaten
Mehr Kommentare

Größter gemeinsamer Teiler Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Größter gemeinsamer Teiler kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen bei der Ermittlung des $\text{ggT}$.

    Tipps

    Eine Teilermenge enthält alle Zahlen, die die gegebene Zahl ohne Rest teilt.

    Beispielsweise ist die Teilermenge von $15$ die Menge $\{1,3,5,15\}$. Die Teilermenge von $5$ ist die Menge $\{1,5\}$.

    Der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist die größte Zahl, die die Teilermengen beider Zahlen gemeinsam haben.

    $\text{ggT}(5,15)=5$.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Damit Lena weiß, wie viele Reihen sie einplanen muss, muss sie den größten gemeinsamen Teiler, in Kurzform $\text{ggT}$, der Anzahl der Wohnmobile und der Anzahl der Zeltplätze bestimmen.“

    • Der $\text{ggT}$ zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide Zahlen ohne Rest teilt.
    „Lena schreibt sich zuerst die Teilermengen der beiden Zahlen auf. Die Teilermenge von $16$ ist die Menge $\{1, 2, 4, 8, 16\}$ und die Teilermenge von $24$ ist die Menge $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$.“

    • Die Teilermenge gibt alle Zahlen an, durch welche die ursprüngliche Zahl ohne Rest geteilt werden kann.
    „Der $\text{ggT}$ ist die größte Zahl, die in beiden Teilermengen enthalten ist. Der größte gemeinsame Teiler von $16$ und $24$ ist also $8$.“

    • Die Schnittmenge der beiden Teilermengen ist dabei die Menge $\{1, 2, 4, 8\}$ und das größte Element dieser Menge ist die $8$. Also ist $8$ der $\text{ggT}$ von $16$ und $24$.
  • Bestimme den $\text{ggT}(216,176)$ mittels Primfaktorzerlegung.

    Tipps

    Um die Primfaktorzerlegung zu bestimmen, betrachte zuerst die Hälfte der Zahl. Also beispielsweise $216 = {2}\cdot{108}$ und zerlege dann weiter $108$.

    Wir bestimmen die Primfaktorzerlegungen von $36$ und $42$. Wir erhalten $36 = {2}\cdot{18} = {2}\cdot{2}\cdot{9} = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{3}$ und $42 = {2}\cdot{21} = {2}\cdot{3}\cdot{7}$.

    Die gemeinsamen Primfaktoren sind $2$ und $3$. Somit ist der größte gemeinsamen Teiler von $36$ und $42$ die Zahl $6$, denn ${2}\cdot{3} = 6$.

    Lösung

    Zuerst berechnen wir die Primfaktorzerlegung von $216$. Wir erhalten:

    $\begin{array}{lll} \\ 216 &=& {2}\cdot{108} \\ &=& {2}\cdot{2}\cdot{54} \\ &=& {2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{27} \\ &=& {2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{9} \\ &=& {2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{3}\cdot{3} \\ \\ \end{array}$

    Da $2$ und $3$ Primzahlen sind, sind wir hier fertig. Nun berechnen wir die Primfaktorzerlegung von $176$. Wir erhalten:

    $\begin{array}{lll} \\ 176 &=& {2}\cdot{88} \\ &=& {2}\cdot{8}\cdot{11} \\ &=& {2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{11} \\ \\ \end{array}$

    Da $2$ und $11$ Primzahlen sind, sind wir hier ebenfalls fertig. Nun betrachten wir die gemeinsamen Primfaktoren der Zerlegungen. Diese lauten wie folgt:

    ${2}\cdot{2}\cdot{2} = 8$

    Also ist der größte gemeinsame Teiler von $216$ und $176$ die Zahl $8$. Das können wir wie folgt ausdrücken:

    $\text{ggT}(176, 216)=8$

  • Ordne den Zahlenpaaren den richtigen $\text{ggT}$ zu.

    Tipps

    Die Primfaktorzerlegung einer Primzahl ist immer die Zahl selbst.

