Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung

Rechenweg:
Bestimme die Teilermengen der Zahlen $20$ und $30$.
Die Teilermenge $T_{20}$ enthält alle Zahlen, die $20$ ohne Rest teilen, und $T_{30}$ enthält alle Zahlen, die $30$ ohne Rest teilen.
Vergleiche anschließend die Teilermengen und finde die größte Zahl, die in beiden Mengen enthalten ist.

• $T_{20} = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$
• $T_{30} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$

Die gemeinsamen Teiler sind:
$\{1, 2, 5, 10\}$

Der größte gemeinsame Teiler ist $10$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler von $20$ und $30$ ist $10$.

Rechenweg:
Bestimme die Teilermengen der Zahlen $12$ und $16$.
Die Teilermenge $T_{12}$ enthält alle Zahlen, die $12$ ohne Rest teilen, und $T_{16}$ enthält alle Zahlen, die $16$ ohne Rest teilen.
Vergleiche anschließend die Teilermengen und finde die größte Zahl, die in beiden Mengen enthalten ist.

• $T_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$
• $T_{16} = \{1, 2, 4, 8, 16\}$

Die gemeinsamen Teiler sind:
$\{1, 2, 4\}$

Der größte gemeinsame Teiler ist $4$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler von $12$ und $16$ ist $4$.

Rechenweg:
Bestimme die Teilermengen der Zahlen $40$ und $60$.
Die Teilermenge $T_{40}$ enthält alle Zahlen, die $40$ ohne Rest teilen, und $T_{60}$ enthält alle Zahlen, die $60$ ohne Rest teilen.
Vergleiche anschließend die Teilermengen und finde die größte Zahl, die in beiden Mengen enthalten ist.

• $T_{40} = \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\}$
• $T_{60} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$

Die gemeinsamen Teiler sind:
$\{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$

Der größte gemeinsame Teiler ist $20$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler von $40$ und $60$ ist $20$.

Rechenweg:
Bestimme die Teilermengen der Zahlen $18$ und $24$.
Die Teilermenge $T_{18}$ enthält alle Zahlen, die $18$ ohne Rest teilen, und $T_{24}$ enthält alle Zahlen, die $24$ ohne Rest teilen.
Vergleiche anschließend die Teilermengen und finde die größte Zahl, die in beiden Mengen enthalten ist.

• $T_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$
• $T_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

Die gemeinsamen Teiler sind:
$\{1, 2, 3, 6\}$

Der größte gemeinsame Teiler ist $6$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler von $18$ und $24$ ist $6$.

Rechenweg:
Bestimme die Teilermengen der Zahlen $28$ und $42$.
Die Teilermenge $T_{28}$ enthält alle Zahlen, die $28$ ohne Rest teilen, und $T_{42}$ enthält alle Zahlen, die $42$ ohne Rest teilen.
Vergleiche anschließend die Teilermengen und finde die größte Zahl, die in beiden Mengen enthalten ist.

• $T_{28} = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$
• $T_{42} = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}$

Die gemeinsamen Teiler sind:
$\{1, 2, 7, 14\}$

Der größte gemeinsame Teiler ist $14$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler von $28$ und $42$ ist $14$.

Rechenweg:
Bestimme die Teilermengen der Zahlen $50$ und $75$.
Die Teilermenge $T_{50}$ enthält alle Zahlen, die $50$ ohne Rest teilen, und $T_{75}$ enthält alle Zahlen, die $75$ ohne Rest teilen.
Vergleiche anschließend die Teilermengen und finde die größte Zahl, die in beiden Mengen enthalten ist.

• $T_{50} = \{1, 2, 5, 10, 25, 50\}$
• $T_{75} = \{1, 3, 5, 15, 25, 75\}$

Die gemeinsamen Teiler sind:
$\{1, 5, 25\}$

Der größte gemeinsame Teiler ist $25$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler von $50$ und $75$ ist $25$.

