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Kleinstes gemeinsames Vielfaches 05:57 min

Textversion des Videos

Transkript Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Das sind Peter Paket und Bernd Brief. Sie müssen heute beide im gleichen Haus ihre Lieferung austragen. Da Peter Paket zuerst in den zweiten Stock muss, nimmt er den linken Aufzug. Dieser fährt nämlich in 2er Schritten. Bernd Brief muss zunächst in den dritten Stock und nimmt den rechten Aufzug, der in 3er Schritten fährt. Aber wann treffen sie sich eigentlich das erste Mal wieder? Um das herauszufinden, hilft uns das kleinste gemeinsame Vielfache. Um zu verstehen, was genau das kleinste gemeinsame Vielfache ist, schauen wir uns zunächst die vielfachen der 2 und der 3 an. Die Vielfachen der 2 können wir in der Menge V2 notieren. Diese sind 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 und so weiter. Die Vielfachen der 3 können wir in der Menge V3 notieren. Hier haben wir 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, und so weiter. Betrachten wir diese beiden Mengen, so sehen wir, dass beide die 6 und die 12 enthalten. Die 2 und die 3 haben also 6 und 12 als gemeinsame Vielfache. Da die Vielfachenmengen unendlich lang sind, haben die 2 und die 3 natürlich noch mehr als diese beiden Vielfachen gemeinsam, aber das kleinste gemeinsame Vielfache ist die 6. Kurz können wir dies so schreiben. Die Buchstaben kgV stehen hier natürlich für kleinstes gemeinsames Vielfaches. Wir sagen: Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist gleich 6. Hier haben wir eine Möglichkeit gesehen, das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen zu bestimmen. Wir können dies aber auch auf eine andere Art und Weise herausfinden. Schauen wir uns dazu die 6 und die 9 an. Um das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen herauszufinden, betrachten wir die Vielfachenmenge der größeren Zahl, hier also der 9. V9 ist gleich 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 und so weiter. Nun können wir anhand dieser Vielfachen überprüfen, welches davon auch ein Vielfaches der 6 ist. Da wir das kleinste gemeinsame Vielfache suchen, beginnen wir hier auch bei dem kleinsten Vielfachen. Die 9 ist kein Vielfaches der 6, weil 6 kein Teiler der 9 ist. Also können wir mit der 18 weitermachen. 3 mal 6 sind 18. 18 ist also Teil der Vielfachenmenge der 6. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 9 ist demnach 18. Aber wie können wir denn bei größeren Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache finden? Was ist das kgV von 36 und 75? Um hier das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, können wir die Primfaktorzerlegung verwenden. Zerlegen wir die 36 in alle ihre Primfaktoren, so erhalten wir 2 mal 18 und das sind 2 mal 2 mal 9 und dies sind 2 mal 2 mal 3 mal 3. 75 ist 3 mal 25 und das ist das gleiche wie 3 mal 5 mal 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist dann genau die Zahl, die sich ergibt, wenn man alle vorkommenden Primfaktoren multipliziert. Dabei werden die Primfaktoren, die doppelt sind, also in beiden Zerlegungen auftauchen, nicht doppelt multipliziert. Hier rechnen wir für das kgV von 36 und 75 also 2 mal 2 mal 3 mal 3 mal 5 mal 5. Das ist gleich 900. Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist übrigens maximal so groß, wie das Produkt der beiden Zahlen. Dies haben wir zum Beispiel bei dem kgV von 2 und 3 gesehen, denn 2 mal 3 sind 6. Fassen wir das doch noch einmal zusammen. Wir haben uns drei verschiedene Möglichkeiten angeschaut, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen bestimmen kann. Bei der ersten Variante notiert man sich zunächst die Vielfachenmengen beider Zahlen. Danach markiert man alle gemeinsamen Vielfachen, die man findet, und kann so das kleinste ablesen. Für die zweite Möglichkeit notiert man sich nur die Vielfachenmenge der größeren Zahl. Dann kann man mit der kleineren Zahl überprüfen, welches dieser Vielfachen auch ein Vielfaches der kleineren Zahl ist. In der dritten Variante zerlegt man beide Zahlen zunächst in ihre Primfaktoren. Multipliziert man dann alle vorkommenden Primfaktoren, erhält man das kleinste gemeinsame Vielfache. Haben Peter Paket und Bernd Brief eigentlich alle ihre Pakete und Briefe zugestellt? Die machen ihre wohlverdiente Pause und haben schon vielfache Gemeinsamkeiten gefunden.