    Der $\text{ggT}$ zweier Primzahlen ist $1$.

    Lösung

    Wir berechnen die größten gemeinsamen Teiler der Zahlenpaare mittels Primfaktorzerlegung.

    $\text{ggT}(13,11)=1$:

    • Da $13$ und $11$ Primzahlen sind, sind ihre Primfaktorzerlegungen die Zahlen selbst. Daher haben sie keine gemeinsamen Primfaktoren. Daher ist die einzige Zahl, die beide Zahlen teilt, die $1$.
    Also gilt $\text{ggT}(13,11)=1$.
    • Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler $1$ ist, nennt man außerdem teilerfremd. Würden wir hier den $\text{ggT}$ bestimmen, indem wir die Teilermengen der Zahlen betrachten, so würden wir feststellen, dass das einzige Element in der Schnittmenge der beiden Teilermengen die $1$ ist.

    $\text{ggT}(7,77)=7$:

    • Da $7$ eine Primzahl ist, lautet die Primfaktorzerlegung $7={7}\cdot{1}$. Außerdem gilt $77={7}\cdot{11}$ und damit ist der gemeinsame Primfaktor $7$.
    Also gilt $\text{ggT}(7,77)=7$.

    $\text{ggT}(824,24)=8$:

    • Die Primfaktorzerlegungen sind $824={2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{103}$ und $24={2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{3}$. Damit sind die gemeinsamen Primfaktoren ${2}\cdot{2}\cdot{2}=8$. Also gilt $\text{ggT}(824,24)=8$.

    $\text{ggT}(39,91)=13$:

    • Die Primfaktorzerlegungen sind $39={3}\cdot{13}$ und $91={7}\cdot{13}$. Der gemeinsame Primfaktor ist $13$ und daher gilt $\text{ggT}(39,91)=13$.

  • Ermittle den größten gemeinsamen Teiler.

    Tipps

    Du hast nun zwei Möglichkeiten:

    1. Bestimme von jeder einzelnen Zahl die Primfaktorzerlegung.
    2. Bestimme von jeder einzelnen Zahl die Teilermenge.

    Den $\text{ ggT}$ bestimmst du dann wie folgt:

    1. Der $\text{ggT}$ ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren.
    2. Der $\text{ggT}$ ist das größte gemeinsame Element der Schnittmenge aller Teilermengen.
    Lösung
    • Wir berechnen zuerst $\text{ggT}(54,18)$:
    Bilden wir die Primfaktorzerlegungen, so erhalten wir
    • $54={2}\cdot{3}\cdot{3}\cdot{3}$ und
    • $18={2}\cdot{3}\cdot{3}$.
    Die gemeinsamen Primfaktoren sind dann $2$ und $3$ und wir erhalten daher $\text{ggT}(54,18)={2}\cdot{3}\cdot{3}=18$.

    Wir können jedoch $\text{ggT}(54,18)$ auch bestimmen, indem wir die Teilermengen von $54$ und $18$ betrachten. Wir erhalten die Teilermengen

    • $\{1,2,3,6,9,18,27,54\}$ von $54$ und die Teilermenge
    • $\{1,2,3,6,9,18\}$ von $18$.
    Das größte Element in der Schnittmenge der beiden Teilermengen ist $18$, daher ist $\text{ggT}(54,18)=18$.

    • Wir berechnen $\text{ggT}(35,175)$:
    Wir bilden die Primfaktorzerlegungen und erhalten
    • $35={5}\cdot{7}$ und
    • $175={5}\cdot{5}\cdot{7}$.
    Die gemeinsamen Primfaktoren sind $5$ und $7$ und wir erhalten $\text{ggT}(35,175)={5}\cdot{7}=35$.

    Die Teilermengen von $35$ und $175$ sind die Mengen

    • $\{1,5,7,35\}$ und
    • $\{1,5,7,25,35,175\}$.
    Daher ist $\text{ggT}(35,175)={5}\cdot{7}=35$.