Rechenweg:
Bestimme die Teilermengen der Zahlen $14$ und $35$.
Die Teilermenge $T_{14}$ enthält alle Zahlen, die $14$ ohne Rest teilen, und $T_{35}$ enthält alle Zahlen, die $35$ ohne Rest teilen.
Vergleiche anschließend die Teilermengen und finde die größte Zahl, die in beiden Mengen enthalten ist.

• $T_{14} = \{1, 2, 7, 14\}$
• $T_{35} = \{1, 5, 7, 35\}$

Die gemeinsamen Teiler sind:
$\{1, 7\}$

Der größte gemeinsame Teiler ist $7$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler von $14$ und $35$ ist $7$.

Rechenweg:
Bestimme die Teilermengen der Zahlen $21$ und $28$.
Die Teilermenge $T_{21}$ enthält alle Zahlen, die $21$ ohne Rest teilen, und $T_{28}$ enthält alle Zahlen, die $28$ ohne Rest teilen.
Vergleiche anschließend die Teilermengen und finde die größte Zahl, die in beiden Mengen enthalten ist.

• $T_{21} = \{1, 3, 7, 21\}$
• $T_{28} = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$

Die gemeinsamen Teiler sind:
$\{1, 7\}$

Der größte gemeinsame Teiler ist $7$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler von $21$ und $28$ ist $7$.

Rechenweg:
Bestimme die Teilermengen der Zahlen $18$, $27$ und $36$.
Die Teilermenge $T_{18}$ enthält alle Zahlen, die $18$ ohne Rest teilen, die Teilermenge $T_{27}$ enthält alle Zahlen, die $27$ ohne Rest teilen, und die Teilermenge $T_{36}$ enthält alle Zahlen, die $36$ ohne Rest teilen.
Vergleiche anschließend die Teilermengen und finde die größte Zahl, die in allen drei Mengen enthalten ist.

• ${T_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} }$
• ${T_{27} = \{1, 3, 9, 27\} }$
• ${T_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\} }$

Die gemeinsamen Teiler sind:
$\{1, 3, 9\}$

Der größte gemeinsame Teiler ist $9$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler von $18$, $27$ und $36$ ist $9$.

Rechenweg:

Bestimme die Teilermengen der Zahlen $24$, $32$ und $40$.
Die Teilermenge $T_{24}$ enthält alle Zahlen, die $24$ ohne Rest teilen, die Teilermenge $T_{32}$ enthält alle Zahlen, die $32$ ohne Rest teilen, und die Teilermenge $T_{40}$ enthält alle Zahlen, die $40$ ohne Rest teilen.
Vergleiche anschließend die Teilermengen und finde die größte Zahl, die in allen drei Mengen enthalten ist.

• ${T_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} }$
• ${T_{32} = \{1, 2, 4, 8, 16, 32\} }$
• ${T_{40} = \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40\} }$

Die gemeinsamen Teiler sind:
$\{1, 2, 4, 8\}$

Der größte gemeinsame Teiler ist $8$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler von $24$, $32$ und $40$ ist $8$.

Rechenweg:
Die Teiler von $48$ sind $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}$. Starte bei den größten Teilern und überprüfe, ob sie auch Teiler von $36$ sind.

$48$ ist kein Teiler von $36$.
$24$ ist kein Teiler von $36$.
$16$ ist kein Teiler von $36$.
$12$ ist ein Teiler von $36$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $12$.

Rechenweg:
Die Teiler von $72$ sind $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\}$. Starte bei den größten Teilern und überprüfe, ob sie auch Teiler von $54$ sind.

$72$ ist kein Teiler von $54$.
$36$ ist kein Teiler von $54$.
$24$ ist kein Teiler von $54$.
$18$ ist ein Teiler von $54$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $18$.

Rechenweg:
Die Teiler von $50$ sind $\{1, 2, 5, 10, 25, 50\}$. Starte bei den größten Teilern und überprüfe, ob sie auch Teiler von $30$ sind.