4 Kommentare
  1. Hallo Pearl, das freut uns sehr! :)
    Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Albrecht Kröner, vor 2 Monaten
  2. GOOD!! THANK YOU!

    Von Sungsuncho7, vor 2 Monaten
  3. Ich hab alle aufgaben geschaft !!!!!!!

    Von Pearl Muellner, vor 2 Monaten
  4. hi
    hi

    Von Max Hut, vor 3 Monaten

Kleinstes gemeinsames Vielfaches Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kleinstes gemeinsames Vielfaches kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Bestimmen von kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

    Tipps

    Die Vielfachen einer Zahl werden durch Multiplikation mit allen existierenden natürlichen Zahlen bestimmt.

    Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen befindet sich zwischen der größeren Zahl und dem Produkt beider Zahlen.

    Beispiel: $\text{kgV}(25, 78)$ Das kleinste gemeinsame Vielfache ist eine Zahl zwischen $78$ und $25 \cdot 78$.

    Wir führen eine Primfaktorzerlegung durch:

    $25 = 5 \cdot 5 \\ 78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$.

    Anschließend multiplizieren wir alle vorkommenden Primfaktoren ($5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13$), woraus sich ergibt, dass das kleinste gemeinsame Vielfache von $25$ und $78$ dem Produkt der beiden Zahlen entspricht.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die meisten Zahlen haben unendlich viele Vielfache. Es gibt jedoch auch von 0 verschiedene Zahlen, die nur eine endliche Anzahl an Vielfachen haben.“

    • Die Vielfache einer Zahl werden durch Multiplikation mit allen existierenden natürlichen Zahlen bestimmt. Da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, hat jede Zahl auch unendlich viele Vielfache. Die Null ist in diesem Fall gesondert zu betrachten. Sie hat mathematisch gesehen ebenfalls unendlich viele Vielfache, da die Multiplikation mit Null aber immer Null ergibt, sind die Vielfache der Null alle Null.
    „Das kleinste gemeinsame Vielfache kannst du immer durch Multiplikation der beiden Zahlen bestimmen.“

    • Das Produkt zweier Zahlen gibt die Obergrenze des kleinsten gemeinsamen Vielfachen an. Es ist jedoch nicht zwangsläufig das kleinste gemeinsame Vielfache.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Vielfache kannst du mit der Mengenschreibweise notieren.“

    • Da Vielfache eine Menge an Zahlen sind, kannst du hier die Mengennotation verwenden.
    „Um gemeinsame Vielfache von Zahlen zu bestimmen, kannst du die Vielfachen jeder Zahl aufschreiben und überprüfen, ob die beiden Zahlen gemeinsame Vielfache haben.“

    „Um das kleinste gemeinsame Vielfache zweier großer Zahlen zu bestimmen, kannst du eine Primfaktorzerlegung durchführen.“

    • Dies sind zwei Verfahren zum Bestimmen von kleinsten gemeinsamen Vielfachen.
  • Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache.

    Tipps

    Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, müssen wir hier die Vielfachenmengen zunächst aufschreiben.

    Die Vielfachen einer Zahl bestimmst du, indem du nacheinander mit allen natürlichen Zahlen multiplizierst. Die Vielfachenmenge der $4$ sieht zum Beispiel so aus:

    $\text{V}_4=\{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...\}$.

    Lösung

    So kannst du den Text vervollständigen:

    „Zuerst bestimmen wir die Vielfache von $2$. Diese lauten:

    $\text{V}_2=\{2, 4, 6, 8, 10,12,...\}$.

    Die Vielfache von $3$ lauten:

    $\text{V}_3=\{3, 6, 9, 12, 15,18,...\}$.“

    • Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, müssen wir hier die Vielfachenmengen zunächst aufschreiben.
    „Die Zahlen $6$ und $12$ kommen in beiden Zahlenreihen vor. Also schreiben wir:

    $\text{kgV}(2,3)=6$.“

    • Anschließend überlegen wir, welche Zahlen in beiden Reihen vorkommen und wählen die kleinste dieser Zahlen aus. Sie ist das kleinste gemeinsame Vielfache.
  • Beschreibe die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

    Tipps

    Du kannst zum Beispiel prüfen, ob $36$ ein Vielfaches von $6$ ist, indem du $36$ durch $6$ teilst. Bekommst du eine natürliche Zahl als Ergebnis, ist es ein Vielfaches.

    Primfaktoren einer Zahl sind Primzahlen, die miteinander multipliziert diese Zahl ergeben.