    • Wir berechnen $\text{ggT}(52,12)$:
    Die Primfaktorzerlegungen sind
    • $52={2}\cdot{2}\cdot{13}$,
    • $12={2}\cdot{2}\cdot{3}$
    und wir erhalten daher $\text{ggT}(52,12)={2}\cdot{2}$.

    Die Teilermengen von $52$ und $12$ sind die Mengen

    • $\{1,2,4,13,26,52\}$ und
    • $\{1,2,3,4,6,12\}$.
    Das größte Element in der Schnittmenge der Teilermengen ist $4$ und daher gilt $\text{ggT}(52,12)=4$.

    • Wir berechnen $\text{ggT}(40,36,84)$:
    Die Primfaktorzerlegungen sind
    • $40 = {2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{5}$
    • $36 = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{3}$
    • $84 = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{7}$.
    Daher gilt $\text{ggT}(40,36,84)=4$.

    Als Teilermengen erhalten wir

    • $\{1,2,4,5,8,10,20,40\}$ von $40$,
    • $\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$ von $36$ und
    • $\{1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84\}$ von $84$.
    Daher gilt $\text{ggT}(40,36,84)=4$.

  • Berechne den $\text{ggT}$ von $36$ und $42$.

    Tipps

    Du kannst den $\text{ggT}$ von $36$ und $42$ auf unterschiedliche Weisen bestimmen. Du kannst zum Beispiel die Teilermengen beider Zahlen aufschreiben. Der größte gemeinsame Teiler ist dann das größte Element der Schnittmenge der beiden Teilermengen.

    Du kannst den $\text{ggT}$ aber auch mittels Primfaktorzerlegung bestimmen. Schreibe dir dafür die Primfaktorzerlegungen von $36$ und $42$ auf. Der $\text{ggT}$ wird dann aus den gemeinsamen Primfaktoren gebildet.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • Die Teilermenge von $36$ ist die Menge $\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$, die Teilermenge von $42$ ist die Menge $\{1,2,3,6,7,14,21\}$. Das größte Element, das in beiden Mengen enthalten ist, ist die $6$. Also gilt $\text{ggT}(36,42)=6$.
    Der $\text{ggT}$ zweier Zahlen ist das größte Element, das in der Schnittmenge der Teilermengen enthalten ist.

    • Wir bilden die Primfaktorzerlegungen von $36$ und $42$ und erhalten $36 = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{3}$ und $42 = {2}\cdot{3}\cdot{7}$. Dann gilt $\text{ggT}(36,42)={2}\cdot{3}=6$.
    Da die gemeinsamen Primfaktoren von $36$ und $42$ die Zahlen $2$ und $3$ sind, gilt $\text{ggT}(36,42)={2}\cdot{3}=6$.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • Die Teilermenge von $36$ ist die Menge $\{1,2,3,6,8,12,18,36\}$, die Teilermenge von $42$ ist die Menge $\{1,2,3,6,7,8,14,21\}$. Das größte Element, das in beiden Mengen enthalten ist, ist die $8$. Also gilt $\text{ggT}(36,42)=8$.
    Die Teilermengen sind falsch. Da $8$ kein Teiler von $36$ und kein Teiler von $42$ ist, ist $8$ nicht in den Teilermengen enthalten. Das größte Element in der Schnittmenge der beiden Teilermengen ist $6$. Daher gilt $\text{ggT}(36,42)=6$.

    • Wir bilden die Primfaktorzerlegungen von $36$ und $42$ und erhalten $36={2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{3}\cdot{3}$ und $42 = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{7}$. Dann gilt $\text{ggT}(36,42)={2}\cdot{2}\cdot{3}=6$.
    Die Primfaktorzerlegungen sind falsch. Die Primfaktorzerlegung von $36$ ist $36 = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{3}$ und die von $42$ ist $42 = {2}\cdot{3}\cdot{7}$. Dann sind die gemeinsamen Primfaktoren $2$ und $3$ und wir erhalten $\text{ggT}(36,42)={2}\cdot{3}=6$.