$50$ ist kein Teiler von $30$.
$25$ ist kein Teiler von $30$.
$10$ ist ein Teiler von $30$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $10$.

Rechenweg:
Die Teiler von $81$ sind $\{1, 3, 9, 27, 81\}$. Starte bei den größten Teilern und überprüfe, ob sie auch Teiler von $27$ sind.

$81$ ist kein Teiler von $27$.
$27$ ist ein Teiler von $27$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $27$.

Rechenweg:
Die Teiler von $56$ sind $\{1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56\}$. Starte bei den größten Teilern und überprüfe, ob sie auch Teiler von $42$ sind.

$56$ ist kein Teiler von $42$.
$28$ ist kein Teiler von $42$.
$14$ ist ein Teiler von $42$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $14$.

Rechenweg:
Die Teiler von $96$ sind $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96\}$. Starte bei den größten Teilern und überprüfe, ob sie auch Teiler von $64$ sind.

$96$ ist kein Teiler von $64$.
$48$ ist kein Teiler von $64$.
$32$ ist ein Teiler von $64$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $32$.

Rechenweg:
Die Teiler von $100$ sind $\{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100\}$. Starte bei den größten Teilern und überprüfe, ob sie auch Teiler von $75$ sind.

$100$ ist kein Teiler von $75$.
$50$ ist kein Teiler von $75$.
$25$ ist ein Teiler von $75$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $25$.

Rechenweg:
Die Teiler von $88$ sind $\{1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88\}$. Starte bei den größten Teilern und überprüfe, ob sie auch Teiler von $44$ sind.

$88$ ist kein Teiler von $44$.
$44$ ist ein Teiler von $44$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $44$.

Rechenweg:
Die Teiler von $120$ sind $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120\}$. Starte bei den größten Teilern und überprüfe, ob sie auch Teiler von $90$ sind.

$120$ ist kein Teiler von $90$.
$60$ ist kein Teiler von $90$.
$30$ ist ein Teiler von $90$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $30$.

Rechenweg:
Die Teiler von $150$ sind $\{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150\}$. Starte bei den größten Teilern und überprüfe, ob sie auch Teiler von $100$ sind.

$150$ ist kein Teiler von $100$.
$75$ ist kein Teiler von $100$.
$50$ ist ein Teiler von $100$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $50$.

Rechenweg:
Zerlege $54$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 3 \cdot 3}$ und $81$ in die Primfaktoren ${3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$.

Der größte gemeinsame Teiler wird ermittelt, indem die gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen bestimmt und multipliziert werden. Die gemeinsamen Primfaktoren sind ${3 \cdot 3}$.
Multipliziere: ${3 \cdot 3 = 9}$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $9$.

Rechenweg:
Zerlege $40$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}$ und $100$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5}$.

Der größte gemeinsame Teiler wird ermittelt, indem die gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen bestimmt und multipliziert werden. Die gemeinsamen Primfaktoren sind ${2 \cdot 2 \cdot 5}$.
Multipliziere: ${2 \cdot 2 \cdot 5 = 20}$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $20$.

Rechenweg:
Zerlege $27$ in die Primfaktoren ${3 \cdot 3 \cdot 3}$ und $45$ in die Primfaktoren ${3 \cdot 3 \cdot 5}$.

Der größte gemeinsame Teiler wird ermittelt, indem die gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen bestimmt und multipliziert werden. Die gemeinsamen Primfaktoren sind ${3 \cdot 3}$.
Multipliziere: ${3 \cdot 3 = 9}$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $9$.

Rechenweg:
Zerlege $60$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}$ und $84$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7}$.

Der größte gemeinsame Teiler wird ermittelt, indem die gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen bestimmt und multipliziert werden. Die gemeinsamen Primfaktoren sind ${2 \cdot 2 \cdot 3}$.
Multipliziere: ${2 \cdot 2 \cdot 3 = 12}$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $12$.