    Primzahlen sind die Zahlen, die nur durch sich selbst und $1$ teilbar sind.

    Lösung

    So kannst du den Text vervollständigen:

    „(...)

    $V_9=\{9,18, 27,36, 45,54,...\}$“

    • Bei dieser Vorgehensweise schreiben wir nur die Vielfache einer der beiden Zahlen auf.
    „Danach überlegen wir der Reihe nach, ob diese Vielfache auch Vielfache von $6$ sind.

    $9$ ist kein Vielfaches von $6$.

    $18$ ist ein Vielfaches von $6$, denn:

    $6 \cdot 3=18$.“

    • Im Anschluss beginnen wir bei der kleinsten Zahl der Reihe und überlegen, ob sie ein Vielfaches der anderen Zahl (hier $6$) ist. Dazu teilen wir die Zahl der Reihe durch die andere Zahl und prüfen, ob eine ganze Zahl herauskommt.
    „Also gilt:

    $\text{kgV}(6,9)=18$.“

    „Als Nächstes wollen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von $36$ und $75$ bestimmen. Dazu führen wir eine Primfaktorzerlegung durch. Für $36$ erhalten wir:

    $36=2\cdot 2\cdot 3 \cdot 3$.

    Für $75$ ergibt sich:

    $75=3\cdot 5 \cdot 5$.“

    • Primfaktoren einer Zahl sind Primzahlen, die miteinander multipliziert diese Zahl ergeben. Primzahlen sind die Zahlen, die nur durch sich selbst und $1$ teilbar sind.
    „Anschließend multiplizieren wir die Primfaktoren miteinander. Hier werden jedoch nicht alle Faktoren multipliziert. Es ergibt sich:

    $2\cdot 2 \cdot 3\cdot 3\cdot 5 \cdot 5$.“

    • Bei Faktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, multiplizieren wir nur die größere Anzahl an Faktoren. Hier kommt der Faktor $3$ in beiden Zahlen vor. In $36$ steckt er zweimal, in $75$ nur einmal. Deshalb multiplizieren wir hier zweimal mit $3$.
    “Damit erhalten wir als kleinstes gemeinsames Vielfaches:

    $\text{kgV}(36,75)=900$.“

  • Entscheide, ob du den ggT oder das kgV zur Lösung der Textaufgabe benötigst.

    Tipps

    Gibt es keinen Primfaktor, der beide Zahlen teilt, ist der $\text{ggT}=1$.

    Gibt es nur einen Primfaktor, der beide Zahlen teilt, entspricht der $\text{ggT}$ genau diesem.

    Gibt es mindestens zwei Primfaktoren, die beide Zahlen teilen, ist der $\text{ggT}$ das Produkt aller dieser.

    Hier ein Beispiel für die Berechnung von $\text{ggT}(115,322)$.

    $115=23\cdot 5$

    $322=23\cdot 7 \cdot 2$

    Damit ist $\text{ggT}(115,322)=23$.

    Das kleinste gemeinsame Vielfache ($\text{kgV}$) benutzt du, wenn du etwas vervielfältigen musst.

    Den größten gemeinsamen Teiler ($\text{ggT}$) benutzt du, wenn du etwas aufteilen möchtest.

    Lösung

    Aufgabenteil 1

    Für die Kistenstapel in Maries Zimmer müssen wir das $\text{kgV}(8,54)$ berechnen.

    Die Primfaktorzerlegungen sehen wie folgt aus:

    $8=2\cdot 2\cdot 2$ und

    $54=3\cdot 3\cdot 3\cdot 2$.

    Damit ist das $\text{kgV}(8,54)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3=216$.

    Die Stapel haben also das erste Mal bei $216~ \text{cm}= 2,16~\text{m}$ die gleiche Höhe. Da dies kleiner ist als $2,35~\text{m}$, kann Marie die Türme so stapeln.

    Aufgabenteil 2

    Für Lukas Bastelprojekt müssen wir den größten gemeinsamen Teiler von $187~ \text{cm}$ und $272~ \text{cm}$ bestimmen, also kurz $\text{ggT}(187,272)$. Auch hier schauen wir uns die Primfaktorzerlegung an:

    $187=17\cdot 11$ und

    $272=17\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2$.

    Daher ist der $\text{ggT}(187,272)=17$ und die Stoffbahnen sind jeweils $17~ \text{cm}$ lang.

