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Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung

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Team Digital
Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) bestimmen kann.

    Tipps

    Der Begriff „größter gemeinsamer Teiler“ verrät dir schon eine Möglichkeit, ihn zu bestimmen.

    Beispiel:

    $\text{ggT}(8, 12) = 4$

    Lösung

    Es gibt zwei Möglichkeiten, den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) zweier Zahlen zu bestimmen:

    Erste Möglichkeit:

    Wir können die Teilermengen der beiden Zahlen vergleichen. Von allen gemeinsamen Teilern ist der größte Wert der größte gemeinsame Teiler.

    Beispiel: $15$ und $25$

    $T_{15} = \lbrace 1, 3, 5, 15 \rbrace$

    $T_{25} = \lbrace 1, 5, 25 \rbrace$

    Der größte gemeinsame Wert ist $5$. Daher gilt:

    $\text{ggT}(15, 25) = 5$

    Zweite Möglichkeit:

    Wir können die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen nutzen. Multiplizieren wir alle gemeinsamen Primfaktoren, so erhalten wir den $\text{ggT}$.

    Beispiel: $18$ und $210$

    $18=2 \cdot 3 \cdot 3$

    $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

    Gemeinsame Primfaktoren sind $2$ und $3$. Daher gilt:

    $\text{ggT}(18, 210) = 2 \cdot 3 = 6$

    Wir erhalten jedoch den größten gemeinsamen Teiler nicht durch:

    • Multiplikation des größten Primfaktors mit dem kleinsten Teiler
    • Multiplikation der beiden Zahlen selbst
    • Division des Quadrats der ersten Zahl durch die zweite Zahl

  • Bestimme den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) von $12$ und $16$ mithilfe der Primfaktorzerlegung.

    Tipps

    Bei der Primfaktorzerlegung schreiben wir eine Zahl als Produkt aus mehreren Primzahlen. Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist.

    Primfaktorzerlegung von $28$:

    $28 = 2 \cdot 2 \cdot 7$

    Lösung

    Die Primfaktorzerlegung hilft uns bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers ($\text{ggT}$) zweier Zahlen. Wir können den ($\text{ggT}$) als Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren schreiben.

    Wir führen die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen durch. Dabei schreiben wir die beiden Zahlen als Produkt aus Primfaktoren:

    $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3$

    $16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

    Die beiden gemeinsamen Primfaktoren sind eine $2$ und noch eine $2$. Daher gilt:

    $\text{ggT} (12, 16) =2 \cdot 2 =4$

  • Vervollständige die Teilermengen, um den $\text{ggT}$ zu bestimmen.

    Tipps

    Teiler einer Zahl sind diejenigen Zahlen, durch die die gegebene Zahl ohne Rest teilbar ist.

    Die Teilermenge von $42$ lautet:

    $T_{42} = \lbrace 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 \rbrace$

    Lösung

    Wir notieren die Teilermengen der beiden Zahlen und vergleichen dann ihren Inhalt: Von den Zahlen, welche in beiden Teilermengen vorkommen, ist der größte Wert der größte gemeinsame Teiler ($\text{ggT}$).

    Die Teilermenge von $20$ schreiben wir wie folgt:

    $T_{20} = \lbrace 1, 2, 4, 5, 10, 20 \rbrace$

    Die Teilermenge von $30$ schreiben wir wie folgt:

    $T_{30} = \lbrace 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \rbrace$

    In beiden Teilermengen kommen die Zahlen $1$, $2$, $5$ und $10$ vor. Der größte Wert ist $10$. Daher gilt:
    $\text{ggT}(20, 30) =10$

  • Vervollständige die Primfaktorzerlegung, um den $\text{ggT}$ von $420$ und $90$ zu bestimmen.

    Tipps

    Primfaktorzerlegung von $32$:

    $32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

    Vergleiche die beiden Primfaktorzerlegungen: Welche Zahlen kommen in beiden Zerlegungen vor? Multiplizierst du sie, erhältst du den größten gemeinsamen Teiler.

    Lösung

    Die Primfaktorzerlegung hilft uns bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers ($\text{ggT}$) zweier Zahlen. Wir können den $\text{ggT}$ als Produkt der gemeinsamen Primfaktoren schreiben.

    Wir führen die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen durch. Dazu schreiben wir die beiden Zahlen als Produkt aus Primzahlen:

    $420 = 2 \cdot 210 = 2 \cdot 2 \cdot 105 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 35 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

    $90 = 2 \cdot 45 = 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

    Die gemeinsamen Primfaktoren sind $2$, $3$ und $5$. Daher gilt:

    $\text{ggT} (420, 90) =2 \cdot 3 \cdot 5 =30$

  • Bestimme den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) von $12$ und $18$ mithilfe der Teilermengen.

    Tipps

    Gemeinsame Teiler sind Zahlen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

    Der $\text{ggT}$, also der größte gemeinsame Teiler, ist die größte dieser Zahlen.

    Lösung

    Wir können den $\text{ggT}$ aus den Teilermengen bestimmen, indem wir die größte der Zahlen auswählen, die in beiden Teilermengen vorkommen.

    Schreiben wir die beiden Teilermengen untereinander:

    $T_{12} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 12 \rbrace$

    $T_{18} = \lbrace 1, 2, 3, 6, 9, 18 \rbrace$

    So können wir erkennen, dass beide Mengen die Zahlen $1$, $2$, $3$ und $6$ enthalten. Der größte gemeinsame Wert ist dabei $6$. Daher gilt:

    $\text{ggT}(12, 18) = 6$

  • Bestimme den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$).

    Tipps

    Nutze die Teilermengen der beiden Zahlen oder die Primfaktorzerlegung.

    $\text{ggT}(14, 63) = 7$

    Lösung

    Um den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) zweier Zahlen zu bestimmen, können wir die Teilermengen der beiden Zahlen oder deren Primfaktorzerlegung nutzen.

    Mithilfe der Teilermengen der beiden Zahlen ergibt sich für die drei Beispiele:

    Beispiel 1

    $T_{9} = \lbrace 1, 3, 9 \rbrace$

    $T_{105} = \lbrace 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 \rbrace$

    Der größte gemeinsame Wert ist $3$. Daher gilt:

    $\text{ggT}(9, 105) = 3$

    Beispiel 2

    $T_{45} = \lbrace 1, 3, 5, 9, 15, 45 \rbrace$

    $T_{154} = \lbrace 1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154 \rbrace$

    Der größte gemeinsame Wert ist $1$. Daher gilt:

    $\text{ggT}(45, 154) = 1$

    Beispiel 3

    $T_{18} = \lbrace 1, 2, 3, 6, 9, 18 \rbrace$

    $T_{36} = \lbrace 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18, 36 \rbrace$

    Der größte gemeinsame Wert ist $18$. Daher gilt:

    $\text{ggT}(18, 36) = 18$

    Mithilfe der Primfaktorzerlegung ergeben sich folgende Lösungswege:

    Beispiel 1

    $9 = 3 \cdot 3$

    $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$

    $\text{ggT}(9, 105) = 3$

    Beispiel 2

    $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$

    $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$

    Es gibt keine gemeinsamen Primfaktoren. Deshalb gilt:

    $\text{ggT}(45, 154) = 1$

    Beispiel 3

    $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$

    $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

    $\text{ggT}(18, 36) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$

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