Rechenweg:
Zerlege $32$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$ und $48$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$.

Der größte gemeinsame Teiler wird ermittelt, indem die gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen bestimmt und multipliziert werden. Die gemeinsamen Primfaktoren sind ${2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$.
Multipliziere: ${2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16}$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $16$.

Rechenweg:
Zerlege $42$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 3 \cdot 7}$ und $56$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7}$.

Der größte gemeinsame Teiler wird ermittelt, indem die gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen bestimmt und multipliziert werden. Die gemeinsamen Primfaktoren sind ${2 \cdot 7}$.
Multipliziere: ${2 \cdot 7 = 14}$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $14$.

Rechenweg:
Zerlege $72$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}$ und $108$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$.

Der größte gemeinsame Teiler wird ermittelt, indem die gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen bestimmt und multipliziert werden. Die gemeinsamen Primfaktoren sind ${2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}$.
Multipliziere: ${2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36}$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $36$.

Rechenweg:
Zerlege $50$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 5 \cdot 5}$ und $75$ in die Primfaktoren ${3 \cdot 5 \cdot 5}$.

Der größte gemeinsame Teiler wird ermittelt, indem die gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen bestimmt und multipliziert werden. Die gemeinsamen Primfaktoren sind ${5 \cdot 5}$.
Multipliziere: ${5 \cdot 5 = 25}$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $25$.

Rechenweg:
Zerlege $28$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 2 \cdot 7}$ und $42$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 3 \cdot 7}$.

Der größte gemeinsame Teiler wird ermittelt, indem die gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen bestimmt und multipliziert werden. Die gemeinsamen Primfaktoren sind ${2 \cdot 7}$.
Multipliziere: ${2 \cdot 7 = 14}$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $14$.

Rechenweg:
Zerlege $90$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5}$ und $120$ in die Primfaktoren ${2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}$.

Der größte gemeinsame Teiler wird ermittelt, indem die gemeinsamen Primfaktoren der beiden Zahlen bestimmt und multipliziert werden. Die gemeinsamen Primfaktoren sind ${2 \cdot 3 \cdot 5}$.
Multipliziere: ${2 \cdot 3 \cdot 5 = 30}$.

Lösung:
Der größte gemeinsame Teiler ist $30$.

Die Lösungen lauten:

• $\text{ggT}(18,24) =$ $6$
  Die Primfaktorzerlegungen lauten ${18 = 2 \cdot 3 \cdot 3}$ und ${24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$. Der größte gemeinsame Teiler ist ${2 \cdot 3 = 6}$.

• $\text{ggT}(48, 180) =$ $12$
  Die Primfaktorzerlegungen lauten ${48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$ und ${180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5}$. Der größte gemeinsame Teiler ist ${2 \cdot 2 \cdot 3 = 12}$.

• $\text{ggT}(81,57) =$ $3$
  Die Primfaktorzerlegungen lauten ${81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$ und ${57 = 3 \cdot 19}$. Der größte gemeinsame Teiler ist $3$.

• $\text{ggT}(18,24, 30) =$ $6$
  Die Primfaktorzerlegungen lauten ${18 = 2 \cdot 3 \cdot 3}$, ${24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$ und ${30 = 2 \cdot 3 \cdot 5}$. Der größte gemeinsame Teiler ist ${2 \cdot 3 = 6}$.

• $\text{ggT}(36, 60, 84) =$ $12$
  Die Primfaktorzerlegungen lauten ${36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}$, ${60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}$ und ${84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7}$. Der größte gemeinsame Teiler ist ${2 \cdot 2 \cdot 3 = 12}$.

• $\text{ggT}(35, 50, 105) =$ $5$
  Die Primfaktorzerlegungen lauten ${35 = 5 \cdot 7}$, ${50 = 2 \cdot 5 \cdot 5}$ und ${105 = 3 \cdot 5 \cdot 7}$. Der größte gemeinsame Teiler ist $5$.