    Aufgabenteil 3

    Für die Busse benötigen wir erneut das kleinste gemeinsame Vielfache. Diesmal müssen wir das $\text{kgV}$ der beiden Zeitabstände berechnen. Dafür betrachten wir zunächst die Primfaktorzerlegung:

    $7 = 7$ und

    $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$.

    $\text{kgV}(7,20)= 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 140$

    Nach $140~\text{min} ~\hat{=}~2 ~\text{h}~20~\text{min}$ fahren sie also wieder zum gleichen Zeitpunkt los.

    Das ist um $7:48 ~\text{Uhr}$.

  • Ermittle die kleinsten gemeinsamen Vielfache.

    Tipps

    Du kannst das kleinste gemeinsame Vielfache zum Beispiel durch Primfaktorzerlegung bestimmen. Dabei teilst du die Zahl in Faktoren auf, die Primzahlen sind. Primzahlen sind die Zahlen größer als $1$, die nur durch sich selbst und $1$ teilbar sind.

    Für $4$ und $14$ kannst du so in Primfaktoren zerlegen:

    $4=2 \cdot2$ und $14=7 \cdot 2$.

    Für das $\text{kgV}$ multiplizierst du alle Primfaktoren, wobei du die Primfaktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, nicht doppelt multiplizierst.

    Lösung

    Hier bestimmen wir den kleinsten gemeinsamen Nenner durch Primfaktorzerlegung. Dabei teilen wir die Zahl in Faktoren auf, die Primzahlen sind. Primzahlen sind die Zahlen, die nur durch sich selbst und $1$ teilbar sind.

    Nach der Zerlegung multiplizieren wir die Faktoren miteinander. Bei Faktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, multiplizieren wir nur die größere Anzahl an Faktoren.

    Für die ersten beiden Zahlen erhalten wir:

    $4=2\cdot 2$ und $5$ ist bereits eine Primzahl. Also ergibt sich:

    • $\text{kgV}(4,5)=2\cdot 2 \cdot 5=20$.
    Für $10$ und $5$ ergibt sich:

    $10=5\cdot 2$ und $5$ ist bereits eine Primzahl. Also ist:

    • $\text{kgV}(10,5)=5\cdot 2=10$.
    Für $10$ und $12$ erhalten wir:

    $10=2 \cdot 5$ und $12=3 \cdot 2 \cdot 2$. Der Faktor $2$ kommt in beiden Primfaktorzerlegungen vor. Allerdings multiplizieren wir bei Faktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, nur die größere Anzahl an Faktoren. In $12$ steckt der Faktor $2$ zweimal, in $10$ nur einmal. Deshalb multiplizieren wir hier zweimal mit $2$.

    • $\text{kgV}(10,12)=5\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3=60$
    Für $5$ und $8$ erhalten wir:

    $\text{kgV}(5,8)=5\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=40 $.

  • Entscheide, ob dies die kleinsten gemeinsamen Vielfache sind.

    Tipps

    Bei der Primfaktorzerlegung der Zahlen $10$ und $12$ kommt ein Faktor in beiden Zahlen vor.

    $10=2\cdot5$ und $12=6\cdot 2$

    Dieser wird bei der Rechnung nur einmal multipliziert,

    also $ \text{kgV}(10, 12) =60$.

    Lösung

    Zerlege die Zahlen in ihre Primfaktoren und multipliziere diese anschließend. Bei Faktoren, die in beiden Zahlen vorkommen, multiplizieren wir nur die größere Anzahl an Faktoren. Bei $10$ und $14$ kommt beispielsweise der Faktor $2$ in beiden Zerlegungen vor. In $10$ steckt er einmal und in $14$ ebenfalls einmal. Deshalb multiplizieren wir hier einmal mit $2$.

    Diese Rechnungen sind falsch:

    „$\text{kgV}(8, 9) = 80$“

    • Die Primfaktorzerlegung ergibt: $8=2\cdot 2 \cdot 2$ und $9=3\cdot 3$. Damit erhalten wir: $\text{kgV}(8, 9) = 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 3= 72$.
    „$ \text{kgV}(10, 14) =140$“

    • Hier erhalten wir: $10=2\cdot5$ und $14=7\cdot 2$. Damit erhalten wir: $\text{kgV}(10, 14) = 2\cdot 5 \cdot 7= 70$.
    Diese Rechnungen sind richtig:

    „$ \text{kgV}(6, 7) =3 \cdot 2 \cdot 7= 42$“

    „$\text{kgV}(12, 20) = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 60$“

    „$\text{kgV}(13, 15) = 13 \cdot 5 \cdot 3= 195$“