  • Ermittle den größten gemeinsamen Teiler.

    Tipps

    Betrachten wir beispielsweise ein Blumenbeet, das $160\ \text{cm}$ lang und $80\ \text{cm}$ breit ist. Berechnen wir den $\text{ggT}(160,80)$, so gibt uns dieser den höchstmöglichen Abstand der Zaunpfosten voneinander an, sodass alle Pfosten im gleichen Abstand zueinander stehen. Wollen wir dann die Anzahl der Pfosten bestimmen, so müssen wir den Umfang des Beetes durch den Abstand teilen.

    Da es sich jeweils um relativ große Zahlen handelt, empfiehlt es sich, den $\text{ggT}$ mittels Primfaktorzerlegung zu bestimmen.

    Lösung

    • Blumenbeet 1:
    Abstand der Pfosten:

    Wir bestimmen zuerst den $\text{ggT}$ von $140$ und $84$ mittels Primfaktorzerlegung. Wir erhalten

    • $140 = {2}\cdot{2}\cdot{5}\cdot{7}$ und
    • $84 = {2}\cdot{2}\cdot{3}\cdot{7}$.
    Das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren ist dann ${2}\cdot{2}\cdot{7} = 28=\text{ggT}(140,84)$.

    Der Abstand der Pfosten beträgt somit $28\ \text{cm}$.

    Anzahl der Pfosten:

    Um zu berechnen, wie viele Pfosten Lena benötigt, müssen wir den Umfang des Beetes durch $28\ \text{cm}$ teilen. Da das Beet rechteckig ist, wird der Umfang $\text{U}$ wie folgt berechnet: $\text{U} = {2}\cdot({\text{Länge+Breite}})$. Wir erhalten $\text{U} = {2}\cdot({140\ \text{cm} + 84\ \text{cm}}) = 448\ \text{cm}$ und $\frac{448\ \text{cm}}{28\ \text{cm}} = 16$.

    Somit benötigt Lena $16$ Zaunpfosten.

    • Blumenbeet 2:
    Abstand der Pfosten:

    Wie oben bestimmen wir $\text{ggT}(160,32)$ mittels Primfaktorzerlegung. Wir erhalten

    • $160={2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{5}$ und
    • $32={2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}$.
    Daher gilt $\text{ggT}(160,32)={2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{2}=32$.

    Der Abstand der Pfosten beträgt somit $32\ \text{cm}$.

    Zur Berechnung der Anzahl der Pfosten teilen wir den Umfang des Beetes durch $32\ \text{cm}$. Der Umfang des Beetes ist

    $\text{U} = {2}\cdot({160\ \text{cm} + 32\ \text{cm}}) = 384\ \text{cm}$.

    Wir erhalten daher $\frac{384\ \text{cm}}{32\ \text{cm}} = 12$. Somit benötigt Lena $12$ Zaunpfosten für das zweite Beet.

    • Blumenbeet 3:
    Abstand der Pfosten:

    Wir berechnen erneut $\text{ggT}(150,75)$. Wir erhalten die Primfaktorzerlegungen

    • $150={2}\cdot{3}\cdot{5}\cdot{5}$ und
    • $75={3}\cdot{5}\cdot{5}$.
    und es gilt $\text{ggT}(150,75)={3}\cdot{5}\cdot{5}=75$. Der Abstand der Pfosten beträgt somit $75\ \text{cm}$.

    Anzahl der Pfosten:

    Für die Berechnung der Anzahl der Pfosten ermitteln wir erneut den Umfang des Beetes. Wir erhalten

    $\text{U} = {2}\cdot({150\ \text{cm} + 75\ \text{cm}}) = 450\ \text{cm}$. Teilen wir den Umfang des Beetes durch $75$, so erhalten wir $\frac{450\ \text{cm}}{75\ \text{cm}} = 6$. Somit benötigt Lena $6$ Zaunpfosten.

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