Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung Übung

• Beschreibe, wie man den größten gemeinsamen Teiler bestimmen kann.

  Tipps

  Der Begriff größter gemeinsamer Teiler verrät dir schon eine Möglichkeit, ihn zu bestimmen.

  $\text{ggT}(8, 12) = 4$

  Lösung

  Es gibt zwei Möglichkeiten den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu bestimmen:

  Erste Möglichkeit:
  Wir können die Teilermengen der beiden Zahlen vergleichen. Von allen gemeinsamen Teilern ist der größte Wert der größte gemeinsame Teiler.
  Beispiel: $15$ und $25$
  $T_{15} = \lbrace 1, 3, 5, 15 \rbrace$
  $T_{25} = \lbrace 1, 5, 25 \rbrace$
  Der größte gemeinsame Wert ist $5$, daher gilt: $\text{ggT}(15, 25) = 5$

  Zweite Möglichkeit:
  Wir können die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen nutzen. Multiplizieren wir alle gemeinsamen Primfaktoren, so erhalten wir den $\text{ggT}$.
  Beispiel: $18$ und $210$
  $18=2 \cdot 3 \cdot 3$
  $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
  Gemeinsame Primfaktoren sind $2$ und $3$, daher gilt: $\text{ggT}(18, 210) = 2 \cdot 3 = 6$

  Wir erhalten jedoch den größten gemeinsamen Teiler nicht durch:

  • Multiplikation des größten Primfaktor mit dem kleinsten Teiler.
  • Multiplikation der beiden Zahlen selbst.
  • Division des Quadrates der ersten Zahl durch die zweite Zahl.

• Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $12$ und $16$ mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.

  Tipps

  Bei der Primfaktorzerlegung schreiben wir eine Zahl als Produkt aus mehreren Primzahlen. Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist.

  Primfaktorzerlegung von $28$:

  $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$

  Lösung

  Die Primfaktorzerlegung hilft uns bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen. Wir können den $\text{ggT}$ als Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren schreiben.

  Wir führen die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen durch. Dabei schreiben wir die beiden Zahlen als Produkt aus Primfaktoren:

  $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
  $16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

  Die beiden gemeinsamen Primfaktoren sind eine $2$ und noch eine $2$, daher gilt:
  $\text{ggT} (12, 16) =2 \cdot 2 =4$

• Vervollständige die Teilermengen, um den $\text{ggT}$ zu bestimmen.

  Tipps

  Teiler einer Zahl sind diejenigen Zahlen, durch die die gegebene Zahl ohne Rest teilbar ist.

  Die Teilermenge von $42$ lautet:

  $T_{42} = \lbrace 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 \rbrace$

  Lösung

  Wir notieren die Teilermengen der beiden Zahlen und vergleichen dann ihren Inhalt. Von den Zahlen, welche in beiden Teilermengen vorkommen, ist der größte Wert der größte gemeinsame Teiler.

  Die Teilermenge von $20$ schreiben wir wie folgt:

  $T_{20} = \lbrace 1, 2, 4, 5, 10, 20 \rbrace$

  Die Teilermenge von $30$ schreiben wir wie folgt:

  $T_{30} = \lbrace 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \rbrace$

  In beiden Teilermengen kommen die Zahlen $1$, $2$, $5$ und $10$ vor. Der größte Wert ist $10$, daher gilt:
  $\text{ggT}(20, 30) =10$

• Vervollständige die Primfaktorzerlegung, um den $\text{ggT}$ von $420$ und $90$ zu bestimmen.

  Tipps

  Primfaktorzerlegung von $32$:

  $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

  Vergleich die beiden Primfaktorzerlegungen. Welche Zahlen kommen in beiden Zerlegungen vor? Multipliziere sie und du erhältst den größten gemeinsamen Teiler.

  Lösung

  Die Primfaktorzerlegung hilft uns bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen. Wir können den $\text{ggT}$ als Produkt der gemeinsamen Primfaktoren schreiben.

  Wir führen die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen durch. Dazu schreiben wir die beiden Zahlen als Produkt aus Primzahlen:

  $420 = 2 \cdot 210 = 2 \cdot 2 \cdot 105 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 35 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 $
  $90 = 2 \cdot 45 = 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

  Die gemeinsamen Primfaktoren sind $2$, $3$ und $5$, daher gilt:
  $\text{ggT} (420, 90) =2 \cdot 3 \cdot 5 =30$

• Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von $12$ und $18$ mit Hilfe der Teilermengen.

  Tipps

  Gemeinsame Teiler sind Zahlen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

  Der $\text{ggT}$, also der größte gemeinsame Teiler, ist die größte dieser Zahlen.

  Lösung

  Wir können den $\text{ggT}$ aus den Teilermengen bestimmen, indem wir die größte der Zahlen auswählen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

  Schreiben wir die beiden Teilermengen untereinander

  $T_{12} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 12 \rbrace$
  $T_{18} = \lbrace 1, 2, 3, 6, 9, 18 \rbrace$

  so können wir erkennen, dass beide Mengen die Zahlen $1$, $2$, $3$ und $6$ enthalten. Der größte gemeinsame Wert ist dabei $6$, daher gilt:
  $\text{ggT}(12, 18) = 6$

• Bestimme den größten gemeinsamen Teiler.

  Tipps

  Nutze die Teilermengen der beiden Zahlen oder die Primfaktorzerlegung.

  $\text{ggT}(14, 63) = 7$

  Lösung

  Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu bestimmen, können wir die Teilermengen der beiden Zahlen oder deren Primfaktorzerlegung nutzen.

  Mit Hilfe der Teilermengen der beiden Zahlen ergibt sich für die drei Beispiele:

  Beispiel 1
  $T_{9} = \lbrace 1, 3, 9 \rbrace$
  $T_{105} = \lbrace 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 \rbrace$
  Der größte gemeinsame Wert ist $3$, daher gilt: $\text{ggT}(9, 105) = 3$

  Beispiel 2
  $T_{45} = \lbrace 1, 3, 5, 9, 15, 45 \rbrace$
  $T_{154} = \lbrace 1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154 \rbrace$
  Der größte gemeinsame Wert ist $1$, daher gilt: $\text{ggT}(45, 154) = 1$

  Beispiel 3
  $T_{18} = \lbrace 1, 2, 3, 6, 9, 18 \rbrace$
  $T_{36} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18, 36 \rbrace$
  Der größte gemeinsame Wert ist $18$, daher gilt: $\text{ggT}(18, 36) = 18$

  Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung ergeben sich folgende Lösungswege:

  Beispiel 1
  $9 = 3 \cdot 3$
  $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$
  $\text{ggT}(9, 105) = 3$

  Beispiel 2
  $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$
  $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$
  Es gibt keine gemeinsamen Primfaktoren, daher gilt: $\text{ggT}(45, 154) = 1$

  Beispiel 3
  $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$
  $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$
  $\text{ggT}(18, 36) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$